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专题 14.2 整式的乘除法【十大题型】
【人教版】
【题型1 由整式乘除法求代数式的值】..................................................................................................................3
【题型2 由整式乘除法求字母的值】......................................................................................................................4
【题型3 利用整式乘除法解决不含某项问题】.....................................................................................................7
【题型4 利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】...........................................................................10
【题型5 利用整式乘除法解决污染问题】...........................................................................................................13
【题型6 利用整式乘除法解决误看问题】...........................................................................................................15
【题型7 整式乘除法的应用】................................................................................................................................17
【题型8 整式乘除法中的规律问题】....................................................................................................................20
【题型9 整式乘除法中的新定义问题】................................................................................................................24
【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】...........................................................................................................29
知识点：整式的乘法、除法
1．单项式与单项式相乘
法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的
字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．
（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．
（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．
【注意】
（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．
2．单项式与多项式相乘
法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．
【注意】
（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．
（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．
（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．
3．多项式与多项式相乘
（1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所
得的积相加．
（2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的
每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即
（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．
【注意】
（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．
（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．
4．单项式除以单项式
单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除
式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．
【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，
连同它的指数作为商的一个因式．
【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．
5．多项式除以单项式
多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得
的商相加．
【注意】
（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前
面的符号．
（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．
（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．
【题型1 由整式乘除法求代数式的值】
【例1】（23-24九年级上·安徽铜陵·期中）已知a2+a−1=0，则代数式(a+2)(a−2)+a(a+2)值为
．
【答案】−2【分析】由已知得a2+a=1，然后对所求式子展开后进行变形，再整体代入计算即可．
【详解】解：∵a2+a−1=0，
∴a2+a=1，
∴(a+2)(a−2)+a(a+2)=a2−4+a2+2a=2(a2+a)−4=2×1−4=−2，
故答案为：−2．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【变式1-1】（23-24八年级·福建泉州·期中）若a−b=3，ab=−4，则(a−2)(b+2)值为 .
【答案】−2
【分析】本题主要考查代数式的值及多项式乘以多项式，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题先把
所求整式进行展开，然后再代值求解即可．
【详解】解：∵a−b=3，ab=−4，
∴(a−2)(b+2)
=ab+2(a−b)−4
=−4+6−4
=−2；
故答案为：−2．
【变式1-2】（23-24八年级·山东聊城·期中）如果(5−a)(6+a)=12，那么−2a2−2a+8的值为
．
【答案】−28
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出
−a2−a=−18，再根据−2a2−2a+8=2(−a2−a)+8进行求解即可．
【详解】解：∵(5−a)(6+a)=12，
∴30−6a+5a−a2=12，
∴−a2−a=−18，
∴−2a2−2a+8=2(−a2−a)+8=−18×2+8=−28，
故答案为：−28．
