专题16.3二次根式的加减（十大题型）（举一反三）（人教版）（学生版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_母题专项-U66_2025版

专题 16.3 二次根式的加减【十大题型】 【人教版】 【题型1 同类二次根式】..........................................................................................................................................1 【题型2 分母有理化】..............................................................................................................................................2 【题型3 二次根式的加减】......................................................................................................................................3 【题型4 比较二次根式的大小】..............................................................................................................................3 【题型5 二次根式的混合运算】..............................................................................................................................4 【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】.........................................................................................4 【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】.................................................................................................5 【题型8 二次根式混合运算的实际应用】..............................................................................................................5 【题型9 二次根式中的新定义类问题】..................................................................................................................7 【题型10 二次根式中的阅读理解类问题】..............................................................................................................8 知识点1：同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如 2 8 8 2 2 2 8 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式. 【题型1 同类二次根式】 【例1】（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）下列各组二次根式中，为同类二次根式的是（ ） 1 A． ❑√6和3❑√2 B．❑√a和❑√2a 3 √1 C．❑√12和❑ D．❑√3和❑√9 3 【变式1-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）若最简二次根式❑√2a−3与❑√12是同类二次根式，则a= ． √1 【变式1-2】（23-24九年级·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与❑ 合并的是（ ） 2√ 1 A．❑√2 B．❑√8 C．❑ D．❑√0.2 18 【变式1-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）已知最简二次根式3x−1√02x+ y−5和❑√x−3 y+11是同类二次 根式，求x2+ y2的平方根． 知识点2：分母有理化 ①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母 组成平方差公式； ②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个． 【题型2 分母有理化】 4 【例2】（23-24九年级·河北衡水·期末）已知a= ，b=❑√5+3，则a与b的关系是（ ） ❑√5−3 A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．互为负倒数 1 2 【变式2-1】（23-24九年级·上海·期末）计算： + = ． 1−❑√2 ❑√2 【变式2-2】（23-24九年级·上海浦东新·期末）2❑√a−1的一个有理化因式是（ ） A．2❑√a−1 B．2❑√a−1 C．2❑√a+1 D．2❑√a+1 【变式2-3】（23-24九年级·江西赣州·期末）观察下列各式及其验证过程． 1 1 =❑√2−1； =❑√3−❑√2． 1+❑√2 ❑√2+❑√3 验证： 1 ❑√2−1 ❑√2−1 ； = = =❑√2−1 1+❑√2 (❑√2+1)(❑√2−1) 2−1 1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2 ． = = =❑√3−❑√2 ❑√2+❑√3 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 3−2 (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： 1 1 =_______， =______； ❑√3+❑√4 ❑√6+❑√7 1 (2)通过上述探究，猜想 =______（n>0，且n为整数），并验证你的结论； ❑√n+❑√n+1 (3)计算：( 1 1 1 1 1 ) + + +…+ + (1+❑√2024) 1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2022+❑√2023 ❑√2023+❑√2024 知识点3：二次根式的加减将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二 次根式. 特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并 23 25 2 (135) 2  2 同类二次根式.如 【题型3 二次根式的加减】 【例3】（23-24九年级·山西吕梁·期末）计算 (1) √3−27−❑√81+(−2) 2 (2)√16 ( 1) ❑ +❑√6− 2❑√6+ 9 3 √1 【变式3-1】（23-24九年级·山东聊城·期末）计算3❑ −2❑√48+❑√27结果为 ． 3 √1 【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·开学考试）2❑√12−6❑ +3❑√48= ． 