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专题 15.3 分式的运算【十大题型】
【人教版】
【题型1 已知分式恒等式求分子（分母）】.........................................................................................................2
【题型2 分式的混合运算】......................................................................................................................................4
【题型3 分式的化简求值】......................................................................................................................................7
【题型4 比较分式的大小】....................................................................................................................................10
【题型5 分式运算的实际应用】............................................................................................................................13
【题型6 分式运算的规律探究】............................................................................................................................18
【题型7 分式运算的新定义问题】........................................................................................................................21
【题型8 分式运算的阅读材料题】........................................................................................................................26
【题型9 整数指数幂】............................................................................................................................................31
【题型10 利用科学记数法表示小于1的正数】....................................................................................................32
知识点1：分式的运算
分式的乘除法法则：
a c ac
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： × =
b d bd
a c a d ad
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： ÷ = × =
b d b c bc
a n an
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。（ ）=
b bn
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括
号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式.
分式的加减法则：
a b a±b
1）同分母分式：分母不变，分子相加减 ± =
c c c
a d ac bd ac±bd
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 ± = ± =
b c bc bc bc注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘
除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 已知分式恒等式求分子（分母）】
6x3+10x Ax+B Cx+D
【例1】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）已知 = + ，其中A，B，C，D
x4+x2+1 x2+x+1 x2−x+1
为常数，则A+B+C+D= ．
【答案】6
【分析】由于x4+x2+1=(x2+1) 2−x2=(x2+1+x)(x2+1−x)，利用这个等式首先把已知等式右边通分化
简，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到关于A、B、C、D的方程组，
解方程组即可求解．
6x3+10x Ax+B Cx+D
【详解】解：∵ = + ，且x4+x2+1=(x2+1) 2−x2=(x2+1+x)(x2+1−x)，
x4+x2+1 x2+x+1 x2−x+1
6x3+10x (Ax+B)(x2+1−x)+(Cx+D)(x2+1+x)
∴ =
x4+x2+1 x4+x2+1
∴6x3+10x=(Ax+B)(x2+1−x)+(Cx+D)(x2+1+x)
∴当x=0时，B+D=0①
当x=1时，A+B+3(C+D)=16②
当x=−1时，3(B−A)+D−C=−16③
∵6x3+10x=(Ax3+Bx2)+(Ax+B)(1−x)+(Cx3+Dx2)+(Cx+D)(1+x),
即6x3+10x=(A+C)x3+Bx2+(Ax+B)(1−x)+Dx2+(Cx+D)(1+x)
∴A+C=6④
联立①②③④解之得
A=C=3、B=−2、D=2，
∴A+B+C+D=6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了部分分式的计算，题目比较复杂，解题时首先正确理解题意，然后根据题意列出
关于A、B、C、D的方程组即可解决问题．1 1
【变式1-1】（23-24八年级·浙江台州·期末）已知a+ =b+ −2，且a−b+2≠0，则ab−a+b=
a+1 b−1
．
【答案】2
【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意
1 1 1 1
a+ =b+ −2，可得a+1+ =b−1+ ，因为a−b+2≠0，所以a+1≠b−1，推出
a+1 b−1 a+1 b−1
1
a+1= ，由此即可解决问题．
b−1
1 1
【详解】解析：∵a+ =b+ −2，
a+1 b−1
1 1
∴a+1+ =b−1+ ，
a+1 b−1
∵a−b+2≠0，
∴a+1≠b−1，
1
∴a+1= ，
b−1
∴ab−a+b−1=1，
∴ab−a+b=2，
故答案为：2．
(x+2)−(x+1) a b
【变式1-2】（23-24·山东烟台·八年级统考期末）若 = − ，其中a，b为常数，则
(x+1)(x+2) x+1 x+2
ab= ．
【答案】1