【变式1-3】（23-24八年级·福建·期中）已知x2−3x−1=0，则代数式x3−10x+2019值为
．
【答案】2022【分析】由x2−3x−1=0，变形x2=3x+1，利用此等式进行降次，化简整体代入计算即可．
【详解】由x2−3x−1=0，变形x2=3x+1，x2-3x=1，
x3−10x+2019，
=x(3x+1)-10x+2019，
=3x2-9x+2019，
=3(x2-3x)+2019，
=3+2019，
=2022．
故答案为：2022．
【点睛】本题考查代数式的值，关键是把条件等式变形会降次，会整体代入求值．
【题型2 由整式乘除法求字母的值】
【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期中）已知(x+a)(x+b)=x2+mx+12，m、a、b都是整数，那么m的可能值
的个数为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，求得a+b=m，ab=12，再进行分类讨论，从而解决此题．
【详解】解：(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab．
∵(x+a)(x+b)=x2+mx+12，
∴a+b=m，ab=12．
∵m、a、b都是整数，
∴当a=1时，则b=12，此时m=a+b=1+12=13；
当a=-1时，则b=-12，此时m=a+b=-1-12=-13；
当a=2时，则b=6，此时m=a+b=2+6=8；
当a=-2时，则b=-6，此时m=a+b=-2-6=-8；
当a=3时，则b=4，此时m=a+b=3+4=7；
当a=-3时，则b=-4，此时m=a+b=-3-4=-7；
当a=12时，则b=1，此时m=a+b=12+1=13；
当a=-12时，则b=-1，此时m=a+b=-12-1=-13；
当a=6时，则b=2，此时m=a+b=6+2=8；
当a=-6时，则b=-2，此时m=a+b=-6-2=-8；
当a=4时，则b=3，此时m=a+b=4+3=7；当a=-4时，则b=-3，此时m=a+b=-4-3=-7．
综上：m=±13或±8或±7，共6个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、分类讨论的思想是解决本
题的关键．
【变式2-1】（23-24八年级·江苏扬州·期中）若(x+1)(x−3)=x2+mx−3，则m值是 ．
【答案】−2
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确计算出x2−2x−3=x2+mx−3是解题的关键．
根据多项式乘以多项式的计算法则把等式左边去括号得到m的值即可得到答案．
【详解】解：∵(x+1)(x−3)=x2+mx−3，
∴x2+x−3x−3=x2+mx−3，
∴x2−2x−3=x2+mx−3，
∴m=−2．
故答案为：−2．
【变式2-2】（23-24八年级·浙江杭州·期中）不论x为何值，
(x+2)(x+a)=x2+ax+2x+2a=x2+(a+2)x+2a,(x+2)(x+a)=x2+kx+6，则k= ．
【答案】5
【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，求出a的值以及a与k的关系，然后可得答案．
本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】∵(x+2)(x+a)=x2+ax+2x+2a=x2+(a+2)x+2a，
又∵(x+2)(x+a)=x2+kx+6，
∴x2+(a+2)x+2a=x2+kx+6，
∴a+2=k，2a=6，
∴a=3，
∴k=3+2=5．
故答案为：5．
【变式2-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）关于x的整式A=2x+1，它的各项系数之和为∶2+1=3(常
数项系数为常数项本身)．已知B是关于x的整式，最高次项次数为2，系数为1．若B⋅(x+3)=C,C是一个只含两项的多项式，则B各项系数之和的最大值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查整式的定义，多项式乘多项式，解二元一次方程．根据题意对整式B的表述，可设
B=x2+ax+b(a、b为待求的常数），计算B⋅(x+3)，整理后得到关于x的三次四项式．由于条件说乘积
是只有两项，故有两项的系数为0，需分3种情况讨论计算，列得关于a、b的方程组，据此求解即可．
【详解】解：∵B是关于x的整式，最高次项次数为2，二次项系数为1，
∴设B=x2+ax+b，a、b为常数，
∴B(x+3)
=(x2+ax+b)(x+3)
=x3+ax2+bx+3x2+3ax+3b
=x3+(a+3)x2+(3a+b)x+3b，
∵乘积是一个只含有两项的多项式，
{a+3=0
)
① ，
3a+b=0
{a=−3)
解得： ，
b=9
∴B=x2−3x+9，各项系数之和为1−3+9=7；
{a+3=0)
② ，
3b=0
{a=−3)
解得： ，
b=0
∴B=x2−3x，各项系数之和为1−3=−2；
{3a+b=0)
③ ，
3b=0
{a=0)
解得： ，
b=0
∴B=x2．各项系数之和为1；
∵7>1>−2；
则B各项系数之和的最大值为7．
故答案为：7．【题型3 利用整式乘除法解决不含某项问题】
【例3】（23-24八年级·山东聊城·期末）已知多项式M=x2−3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式
A中不含x的2次项时，a的值为（ ）
1
A．−1 B．− C．0 D．1
3
【答案】D
【分析】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．根据题
意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．
【详解】解：∵MN=(x2−3ax+6)(x+3)
=x3−3ax2+6x+3x2−9ax+18
=x3+(3−3a)x2+(6−9a)x+18
∴A=MN=x3+(3−3a)x2+(6−9a)x+18
∵多项式A中不含x的2次项时，
∴3−3a=0
∴a=1
故选D．
【变式3-1】（23-24八年级·河南商丘·期末）已知关于x的多项式ax−b与3x2+x+2的乘积的展开式中不
含x的二次项，且一次项系数为−5，则a的值为（ ）
1 1
A．− B． C．-3 D．3
3 3
【答案】C
【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项
的系数为0．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数为零与一次项的系
数为−5的要求建立方程组，即可求解．
【详解】解：(ax−b)(3x2+x+2)；
=3ax3+ax2+2ax−3bx2−bx−2b；
=3ax3+(a−3b)x2+(2a−b)x−2b；
∵多项式ax−b与3x2+x+2的乘积的展开式中不含二次项，且一次项系数为−5；
{ a−3b=0 )
∴ ；
2a−b=−5{a=−3)
解得： ，
b=−1
∴a=−3；
故选：C．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）小万和小鹿正在做一道老师留下的关于多项式乘法的习题：
(x2+3x−2)(x−a)．
(1)小万在做题时不小心将x−a中的x写成了x2，结果展开后的式子中不含x的二次项，求a的值；
(2)小鹿在做题时将x2+3x−2中的一个数字看错成了k，结果展开后的式子中不含x的一次项，则k的值可
能是多少？
【答案】(1)a=−2
(2)k=1或−6
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式计算法则是解题的关键．
（1）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令二次系数为0，即可求出答案，
（2）根据多项式乘以多项式计算法则将对应算式展开并合并同类项，令一次系数为0，即可求出答案．
【详解】（1）解：(x2+3x−2)(x2−a)
