文档内容
专题 14.2 整式的乘除法【十大题型】
【人教版】
【题型1 由整式乘除法求代数式的值】..................................................................................................................2
【题型2 由整式乘除法求字母的值】......................................................................................................................3
【题型3 利用整式乘除法解决不含某项问题】.....................................................................................................3
【题型4 利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】.............................................................................4
【题型5 利用整式乘除法解决污染问题】..............................................................................................................4
【题型6 利用整式乘除法解决误看问题】..............................................................................................................5
【题型7 整式乘除法的应用】..................................................................................................................................5
【题型8 整式乘除法中的规律问题】......................................................................................................................7
【题型9 整式乘除法中的新定义问题】..................................................................................................................8
【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】..............................................................................................................9
知识点：整式的乘法、除法
1．单项式与单项式相乘
法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的
字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．
（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．
（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．
【注意】
（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
2．单项式与多项式相乘
法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．
【注意】
（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．
（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
3．多项式与多项式相乘
（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所
得的积相加．
（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的
每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
4．单项式除以单项式
单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除
式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．
【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，
连同它的指数作为商的一个因式．
【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．
5．多项式除以单项式
多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得
的商相加．
【注意】
（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前
面的符号．
（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
【题型1 由整式乘除法求代数式的值】
【例1】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）已知a2+a−1=0，则代数式(a+2)(a−2)+a(a+2)值为
．
【变式1-1】（23-24八年级·福建泉州·期中）若a−b=3，ab=−4，则(a−2)(b+2)值为 .【变式1-2】（23-24八年级·山东聊城·期中）如果(5−a)(6+a)=12，那么−2a2−2a+8的值为
．
【变式1-3】（23-24八年级·福建·期中）已知x2−3x−1=0，则代数式x3−10x+2019值为
．
【题型2 由整式乘除法求字母的值】
【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期中）已知(x+a)(x+b)=x2+mx+12，m、a、b都是整数，那么m的可能值
的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式2-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）若(x+1)(x−3)=x2+mx−3，则m值是 ．
【变式2-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）不论x为何值，
, ，则 ．
(x+2)(x+a)=x2+ax+2x+2a=x2+(a+2)x+2a(x+2)(x+a)=x2+kx+6 k=
【变式2-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）关于x的整式A=2x+1，它的各项系数之和为∶2+1=3(常
数项系数为常数项本身)．已知B是关于x的整式，最高次项次数为2，系数为1．若B⋅(x+3)=C,C是一
个只含两项的多项式，则B各项系数之和的最大值为 ．
【题型3 利用整式乘除法解决不含某项问题】
【例3】（23-24八年级·山东聊城·期末）已知多项式M=x2−3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式
A中不含x的2次项时，a的值为（ ）
1
A．−1 B．− C．0 D．1
3
【变式3-1】（23-24八年级·河南商丘·期末）已知关于x的多项式ax−b与3x2+x+2的乘积的展开式中不
含x的二次项，且一次项系数为−5，则a的值为（ ）
1 1
A．− B． C．-3 D．3
3 3
【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：
．
(x2+3x−2)(x−a)
(1)小万在做题时不小心将x−a中的x写成了x2，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值；
(2)小鹿在做题时将x2+3x−2中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的值可
能是多少？
【变式3-3】（16-17八年级·四川成都·期末）已知(x2+mx+1)(x2﹣2x+n)的展开式中不含x2和x3项．(1)分别求m、n的值；
(2)化简求值：(m+2n+1)（m+2n﹣1）+（2m2n﹣4mn2+m3）÷（﹣m）
【题型4 利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】
【例4】（23-24八年级·湖南常德·期中）知识回顾：八年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数
式ax−y+6+3x−5 y−1 的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a
看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=(a+3)x−6 y+5
，所以a+3=0，则a=−3．
理解应用：
(1)若关于x的多项式2m2−3x−m(3−5x)的值与x的取值无关，求m值；
(2)已知A=(2x+1)(3x−1)−x(5+3 y)，B=2x2−3xy+4，且2A−6B的值与x的取值无关，求y的值．
【变式4-1】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）已知A=x2+3x−a，B=−x，C=x3+3x2+5，若
A⋅B+C的值与x的取值无关，当x=−4时，A的值为（ ）
A．0 B．4 C．−4 D．2
【变式4-2】（23-24八年级·四川成都·期中）若代数式(2x+2)(3x+m)−2x(3x+6)的值与x的取值无
关，则常数m= ．
【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）若代数式 的值与 无
x(5kx−3xy)−(k−3)(3x2y−4x2) y
关，则常数k的值为（ ）
A．2 B．−2 C．−4 D．4
【题型5 利用整式乘除法解决污染问题】
【例5】（23-24八年级·贵州遵义·期末）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：
，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（
(24x4 y3−■+6x2y2)÷(−6x2y)=−4x2y2+3xy−y
）
1
A．−18x3 y2 B．18x3y2 C．−2x3y2 D． x3y2
2
【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解.但其中部分代数
式被墨水污染看不清了.