【分析】原等式整理变形后得：1=（a−b）x+2a−b，可得a−b=0，2a−b=1，求出a、b即可得
到答案．
1 (a−b)x+2a−b
=
【详解】解：已知等式整理得： ，
(x+1)(x+2) (x+1)(x+2)
∴1=（a−b）x+2a−b，
可得a−b=0，2a−b=1，
∴a=b=1，
∴ab=1，
故答案为：1．【点睛】本题考查了分式的变形求值，正确得到a−b=0，2a−b=1是解题的关键．
1 a b
【变式1-3】（23-24八年级·山东威海·阶段练习）若 = + ，对任意自然数n都
(2n−1)(2n+1) 2n−1 2n+1
成立，则ab= ．
1
【答案】− /−0.25
4
【分析】先通分，使得等式左右两边式子分母一致，从而得到2n(a+b)+a−b=1，进而得到关于a、b的
方程组，解方程得出a、b的值，即可得到答案．
a b
【详解】解： +
2n−1 2n+1
a(2n+1) b(2n−1)
= +
(2n−1)(2n+1) (2n−1)(2n+1)
2na+a+2nb−b
=
(2n−1)(2n+1)
2n(a+b)+a−b
= ，
(2n−1)(2n+1)
1 a b
∵ = + ，对任意自然数n都成立，
(2n−1)(2n+1) 2n−1 2n+1
{a+b=0)
∴2n(a+b)+a−b=1，即 ，
a−b=1
1
{ a= )
2
解得： ，
1
b=−
2
1 ( 1) 1
∴ab= × − =− ，
2 2 4
1
故答案为：− ．
4
【点睛】本题考查了分式的加法运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【题型2 分式的混合运算】
【例2】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，
( 4−x2 ) x+2
÷
即 3x2−2xy ，通过查看答案，答案为3x−2y，则被污染的代数式为（ ）2 x−2 2−x x+1
A． B． C． D．
x+1 x x 2x−1
【答案】C
【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，
提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键．
利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果．
( 4−x2 ) x+2
【详解】解：由题意知， ÷
3x2−2xy 3x−2y
(2−x)(2+x) 3x−2y
= ⋅
x(3x−2y) x+2
2−x
=
x
2−x
被污染的代数式为 ，
x
故选：C．
(x−3) 2 1
【变式2-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，若x为正整数，则表示 − 的值的点落
x2−6x+9 x+1
在（ ）
A．段① B．段②
C．段③ D．段④
【答案】B
1 1 1
1 ≥
【分析】先将分式化简、变形为 1，由x为正整数知 ≤1，据此可得 1 2，从而得出答案．
1+ x 1+
x x
(x−3) 2 1
【详解】解： −
x2−6x+9 x+1
(x−3) 2 1
= −
(x−3) 2 x+11
=1−
x+1
x
=
x+1
1
= 1
1+
x
∵x为正整数，
1 1
∴ ≤1，1− <1，
x x+1
1 1
≥
∴ 1 2，
1+
x
1 1
≤ <1
∴2 1
1+
x
(x−3) 2 1
∴表示 − 的值的点落在②．
x2−6x+9 x+1
故选：B．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【变式2-2】（2024·山东烟台·八年级统考期末）根据如图所示的程序，求输出D的化简结果．
【答案】x2−2xx+2 x−1 x−4
【分析】根据题意列式[( − )÷ ]⋅x2 ，再结合分式混合运算法则进行计算即可．本题
x x−2 x2−4x+4
考查分式的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
【详解】解：依题意：
x+2 x−1 x−4
[( − )÷ ]⋅x2
x x−2 x2−4x+4
(x+2)(x−2)−x(x−1) (x−2) 2
=[ ⋅ ]⋅x2
x(x−2) x−4
x2−4−x2+x (x−2) 2
=[ ⋅ ]⋅x2
x(x−2) x−4
x−4 (x−2) 2
=[ ⋅ ]⋅x2
x(x−2) x−4
x−2
= ⋅x2
x
=x(x−2)
=x2−2x．
∴输出D的化简结果为x2−2x
a−b b−c c−a
【变式2-3】（23-24八年级·河北保定·期末）式子 + + 的值不
(b−c)(c−a) (a−b)(c−a) (a−b)(b−c)
可能等于( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据分式的加减运算，对式子进行化简，然后根据分式有意义，即可得出答案.
a−b b−c c−a
+ +
【详解】解：
(b−c)(c-a) (a-b)(b−c) (a−b)(b−c)
(a-b) 2+(b−c) 2+(c−a) 2
= ，
(a−b)(b−c)(c−a)
分式的值不能为0，因为只有a=b=c时，分母才为0，此时分式没意义，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算以及分式有意义的定义，解题的关键是分式的加减运算要正确进
行通分，以及注意分式的分母不能为零.【题型3 分式的化简求值】
【例3】（23-24八年级·贵州遵义·期末）下面是小星同学进行分式化简的过程：
(2x−1 ) x
化简 −1 ÷
x−1 x2−1
解：原式
(2x−1 x−1) x
= − ÷ 第一
x−1 x−1 (x−1)(x+1)
步
2x−1−x−1 (x−1)(x+1)
= ×
x−1 x
第二步
(x−2)(x+1)
= 第三步
x
(1)小星同学的化简过程从第_____________步开始出现错误；
(2)请写出正确的化简过程，并从−1，0，1，2中选择合适的数带入求值．
【答案】(1)二
(2)x+1，当x=2时，原式=3
【分析】本题考查了分式的化简求值．
（1）根据分式的混合运算顺序和运算法则逐步进行判断即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再根据分式有有意义的条件，得出x的值，最后将x的
值代入进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：第二步计算减法时，没有变号，
∴小星同学的化简过程从第二步开始出现错误，
故答案为：二；
(2x−1 ) x
（2）解： −1 ÷
x−1 x2−1
(2x−1 x−1) x
= − ÷
x−1 x−1 (x−1)(x+1)
2x−1−x+1 (x−1)(x+1)
= ×
x−1 x
x (x−1)(x+1)
= ×
x−1 x
=x+1；
∵x+1≠0,x−1≠0,x≠0，
∴x≠0,−1,1，当x=2时，原式=2+1=3．
( 2 ) a−4
【变式3-1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知|a)=4时，代数式 1− ÷ 的值为（ ）
a−2 a2−4
A．6 B．－2 C．6或－2 D．0
【答案】B
【分析】本题考查分式化简求值．先化简分式，再把a=−4代入计算即可．
( 2 ) a−4
【详解】解： 1− ÷
a−2 a2−4
a−4 (a+2)(a−2)
= ⋅
a−2 a−4
=a+2
∵|a)=4
∴a=±4
∵a≠4
∴a=−4
