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专题 15.3 分式的运算【十大题型】
【人教版】
【题型1 已知分式恒等式求分子（分母）】.........................................................................................................2
【题型2 分式的混合运算】......................................................................................................................................2
【题型3 分式的化简求值】......................................................................................................................................3
【题型4 比较分式的大小】......................................................................................................................................4
【题型5 分式运算的实际应用】..............................................................................................................................5
【题型6 分式运算的规律探究】..............................................................................................................................7
【题型7 分式运算的新定义问题】..........................................................................................................................8
【题型8 分式运算的阅读材料题】..........................................................................................................................9
【题型9 整数指数幂】............................................................................................................................................10
【题型10 利用科学记数法表示小于1的正数】....................................................................................................11
知识点1：分式的运算
分式的乘除法法则：
a c ac
1）分式的乘法：分子的积为积的分子，分母的积为积的分母，能约分的约分。即： × =
b d bd
a c a d ad
2）分式的除法：除式的分子、分母颠倒位置后，与被除数相乘。即： ÷ = × =
b d b c bc
3）分式的乘方：分子、分母分别乘方。 a n=an
（ ）
b bn
4）运算顺序：先乘方，后乘除，最后加减。同级从左至右依次计算。有括号的，先算括号中的，在算括
号外的。
注：上述所有计算中，结果中分子、分母可约分的，需进行约分化为最简分式.
分式的加减法则：
a b a±b
1）同分母分式：分母不变，分子相加减 ± =
c c c
a d ac bd ac±bd
2）异分母分式：先通分，变为同分母分式，再加减 ± = ± =
b c bc bc bc注：①计算结果中，分子、分母若能约分，要约分;②运算顺序中，加减运算等级较低。若混合运算种有乘
除或乘方运算，先算乘除、乘方运算，最后算加减运算。
【题型1 已知分式恒等式求分子（分母）】
【例1】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）已知6x3+10x Ax+B Cx+D ，其中 ， ， ，
= + A B C D
x4+x2+1 x2+x+1 x2−x+1
为常数，则A+B+C+D= ．
1 1
【变式1-1】（23-24八年级·浙江台州·期末）已知a+ =b+ −2，且a−b+2≠0，则ab−a+b=
a+1 b−1
．
(x+2)−(x+1) a b
【变式1-2】（23-24·山东烟台·八年级统考期末）若 = − ，其中a，b为常数，则
(x+1)(x+2) x+1 x+2
ab= ．
1 a b
【变式1-3】（23-24八年级·山东威海·阶段练习）若 = + ，对任意自然数n都
(2n−1)(2n+1) 2n−1 2n+1
成立，则ab= ．
【题型2 分式的混合运算】
【例2】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期末）美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后边的代数式污染，
( 4−x2 ) x+2
即 ÷ ，通过查看答案，答案为 ，则被污染的代数式为（ ）
3x2−2xy 3x−2y
2 x−2 2−x x+1
A． B． C． D．
x+1 x x 2x−1
【变式2-1】（23-24八年级·浙江绍兴·期末）如图，若x为正整数，则表示 (x−3) 2 1 的值的点落
−
x2−6x+9 x+1
在（ ）
A．段① B．段②
C．段③ D．段④【变式2-2】（2024·山东烟台·八年级统考期末）根据如图所示的程序，求输出D的化简结果．
a−b b−c c−a
【变式2-3】（23-24八年级·河北保定·期末）式子 + + 的值不
(b−c)(c−a) (a−b)(c−a) (a−b)(b−c)