=x4−ax2+3x3−3ax−2x2+2a
=x4+3x3−(a+2)x2−3ax+2a
∵展开后的式子中不含x的二次项，
∴a+2=0，
解得a=−2；
（2）解：①若将x2+3x−2中的3看成k，
(x2+kx−2)(x+2)
=x3+2x2+kx2+2kx−2x−4
=x3+(2+k)x2+(2k−2)x−4，
∵展开后的式子中不含x的一次项，
∴2k−2=0，
∴k=1．②若将x2+3x−2中的−2看成k，
(x2+3x+k)(x+2)
=x3+2x2+3x2+6x+kx+2k
=x3+5x2+(6+k)x+2k，
∵展开后的式子中不含x的一次项，
∴6+k=0，
解得k=−6．
③若指数2看作k，当k=0时，
原式=(1+3x−2)(x+2)
=3x2+5x−2
不符合题意；
④若指数2看作k，当k=1时，
原式=(x+3x−2)(x+2)
=4x2+6x−4，
不符合题意；
k=1或−6．
【变式3-3】（16-17八年级·四川成都·期末）已知(x2+mx+1)(x2﹣2x+n)的展开式中不含x2和x3项．
(1)分别求m、n的值；
(2)化简求值：(m+2n+1)（m+2n﹣1）+（2m2n﹣4mn2+m3）÷（﹣m）
【答案】（1）m的值为2，n的值为3（2）2mn+8n2﹣1；83
【分析】（1）先将题目中的式子化简，然后根据(x2+mx+1)(x2−2x+n)的展开式中不含x2和x3项，可
以求得m、n的值；
（2）先化简题目中的式子，然后将m、n的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：（1）(x2+mx+1)(x2−2x+n)
=x4﹣2x3+nx2+mx3﹣2mx2+mnx+x2﹣2x+n
=x4+（﹣2+m）x3+（n﹣2m+1）x2+（mn﹣2）x+n
∵(x2+mx+1)(x2−2x+n)的展开式中不含x2和x3项，{ ﹣2+m=0 ) {m=2)
∴ ，解得 ，
n﹣2m+1=0 n=3
即m的值为2，n的值为3；
（2）（m+2n+1）（m+2n﹣1）+（2m2n﹣4mn2+m3）÷（﹣m）
=[（m+2n）+1][（m+2n）﹣1]﹣2mn+4n2 ﹣m2
=（m+2n）2﹣1﹣2mn+4n2﹣m2
=m2+4mn+4n2﹣1﹣2mn+4n2﹣m2
=2mn+8n2﹣1
当m=2，n=3时，
原式=2×2×3+8×32 ﹣1=83．
【点睛】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
【题型4 利用整式乘除法解决与某个字母取值无关的问题】
【例4】（23-24八年级·湖南常德·期中）知识回顾：八年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数
式ax−y+6+3x−5 y−1 的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a
看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=(a+3)x−6 y+5
，所以a+3=0，则a=−3．
理解应用：
(1)若关于x的多项式2m2−3x−m(3−5x)的值与x的取值无关，求m值；
(2)已知A=(2x+1)(3x−1)−x(5+3 y)，B=2x2−3xy+4，且2A−6B的值与x的取值无关，求y的值．
3
【答案】(1)m=
5
2
(2)y=
3
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，结合多项式的值与x的取值无关，即可求出答案；
（2）先把A进行化简，然后计算2A−6B，结合多项式的值与x的取值无关，即可求出答案．
【详解】（1）解：2m2−3x−m(3−5x)
=2m2−3x−3m+5mx
=(5m−3)x+2m2−3m，
∵其值与x的取值无关，
∴5m−3=0，3
解得：m= ，
5
3
即：当m= 时，多项式2m2−3x−m(3−5x)的值与x的取值无关；
5
（2）解：∵A=(2x+1)(3x−1)−x(5+3 y)，B=2x2−3xy+4，
∴2A−6B=2[(2x+1)(3x−1)−x(5+3 y)]−6(2x2−3xy+4)
=2(6x2−2x+3x−1−5x−3xy)−12x2+18xy−24
=12x2−8x−2−6xy−12x2+18xy−24
=12xy−8x−26
=4x(3 y−2)−26；
∵2A−6B的值与x无关，
2
∴3 y−2=0，即y= ．
3
【点睛】本题考查了整式的加减乘混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式4-1】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）已知A=x2+3x−a，B=−x，C=x3+3x2+5，若
A⋅B+C的值与x的取值无关，当x=−4时，A的值为（ ）
A．0 B．4 C．−4 D．2
【答案】B
【分析】此题主要考查了整式的混合运算无关型题目，代数式求值，首先根据多项式乘多项式的方法，求
出A⋅B的值是多少，然后用它加上C，求出A⋅B+C的值是多少，最后根据A⋅B+C的值与x的取值无
关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可．
【详解】解：∵A=x2+3x−a，B=−x，C=x3+3x2+5，
∴A⋅B+C
=(x2+3x−a)(−x)+(x3+3x2+5)
=−x3−3x2+ax+x3+3x2+5
=ax+5，
∵A⋅B+C的值与x的取值无关，
∴a=0，
∴A=x2+3x−a=x2+3x，当x=−4时，A=(−4) 2+3×(−4)=4，
故选：B．
【变式4-2】（23-24八年级·四川成都·期中）若代数式(2x+2)(3x+m)−2x(3x+6)的值与x的取值无
关，则常数m= ．
【答案】3
【分析】此题考查整式的混合运算，先运算多项式乘以多项式和单项式乘以多项式，然后合并，进而根据
与x的取值无关得到2m−6=0，解方程即可．
【详解】解：(2x+2)(3x+m)−2x(3x+6)=6x2+2mx+6x+2m−6x2−12x=(2m−6)x+2m，
∵代数式的值与x的取值无关，
∴2m−6=0，解得m=3，
故答案为：3．
【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）若代数式x(5kx−3xy)−(k−3)(3x2y−4x2)的值与y无
关，则常数k的值为（ ）
A．2 B．−2 C．−4 D．4
【答案】A
【分析】本题考查整式的四则混合运算，先将题目中的式子化简，然后根据此代数式的值与y的取值无
关，可知关于y的项的系数为0，从而可以求得k的值．
【详解】解：x(5kx−3xy)−(k−3)(3x2y−4x2)
=5kx2−3x2y−3kx2y+4kx2+9x2y−12x2
=−3kx2y+9kx2+6x2y−12x2
=(−3k+6)x2y+9kx2−12x2
∵关于y的代数式：x(5kx−3xy)−(k−3)(3x2y−4x2)的值与y无关，
∴−3k+6=0，
解得k=2，
即当k=2时，代数式的值与y的取值无关．
故选：A.
【题型5 利用整式乘除法解决污染问题】
【例5】（23-24八年级·贵州遵义·期末）小明作业本发下来时，不小心被同学沾了墨水：，你帮小明还原一下被墨水污染的地方应该是（
(24x4 y3−■+6x2y2)÷(−6x2y)=−4x2y2+3xy−y
）
1
A．−18x3 y2 B．18x3y2 C．−2x3y2 D． x3y2
2
【答案】B
【分析】利用多项式乘单项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解： ( −4x2y2+3xy−y) • (−6x2y)=24x4y3−18x3y2+6x2y2，
∴■=18x3y2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法则是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）右侧练习本上书写的是一个正确的因式分解.但其中部分代数
式被墨水污染看不清了.
（1）求被墨水污染的代数式；
（2）若被污染的代数式的值不小于4，求x的取值范围.