当a=−4时，原式=−4+2=−2．
故选：B．
( 1 1 ) 2a
【变式3-2】（23-24八年级·山东菏泽·期中）已知W = + ÷
a−3 a+3 a2−6a+9
(1)化简W；
(2)若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
a−3
【答案】(1)W =
a+3
1 1
(2)当a=2时，W =− ；当a=4时，W = ．
5 3
【分析】本题考查了分式的混合运算，三角形三边的关系，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
（1）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简；
（2）根据三角形三边的关系求出a的取值范围，然后去一个使原分式有意义的整数代入计算．
( 1 1 ) 2a
【详解】（1）解：W = + ÷
a−3 a+3 a2−6a+9
a+3+a−3 a2−6a+9
= ×
(a−3)(a+3) 2a2a (a−3) 2
= ×
(a−3)(a+3) 2a
a−3
= ；
a+3
（2）解：∵a，2，3恰好是△ABC的三边长，
∴3−20，b>0，a>b,
∴ (a+b) 2−(a−b) 2=48，a+b=7，
∴ a2+2ab+b2−a2+2ab−b2=48，
∴ab=12，a2+b2
∴ (a4−b4)÷ ÷(6a−6b)
ab
ab 1
=(a2+b2)(a+b)(a−b)× ×
a2+b2 6(a−b)
ab(a+b)
=
6
12×7
=
6
=14．
【点睛】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
【题型4 比较分式的大小】
【例4】（23-24八年级·广西来宾·期末）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是
利用“作差法”，即要比较代数式M、N的大小，只要作出差M−N：若M−N>0，则M>N；若
M−N=0，则M=N；若M−N<0，则M、=或<）；
a−1
2 x2−2x+1 1
(2)已知A= ，B= ，当x<−1时，比较A与 的大小，并说明理由．
x2−1 x−1 B
【答案】(1)>
1
(2)A> ，见解析
B
【分析】本题考查不等式的性质及分式的运算，熟练掌握不等式的性质并能够灵活运用是本题的关键．
（1）并根据a<0作出判断即可；
1
（2）计算A− ，并根据x<−1作出判断即可；
B
【详解】（1）∵a<0，
∴a−1<−1，
a
∴ >0．
a−1
故答案为：>．
1
（2）A> ．理由如下：
B1
A−
B
2 x−1
= −
x2−1 x2−2x+1
2 x−1
= −
(x−1)(x+1) (x−1) 2
2 1
= −
(x+1)(x−1) x−1
2 x+1
= −
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
1−x
=
(x+1)(x−1)
1
=− ．
x+1
∵x<−1，
∴x+1<0，
1
∴− >0，
x+1
1
∴A> ．
B
4 1 1
【变式4-1】（23-24八年级·河北保定·期末）两个分式A＝ ，B＝ ﹣ ，（其中x≠±2，）则
x2−4 x+2 x−2
A和B的关系是（ ）
A．A＝B B．AB＝1 C．A＞B D．A+B＝0
【答案】D
【分析】先把B式进行化简，再判断出A和B的关系即可．
x−2−x−2
【详解】∵B＝
(x+2)(x−2)
−4
＝ ，
x2−4
∴A和B互为相反数，即A+B＝0．
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的加减法，先根据题意判断出A和B互为相反数是解答此题的关键．
a b 1 1
【变式4-2】（23-24八年级·广东梅州·期中）设m= − ，n= − ，则m，n的关系是
a+1 b+1 a+1 b+1（ ）
A．m=n B．m>n C．my时，我们可以将x表示为x= y+m（其中m>0为增量），
从而将x用y+m代换进一步变形不等式．结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法
——增量代换作差法证明不等式．
例如：已知a>2，b>2，求证：a+b0，n>0，
作差得：a+b−ab=(2+m)+(2+n)−(2+m)(2+n)=−m−n−mn
∵m>0，n>0
∴−m<0，−n<0，−mn<0
∴a+b−ab<0
所以：a+b1，b>−2求证：4a+b>−ab；
1 1 1
(2)已知a>b>c，试比较代数式 + 与 的大小．
a−b b−c a−c
【答案】(1)见解析
1 1 1
(2) + >
a−b b−c a−c
【分析】本题主要考查了不等式的性质，分式的加减计算：（1）令a=1+m，b=−2+n，其中m>0，n>0，则可得4a+b+ab=2m+2n+mn，据此可证明结论；
（2）先得到a−b>0，b−c>0，a−c>0，进而得到(a−b) 2+(b−c) 2+(a−c) 2>0，进一步推出
1 1 1 a−c a−c
(a−c) 2>(a−b)(b−c)>0，再由 + − = − >0即可得到结论．
a−b b−c a−c (a−b)(b−c) (a−c) 2
【详解】（1）证明：令a=1+m，b=−2+n，其中m>0，n>0，
∴4a+b+ab
=4+4m−2+n+(1+m)(−2+n)
=4m+n+2+(−2)−2m+n+mn
=2m+2n+mn，
∵m>0，n>0，
∴2m>0，2n>0，mn>0，
∴4a+b+ab>0，
∴4a+b>−ab；
（2）解：∵a>b>c，
∴a−b>0，b−c>0，a−c>0，
∴(a−b) 2+(b−c) 2+(a−c) 2>0，
∴a2+b2+c2>ac+ab+bc，
∴a2−2ac+c2>−b2+ab+bc−ac，
∴(a−c) 2>a(b−c)−b(b−c)
∴(a−c) 2>(a−b)(b−c)>0
1 1 1
∴ + −
a−b b−c a−c
b−c+a−b a−c
= −
(a−b)(b−c) (a−c) 2
a−c a−c
= − >0
(a−b)(b−c) (a−c) 2
1 1 1
∴ + − >0，
a−b b−c a−c
1 1 1
∴ + > ．
a−b b−c a−c【题型5 分式运算的实际应用】
【例5】（23-24八年级·天津和平·期末）有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植
草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在
正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式
种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（ ）
x+2a
A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 倍
x−2a
x−2a
B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 倍
x+2a
x+2a
C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 倍
x−2a
x−2a
D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 倍
x+2a
【答案】A
【分析】先求出每种方式草皮的面积，再5000元除以面积，即可得出答案；列出算式两种草皮单价之比为
5000 5000
： ，再求出即可．
