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专题 24.1 圆【十大题型】
【人教版】
【题型1 圆的基本概念】..........................................................................................................................................1
【题型2 识别圆心角】..............................................................................................................................................4
【题型3 求圆中弦的条数】......................................................................................................................................7
【题型4 圆的周长和面积】....................................................................................................................................10
【题型5 确定圆内一点最长的弦】........................................................................................................................13
【题型6 判断点与圆的位置关系】........................................................................................................................16
【题型7 由点与圆的位置关系求半径】................................................................................................................20
【题型8 求一点到圆上点的距离的最值】...........................................................................................................22
【题型9 圆中角度的计算】....................................................................................................................................27
【题型10 圆中线段长度的计算】............................................................................................................................32
知识点1：圆的有关概念
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图
形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。
第二种：圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定
义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧
都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧
才就是等弧，而不就是长度相等的弧。
同圆或等圆的半径相等.
【题型1 圆的基本概念】
【例1】（23-24九年级·山东潍坊·期末）下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
【答案】B
【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概
念，逐个判断即可．
【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意；
B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意；
D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（23-24·甘肃平凉·模拟预测）如图， ⊙O的两条弦AF、BE的延长线交于C点，∠ACB的
平分线CD过点O，请直接写出图中一对相等的线段： ．
【答案】AF=BE（或CF=CE或AC=BC）
【分析】根据圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的每一条直线；角是轴对称图形，对称轴是角平分线所
在的直线结合进行判断．此题关键是根据图形的对称性，分析可以重合的线段．
【详解】这个图形是轴对称图形，对称轴即是直线CD，根据轴对称的性质，得AF=BE或CF=CE或
AC=BC．
故答案为：AF=BE（或CF=CE或AC=BC）．
【变式1-2】（23-24·湖南常德·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,0)，点B在y轴正半
轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
【答案】(1,0)
【分析】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点．连接BC，先根据点A的坐标可得OA=1，再根据等腰三角形的判定可得△ABC是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可
得OC=OA=1，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接BC，
∵ A (−1,0)
点 的坐标为 ，
∴OA=1，
由同圆半径相等得：BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵BO⊥AC，
∴OC=OA=1（等腰三角形的三线合一），
又∵点C位于x轴正半轴，
∴点C的坐标为(1,0)，
故答案为：(1,0)．
【变式1-3】（23-24·河北邯郸·二模）如图，在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小圆的直径，
且AB与CD不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是
（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分
【答案】D
【分析】本题主要考查圆的性质和平行四边形的判定，在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小
圆的直径，且AB与CD不在同一条直线上，可得OA=OB,OC=OD,故可判断四边形ADBC是平行四边形
【详解】解：在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小圆的直径，且AB与CD不在同一条直线
上，∴OA=OB,OC=OD,
∴四边形ADBC是平行四边形
故选：D
知识点2：圆心角
顶点在圆心的角叫圆心角.
【题型2 识别圆心角】
【例2】（23-24·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量
角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 ．
【答案】52.5°
【分析】方法一∶如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，
∠AOB=50°−25°=25°，然后再根据等腰三角形的性质求得∠OAB=65°、∠OAD=25°，最后根据
角的和差即可解答．
方法二∶ 连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=105°，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】方法一∶ 解：如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，
由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°−25°=25°，∠AOD=155°−25°=130°，
1 1
∴∠OAB= (180°−∠AOB)=77.5°，∠OAD= (180°−∠AOB)=25°，
2 2
∴∠BAD=∠OAB−∠OAD=52.5°．
故答案为52.5°．方法二∶解∶ 连接OB,OD，
由题意可得：∠BAD=155°−50°=105°，
1 1
根据圆周角定理，知∠BAD= ∠BOD= ×105°=52.5°．
2 2
故答案为52.5°．
【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度
数的一半是解答本题的关键．
【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）下图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧
AB所对的圆心角进行判断.