【答案】（1）−2x−4；（2）x≤−4．
【分析】（1）根据题意，被墨水污染的代数式=(2x+5)(x－2)－(2x2+3x－6)，再结合整式的乘法法
则及加减法则解题，注意运算顺序；
（2）由（1）中结果列一元一次不等式，解一元一次不等式即可解题．
【详解】解：（1）由已知可得，
(2x+5)(x－2)－(2x2+3x－6)
=2x2−4x+5x−10−2x2−3x+6
=−2x−4 ；
（2）由已知可得，−2x−4≥4
−2x≥8
解得x≤−4．【点睛】本题考查整式的混合运算、解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是
解题关键．
【变式5-2】（23-24八年级·全国·课后作业）小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时，一不
小心，一滴墨水污染了这道习题，只看见了被除式中第一项是−8x3y3及中间的“÷”，污染后习题形式
如下：(−8x3y3 )÷ ，小明翻看了书后的答案是“4x2y2−3xy+6x”，你能够复原这个
算式吗?请你试一试．
【答案】复原后的算式为(−8x3y3+6x2y2−12x2y)÷(−2xy)
【分析】先根据被除式的首项和商式的首项可求得除式，然后根据除式乘商式等于被除式求解即可．
【详解】解：∵−8x3y3对应的结果为：4x2y2，
∴除式为：−8x3y3÷4x2y2=−2xy，
根据题意得：(4x2y2−3xy+6x)⋅(−2xy)=−8x3y3+6x2y2−12x2y，
∴复原后的算式为(−8x3y3+6x2y2−12x2y)÷(−2xy)．
【点睛】本题主要考查的是整式的除法和乘法，掌握运算法则是解题的关键．
【变式5-3】（23-24八年级·上海奉贤·期中）小红准备完成题目：计算（x2 x+2）（x2﹣x）．她发现
第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
（1）她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：（x2+3x+2）（x2﹣x）；
（2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含三次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一
次项系数是多少？
【答案】（1）x4+2x3−x2−2x；（2）1
【分析】（1）根据多项式的乘法进行计算即可；
（2）设一次项系数为a，计算(x2+ax+2)(x2−x)，根据其结果不含三次项，则结果的三次项系数为0，据
此即可求得a的值，即原题中被遮住的一次项系数．
【详解】解：（1）（x2+3x+2）（x2﹣x）
=x4−x3+3x3−3x2+2x2−2x
=x4+2x3−x2−2x
（2）设一次项系数为a，(x2+ax+2)(x2−x)
=x4−x3+ax3−ax2+2x2−2x
=x4+(a−1)x3+(2−a)x2−2x
∵答案是不含三次项的
∴a−1=0
∴a=1
【点睛】本题考查了多项式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．
【题型6 利用整式乘除法解决误看问题】
【例6】（23-24八年级·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘4x2时，因抄错运算符号，算成了加
上4x2，得到的结果是3x2+2x−1，那么正确的计算结果是（ ）
A．−4x4+8x3−4x2 B．4x4+8x3−4x2
C．−4x4+x3−4x2 D．4x4−8x3−4x2
【答案】A
【分析】设这个多项式为M，根据题意可得M=−x2+2x−1，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即
可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算
法则是解题的关键．
【详解】解：设这个多项式为M，
∵计算一个多项式乘4x2时，因抄错运算符号，算成了加上4x2，得到的结果是3x2+2x−1，
∴M+4x2=3x2+2x−1，
∴M=3x2+2x−1−4x2=−x2+2x−1，
∴正确的结果为(−x2+2x−1)(4x2)=−4x4+8x3−4x2，
故选A．
【变式6-1】（23-24八年级·江西萍乡·期中）小颖在计算一个整式乘以3ac时，误看成了减去3ac，得到的
1 2
答案是 bc−3ac− ab，该题正确的计算结果应是多少？
3 3
【答案】abc2−2a2bc
1 2
【分析】本题主要考查了整式乘法运算，根据一个整数减去3ac，得到的答案是 bc−3ac− ab，得出
3 3
1 2
这个整式为 bc−3ac− ab+3ac，然后用3ac乘这个整式得出结果即可．
3 3【详解】解：根据题意得：
(1 2 )
3ac bc−3ac− ab+3ac
3 3
(1 2 )
=3ac bc− ab
3 3
=abc2−2a2bc．
故该题正确的计算结果应是abc2−2a2bc．
【变式6-2】（23-24八年级·江西九江·阶段练习）已知A、B均为整式，A=(xy+1)(xy−2)−2x2y2+2
，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“−”，这样他计算的正确结果为−x2y2．
(1)将整式A化为最简形式．
(2)求整式B．
【答案】(1)−x2y2−xy；
(2)B=−xy．
【分析】（1）根据整式混合运算的运算顺序和运算法则进行化简即可；
（2）根据题意可得A−B=−x2y2，根据整式混合运算顺序和运算法则进行计算即可；
本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
【详解】（1）A=(xy+1)(xy−2)−2x2y2+2，
=x2y2−2xy+xy−2−2x2y2+2，
=−x2y2−xy；
（2）由题意，得A−B=−x2y2
由（1）知A=−x2y2−xy，
∴−x2y2−xy−B=−x2y2，
∴B=−xy．
【变式6-3】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2x+a)(3x+b)，
由于甲抄错为(2x−a)(3x+b)，得到的结果为6x2+11x−10；而乙抄错为(2x+a)(x+b)，得到的结果为
2x2−9x+10．
(1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？
(2)请你计算出这道整式乘法的正确答案．
【答案】(1)a=−5，b=−2
(2)6x2−19x+10【分析】（1）按照甲、乙两人抄的错误的式子进行计算，得到2b−3a=11①，2b+a=−9②，解关于
①②的方程组即可求出a、b的值；
（2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【详解】（1）根据题意可知，甲抄错为(2x−a)(3x+b)，得到的结果为6x2+11x−10，
那么(2x−a)(3x+b)=6x2+(2b−3a)x−ab=6x2+11x−10，
可得2b−3a=11①
乙抄错为(2x+a)(x+b)，得到的结果为2x2−9x+10，
可知(2x+a)(x+b)=2x2+(2b+a)x+ab=2x2−9x+10
可得2b+a=−9②，
解关于①②的方程组，可得a=−5，b=−2；
（2）正确的式子：
(2x−5)(3x−2)=6x2−4x−15x+10=6x2−19x+10
【点睛】本题主要是考查多项式的乘法以及二元一次方程组，掌握多项式乘多项式运算法则是正确解决问
题的关键．
【题型7 整式乘除法的应用】
【例7】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）有总长为l的篱笆，利用它和一面墙围成长方形园子，园子
的宽度为a．
(1)如图1，①园子的面积为 （用关于l，a的代数式表示）．