（1）求被墨水污染的代数式；
（2）若被污染的代数式的值不小于4，求x的取值范围.【变式5-2】（23-24八年级·全国·课后作业）小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不
小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是−8x3y3及中间的“÷”，污染后习题形式
如下： (−8x3y3 )÷ ，小明翻看了书后的答案是“ 4x2y2−3xy+6x ”，你能够复原这个
算式吗?请你试一试．
【变式5-3】（23-24八年级·上海奉贤·期中）小红准备完成题目：计算（x2 x+2）（x2﹣x）．她发现
第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；
（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一
次项系数是多少？
【题型6 利用整式乘除法解决误看问题】
【例6】（23-24八年级·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘4x2时，因抄错运算符号，算成了加
上4x2，得到的结果是3x2+2x−1，那么正确的计算结果是（ ）
A．−4x4+8x3−4x2 B．4x4+8x3−4x2
C．−4x4+x3−4x2 D．4x4−8x3−4x2
【变式6-1】（23-24八年级·江西萍乡·期中）小颖在计算一个整式乘以3ac时，误看成了减去3ac，得到的
1 2
答案是 bc−3ac− ab，该题正确的计算结果应是多少？
3 3
【变式6-2】（23-24八年级·江西九江·阶段练习）已知A、B均为整式，A=(xy+1)(xy−2)−2x2y2+2
，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“−”，这样他计算的正确结果为−x2y2．
(1)将整式A化为最简形式．
(2)求整式B．
【变式6-3】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x+a)(3x+b)，
由于甲抄错为(2x−a)(3x+b)，得到的结果为6x2+11x−10；而乙抄错为(2x+a)(x+b)，得到的结果为
2x2−9x+10．
(1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？(2)请你计算出这道整式乘法的正确答案．
【题型7 整式乘除法的应用】
【例7】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子
的宽度为a．
(1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）．
②当l=100，a=30时，求园子的面积．
(2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园
子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）．
【变式7-1】（23-24八年级·重庆·期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两
片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄
1
瓜的 ，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜
2
与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄
瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．
【变式7-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）一家住房的结构如图所示，房子的主人打算把卧室铺上
地板，卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果这种地砖的价格为a元/平方米，地
板的价格(a−10)元/平方米，那么购买地板和地砖至少共需要多少元？
【变式7-3】（23-24八年级·全国·专题练习）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其
5 3
中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为： a、2a、 a，小长方体的
2 2a
长、宽、高分别为：2a、a、 ；配件②是一个正方体，其棱长为a
2
(1)生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？
(2)若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a3体
积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？
【题型8 整式乘除法中的规律问题】
【例8】（23-24八年级·四川成都·期中）观察：下列等式 ，
(x−1)(x+1)=x2−1 (x−1)(x2+x+1)=x3−1
， …据此规律，当 时，代数式
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1 (x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=0 x2024−2
的值为 ．
【变式8-1】（23-24八年级·广东揭阳·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图
是2020年11月份的日历，我们任意用一个2×2的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再
用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？
(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为 ．
(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果
没有，请说明理由．
【变式8-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）“九章兴趣小组”开展研究性学习，对两位数乘法的速算技
巧进行研究．
小明发现“十位相同，个位互补”的两个两位数相乘有速算技巧．
例如：24×26=100×(2×3)+4×6，结果为624；
42×48=100×(4×5)+2×8，结果为2016；
小红发现“十位互补，个位为5”的两个两位数相乘也有速算技巧．
例如：