可能等于( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【题型3 分式的化简求值】
【例3】（23-24八年级·贵州遵义·期末）下面是小星同学进行分式化简的过程：
(2x−1 ) x
化简 −1 ÷
x−1 x2−1
解：原式
(2x−1 x−1) x
= − ÷ 第一
x−1 x−1 (x−1)(x+1)
步
2x−1−x−1 (x−1)(x+1)
= ×
x−1 x
第二步
(x−2)(x+1)
= 第三步
x
(1)小星同学的化简过程从第_____________步开始出现错误；
(2)请写出正确的化简过程，并从−1，0，1，2中选择合适的数带入求值．
( 2 ) a−4
【变式3-1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）已知|a)=4时，代数式 1− ÷ 的值为（ ）
a−2 a2−4
A．6 B．－2 C．6或－2 D．0( 1 1 ) 2a
【变式3-2】（23-24八年级·山东菏泽·期中）已知W = + ÷
a−3 a+3 a2−6a+9
(1)化简W；
(2)若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
【变式3-3】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，将四张长、宽分别为a,b的长方形硬纸片拼成一个中间
“带孔”的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为49，中间小正方形的面积为1，求
a2+b2
(a4−b4)÷ ÷(6a−6b)的值．
ab
【题型4 比较分式的大小】
【例4】（23-24八年级·广西来宾·期末）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是
利用“作差法”，即要比较代数式M、N的大小，只要作出差M−N：若M−N>0，则M>N；若
M−N=0，则M=N；若M−N<0，则M、=或<）；
a−1
2 x2−2x+1 1
(2)已知A= ，B= ，当x<−1时，比较A与 的大小，并说明理由．
x2−1 x−1 B
4 1 1
【变式4-1】（23-24八年级·河北保定·期末）两个分式A＝ ，B＝ ﹣ ，（其中x≠±2，）则
x2−4 x+2 x−2
A和B的关系是（ ）
A．A＝B B．AB＝1 C．A＞B D．A+B＝0
a b 1 1
【变式4-2】（23-24八年级·广东梅州·期中）设m= − ，n= − ，则m，n的关系是
a+1 b+1 a+1 b+1
（ ）
A．m=n B．m>n C．my时，我们可以将x表示为x= y+m（其中m>0为增量），从而将x用y+m代换进一步变形不等式．结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法
——增量代换作差法证明不等式．
例如：已知a>2，b>2，求证：a+b0，n>0，
作差得：a+b−ab=(2+m)+(2+n)−(2+m)(2+n)=−m−n−mn
∵m>0，n>0
∴−m<0，−n<0，−mn<0
∴a+b−ab<0
所以：a+b1，b>−2求证：4a+b>−ab；
1 1 1
(2)已知a>b>c，试比较代数式 + 与 的大小．
a−b b−c a−c
【题型5 分式运算的实际应用】
【例5】（23-24八年级·天津和平·期末）有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植
草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在
正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式
种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（ ）
x+2a
A．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 倍
x−2a
x−2a
B．用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 倍
x+2a
x+2a
C．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 倍
x−2a
x−2a
D．用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的 倍
x+2a【变式5-1】（23-24八年级·河北保定·期末）有甲，乙两块边长为a米(a>7)的正方形试验田．负责试验田
的杨师傅将试验田的形状进行了调整（如图）：沿甲试验田的一边在试验田内修了1米宽的水池，又在邻
边增加了1米宽的田地；沿乙试验田的一组邻边在试验田内均修了1米宽的小路．杨师傅在调整后的试验
田上种植了某种小麦，其中甲试验田收获了180千克小麦，乙试验田收获了130千克小麦，对于这两块试
验田的单位面积产量，下列说法正确的是（）
A．甲试验田的单位面积产量高 B．乙试验田的单位面积产量高
C．两块试验田的单位面积产量一样 D．无法判断哪块试验田的单位面积产量高
【变式5-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）某资料上有这样一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地
板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”下面是小刚和小明的对话，请根
据对话内容回答问题．
(1)请你通过计算，验证小明的说法；
(2)假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，如果窗户面积和地板面积同时增加
1平方米，住宅的采光条件变好了吗？请说明理由．
【变式5-3】（23-24八年级·江苏扬州·期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水
做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论．现有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，则糖水的浓度b