②当l=100，a=30时，求园子的面积．
(2)如图2，若在园子的长边上开了长度为1的门，则园子的面积相比图一 （填增大或减小），并求此时园
子的面积（写出解题过程，最终结果用关于l，a的代数式表示）．
【答案】(1)①a(l−2a)；②1200
(2)增大；al−2a2+a
【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，正确列出代数式是解题的关键．
（1）①先用l和a的代数式表示出园子的长，再表示出园子的面积；②把l=100，a=30代入①中的代数式
进行计算即可；
（2）由园子的宽不变，长增加了，即可判断出园子的面积增大了，表示出园子的长，即可求出园子的面积．
【详解】（1）解：①∵总长为l，宽为a，
∴园子的长为：(l−2a)，
∴园子的面积为：a(l−2a)；
故答案为：a(l−2a)；
②当l=100，a=30时，
a(l−2a)=al−2a2
=30×100−2×302
=3000−2×900
=3000−1800
=1200；
（2）解：∵园子的宽不变，长增加了，
∴园子的面积增大了，
∵在园子的长边上开了1的门，
∴园子的长为：l+1−2a=(l+1−2a)，
∴园子的面积为：a(l+1−2a)=(al+a−2a2)，
∴园子增加的面积为：al+a−2a2−(al−2a2)=al+a−2a2−al+2a2=a，
答：园子的面积增加了，此时园子的面积al+a−2a2．
故答案为：增大．
【变式7-1】（23-24八年级·重庆·期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两
片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄
1
瓜的 ，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜
2
与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄
瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．
【答案】5:8:12
1
【分析】设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为 x，白黄瓜的种植面积为2y，青黄瓜的种植面积
2
为3 y，水果黄瓜的种植面积为4 y，据此求出水果黄瓜的产量是8xy，进而得到水果黄瓜的亩产量为2x，
再根据种植面积的比值即可得到答案．1
【详解】解：设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为 x，白黄瓜的种植面积为2y，青黄瓜的种植
2
面积为3 y，水果黄瓜的种植面积为4 y，
∴青黄瓜的产量为3xy，白黄瓜的产量为xy，
∴水果黄瓜的产量是2(3xy+xy)=8xy，
8xy
∴水果黄瓜的亩产量为 =2x，
4 y
∴当种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比
1
为5× x:4x:3×2x=5:8:12，
2
故答案为：5:8:12．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，单项式除以单项式，正确根据题意求出水果黄瓜的亩产量为2x
是解题的关键．
【变式7-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）一家住房的结构如图所示，房子的主人打算把卧室铺上
地板，卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果这种地砖的价格为a元/平方米，地
板的价格(a−10)元/平方米，那么购买地板和地砖至少共需要多少元？
【答案】需要11xy平方米的地砖，购买地板和地砖至少共需要(15axy−40xy)元
【分析】根据图形表示出客厅，卫生间，以及厨房的面积，相加，在乘地砖的单价；算出卧室的面积，再
乘地板的单价，算出总价格即可．
【详解】解：2x⋅4 y+x⋅2y+xy=11xy平方米，
4xy(a−10)+11xy⋅a=(15axy−40xy)元，
则需要11xy平方米的地砖，购买地板和地砖至少共需要(15axy−40xy)元．
【点睛】此题考查了整式的运算的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式7-3】（23-24八年级·全国·专题练习）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其5 3
中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为： a、2a、 a，小长方体的
2 2
a
长、宽、高分别为：2a、a、 ；配件②是一个正方体，其棱长为a
2
(1)生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？
(2)若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a3体
积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？
17
【答案】(1)生产配件①需要的原材料的体积是： a3；生产配件②需要的原材料的体积是：a3
2
60000
(2) 元
19
【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a的正方体体积，
即可得出配件②的体积；
（2）先计算出生产玩具的个数，再计算获利即可．
5 3 a 17
【详解】（1）生产配件①需要的原材料的体积是： a⋅2a⋅ a+2a⋅a⋅ = a3 ；
2 2 2 2
生产配件②需要的原材料的体积是：a⋅a⋅a=a3；
17 60000
（2）根据题意得：1000a3÷( a3+a3 )×30= （元），
2 19
60000
答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利 元．
19
【点睛】本题主要考查了整式的运算的应用，掌握运算法则是解题的关键．
【题型8 整式乘除法中的规律问题】
【例8】（23-24八年级·四川成都·期中）观察：下列等式(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1
，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1…据此规律，当(x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=0时，代数式x2024−2的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索、求代数式的值，由题意得出根据
(x−1)(xn+xn−1+…+1)=xn+1−1，结合(x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=0，得到x7−1=0，求出
x=1，代入到代数式求值即可．
【详解】解：∵(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1…
∴(x−1)(xn+xn−1+…+1)=xn+1−1，
∵(x−1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=0，
∴x7−1=0，
∴x7=1，
∴x=1，
当x=1时，x2024−2=1−2=−1，
故答案为：−1．
【变式8-1】（23-24八年级·广东揭阳·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图
是2020年11月份的日历，我们任意用一个2×2的方框框出4个数，将其中4个位置上的数交叉相乘，再
用较大的数减去较小的数，你发现了什么规律？