【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；
B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；D、不是圆心角，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为
°．
【答案】60
【分析】本题考查了圆心角、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角是解题关键．根据等边三角形的
判定与性质可得∠AOB=60°，由此即可得．
【详解】解：如图，∵在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
即弦AB所对的圆心角为60°，
故答案为：60．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的
度数为40°，求∠AOC的度数．
【答案】70°
【分析】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和
定理可求出∠OCE=(180°−40°)÷2=70°，再由CE∥AB，即可得到∠AOC=∠OCE=70°．
【详解】解：连接OE，如图，∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE=40°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=(180°−40°)÷2=70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC=∠OCE=70°．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握
圆的基本性质是解题的关键．
【题型3 求圆中弦的条数】
【例3】（23-24九年级·河南濮阳·期末）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条
直线上，则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选B．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦．
【变式3-1】（23-24九年级·江西南昌·阶段练习）如图，△ABC是⊙O内接三角形，请仅用无刻度的直
尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画山一条与BC相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与△ABC全等的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结CO并延长交⊙O于E，连接BO并延长交⊙O于D，连结ED，再证 BOC≌△DOE
（SAS），可得BC=DE； △
（2）连结AO并延长交⊙O于A′，OA=OA′，连结BO并延长交⊙O于B′，OB=OB′，连结CO并延长交
⊙O于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证 BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证
BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△ AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应
△相等判定方法可证 ABC≌△A′B′C′（SSS）． △
【详解】解：（1）△如图1，DE为所作；
连结CO并延长交⊙O于E，连接BO并延长交⊙O于D，连结ED，
∵OB=OD=OE=OC，
在 BOC和 DOE中，
{ △ OC=O△E )
∠COB=∠EOD ，
OB=OD
∴△BOC≌△DOE（SAS），
∴BC=DE；
（2）如图2， A′B′C′为所作．
连结AO并延长△交⊙O于A′，OA=OA′，连结BO并延长交⊙O于B′，OB=OB′，连结CO并延长交⊙O于C′，OC=OC′，
在 BOC和 B′OC′中，
△ △
{
OC=OC′
)
∠COB=∠C′OB′ ，
OB=OB′
∴△BOC≌△B′OC′（SAS），
∴BC=B′C′；
同理可证 BOA≌△B′OA′（SAS），
∴AB=A′B′△，
同理可证 AOC≌△A′OC′（SAS），
∴AC=A′C△′，
在 ABC和 A′B′C′中，
△ △
{AB=A′B′
)
AC=A′C′ ，
BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性
质与三角形全等判定与性质是解题关键．
【变式3-2】（23-24九年级·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的
优弧有 条，劣弧有 条．【答案】 1 3 4 4
【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条，
故答案为1，3，4，4．
【变式3-3】（23-24九年级·全国·课后作业）⊙O的半径为2cm，A为⊙O上一定点，点P在⊙O上沿圆
周运动（不与点A重合），则使弦AP的长度为整数的点P共有 个．
【答案】7
【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定
义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径．
根据⊙O的半径为2cm，得到直径AB=4cm，根据0r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔dr，
∴点P在圆外，
故答案为：圆外．
【变式6-1】（23-24九年级·广东湛江·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，点D在边AB
上，且AD=5，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，三角形中位线定理等知识．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d200，
∴点A，B，C都不在覆盖范围内，
故选：A．
【变式6-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC
于点D，点P为AD上的点，DP=2，以点P为圆心6cm为半径画圆，下列说法错误的是（ ）
A．点A在⊙P外 B．点B在⊙P外
C．点C在⊙P外 D．点D在⊙P内
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求出BD=CD=6cm，利用勾股定理求出AD，得到AP的长，即可判断点A
与⊙P的位置关系；利用勾股定理求出BP、CP，即可判断点B、C与⊙P的位置关系，由DP即可判断点
D与⊙P位置关系．
【详解】解：∵AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC，
∴BD=CD=6cm，∠ADC=90°，