（即糖的质量与糖水的质量比）为 ．
a
(1)糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为_____________．生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，
由此可以写出一个不等式_____________，我们趣称为“糖水不等式”．
(2)糖水实验二：将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为
____________．根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”____________．
c a b
(3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设a、b、c为△ABC三边的长，求证： + + <2．
a+b b+c a+c
【题型6 分式运算的规律探究】
【例6】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）观察下列各式：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= = − ， = = − ， = = − ， = = −
6 2×3 2 3 12 3×4 3 4 20 4×5 4 5 30 5×6 5 6
1
(1)由此推测 =________
42
(2)请你用含字母m的等式表示一般规律（m表示整数）
1 2 1
(3)请直接用（2）的规律计算 − + 的值．
(x−2)(x−3) (x−1)(x−3) (x−1)(x−2)
1 1
【变式6-1】（23-24八年级·福建泉州·期末）观察下列等式：a =n，a =1− ，a =1− ，…；根据其
1 2 a 3 a
1 2
蕴含的规律可得（ ）
n−1 1 1
A．a =n B．a = C．a = D．a =
2013 2013 n 2013 n−1 2013 1−n
【变式6-2】（23-24八年级·山东枣庄·期末）观察以下等式：
1 1
第1个等式：2× =1− ；
3 3
3 1 1 1
第2个等式： × = − ；
2 5 2 5
4 1 1 1
第3个等式： × = − ；
3 7 3 7
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：_________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【变式6-3】（23-24八年级·安徽亳州·期末）观察以下等式：12 4
第1个等式： −1+2= ；
1+2 1+2
22 4
第2个等式： −2+2= ；
2+2 2+2
32 4
第3个等式： −3+2= ；
3+2 3+2
42 4
第4个等式： −4+2= ；
4+2 4+2
⋯⋯
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
【题型7 分式运算的新定义问题】
【例7】（23-24八年级·江苏无锡·期中）定义：若两个分式A与B满足：|A−B)=3，则称A与B这两个
分式互为“美妙分式”．若分式 4a2 与 a 互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式
a2−b2 a+b
2a2−b2
= ．
ab
【变式7-1】（23-24八年级·江苏南通·期末）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式
组”．
(1)下列3组分式：
3a a 3a a+2 a 5a+2
① 与 ；② 与 ；③ 与 ．其中属于“友好分式组”的有____________（只填
a+1 a+1 a−1 a−1 2a+1 2a+1
序号）；
(2)若正实数 互为倒数，求证 3a2 与a−2b2属于“友好分式组”；
a,b
a2+b a+b2
(3)若 均为非零实数，且分式 3a2 与 a 属于“友好分式组”，求分式a2−2b2的值．
a,b
a2−4b2 a+2b ab
【变式7-2】（23-24八年级·浙江湖州·期末）新定义：若两个分式A与B的差为n（n为正整数），则称A是
x 1 x 1
B的“n 分式”．例如： − =1，则称分式 是分式 的“1 分式”．根据以上定义，
x−1 x−1 x−1 x−1下列选项中说法错误的是（ ）
4x+3 x−3
A． 是 的“3 分式”
x+2 x+2
12+x ax+6
B．若a的值为−3，则 是 的“2 分式”
3+2x 3+2x
2ab a
C．若 是 的“1 分式”，则a2=3b2
a2−4b2 a−2b
5a −5b
D．若a与b互为倒数，则 是 的“5 分式”
a+b2 a2+b
【变式7-3】（23-24八年级·浙江杭州·期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一
个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原
1 1
代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如m+n，mn， + 等．
m n
1 1
(1)代数式①m−n，②m2+n2，③mn− − ，④(m−n) 2中，是对称式的有____．
m n
n−1 m+k
(2)若关于m，n的代数式 + （k是常数，m≠n）是对称式，求常数k的值．
m n
n−1 m+k ( 1 1)
(3)在（2）的条件下，若 + = + (m+n)，当mn=−1时，求(m−n) 2的值．
m n m n
【题型8 分式运算的阅读材料题】
【例8】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）阅读材料，并解决问题：
我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为
“假分式”；当分子的次数小于字母的次数时，我们称之为“真分式”．
x−1 x2 3 2x 7
如 ， 这样的分式就是假分式；再如 ， 这样的分式就是真分式，假分数 可以化成
x+1 x+1 x+1 x2+1 4
3 3
1+ （即1 ）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式，如：