(x−2a) 2 (x+2a)(x−2a)
5000
【详解】解：方式一种植草皮每平方米的单价是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝ （元）；
(x−2a) 2
5000 5000
方式二种草皮每平方米的单价是5000÷（x2﹣4a2）＝ ＝ （元），
x2−4a2 (x+2a)(x−2a)
∵x+2a＞x﹣2a，
5000 5000
∴ ＞ ，
(x−2a) 2 (x+2a)(x−2a)
∴用方式一比用方式二种植草皮的单价高，
5000 5000
两种草皮单价之比为 ：
(x−2a) 2 (x+2a)(x−2a)5000 (x+2a)(x−2a)
＝ •
(x−2a) 2 5000
x+2a
＝ ，
x−2a
故选：A．
【点睛】本题考查了列代数式与分式的混合运算的应用，解此题的关键是能关键题意列出算式，熟练进行
计算．
【变式5-1】（23-24八年级·河北保定·期末）有甲，乙两块边长为a米(a>7)的正方形试验田．负责试验田
的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻
边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验
田上种植了某种小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，对于这两块试
验田的单位面积产量，下列说法正确的是（）
A．甲试验田的单位面积产量高 B．乙试验田的单位面积产量高
C．两块试验田的单位面积产量一样 D．无法判断哪块试验田的单位面积产量高
【答案】D
【分析】根据单位面积产量=产量÷面积，分别表示出甲、乙的单位面积产量，再比较即可．
180 180
=
【详解】解∶甲的单位面积产量为∶ (干克/平方米)，
(a+1)(a−1) a2−1
130
乙的单位面积产量为∶ (千克/平方米)，
(a−1) 2
180 130 180(a−1)−130(a+1) 50a−310
∴ − = =
a2−1 (a−1) 2 (a−1) 2 (a+1) (a−1) 2 (a+1)
则无法判断哪块试验田的单位面积产量高．
故选：D．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是分别表示出甲、乙的单位面积产量．
【变式5-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地
板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是小刚和小明的对话，请根
据对话内容回答问题．
(1)请你通过计算，验证小明的说法；
(2)假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，如果窗户面积和地板面积同时增加
1平方米，住宅的采光条件变好了吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)条件会更好，见解析
【分析】（1）根据题意计算出增加1平方米前面窗户面积与地板面积的比值进行比较即可；
（2）根据题意表示出增加1平方米前面窗户面积与地板面积的比值，利用作差法比较大小即可．
窗户面积 3
【详解】（1）解：∵住宅窗户面积为3平方米，地板面积为15平方米，∴ = =0.2
地板面积 15
窗户面积 4
∵窗户面积和地板面积同时增加1平方米，∴ = =0.25
地板面积 16
∵0.25>0.2，∴所以窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅采光条件会更好．
窗户面积 x
（2）∵窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，∴ =
地板面积 y
窗户面积 x+1
∵窗户面积和地板面积同时增加1平方米，∴ =
地板面积 y+1
x+1 x y(x+1) x(y+1) y(x+1)−x(y+1) xy+ y−xy−x y−x
∴ − = − = = = ，
y+1 y y(y+1) y(y+1) y(y+1) y(y+1) y(y+1)
∵y>x>0，∴y−x>0，y(y+1)>0，
y−x x+1 x
∴ >0，∴ > ，
y(y+1) y+1 y∴窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会更好．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键．
【变式5-3】（23-24八年级·江苏扬州·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水
做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，则糖水的浓度
b
（即糖的质量与糖水的质量比）为 ．
a
(1)糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，
由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为
____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．
c a b
(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设a、b、c为△ABC三边的长，求证： + + <2．
a+b b+c a+c
b b b
【答案】(1) , <
a+m a+m a
b+m b+m b
(2) , >
a+m a+m a
(3)见解析
【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可；
（2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可；
（3）利用（2）的结论来证明即可．
【详解】（1）解： 由题意得，加入m克水，糖水为(a+m)克，
b
∴糖水的浓度为 ；
a+m
∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小，
b b
∴ < ；
a+m a
b b b
故答案为： ； < ．
a+m a+m a
（2）解：由题意得，加入m克糖，糖水为(a+m)克，糖为(b+m)克，
b+m
∴糖水的浓度为 ；
a+m
b b+m
假设新的“糖水不等式”为 < ，下面用数学知识证明：
a a+mb b+m b(a+m)−a(b+m) m(b−a)
− = = ，其中(a>b>0,m>0)，
a a+m a(a+m) a(a+m)
∴b−a<0,a+m>0，
m(b−a) b b+m
∴ <0，即 < ，
a(a+m) a a+m
b+m b+m b
故答案为： ； > ．
a+m a+m a
c+c c a+a a b+b b
（3）证明：由（2）可知 > , > , >
a+b+c a+b a+b+c b+c a+b+c a+c
c+c a+a b+b c a b
∴ + + > + +
a+b+c a+b+c a+b+c a+b b+c a+c
2c+2a+2b c a b
∴ > + +
a+b+c a+b b+c a+c
2c+2a+2b
∵ =2
a+b+c
c a b
∴ + + <2．
a+b b+c a+c
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键．
【题型6 分式运算的规律探究】