∴AD=❑√AC2−CD2=❑√102−62=8cm，∵DP=2cm，
∴AP=6cm，
∴点A在⊙P上；故A选项符合题意；
连接BP、CP，
∵AB=AC,AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP=❑√CD2+PD2=❑√62+22=2❑√10>6,
∴点B、C都在⊙P外；故B、C选项都不符合题意；
∵DP=2<6，
∴点D在⊙P内，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形三线合一
的性质，熟记点与圆的位置关系是解题的关键．
【题型7 由点与圆的位置关系求半径】
【例7】（23-24九年级·北京顺义·期末）已知矩形ABCD中， AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作
圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 ．
【答案】3≤r≤5
【分析】连接BD，AC，利用勾股定理求出BD的长，抓住已知以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，就可求出⊙B的半径r的取值范围．
【详解】解：连接BD，AC，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3，
∴BD=AC=❑√AB2+BC2=5，AD=BC=3，CD=AB=4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故答案为：3≤r≤5．
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理．注意若半径为r，点到圆心的距离为
d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当dr可得解．
【详解】解：设⊙O的半径为r，
∵⊙O的面积为9π，
∴πr2=9π，
∴r=3，
∴⊙O的半径为3，
∴当OP>3时，点P一定在⊙O的外部．
故答案为：>3．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系．
【变式7-2】（23-24九年级·江苏南通·期中）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，
⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（ ）
A．b>2 B．b>6 C．b<2或b>6 D．28（舍去），
1 2
∴OA =OA−2AC=8−2(8−4❑√2)=8❑√2−8，
1
故答案为：8❑√2−8．
【变式10-1】（23-24九年级·山东滨州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3，以点C为圆
心、CA为半径的圆与AB交于点D，若点D巧好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
3
A． B．3 C． 6 D．9
2
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的圆的性质求解即可；
【详解】连接CD，
∵以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，AC=3，
∴CA=CD=3，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为线段AB的中点，
1
∴CD= AB，
2∴AB=2CD=6；
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和圆的性质，准确计算是解题的关键．
【变式10-2】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点O在边BC上，OC=1
，点A在⊙O上，⊙O与直线BC交于点M,N（点M在点N右侧），则AM的长度为（ ）
A．3❑√5 B．8 C．4❑√5 D．2❑√10
【答案】C
【分析】连接OA，由正方形性质可得AB=BC=4，OB=BC−OC=4−1=3，∠ABC=90°，然后用勾
股定理求出半径，再求出OM的长即可．
【详解】解：连接OA，
∵正方形ABCD的边长为4，OC=1，
∴AB=BC=4，OB=BC−OC=4−1=3，∠ABC=90°，
∴在Rt△AOB中，OA=❑√AB2+OB2=❑√42+32=5，
∴OM=OA=5，
∴BM=BO+OM=3+5=8，
∴在Rt△ABM中，AM=❑√AB2+BM2=❑√42+82=4❑√5，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、圆的性质及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握有关圆的性质，属
于中考常考题型．【变式10-3】（23-24·广东江门·模拟预测）综合探究
如图，在扇形OMN中，OM=3,∠MON=90°,A是M´N上异于M,N的动点，过点A作AB⊥OM于点
B，作AC⊥ON于点C，连接BC，点E,D在线段BC上，且BE=ED=DC．
(1)求证：四边形OEAD是平行四边形．
(2)当点A在M´N上运动时，在AB,AE,BE中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长
度；若不存在，请说明理由．
(3)求证：AB2+3AD2是定值．
【答案】(1)见解析；
(2)存在，1；
(3)见解析．
【分析】本题主要考查圆的基本性质以及勾股定理：
（1）道德证明四边形OBAC是矩形，得OF=AF,CF=BF，同理可证DF=EF，得出四边形OEAD是平
行四边形．
1
（2）根据点A是M´N上的点，OM=3，得出BC=OA=OM=3，由BE=EF=FC得出BE= BC=1；
3
x❑√9−x2 6−x2
（3）过点A作AH⊥BC于点H．设AB=OC=x，则AC=❑√9−x2，求出AH= ，DH=
3 3
，计算出3AD2，进一步可得出结论
【详解】（1）证明：如图，连接OA交BC于点F．
∵AB⊥OM,AC⊥ON,∠MON=90°
，
∴∠ACO=∠ABO=∠BOC=90°，∴四边形OBAC是矩形，
∴OF=AF,CF=BF．
∵BE=DC，
∴CF−CD=BF−BE，
∴DF=EF，
∴四边形OEAD是平行四边形．
（2）解：存在，线段BE的长度不变．
∵点A是M´N上的点，OA=3,
在矩形OBAC中，BC=OA=OM=3．
∵BE=ED=DC,BC=CD+DE+EB，
1 1
∴BE= BC= ×3=1．
3 3
（3）解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．
设AB=OC=x，则AC=❑√OA2−OC2=❑√9−x2．
1 1 x❑√9−x2
由 BC⋅AH= AB⋅CA，得AH= ，
2 2 3
√ (x❑√9−x2) 2 x2
∴BH=❑ x2− = ．
3 3
x2 6−x2
∴DH=BC−CD=3−1− = ，
3 3
[ (6−x2 ) 2 (x❑√9−x2) 2 )
∴3AD2=3(AH2+DH2)=3 + =12−x2，
3 3
∴AB2+3AD2=x2+12−x2=12，
是定值．