(1)图中方框框出的四个数，按照题目所说的计算规则，结果为 ．
(2)换一个位置试一下，是否有同样的规律？如果有，请你利用整式的运算对你发现的规律加以证明；如果
没有，请说明理由．
【答案】(1)7
(2)有同样的规律，证明见解析【分析】（1）按照题目要求列式计算即可；
（2）设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，按照题中方法计算后即可得到结论．
【详解】（1）解：10×4−3×11=40−33=7，
故答案为：7；
（2）有同样的规律，
证明：设方框框出的四个数分别为a，a+1，a+7，a+8，
则(a+1)(a+7)−a(a+8)
=a2+8a+7−a2−8a
=7．
【点睛】此题考查了整式混合运算的应用，熟练掌握整式的四则混合运算法则是解题的关键．
【变式8-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）“九章兴趣小组”开展研究性学习，对两位数乘法的速算技
巧进行研究．
小明发现“十位相同，个位互补”的两个两位数相乘有速算技巧．
例如：
24×26=100×(2×3)+4×6，结果为624；
42×48=100×(4×5)+2×8，结果为2016；
小红发现“十位互补，个位为5”的两个两位数相乘也有速算技巧．
例如：
45×65=100×(4×6+5)+25，结果为2925；
35×75=100×(3×7+5)+25，结果为2625；
(1)请你按照小明发现的技巧，写出计算63×67的速算过程；
(2)请你用含有字母的等式表示小明所发现的速算规律，并验证其正确性；
(3)小颖发现：小红的速算技巧可以推广到“十位互补，个位相同”的两个两位数相乘．请你直接用含有字
母的等式表示该规律．
友情提示：如果两个正整数和为10，则称这两个数互补．
【答案】(1)4221
(2)(10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc，验证见解析
(3)(10x+ y)(10z+ y)=100(xz+ y)+ y2
【分析】（1）根据小明发现的速算规律对63×67进行计算即可得出答案；
（2）设其中一个两位数的十位数为a，个位数为b，则另一个两位数的十位数为a，个位数为c，其中b+c=10，那么这两个两位数分别为10a+b，10a+c，然后将常规计算得到的结果与小明速算方法得到
的结果进行比较即可得出结论；
（3）仔细阅读小红发现的速算规律，再进行推广，并用字母表示出来即可．
【详解】（1）63×67=100×(6×7)+3×7=4200+21=4221；
（2）小明所发现的速算规律是：(10a+b)(10a+c)=100a(a+1)+bc，其中b+c=10．
验证小明的速算规律：
设其中一个两位数的十位数为a，个位数为b，
则另一个两位数的十位数为a，个位数为c，其中b+c=10，
∴这两个两位数分别为：10a+b，10a+c，
常规的计算方法是：
(10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc，
∵b+c=10，
∴(10a+b)(10a+c)=100a2+100a+bc=100a(a+1)+bc，
小明的速算方法是：
(100a+b)(10a+c)=100×a(a+1)+bc=100a(a+1)+bc，
∴小明的速算方法是正确的．
（3）小颖发现的速算规律是：(10x+ y)(10z+ y)=100(xz+ y)+ y2，其中x+z=10．
证明如下：
设其中一个两位数的十位数为x，个位数为y，
则另一个两位数的十位数为z，个位数为y，其中x+z=10，
∴这两个两位数分别为：10x+ y，10z+ y，
常规的计算方法是：
(10x+ y)(10z+ y)=100xz+10 y(x+z)+ y2
∵x+z=10，
∴(10x+ y)(10z+ y)=100xz+10 y×10+ y2=100(xz+ y)+ y2．
【点睛】此题主要考查了数字变化的规律，读懂题目中的信息，理解“十位相同，个位互补”和“十位互
补，个位相同”数字的变换规律的探索过程是解答此题的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·福建宁德·期中）下图揭示了(a+b) n（n为非负整数）的展开式的项数及各项
系数的有关规律．请观察并解决问题：今天是星期五，再过7天也是星期五，那么再过514天是星期
．……(a+b) 1=a+b
……(a+b) 2=a2+2ab+b2
……(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
……(a+b) 4=
【答案】天（日）
【分析】本题考查了多项式乘法的展开式，能发现(a+b) n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是
从左到右(a+b) n−1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．
根据514=(49+2) 4=494+4×493×21+6×492×22+4×491×23+14+2可知514除以7的余数为2，从而
可得答案．
【详解】解：∵(a+b) 1=a+b
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
∴(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
∴514=(49+2) 4=494+4×493×21+6×492×22+4×491×23+24
=494+4×493×21+6×492×22+4×491×23+14+2
∴514除以7的余数为2，
∴假如今天是星期五，那么再过514天是星期天．故答案为：天．
【题型9 整式乘除法中的新定义问题】
【例9】（23-24八年级·陕西榆林·期末）【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m，n，规
定：m⊙n=mn(m−n)．
例如：1⊙2=1×2×(1−2)=−2．
1
【问题推广】（1）先化简，再求值：(a+b)⊙(a−b)，其中a= ，b=−1；
2
【拓展提升】（2）若x2y⊙(x⊙y)=xp yq−xq yp，求p，q的值
3
【答案】（1）2a2b−2b3， ；（2）p=5，q=4
2
1
【分析】（1）先运用新运算法则化简，然后将a= 、b=−1代入计算即可；
2
（2）先对括号内用新运算法则化简，然后再对括号外运算，然后结合x2y⊙(x⊙y)=xp yq−xq yp即可
求解．
【详解】解：（1）(a+b)⊙(a−b)=(a+b)(a−b)(a+b−a+b)
=2b(a2−b2)=2a2b−2b3．
当a=
1
，b=−1时，原式=2×
(1) 2
×(−1)−2×(−1) 3=−
1
+2=
3
；
2 2 2 2
（2）x2y⊙(x⊙y)=x2y⊙[xy(x−y))=x2y⊙(x2y−x y2)
=x2y(x2y−x y2)(x2y−x2y+x y2) =x3y3(x2y−x y2)=x5y4−x4 y5．
又∵x2y⊙(x⊙y)=xp yq−xq yp，
∴xp yq−xq yp=x5y4−x4 y5，
∴xp yq=x5 y4，x4 y5=xq yp，
∴p=5，q=4．
【点睛】本题主要考查了新定义运算、整式的四则混合运算、同类项等知识点，理解新运算法则是解答本
题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级·浙江宁波·期中）定义
|a b)=ad−bc，如 |1 3)=1×4−2×3=−2．已知
c d 2 4
A= |2x+1 1 ) ，B= |x+1 x−1) （n为常数）
nx−1 2x x−1 x+1(1)若B=4，求x的值；
(2)若A中的n满足2×2n+1=22时，且A=B+2，求8x3−4x+3的值．
【答案】(1)x=1；
(2)4．
【分析】(1)根据题目中的新定义，先化简B，然后根据B=4，即可得到x的值；