【例6】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）观察下列各式：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= = − ， = = − ， = = − ， = = −
6 2×3 2 3 12 3×4 3 4 20 4×5 4 5 30 5×6 5 6
1
(1)由此推测 = ________
42
(2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数）
1 2 1
(3)请直接用（2）的规律计算 − + 的值．
(x−2)(x−3) (x−1)(x−3) (x−1)(x−2)
1 1
【答案】(1) −
6 7
1 1 1
(2) = −
m(m+1) m m+1
(3)0
【分析】本题考查数字的变化类以及分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，
求出所求式子的值．
（1）根据题目中的例子的计算方法可以解答本题；（2）根据（1）中的例子可以写出含m的等式；
（3）根据（2）中的规律进行分式的混合运算即可．
1 1 1 1 1
【详解】（1）解： = × = − ；
42 6 7 6 7
（2）解：由（1）可得
1 1 1
= − ；
m(m+1) m m+1
1 2 1
（3）解： − +
(x−2)(x−3) (x−1)(x−3) (x−1)(x−2)
1 1 ( 1 1 ) 1 1
= − − − + −
x−3 x−2 x−3 x−1 x−2 x−1
1 1 1 1 1 1
= − − + + −
x−3 x−2 x−3 x−1 x−2 x−1
=0．
1 1
【变式6-1】（23-24八年级·福建泉州·期末）观察下列等式：a =n，a =1− ，a =1− ，…；根据其
1 2 a 3 a
1 2
蕴含的规律可得（ ）
n−1 1 1
A．a =n B．a = C．a = D．a =
2013 2013 n 2013 n−1 2013 1−n
【答案】D
【分析】归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．
【详解】由a =n，得到：
1
1 1 n−1
a =1− =1− =
2 a n n
1
1 n 1 1
a =1− =1− =− =
3 a n−1 n−1 1−n
2
1
a =1− =1−(1−n)=n
4 a
3
n−1 1
以n, , 为循环节3次一循环，
n 1−n
∵2013÷3=671，
1
∴a =
2013 1−n
故选D．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式6-2】（23-24八年级·山东枣庄·期末）观察以下等式：
1 1
第1个等式：2× =1− ；
3 3
3 1 1 1
第2个等式： × = − ；
2 5 2 5
4 1 1 1
第3个等式： × = − ；
3 7 3 7
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
5 1 1 1
【答案】(1) × = −
4 9 4 9
n+1 1 1 1
(2) ⋅ = − ，见解析
n 2n+1 n 2n+1
【分析】本题考查找规律，分式的运算．
（1）根据题目中的等式，可以写出第4个等式；
（2）先写出猜想，然后将等号两边的式子化简，即可证明猜想成立．
1 1
【详解】（1）解：第1个等式：2× =1− ，
3 3
3 1 1 1
第2个等式： × = − ，
2 5 2 5
4 1 1 1
第3个等式： × = − ，
3 7 3 7
5 1 1 1
∴第4个等式为： × = − ；
4 9 4 9
5 1 1 1
故答案为： × = − ；
4 9 4 9
n+1 1 1 1
（2）解：第n个等式为： ⋅ = − ，
n 2n+1 n 2n+1
n+1
=
证明：∵左边 ，
n(2n+1)
1 1 2n+1 n n+1
右边 = − = − = = 左边，
n 2n+1 n(2n+1) n(2n+1) n(2n+1)n+1 1 1 1
∴ ⋅ = − ．
n 2n+1 n 2n+1
【变式6-3】（23-24八年级·安徽亳州·期末）观察以下等式：
12 4
第1个等式： −1+2= ；
1+2 1+2
22 4
第2个等式： −2+2= ；
2+2 2+2
32 4
第3个等式： −3+2= ；
3+2 3+2
42 4
第4个等式： −4+2= ；
4+2 4+2
⋯⋯
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
52 4
【答案】(1) −5+2=
5+2 5+2
n2 4
(2) −n+2= ，见解析
n+2 n+2
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
12 4
【详解】（1）解：第1个等式： −1+2= ；
1+2 1+2
22 4
第2个等式： −2+2= ；
2+2 2+2
32 4
第3个等式： −3+2= ；
3+2 3+2
42 4
第4个等式： −4+2= ；
4+2 4+2
⋯⋯ 52 4
第6个等式： −5+2= ；
5+2 5+2
52 4
故答案为： −5+2= ；
5+2 5+2
n2 4
（2）猜想：第n个等式： −n+2= ，
n+2 n+2n2
证明：∵ −n+2
n+2
n2 n2−4
= −
n+2 n+2
n2 n2−4
= −
n+2 n+2
4
= ，
n+2
n2 4
∴ −n+2= 成立．
n+2 n+2
n2 4
故答案为： −n+2= ．
n+2 n+2
【点睛】本题考查数字的变化类、列代数式，分式的混合运算，平方差公式，解答本题的关键是明确题意，
发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
【题型7 分式运算的新定义问题】
【例7】（23-24八年级·江苏无锡·期中）定义：若两个分式A与B满足：|A−B)=3，则称A与B这两个
4a2 a
分式互为“美妙分式”．若分式 与 互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式
a2−b2 a+b
2a2−b2
= ．
ab
17 1
【答案】− 或−
3 3
【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义
的理解是解题关键．
4a2 a | 4a2 a )
根据分式 与 互为“美妙分式”，得到 − =3，求出①a=−3b，②ab=3b2−6a2，
a2−b2 a+b a2−b2 a+b
2a2−b2
分别把①②代入分式 中求出结果即可．
ab
4a2 a
【详解】∵ 与 互为“美妙分式”，
a2−b2 a+b| 4a2 a )
∴ − =3，
a2−b2 a+b
| 4a2 a ) | 4a2 a(a−b) ) | 3a2+ab )
∵ − = − = =3，
a2−b2 a+b (a+b)(a−b) (a+b)(a−b) (a+b)(a−b)
3a2+ab 3a2+ab
∴ =3或 =−3，
(a+b)(a−b) (a+b)(a−b)
∴3a2+ab=3(a2−b2)或3a2+ab=−3(a2−b2)，
∵a、b均为不等于0的实数，
∴①a=−3b，②ab=3b2−6a2，
2a2−b2 2(−3b2)−b2 17b2 17
把①代入 = = =− ，
ab −3b2 −3b2 3
2a2−b2 2a2−b2 2a2−b2 1
把②代入
= = =−
，
ab 3b2−6a2 −3(2a2−b2) 3
2a2−b2 17 1
综上：分式 的值为− 或− ．
ab 3 3