45×65=100×(4×6+5)+25，结果为2925；
35×75=100×(3×7+5)+25，结果为2625；
(1)请你按照小明发现的技巧，写出计算63×67的速算过程；
(2)请你用含有字母的等式表示小明所发现的速算规律，并验证其正确性；
(3)小颖发现：小红的速算技巧可以推广到“十位互补，个位相同”的两个两位数相乘．请你直接用含有字
母的等式表示该规律．
友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．
【变式8-3】（23-24八年级·福建宁德·期中）下图揭示了 （n为非负整数）的展开式的项数及各项
(a+b) n
系数的有关规律．请观察并解决问题：今天是星期五，再过7天也是星期五，那么再过514天是星期
．
……
(a+b) 1=a+b
……
(a+b) 2=a2+2ab+b2
……
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
……
(a+b) 4=
【题型9 整式乘除法中的新定义问题】
【例9】（23-24八年级·陕西榆林·期末）【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m，n，规
定：m⊙n=mn(m−n)．例如：1⊙2=1×2×(1−2)=−2．
1
【问题推广】（1）先化简，再求值：(a+b)⊙(a−b)，其中a= ，b=−1；
2
【拓展提升】（2）若x2y⊙(x⊙y)=xp yq−xq yp，求p，q的值
【变式9-1】（23-24八年级·浙江宁波·期中）定义
|a b)=ad−bc，如 |1 3)=1×4−2×3=−2．已知
c d 2 4
A= |2x+1 1 ) ，B= |x+1 x−1) （n为常数）
nx−1 2x x−1 x+1
(1)若B=4，求x的值；
(2)若A中的n满足2×2n+1=22时，且A=B+2，求8x3−4x+3的值．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期末）定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，这个数i叫
做虚数单位，把形如a+bi (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚
部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：
(2−i)+(5+3i)=(2+5)+(−1+3)i=7+2i；
(1+i)×(2−i)=1×2+1×(−i)+2×i+i×(−i)=2+(−1+2)i−i2=2+i−(−1)=3+i
根据以上信息，完成下列问题:
(1)计算：i3， i4；
(2)计算：(1+i)×(3−4i)；
(3)计算：i+i2+i3+i4+i5+⋯+i2023
【变式9-3】（23-24八年级·内蒙古乌兰察布·期末）定义：L(A)是多项式A化简后的项数，例如多项式
A=x2+2x−3，则L(A)=3，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即C=A×B），如果
L(A)≤L(C)≤L(A)+1．则称B是A的“郡园多项式”如果L(A)=L(C)，则称B是A的“郡园志勤多项
式”．
(1)若A=x−2，B=x+3，则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由；
(2)若A=x−2，B=x2+ax+4是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，则a=_____；
(3)若A=x2−x+3m，B=x2+x+m是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值．
【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】
【例10】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中）现定义了一种新运算“⊗”，对于任意有理数a，b，c，d，规
定(a,b)⊗(c,d)=ad−bc，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：(1,3)⊗(2,4)=1×4−2×3=−2
．请解答下列问题：
(1)填空：(−2,3)⊗(4,5)=______；
(2)若 的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(2x2+1,nx−1)⊗(5,x−2)
(3)求(3x+1,x−2)⊗(x+2,x−3)的值，其中x2−4x+1=0；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD
内，其中AB=5，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为S ，右上
1
角长方形的面积为S ．当2S −3S =20，求(2a+b,−6b)⊗(b−3,3a−6b)的值．
2 1 2
【变式10-1】（23-24八年级·浙江温州·期中）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布
料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶
(1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积．
(2)当a2+4b2=592，ab=48时，求阴影部分面积．
【变式10-2】（23-24八年级·广东佛山·期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小
块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm．
(1)小长方形的较长边为 cm（用代数式表示）；
(2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为(2x−y+4) cm，是 的（填正确/错误）；阴影A和
阴影B的周长值之和与x （填有关/无关），与y （填有关/无关）；(3)设阴影A和阴影B的面积之和为Scm2，是否存在x使得S为定值，若存在请求出x的值和该定值，若不
存在请说明理由．
【变式10-3】（23-24八年级·上海青浦·期中）如图所示，有4张宽为a，长为b的小长方形纸片，不重叠
的放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． EF=2GH
(1)用含a、b的代数式表示：AD=______________；AB=______________．
(2)用含a、b的代数式表示区域①、区域②的面积；
(3)当=，时，求区域①、区域②的面积的差．