(2)根据，可以得到n的值，再根据A=B+2，可得4x2=2x+1，由8x3−4x+3=2x⋅4x2−4x+3代入计
算即可求解；
本题考查了整式的混合运算、新定义，理解新定义运算是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，B=(x+1) 2−(x−1) 2=4x，
∵B=4，
∴4x=4，
∴x=1；
（2）解：由题意得，A=(2x+1)⋅2x−(nx−1)=4x2+(2−n)x+1，
∵2×2n+1=22，
∴2n+2=22，
∴n+2=2，
∴n=0，
∴A=4x2+2x+1，
由（1）知，B=4x，
∵A=B+2，
4x2+2x+1=4x+2，
∴4x2=2x+1，
∴8x3−4x+3=2x⋅4x2−4x+3
=2x⋅(2x+1)−4x+3，
=4x2+2x−4x+3，
=2x+1+2x−4x+3，
=4．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期末）定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，这个数i叫
做虚数单位，把形如a+bi (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：
(2−i)+(5+3i)=(2+5)+(−1+3)i=7+2i；
(1+i)×(2−i)=1×2+1×(−i)+2×i+i×(−i)=2+(−1+2)i−i2=2+i−(−1)=3+i
根据以上信息，完成下列问题:
(1)计算：i3， i4；
(2)计算：(1+i)×(3−4i)；
(3)计算：i+i2+i3+i4+i5+⋯+i2023
【答案】(1)−i，1
(2)7−i
(3)−1
【分析】(1)根据定义即可分别求得结果；
(2)首先根据多项式乘多项式法则去括号，再根据定义及有理数的加减进行运算，即可求得结果；
(3)首先根据复数的定义计算，找到规律，再根据规律进行运算，即可求得结果．
【详解】（1）解：i3=i×i2=−i；
i4=(i2
)
2=(−1) 2=1；
（2）解：(1+i)×(3−4i)
=3−4i+3i−4i2
=3−i+4
=7−i；
（3）解：∵i=i，i2=−1，i3=−i，i4=1，i5=i，i6=−1，i7=−i，i8=1，…，
∴每4个为一循环，且i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，
∵2023÷4=505⋅⋅⋅3，
∴i+i2+i3+i4+i5+⋯+i2023
=(i+i2+i3+i4)×505+i+i2+i3
=0×505+i−1−i
=−1．
【点睛】本题考查了新定义，多项式乘多项式法则，数字类规律，解答本题的关键是明确题意，发现相邻
几个数相加的和的规律．
【变式9-3】（23-24八年级·内蒙古乌兰察布·期末）定义：L(A)是多项式A化简后的项数，例如多项式A=x2+2x−3，则L(A)=3，一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即C=A×B），如果
L(A)≤L(C)≤L(A)+1．则称B是A的“郡园多项式”如果L(A)=L(C)，则称B是A的“郡园志勤多项
式”．
(1)若A=x−2，B=x+3，则B是不是A的“郡园多项式”？请判断并说明理由；
(2)若A=x−2，B=x2+ax+4是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，则a=_____；
(3)若A=x2−x+3m，B=x2+x+m是关于x的多项式，且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值．
【答案】(1)B是A的“郡园多项式”，理由见解析
(2)2
1
(3)m=0或m=
4
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．
（1）先计算出C=A⋅B=x2+x−6，则L(A)=2，L(C)=3，即可得到L(C)=L(A)+1，由此即可得到结
论；
（2）先计算出C=A⋅B=x3+(a−2)x2+(4−2a)x−8，再根据题意得到L(C)=L(A)=2，则
{ a−2=0 )
，即可求出a=2；
4−2a=0
（3）先求出C=A⋅B=x4+(4m−1)x2+2mx+3m2当m=0时，则L(A)=2，L(C)=2，此时B是A的
1
“郡园志勤多项式”，符合题意；当m≠0时， 则L(C)=L(A)=3，即可得到4m−1=0，则m= ，综上
4
1
所述，m=0或m= ．
4
【详解】（1）解：B是A的“郡园多项式”，理由如下：
∵A=x−2，B=x+3，
∴C=A⋅B
=(x−2)(x+3)
=x2−2x+3x−6
=x2+x−6，
∵L(A)=2，L(C)=3，
∴L(C)=L(A)+1，
∴B是A的“郡园多项式”；（2）解：∵A=x−2，B=x2+ax+4，
∴C=A⋅B
=(x−2)(x2+ax+4)
=x3−2x2+ax2−2ax+4x−8
=x3+(a−2)x2+(4−2a)x−8，
∵L(A)=2，B是A的“郡园志勤多项式”，
∴L(C)=L(A)=2，
{ a−2=0 )
∴ ，
4−2a=0
∴a=2，
故答案为：2；
（3）解：∵A=x2−x+3m，B=x2+x+m，
∴C=A⋅B
=(x2−x+3m)(x2+x+m)
=x4−x3+3mx2+x3−x2+3mx+mx2−mx+3m2
=x4+(4m−1)x2+2mx+3m2，
当m=0时，则L(A)=2，L(C)=2，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；
当m≠0时，L(A)=3，
∵B是A的“郡园志勤多项式”，
∴L(C)=L(A)=3，
∴4m−1=0，
1
∴m= ；
4
1
综上所述，m=0或m= ．
4
【题型10 整式乘除法中的几何图形问题】
【例10】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中）现定义了一种新运算“⊗”，对于任意有理数a，b，c，d，规
定(a,b)⊗(c,d)=ad−bc，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：(1,3)⊗(2,4)=1×4−2×3=−2
．请解答下列问题：
(1)填空：(−2,3)⊗(4,5)=______；
(2)若(2x2+1,nx−1)⊗(5,x−2)的代数式中不含x的一次项时，求n的值；
(3)求(3x+1,x−2)⊗(x+2,x−3)的值，其中x2−4x+1=0；
(4)如图1，小长方形长为a，宽为b，用5张图1中的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD
内，其中AB=5，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左下角长方形的面积为S ，右上
1
角长方形的面积为S ．当2S −3S =20，求(2a+b,−6b)⊗(b−3,3a−6b)的值．
2 1 2
【答案】(1)−22
1
(2)n=
5
(3)−1
(4)24
【分析】本题主要考查了新定义，多项式乘以多项式：
（1）根据新定义计算求解即可；
（2）根据新定义求出(2x2+1,nx−1)⊗(5,x−2)=2x3−4x2+(1−5n)x+3，再根据不含x的一次项，
即可含x的一次项的系数为0进行求解即可；
（3）根据新定义求出(3x+1,x−2)⊗(x+2,x−3)=2x2−8x+1，再利用整体代入法代值计算即可；
（4）根据所给图形可得S =a(5−3b)，S =b(5−2a)，根据2S −3S =20推出2a−3b=4，再根据新
1 2 1 2
定义(2a+b,−6b)⊗(b−3,3a−6b)=6a2−9ab−18b，进而一步步利用整体代入法降次求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，(−2,3)⊗(4,5)=−2×5−3×4=−10−12=−22；