17 1
故答案为：− 或− ．
3 3
【变式7-1】（23-24八年级·江苏南通·期末）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式
组”．
(1)下列3组分式：
3a a 3a a+2 a 5a+2
① 与 ；② 与 ；③ 与 ．其中属于“友好分式组”的有____________（只填
a+1 a+1 a−1 a−1 2a+1 2a+1
序号）；
3a2 a−2b2
(2)若正实数a,b互为倒数，求证 与 属于“友好分式组”；
a2+b a+b2
3a2 a a2−2b2
(3)若a,b均为非零实数，且分式 与 属于“友好分式组”，求分式 的值．
a2−4b2 a+2b ab
【答案】(1)②③
(2)见解析7 1
(3)− 或−
2 2
【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解
题关键．
（1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断；
1 3a2 a−2b2
（2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把b= 代入 − 计算出结果即可；
a a2+b a+b2
3a2 a 2a2+2ab
（3）根据分式 与 属于“友好分式组”，得| |=2,求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，
a2−4b2 a+2b a2−4b2
a−2b2
分别把①②代入分式 求出结果即可．
ab
3a a 2a
【详解】（1）解：① − = ≠2,
a+1 a+1 a+1
3a a+2 3a−a−2 2(a−1)
② − = = =2,；
a−1 a−1 a−1 a−1
a 5a+2 a−5a−2 −2(2a+1)
③ − = = =−2,
2a+1 2a+1 2a+1 2a+1
5a+2 a
则 − =2,
2a+1 2a+1
∴属于“友好分式组”的有②③．
故答案为：②③
（2）∵a，b互为倒数，
1
∴ab=1，b= ，
a
3a2 a−2b2
∴ −
a2+b a+b2
2
a−
3a2 a2
= −
1 1
a2+ a+
a a2
3a3 a3−2
= −
a3+1 a3+13a3−a3+2
=
a3+1
2(a3+1)
= =2
a3+1
3a2 a−2b2
∴ 与 属于“友好分式组”
a2+b a+b2
3a2 a
（3）∵| − |
a2−4b2 a+2b
3a2 a(a−2b)
=| − |
(a+2b)(a−2b) (a+2b)(a−2b)
3a2−a2+2ab
=| |
(a+2b)(a−2b)
2a2+2ab
=| |,
a2−4b2
3a2 a
∵a，b均为非零实数，且分式 与 属于“友好分式组”，
a2−4b2 a+2b
2a2+2ab
∴| |=2,
a2−4b2
∴2a2+2ab=2(a2−4b2 )或2a2+2ab=−2(a2−4b2 ),
①a=−4b,②ab=4b2−2a2,
a2−2b2 16b2−2b2 7
把①代入 = =− ,
ab −4b2 2
a2−2b2 a2−2b2 a2−2b2 1
把②代入 = = =− ,
ab 4b2−2a2 −2(a2−2b2) 2
a2−2b2 7 1
∴ 的值为− 或− .
ab 2 2
【变式7-2】（23-24八年级·浙江湖州·期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是x 1 x 1
B的“n 分式”．例如： − =1，则称分式 是分式 的“1 分式”．根据以上定义，
x−1 x−1 x−1 x−1
下列选项中说法错误的是（ ）
4x+3 x−3
A． 是 的“3 分式”
x+2 x+2
12+x ax+6
B．若a的值为−3，则 是 的“2 分式”
3+2x 3+2x
2ab a
C．若 是 的“1 分式”，则a2=3b2
a2−4b2 a−2b
5a −5b
D．若a与b互为倒数，则 是 的“5 分式”
a+b2 a2+b
【答案】C
【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可．
4x+3 x−3 3x+6
【详解】A、 − = =3，A说法正确；
x+2 x+2 x+2
12+x ax+6 12+x −3x+6 4x+6
B、 − = − = =2，B说法正确；
3+2x 3+2x 3+2x 3+2x 3+2x
2ab a
C、由已知条件得： − =1，化简得：a2=2b2，C说法错误；
a2−4b2 a−2b
5a −5b 5ab −5ab 5 5 5 5
5(a3+1)
− = − = + = + = =5
D、由已知得：ab=1，a+b2 a2+b ab+b3 a3+ab 1+b3 a3+1 (1) 3 a3+1 a3+1 ，
1+
a
D说法正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确运用新定义的运算规则．
【变式7-3】（23-24八年级·浙江杭州·期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一
个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原
1 1
代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如m+n，mn， + 等．
m n
1 1
(1)代数式①m−n，②m2+n2，③mn− − ，④(m−n) 2中，是对称式的有____．
m n
n−1 m+k
(2)若关于m，n的代数式 + （k是常数，m≠n）是对称式，求常数k的值．
m nn−1 m+k ( 1 1)
(3)在（2）的条件下，若 + = + (m+n)，当mn=−1时，求(m−n) 2的值．
m n m n
【答案】(1)②③④
(2)k=−1
(3)8
【分析】本题考查新定义，代数式的运算，以及利用完全平方公式的变形求值：
（1）根据新定义，逐一进行判断即可；
（2）根据新定义，进行求解即可；
（3）将k值代入求出m+n的值，再利用完全平方公式变形求值即可．
【详解】（1）解：对于①，将m,n互换后，得到n−m≠m−n，不符合题意；
对于②，将m,n互换后，得到n2+m2=m2+n2，符合题意；
1 1 1 1
对于③，将m,n互换后，得到nm− − =mn− − ，符合题意；
n m m n
对于④，将m,n互换后，得到(n−m) 2=(m−n) 2，符合题意；
故答案为：②③④
n−1 m+k
（2）∵ + 是对称式，
m n
n−1 m+k m−1 n+k
∴ + = + ，
m n n m
n2−n+m2+km m2−m+n2+kn
∴ = ，
mn mn
∴km−n=kn−m，
∴k(m−n)=n−m，
∵m≠n，
∴k=−1；
n−1 m−1 ( 1 1)
（3）由题意，得： + = + (m+n)
m n m n
n2−n+m2−m (m+n)
∴ = (m+n)，
mn mn
∴n2−n+m2−m=(m+n) 2，
∴n2−n+m2−m=m2+2mn+n2，
∴m+n=−2mn=2，∴(m−n) 2=(m+n) 2−4mn=4−4×(−1)=8．
【题型8 分式运算的阅读材料题】
【例8】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）阅读材料，并解决问题：
我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”．
x−1 x2 3 2x 7