4 4
x+1 x−1+2 x−1 2 2
= = + =1+ ，再如：
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
3x2+4x−1 3x(x+1)+x−1 3x(x+1)+x+1−2 3x(x+1) x+1 2 2
= = = + − =3x+1− ，这样，
x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+1 x+12
分式就被拆分成了带分式（即一个整式3x+1与一个分式 的差）的形式．
x+1
解决问题：
x+2
(1)判断： 是真分式还是假分式： （填“真分式”或“假分式”）；如果是，化成带分式的形式：
x+1
；
(2)思考：当x取什么整数时，分式5x4+9x2+6的值为整数？
x2+2
(3)探索：当a为何值时，分式3a2−12a+17有最大值？最大值是多少？
a2−4a+5
【变式8-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的
次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，
通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法．
x2−3x−1
例：将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
x+2
解：设x+2=t，则x=t−2．
(t−2) 2−3(t−2)−1 t2−7t+9 9
原式= = =t−7+
t t t
x2−3x−1 9
∴ =x−5+ ．
x+2 x+2
x2−3x−1 9
这样，分式 就拆分成一个整式(x−5)与一个分式 的和的形式．
x+2 x+2
【应用】
2x+4
(1)使用分离整式法将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
x+1
x2−2x+4
(2)将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______；
x−1
【拓展】
x2−x+7
(3)已知分式 的值为整数，求正整数x的值．
x−3
【变式8-2】（23-24八年级·河南南阳·期中）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个
分式表示成“部分分式”．1−3x 1−3x M N
例：将分式 表示成部分分式．解：设 = + ，将等式右边通分，得
x2−1 x2−1 x+1 x−1
M(x−1)+N(x+1)
=
(M+N)x+(N−M)
，依据题意，得
{M+N=−3)
，解得
{M=−2)
，所以
(x+1)(x−1) x2−1 N−M=1 N=−1
1−3x −2 −1
= + 请你适用上面所学到的方法，解决下面的问题：
x2−1 x+1 x−1
2n+1
(1)将分式 表示成部分分式；
n2+n
3 5 7 9 39 41
(2)按照（1）的规律，求 − + − +⋯+ − 的值．
1×2 2×3 3×4 4×5 19×20 20×21
【变式8-3】（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）阅读下列解题过程：
已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2+1 3 x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = ，知x≠0，所以 =3，即x+ =3，
x2+1 3 x x
∴x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 −2=32−2=7 ，
x2 x2 x
∴ x2 的值为 的倒数，即1．
7
x4+1 7
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知 x 1，求 x2 的值；
=
x2+1 2 x4+1
(2)已知 x 1，求 x2 的值．
=
x2−x+1 7 x4−x2+1
xy yz 4 zx 4 xyz
(3)已知 =−2, = , = ，求 的值．
x+ y y+z 3 z+x 3 xy+ yz+zx
【题型9 整数指数幂】
【例9】（23-24八年级·四川绵阳·期末）若
x+x−1=3
，则
(x2−x−2) 2 =
．( 1) −2 ( 1 ) 0
【变式9-1】（23-24八年级·山东东营·期末）已知a=−23，b= − ，c= ，则a、b、c的大小
2 2024
关系为（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>a>b
【变式9-2】（23-24八年级·河南三门峡·期末）计算a﹣2b2•（a2b﹣2）﹣2正确的结果是（ ）
A．a6 B．b6 C．a6b6 D． 1
b6 a6 a6b6
【变式9-3】（23-24八年级·江苏镇江·期末）我们知道：21=2，22=4，……，210=1024，那么2−30接近
于( )
A．10−10 B．10−9 C．10−8 D．10−7
【题型10 利用科学记数法表示小于1的正数】
【例10】（23-24八年级·山东菏泽·期末）用科学记数法表示0.000032＝ ，把2.36×10−5用小数表
示为 ．
【变式10-1】（2024八年级·天津南开·专题练习）某种细菌直径约为0.00000067mm，若将0.00000067mm
用科学记数法表示为6.7×10n mm（n为负整数），则n的值为（ ）
A．-5 B．-6 C．-7 D．-8
【变式10-2】（2024·山东聊城·中考真题）地球的体积约为1012立方千米，太阳的体积约为1.4×1018立方千
米，地球的体积是太阳体积的倍数约是( )
A．7.1×10-6 B．7.1×10-7
C．1.4×106 D．1.4×107
【变式10-3】（23-24八年级·江苏镇江·期末）去年11月，在巴黎举行的第27届国际计量大会中宣布引进
4个新单位词头，新增的4个词头分别是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto−10−27，此前，国际
单位制最小单位词头为“幺”（yocto）．
1幺．一个光子的质量约为幺克．换算后约为 ronto克．