3 a−b a+b−2❑√ab 【变式3-3】（23-24九年级·全国·单元测试）计算： − ． ❑√a−❑√b ❑√a−❑√b 【题型4 比较二次根式的大小】 【例4】（23-24九年级·河南省直辖县级单位·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取 得很好的效果，例如，比较a=2❑√3和b=3❑√2的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2=12，b2=18， 则a2，<或者=） (2)猜想m=2❑√5+❑√13，n=2❑√7+❑√5之间的大小关系，并证明． 【变式4-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）观察下列一组等式，然后解答问题： (❑√2+1)(❑√2−1)=1， (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)=1， (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3)=1， (❑√5+❑√4)(❑√5−❑√4)=1…… (1)观察以上规律，请写出第n个等式：___________（n为正整数）； 1 1 1 1 (2)利用上面的规律，计算： + + +…+ ； ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2023+❑√2022(3)请利用上面的规律，比较❑√99−❑√98与❑√98−❑√97的大小． ❑√5 【变式4-2】（23-24九年级·河北石家庄·期末）5−❑√2、2+ 、2+❑√2的大小关系是（ ） 2 ❑√5 ❑√5 A．2+❑√2>2+ >5−❑√2 B．5−❑√2>2+ >2+❑√2 2 2 ❑√5 ❑√5 C．2+ >5−❑√2>2+❑√2 D．5−❑√2>2+❑√2>2+ 2 2 【变式4-3】（23-24九年级·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： 1 ❑√2−1 = =❑√2−1 ❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) 1 ❑√3−❑√2 = =❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 1 ❑√4−❑√3 = =❑√4−❑√3=2−❑√3 ❑√4+❑√3 (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) 1 1 (1)化简： =______， =______； ❑√9+❑√8 ❑√91+❑√90 (2)利用上面的规律，比较 ______ （填“ ”或“ ”或“ ”）． (❑√13−❑√12) (❑√14−❑√13) > < = 【题型5 二次根式的混合运算】 【例5】（23-24九年级·河南三门峡·期末）下面是小美同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成 相应的任务． √1 ❑ ×❑√24+❑√12−2(❑√2+❑√3) 8 √1 =❑ ×24+2❑√3−2❑√2+2❑√3………第一步 8 =❑√3+2❑√3+2❑√3−2❑√2………第二步 =5❑√3−2❑√2………第三步 任务： √1 (1)原式中的二次根式❑ 、❑√24、❑√12、❑√2、❑√3中，是最简二次根式的是______； 8 (2)第______步开始出错，错误的原因是______； (3)第一步中，去括号的依据是______；(4)请写出正确的计算过程． 【变式5-1】（23-24九年级·北京房山·期末）计算 ． (❑√5) 2 −(1−3❑√2)(1+3❑√2)= 3 2 ❑√3 【变式5-2】（23-24九年级·湖北十堰·期末）计算 ❑√32− ❑√18+2❑√12× 的结果为（ ） 4 3 4 A．❑√3+2 B．❑√2+3 C．❑√2+❑√3 D．5 【变式5-3】（23-24九年级·江西宜春·期末）（1）计算： ； (2−❑√3)(2+❑√3)−❑√4 1 √b （2）化简：2❑√ab÷ ❑ (a>0)． 2 a 【题型6 已知字母的取值对二次根式进行化简求值】 【例6】（23-24九年级·山东滨州·期中）先化简，再求值： ，其中 x(❑√6−x)+(x+❑√5)(x−❑√5) ( √1 ) ． x= 4❑√3−6❑ +3❑√12 ÷4❑√2 3 ❑√2-1 ❑√2+1 【变式6-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）设x= ，y= ，求x2−3xy+ y2值. ❑√2+1 ❑√2−1 【变式6-2】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）若a=❑√5+2，b=❑√5−2，求： (1)a2−b2； (2)求a3b+ab3． 【变式6-3】（23-24九年级·河北衡水·阶段练习）已知x=2−❑√3，y=2+❑√3． (1)求x+ y和xy的值； (2)求x2+ y2−3xy的值； (3)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值． 【题型7 已知条件式对二次根式进行化简求值】 ❑√x ❑√y 【例7】（23-24九年级·浙江杭州·期末）已知：y＝❑√x−4+❑√4−x＋5，化简并求 − 的 x+❑√xy y−❑√xy 值． 【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）已知 1 ，求√ 1 的值． ❑√x+ =3 ❑ x2+ −19 ❑√x x2 【变式7-2】（23-24九年级·上海宝山·阶段练习）已知实数 满足 a、b ❑√a(❑√a−❑√b)=❑√b(3❑√a+5❑√b)，a+2❑√ab+3b 求代数式 的值． 2a+❑√ab+b √b √a 【变式7-3】（23-24九年级·山东威海·期中）已知a+b=−8，ab=12，求b❑ +a❑ 的值． a b 【题型8 二次根式混合运算的实际应用】 【例8】（23-24九年级·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地ABCD，长BC为❑√128米，宽AB为 ❑√50米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方 形花坛的长为 米，宽为 米． (❑√13+1) (❑√13−1) (1)求长方形绿地ABCD的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【变式8-1】（23-24九年级·安徽合肥·期末）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示 “高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时 间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=❑ √2ℎ （不考虑风速的影响，g≈10m/s2， g ❑√5≈2.236） (1)已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结 果保留根号） (2)小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）=10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？ 【变式8-2】（23-24九年级·河南洛阳·期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图① 所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板A，B． (1)图①截出的正方形木板A的边长为_______dm，B的边长为_______dm； (2)求图①中阴影部分的面积； (3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出面积为25dm2的两个正方形木板，请你判断能 否截出，并说明理由． 