（2）解：(2x2+1,nx−1)⊗(5,x−2)=(2x2+1)(x−2)−5(nx−1)
=2x3+x−4x2−2−5nx+5
=2x3−4x2+(1−5n)x+3
∵代数式中不含x的一次项，
∴1−5n=0，
1
∴n= ；
5
（3）解：(3x+1,x−2)⊗(x+2,x−3)
=(3x+1)(x−3)−(x−2)(x+2)
=3x2+x−9x−3−(x2−4)
=3x2+x−9x−3−x2+4
=2x2−8x+1
∵x2−4x+1=0，
∴原式=2(x2−4x+1)−1=−1；
（4）解：根据题意得：2a(5−3b)−3b(5−2a)=20，
整理得：2a−3b=4，
∴(2a+b,−6b)⊗(b−3,3a−6b)
=(2a+b)(3a−6b)−(−6b)(b−3)
=6a2−9ab−18b
=3a(2a−3b)−18b
=12a−18b
=6(2a−3b)
=24．
【变式10-1】（23-24八年级·浙江温州·期中）小陈用五块布料制作靠垫面子，其中四周的四块由长方形布
料裁成四块得到，正中的一块正方形布料从另一块布料裁得，靠垫面子和布料尺寸简图，如图所示∶
(1)用含a，b的代数式表示图中阴影部分小正方形的面积．(2)当a2+4b2=592，ab=48时，求阴影部分面积．
【答案】(1)a2+4ab+4b2
(2)784
【分析】本题考查了整式运算的应用；能表示出阴影部分的面积是解题的关键．
（1）由图可求得小长方形的长为3a+b，小长方形的宽为2a−b，可求大正方形的边长，由
S =S −S ，即可求解；
阴影 大正方形 大长方形
（2）将a2+4b2=592，ab=48代入计算，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：
1
长方形的长为： (6a+2b) =3a+b，
2
1
长方形的宽为： (4a−2b) =2a−b，
2
∴大正方形的长为：3a+b+2a−b=5a，
∴ S =S −S
阴影 大正方形 大长方形
=(5a) 2−(6a+2b)(4a−2b)
=25a2−(24a2−4ab−4b2)
=a2+4ab+4b2；
（2）解：∵ a2+4b2=592，ab=48，
∴ S =592+4×48 =784．
阴影
【变式10-2】（23-24八年级·广东佛山·期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小
块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm．
(1)小长方形的较长边为 cm（用代数式表示）；
(2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为(2x−y+4) cm，是 的（填正确/错误）；阴影A和
阴影B的周长值之和与x （填有关/无关），与y （填有关/无关）；
(3)设阴影A和阴影B的面积之和为Scm2，是否存在x使得S为定值，若存在请求出x的值和该定值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)(y−12)
(2)正确，有关，无关
(3)存在x=20使得S为定值240cm2，理由见解析
【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减
的运算法则是解题的关键．
（1）由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为(y−12)cm；
（2）由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短
边和阴影B的较短边之和为(2x−y+4)cm；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式
可得出阴影A和阴影B的周长之和为2(2x+4)，据此求解即可；
（3）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为
S=(x−20)y+240，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为y−3×4=(y−12)cm，
故答案为：(y−12)；
（2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为(y−12)cm，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为x−2×4=(x−8)cm，
阴影B的较短边为x−(y−12)=(x−y+12)cm，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x−8+x−y+12=(2x−y+4)cm；
∵阴影A的较长边为(y−12)cm，较短边为(x−8)cm，
阴影B的较长边为3×4=12(cm)，较短边为(x−y+12)cm，
∴阴影A的周长为2(y−12+x−8)=2(x+ y−20)cm，
阴影B的周长为2(12+x−y+12)=2(x−y+24)cm，
∴阴影A和阴影B的周长之和为2(x+ y−20)+2(x−y+24)=2(2x+4)cm，
∴阴影A和阴影B的周长之和与x有关，与y无关，
故答案为：正确，有关，无关；
（3）解：∵阴影A的较长边为(y−12)cm，较短边为(x−8)cm，
阴影B的较长边为3×4=12(cm)，较短边为(x−y+12)cm，
∴阴影A的面积为(y−12)(x−8)=(xy−12x−8 y+96)cm2，
阴影B的面积为12(x−y+12)=(12x−12y+144)cm2，∴阴影A和阴影B的面积之和为
S=xy−12x−8 y+96+12x−12y+144
=(x−20)y+240，
∴当x=20时，S为定值，定值为240cm2．
【变式10-3】（23-24八年级·上海青浦·期中）如图所示，有4张宽为a，长为b的小长方形纸片，不重叠
的放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分为空白区域①和空白区域②． EF=2GH
(1)用含a、b的代数式表示：AD=______________；AB=______________．
(2)用含a、b的代数式表示区域①、区域②的面积；
1 9
(3)当a= ，b= 时，求区域①、区域②的面积的差．
2 2
【答案】(1)2a+b，b+a
4 2 2 b2−ab
(2) a2− ab+ b2 ， +a2
3 3 3 3
73
(3)
12
【分析】本题考查了整式加减的应用，找到图中的线段间的关系是解题的关键．
（1）线段AD为2个小长方形的宽加1个小长方形的长，线段AB为1个小长方形的宽加1个小长方形的
长，列出式子并化简即可；
（2）区域①的面积为长DE，宽EF的长方形的面积减去一个边长为a的小正方形的面积列式化简即可得
出；区域②的面积：长为小长方形纸片的长，宽为GH的长方形的面积加上一个边长为a的小正方形的面积
列式化简即可得出；
（3）将两式相减化简后，将值代入即可得出答案．
【详解】（1）∵小长方形纸片宽为a，长为b∴AD=2a+b，AB=b+a
故答案为：2a+b，b+a；
（2）由图可知，ED=a+b，EH=b，FG=a
∵EH=EF+FG+GH，EF=2GH
∴ b=3GH+a
b−a
∴GH=
3
∴区域①的面积为：
[b(b−a) )
(2a+b)(a+b)−4ab− +a2
3
b2 1
=2a2+3ab+b2−4ab− + ab−a2
3 3
4 2 2
= a2− ab+ b2
3 3 3
区域②的面积为：
b−a b2−ab
⋅b+a2= +a2；
3 3
4 2 2 b2−ab
（3）由（2）知，区域①的面积为： a2− ab+ b2 ，区域②的面积为： +a2
3 3 3 3
∴区域①、区域②的面积的差为：
4 2 2 (b2−ab )
a2− ab+ b2− +a2
3 3 3 3
4 2 2 b2 ab
= a2− ab+ b2− + −a2
3 3 3 3 3
当=，时，原式
