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专题 11.5 多边形及其内角和【十大题型】
【人教版】
【题型1 多边形截角后的边数问题】......................................................................................................................1
【题型2 多边形对角线的条数问题】......................................................................................................................3
【题型3 对角线分成的三角形个数问题】..............................................................................................................5
【题型4 多（少）算一个角问题】..........................................................................................................................6
【题型5 多边形截角后的内角和问题】..................................................................................................................8
【题型6 复杂图形的内角和】................................................................................................................................11
【题型7 多边形外角和的实际应用】....................................................................................................................15
【题型8 多边形内（外）角和与平行线的综合运用】.......................................................................................18
【题型9 多边形内（外）角和与角平分线的综合运用】...................................................................................26
【题型10 平面镶嵌】................................................................................................................................................33
知识点1：多边形的相关概念
（1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段
的条数分成三角形、四边形、五边形……，如果一个多边形由 条线段组成，那么这个多边形就叫做 边
形．
（2）相关概念：①多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．②多边形的边与它的邻边的延长线组成的角
叫做多边形的外角．③连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．④各个角都相等，各
条边都相等的多边形叫做正多边形．
（3）多边形的对角线：（a）定义：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形
的对角线．
（b）规律总结：
①从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形．
②n边形共有 条对角线．
【题型1 多边形截角后的边数问题】
【例1】（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】A
【详解】一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一
个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能
是16边形.
故选A.
【点睛】此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过
一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.
【变式1-1】（23-24八年级·重庆綦江·期中）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数
为 ．
【答案】6或7或8
【分析】存在三种情况，根据图示进行分析．
【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图3:
∴一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8，
故答案为：6或7或8．
【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解．
【变式1-2】（23-24八年级·全国·课后作业）一个四边形剪去一三角形后余下的多边形为 边
形
【答案】三、四、五
【详解】如图可知，一个四边形截去一个三角形后变成三角形或四边形或五边形，故答案为三、四、五.
【变式1-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形
边数为 ．
【答案】5或6或7
【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．
【详解】解：如图所示：
六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到．
故答案为：5或6或7．
【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
【题型2 多边形对角线的条数问题】
【例2】（23-24八年级·陕西延安·阶段练习）若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边
形对角线的总数为（ ）
A．14 B．28 C．24 D．20
【答案】A
【分析】根据一个n边形从一个顶点出发有(n−3)条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据n边形对角
n(n−3)
线的总数为 ，即可求解．
2
【详解】解：根据题意，一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，
可知该多边形的边数为4+3=7，
7×(7−3)
∴这个多边形对角线的总数为 =14．
2
故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，熟练掌握n边形的相关公式是解题关键．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北恩施·期末）我们知道，三角形的稳定性在日常生活中被广泛运用.要使不
同的木架不变形，四边形木架至少要再钉1根木条；五边形木架至少要再钉2根木条；…按这个规律，要
使n边形木架不变形至少要再钉 根木条.（用n表示，n为大于3的整数）
【答案】n-3
【分析】根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．
【详解】过n边形的一个顶点可以作（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n-3）根木条固定．
故答案为：（n-3）．
【点睛】考查了三角形的稳定性以及多边形的对角线的问题，解题关键是将问题转换成把多边形分成三角
形的问题．
【变式2-2】（23-24八年级·广东深圳·期末）边长为整数的正多边形的周长17，则过该正多边形的一个顶
点可以画 条对角线．
【答案】14
【分析】设正多边形的边数为n（n≥3），边长为a，根据边长为整数的正多边形的周长17，求出n的值，
根据过n多边形的一个顶点的对角线的条数为(n−3)，即可得解．
【详解】解：设正多边形的边数为n（n≥3），边长为a，由题意，得：na=17，
17
∴a= ，
n
∵a为整数，
∴n=17；
∴过该正多边形的一个顶点可以画：17−3=14条对角线；
故答案为：14
【点睛】本题考查多边形的对角线条数．熟练掌握从多边形的一个顶点出发，可以引(n−3)条对角线，是
解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级·辽宁辽阳·期末）过m边形的一个顶点有9条对角线，n边形没有对角线，则mn
的值为 ．
【答案】36
【分析】根据m边形从一个顶点出发可引出（m-3）条对角线，以及没有对角线的多边形是三角形，可以
得出结果．
【详解】解：∵过m边形的一个顶点有9条对角线，∴m-3=9，m=12；
∵n边形没有对角线，∴n=3，
∴mn=12×3=36；
故答案为：36．
【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握对角线条数的计算公式．
【题型3 对角线分成的三角形个数问题】
【例3】（23-24八年级·全国·假期作业）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到
2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
【答案】C
【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即
可求解．
【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1＝2004．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级·湖北·课后作业）通过连接对角线的方法，可以把十边形分成互不重叠的三角
形的个数（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】B
【详解】从多边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，分成(n-2)个三角形，故把十边形分成互不重叠的三角
形的个数为10-2=8个.
故选B.
【变式3-2】（23-24八年级·四川巴中·期末）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各
顶点，若把这个多边形分割为6个三角形，则n的值是 ．
【答案】8
【分析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把n边形分为（n-2）的三角形作
答．
【详解】设多边形有n条边，
则n−2=6，
解得n=8.故答案为8.
【点睛】此题考查多边形的对角线，解题关键在于掌握计算公式.
【变式3-3】（23-24八年级·湖北·课后作业）将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4
个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【答案】D
【详解】
∵六边形ABCDEF有6个顶点，且用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，
∴只能通过同一个顶点作三条对角线(如图1)，这种分法有6种，
也从一个顶点作两条对角线(如图2)，这种分法有2种，
如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，
故各种不同的剖分方法有14种．
故选D.
知识点2：多边形的内角和与外角和
（1） 边形内角和等于 ．正多边形的每个内角的度数为 (n≥3)．
（2）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒
等于360°，它与边数的多少无关.
【题型4 多（少）算一个角问题】
【例4】（23-24八年级·湖北恩施·期中）小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到
内角和为500°，则多加的这个内角的大小为 ．
【答案】140°
【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，把一个内角多加一次即为整除之后的余数是解答本题
的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是180°的倍数，且每个内角应大于0°而小于180°，根据这些
条件进行分析求解．
【详解】解：由多边形内角和公式(n−2)×180°知，
多边形的内角和是180°的倍数，∴多加的一个内角是500÷180的余数
即为140°
故答案为140°
【变式4-1】（23-24八年级·湖南永州·期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为2000°；老师：不对
呀，你可能少加了一个角！则小红少加的这个角的度数是（ ）
A．140° B．150° C．160° D．170°
【答案】C
【分析】n边形的内角和是(n−2)⋅180°，少计算了一个内角，结果得2000°．则内角和是(n−2)⋅180°
与2000°的差一定小于180度，并且大于0度．
【详解】解：设多边形的边数为n，小红少加的这个角的度数是x°，
则有0°<(n−2)×180°−2000<180°，
则2000°=180°×12−160°，
因为0°