如 ， 这样的分式就是假分式；再如 ， 这样的分式就是真分式，假分数 可以化成
x+1 x+1 x+1 x2+1 4
3 3
1+ （即1 ）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：
4 4
x+1 x−1+2 x−1 2 2
= = + =1+ ，再如：
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
3x2+4x−1 3x(x+1)+x−1 3x(x+1)+x+1−2 3x(x+1) x+1 2 2
= = = + − =3x+1− ，这样，
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1
2
分式就被拆分成了带分式（即一个整式3x+1与一个分式 的差）的形式．
x+1
解决问题：
x+2
(1)判断： 是真分式还是假分式： （填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：
x+1
；
5x4+9x2+6
(2)思考：当x取什么整数时，分式 的值为整数？
x2+2
3a2−12a+17
(3)探索：当a为何值时，分式 有最大值？最大值是多少？
a2−4a+5
1
【答案】(1)假分式；1+
x+1
(2)当x=0时，原式为整数
(3)a=2，5
【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母
化简．（1）根据题意判断，即可求解；
（2）分式若为整数，则真分式的值要为整数，即可求解；
3a2−12a+17 2
（3）分式 拆分成带分式即3+ 的形式．利用完全平方公式将分母变形，求出分
a2−4a+5 a2−4a+5
母的最小值即可得原分式的最大值．
【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，
故答案为：假分式；
5x4+10x2−x2−2+2+6 5x2(x2+2)−(x2+2)+8 8
（2）解：原式= = =5x2−1+ ，
x2+2 x2+2 x2+2
当x=0时，原式为整数；
3a2−12a+17 3(a2−4a+15)+2 2 2
（3）解：∵ = =3+ =3+ ，
a2−4a+5 a2−4a+5 a2−4a+5 (a−2) 2+1
(a−2) 2≥0，
2
∴(a−2) 2=0时，(a−2) 2+1有最小值， 值最大，
(a−2) 2+1
3a2−12a+17 2
∴a−2=0，即a=2时， =3+ =3+2=5，
a2−4a+5 (a−2) 2+1
3a2−12a+17
当a为2，分式 有最大值，最大值是5.
a2−4a+5
【变式8-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的
次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，
通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．
x2−3x−1
例：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
x+2
解：设x+2=t，则x=t−2．
(t−2) 2−3(t−2)−1 t2−7t+9 9
原式= = =t−7+
t t t
x2−3x−1 9
∴ =x−5+ ．
x+2 x+2x2−3x−1 9
这样，分式 就拆分成一个整式(x−5)与一个分式 的和的形式．
x+2 x+2
【应用】
2x+4
(1)使用分离整式法将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
x+1
x2−2x+4
(2)将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
x−1
【拓展】
x2−x+7
(3)已知分式 的值为整数，求正整数x的值．
x−3
2
【答案】(1)2+
x+1
3
(2)x−1+
x−1
(3)4或2或16
2x+4
【分析】（1）根据题意将 化简为一个整式与一个分式和的形式即可；
x+1
（2）设x−1=t，则x=t+1，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式；
（3）设x−3=t，则x=t+3，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进
行分析即可求解．
2x+4 2(x+1)+2 2
【详解】（1）解： = =2+ ，
x+1 x+1 x+1
2
故答案为：2+ ；
x+1
（2）设x−1=t，则x=t+1，
x2−2x+4 (t+1) 2−2(t+1)+4
∴ =
x−1 t
t2+2t+1−2t−2+4
=
t
t2+3
=
t
3
=t+
t
x2−2x+4 3
∴ =x−1+ ，
x−1 x−13
故答案为：x−1+ ；
x−1
（3）设x−3=t，则x=t+3，
x2−x+7 (3+t) 2−(3+t)+7 9+6t+t2−3−t+7 5t+t2+13 13
= = = =5+t+
x−3 t t t t
x2−x+7 13 13
∴ =5+(x−3)+ =x+2+
x−3 x−3 x−3
x2−x+4
∵分式 的值为整数，且x是正整数，∴x−3=±1，x−3=±13，
x−1
由x−3=±1，得x=4或x=2
由x−3=±13，得x=16或x=−10（舍）
∴正整数x的值为4或2或16．
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是正确理解题目给出的方法，熟练掌握运算法则．
【变式8-2】（23-24八年级·河南南阳·期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个
分式表示成“部分分式”．
1−3x 1−3x M N
= +
例：将分式 表示成部分分式．解：设 ，将等式右边通分，得
x2−1 x2−1 x+1 x−1
M(x−1)+N(x+1)
=
(M+N)x+(N−M)
，依据题意，得
{M+N=−3)
，解得
{M=−2)
，所以
(x+1)(x−1) x2−1 N−M=1 N=−1
1−3x −2 −1
= +
请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题：
x2−1 x+1 x−1
2n+1
(1)将分式 表示成部分分式；
n2+n
3 5 7 9 39 41
(2)按照（1）的规律，求 − + − +⋯+ − 的值．
1×2 2×3 3×4 4×5 19×20 20×21
2n+1 1 1
【答案】(1) = + ，见解析．
n2+n n n+1
20
(2) ．
21
【分析】（1）模仿阅读材料可得答案；
（2）根据（1）的规律变形，再计算即可．
2n+1 M N
【详解】（1）解：设 = + ，
n2+n n n+1
2n+1 M(n+1)+Nn (M+N)n+M
∴ = = ，
n2+n n(n+1) n2+n{M+N=2)
∴ ，
M=1
2n+1 1 1
= +
∴ ．
n2+n n n+1
3 5 7 9 39 41
（2） − + − +⋯+ −
1×2 2×3 3×4 4×5 19×20 20×21
(1 1) (1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) ( 1 1 )
= + − + + + − + +⋯+ + − +
1 2 2 3 3 4 4 5 19 20 20 21
1 1
= −
1 21
20
= ；
21