【变式8-3】（23-24九年级·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社 团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性 和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． (1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【题型9 二次根式中的新定义类问题】 【例9】（23-24九年级·江苏盐城·期中）对于任意两个非零实数a、b，定义运算⊗如下： {a (a>0) ) a⊗b＝ b ab(a<0) ¿ ¿2 如：2⊗5= ，(−2)⊗5=−2×5=−10． 5 根据上述定义，解决下列问题： (1) ______， ______； ❑√6⊗❑√3= (1−❑√3) ⊗ (1+❑√3)= (2)若(x−1)⊗(x+1)=2，求x的值． 【变式9-1】（23-24九年级·全国·专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数， 则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与❑√2是关于4的因子二次根式，则a= ； (2)若❑√3−1与m−❑√3是关于−2的因子二次根式，求m的值． 【变式9-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）定义：若两个二次根式m，n满足m⋅n=p，且p是有理数． 则称m与n是关于p的美好二次根式． (1)若m与❑√2是关于6的美好二次根式，求m的值： (2)若1−❑√3与4+❑√3m是关于n的美好二次根式，求m和n的值． 【变式9-3】（23-24九年级·江苏盐城·期中）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”． (❑√a+❑√b) (❑√a−❑√b) 因为 ，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对 (❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2 −(❑√b) 2=a−b 偶式”来解决． 例如： ，所以 (❑√15−x+❑√3−x)(❑√15−x−❑√3−x)=(❑√15−x) 2 −(❑√3−x) 2=(15−x)−(3−x)=12 ❑√15−x+❑√3−x与❑√15−x−❑√3−x互为“对偶式”． (1)❑√7−❑√2的“对偶式”是________，❑√21−x−❑√5−x的“对偶式”是________． (2)已知❑√21−x−❑√5−x=2，其中x≤5． ①❑√21−x−❑√5−x的“对偶式”的值是________． ②利用“对偶式”的相关知识，求方程❑√21−x−❑√5−x=2中x的值． 【题型10 二次根式中的阅读理解类问题】 【例10】（23-24九年级·湖北十堰·期末）阅读材料，学解问题：小聪在学习二次根式时，通过计算 ，他就想 化简的结果应为 ，即 ，接着他又通过计算 (❑√2+1) 2=3+2❑√2 ❑√3+2❑√2 ❑√2+1 ❑√3+2❑√2=❑√2+1 验证得到❑√4−2❑√3=❑√3−1，受到这个发现的启迪，于是他就想找到化简形如❑√a+2❑√b的式子的一般方 法．善于思考的小聪进行了以下探索：设 （其中a、b、m、n均为整数）， a+2❑√b=(❑√m+❑√n) 2 则有a+2❑√b=m+n+2❑√mn． ∴m+n=a①，mn=b②， ①+②得mn+m+n=a+b， ∴mn+m+n+1=a+b+1， 因式分解得，(m+1)(n+1)=a+b+1， ∵a、b、m、n均为整数， ∴m+1和n+1均为a+b+1的因数， 由此可以得到方程组验证求出m，n的值，从而化简❑√a±2❑√b． (1)请你根据小聪的方法探索化简❑√8−2❑√15： 当设 （m、n均为正整数， ），则① ______， ______， 8−2❑√15=(❑√m−❑√n) 2 m>n m+n= mn= ∴②mn+m+n+1=______，(m+1)(n+1)=______， ∴③m=______，n= ______，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴④❑√8−2❑√15=______； 在得到❑√a±2❑√b的化简的一般方法后，兴奋的小聪继续深入探究化简形如❑√a±c❑√b（a、b、c均为正整 数，且b没有平方数因数，c≠2）的式子的一般方法，通过思考，他发现当c=2k（k为大于1的整数） 时，将k移进根号内，就把问题转化为❑√a±2❑√b就可以化简了． (2)请你根据小聪的方法化简❑√8−4❑√3=______． 接着他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又 琢磨形如❑√a±d❑√b（a、b、d均为正整数，且b没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化 简，其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将❑√a±d❑√b看出分母为1的式子，然 后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即 ❑√a±d❑√b 2❑√a±d❑√b ❑√4a±4d❑√b ❑√a±d❑√b= = = ，再利用（2）的化简方法就可以解决问题了． 1 2 2 (3)他这种解决问题的策略用的是______数学思想． 【变式10-1】（23-24九年级·陕西咸阳·期末）阅读下列材料，解答提出的问题： 原题：已知 x=2−❑√3,y=2+❑√3.求 x2+xy+ y2的值．佳佳先将 x²+xy+ y²利用完全平方公式转化 为： x2+xy+ y2=(x+ y) 2−xy∵x=2−❑√3,y=2+❑√3 ∴ ， ，∴原式 x+ y=2−❑√3+2+❑√3=4 xy=(2−❑√3)(2+❑√3)=1 =42−1=15. (1)若 求： 的值； x=3−❑√5,y=2+❑√5, (x2−6x+9)(y2−4 y+4) (2)若 x=❑√7+❑√2,y=❑√7−❑√2,求： x2+ y2+2xy−3x−3 y的值． 【变式10-2】（23-24九年级·江西吉安·期末）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务． 任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数． 【变式10-3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公 式》，聪明的你可以发现：当 ， 时，∵ ，∴ ，当且仅 a>0 b>0 (❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0 a+b≥2❑√ab 当a=b时取等号， 4 例如：当a>0时，求a+ 的最小值． a 4 √ 16 √ 4 4 解∵a>0∴a+ ≥2❑a⋅ 又∵2❑a⋅ =4，∴a+ ≥4，即a=2时取等号． a a a a 4 ∴a+ 的最小值为4． a 请利用上述结论解决以下问题： 1 (1)当x>0时，当且仅当x=__________时，x+ 有最小值__________． x m2+5m+12 (2)当m>0时，求 的最小值． m (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？