【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式．
【变式8-3】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）阅读下列解题过程：
x 1 x2
=
已知 ，求 的值．
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = ，知x≠0，所以 =3，即x+ =3，
x2+1 3 x x
∴ x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=32−2=7，
x2 x2 x
x2 1
∴ 的值为7的倒数，即 ．
x4+1 7
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
x 1 x2
(1)已知 = ，求 的值；
x2+1 2 x4+1
x 1 x2
(2)已知 = ，求 的值．
x2−x+1 7 x4−x2+1
xy yz 4 zx 4 xyz
(3)已知 =−2, = , = ，求 的值．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx
1
【答案】(1)
21
(2)
61
(3)2
【分析】本题考查分式的运算，理解“倒数求值法”，再根据分式的运算进行求解是解题的关键．
1 x4+1
（1）先求x+ =2，再求 =2，即可求解．
x x2
（2）先求x+ 1 =8，再求 x4−x2+1 =x2+ 1 −1= ( x+ 1) 2 −3=61，即可求解．
x x2 x2 x
1 1 1 1
（3）由（1）、（2）的方法可得 + + = ，将所求式子化简，代入求值即可．
x y z 2
x 1 x2+1 1
【详解】（1）解：由 = ，知x≠0，所以 =2，即x+ =2．
x2+1 2 x x
∴ x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=22−2=2．
x2 x2 x
x2 1
∴ 的值为2的倒数，即 ．
x4+1 2
x 1 x2−x+1 1
（2）由 = ，得到 =x+ −1=7，
x2−x+1 7 x x
1
即x+ =8，
x
∴ x4−x2+1 =x2+ 1 −1= ( x+ 1) 2 −3=61，
x2 x2 x
x2 1
则 = ；
x4−x2+1 61
x+ y 1 1 1 y+z 1 1 3 z+x 1 1 3
（3）根据题意得： = + =− ， = + = ， = + = ，
xy x y 2 yz y z 4 zx x z 4
(1 1 1)
∴2 + + =1，
x y z
1 1 1 1
∴ + + =
x y z 2xy+ yz+xz 1 1 1 1
∴ = + + =
xyz x y z 2
xyz
∴ =2．
xy+ yz+zx
【题型9 整数指数幂】
【例9】（23-24八年级·四川绵阳·期末）若x+x−1=3，则(x2−x−2) 2 = ．
【答案】45
【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵x+x−1=3，
∴x2+x−2+2=9，
∴x2+x−2=7，
∴x4+x−4=(x2+x−2) 2 −2=47，
∴(x2−x−2) 2 =x4+x−4−2=47−2=45，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了完全平方公式，负整数指数幂，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
( 1) −2 ( 1 ) 0
【变式9-1】（23-24八年级·山东东营·期末）已知a=−23，b= − ，c= ，则a、b、c的大小
2 2024
关系为（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
【答案】C
【分析】先计算幂的乘方、负整数指数幂、零指数幂，再进行有理数的大小比较即可．
( 1) −2 ( 1 ) 0
【详解】解：a=−23=−8，b= − =4，c= =1，
2 2024
∴a , 即2−30>10−10,
810 1010
∵10003<10243,
1 1
∴ > ,
10003 10243
∴10−9>2−30,
∴10−10<2−30<10−9,
∵230=10243, 是一个10位整数，最高位的数字为1，
109是一个10位整数，最高位的数字为1，1010是一个11位整数，最高位的数字为1，
所以10243更接近109,
所以2−30最接近10−9,
故选B
【点睛】本题考查的是负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算，掌握“整数指数幂的运算法则与负整数
指数幂的含义”是解本题的关键.【题型10 利用科学记数法表示小于1的正数】
【例10】（23-24八年级·山东菏泽·期末）用科学记数法表示0.000032＝ ，把2.36×10−5用小数表
示为 ．
【答案】 3.2×10−5 0.0000236
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此可得．
【详解】用科学记数法表示0.000032=3.2×10-5，用小数表示2.36×10-5=0.0000236，
故答案为：3.2×10-5，0.0000236．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【变式10-1】（2024八年级·天津南开·专题练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm
用科学记数法表示为6.7×10n mm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．-5 B．-6 C．-7 D．-8
【答案】C
【详解】解：∵0.000 000 67mm=6.7×10-7
∴n=-7
故选：C
【变式10-2】（2024·山东聊城·中考真题）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千
米，地球的体积是太阳体积的倍数约是( )
A．7.1×10-6 B．7.1×10-7
C．1.4×106 D．1.4×107
【答案】B
【分析】直接利用整式的除法运算法则结合科学记数法求出答案．
【详解】解：∵地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千米，
∴地球的体积约是太阳体积的倍数是：1012÷1.4×1018≈7.1×10﹣7．
故选：B
【点睛】本题考查整式的除法．
【变式10-3】（23-24八年级·江苏镇江·期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进
4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto−10−27，此前，国际
单位制最小单位词头为“幺”（yocto）．
1幺−10−24．一个光子的质量约为1.1×10−23幺克．换算后约为 ronto克．【答案】1.1×10−20
【分析】运用科学记数法的运算法则解答即可．
1.1×10−23
=1.1×10−20
【详解】一个光子的质量约为1.1×10−23幺克．换算后约为 10−27 ronto克
10−24
故答案为1.1×10−20．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示的数的除法运算，解题的关键是掌握用科学计数法表示数的运算方
法．
