专题 24.1 圆【十大题型】
【人教版】
【题型1 圆的基本概念】..........................................................................................................................................1
【题型2 识别圆心角】..............................................................................................................................................4
【题型3 求圆中弦的条数】......................................................................................................................................7
【题型4 圆的周长和面积】....................................................................................................................................10
【题型5 确定圆内一点最长的弦】........................................................................................................................13
【题型6 判断点与圆的位置关系】........................................................................................................................16
【题型7 由点与圆的位置关系求半径】................................................................................................................20
【题型8 求一点到圆上点的距离的最值】...........................................................................................................22
【题型9 圆中角度的计算】....................................................................................................................................27
【题型10 圆中线段长度的计算】............................................................................................................................32
知识点1：圆的有关概念
圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图
形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。
第二种：圆心为O，半径为r的圆可以瞧成就是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知：第一种定义就是圆的形成进行描述的，第二种就是运用集合的观点下的定
义，但就是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧
都叫做半圆。小于半圆的弧叫做劣弧。大于半圆的弧叫做优弧。
等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
弦就是线段，弧就是曲线，判断等弧首要的条件就是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧
才就是等弧，而不就是长度相等的弧。
同圆或等圆的半径相等.
【题型1 圆的基本概念】
【例1】（23-24九年级·山东潍坊·期末）下列说法正确的有（ ）
A．经过圆心的线段是直径 B．直径是同一个圆中最长的弦C．长度相等的两条弧是等弧 D．弧分为优弧和劣弧
【答案】B
【分析】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握直径的定义，弧的定义，弧的分类，根据相关概
念，逐个判断即可．
【详解】解：A、经过圆心，且两端点在圆上的线段是直径，故A不正确，不符合题意；
B、直径是同一个圆中最长的弦，故B正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故C不正确，不符合题意；
D、弧分为优弧、劣弧和半圆，故D不正确，不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（23-24·甘肃平凉·模拟预测）如图， ⊙O的两条弦AF、BE的延长线交于C点，∠ACB的
平分线CD过点O，请直接写出图中一对相等的线段： ．
【答案】AF=BE（或CF=CE或AC=BC）
【分析】根据圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的每一条直线；角是轴对称图形，对称轴是角平分线所
在的直线结合进行判断．此题关键是根据图形的对称性，分析可以重合的线段．
【详解】这个图形是轴对称图形，对称轴即是直线CD，根据轴对称的性质，得AF=BE或CF=CE或
AC=BC．
故答案为：AF=BE（或CF=CE或AC=BC）．
【变式1-2】（23-24·湖南常德·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−1,0)，点B在y轴正半
轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
【答案】(1,0)
【分析】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点．连接BC，先根据点A的坐标可得OA=1，再根据等腰三角形的判定可得△ABC是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可
得OC=OA=1，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接BC，
∵ A (−1,0)
点 的坐标为 ，
∴OA=1，
由同圆半径相等得：BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵BO⊥AC，
∴OC=OA=1（等腰三角形的三线合一），
又∵点C位于x轴正半轴，
∴点C的坐标为(1,0)，
故答案为：(1,0)．
【变式1-3】（23-24·河北邯郸·二模）如图，在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小圆的直径，
且AB与CD不在同一条直线上，则可直接判定以点A，C，B，D为顶点的四边形是平行四边形的条件是
（ ）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等 D．对角线互相平分
【答案】D
【分析】本题主要考查圆的性质和平行四边形的判定，在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小
圆的直径，且AB与CD不在同一条直线上，可得OA=OB,OC=OD,故可判断四边形ADBC是平行四边形
【详解】解：在两个同心圆⊙O中，AB，CD分别是大圆和小圆的直径，且AB与CD不在同一条直线
上，∴OA=OB,OC=OD,
∴四边形ADBC是平行四边形
故选：D
知识点2：圆心角
顶点在圆心的角叫圆心角.
【题型2 识别圆心角】
【例2】（23-24·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量
角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 ．
【答案】52.5°
【分析】方法一∶如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，由题意可得：OA=OB=OC=OD，
∠AOB=50°−25°=25°，然后再根据等腰三角形的性质求得∠OAB=65°、∠OAD=25°，最后根据
角的和差即可解答．
方法二∶ 连接OB,OD，由题意可得：∠BAD=105°，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】方法一∶ 解：如图：连接OA,OB,OC,OD,AD,AB，
由题意可得：OA=OB=OC=OD，∠AOB=50°−25°=25°，∠AOD=155°−25°=130°，
1 1
∴∠OAB= (180°−∠AOB)=77.5°，∠OAD= (180°−∠AOB)=25°，
2 2
∴∠BAD=∠OAB−∠OAD=52.5°．
故答案为52.5°．方法二∶解∶ 连接OB,OD，
由题意可得：∠BAD=155°−50°=105°，
1 1
根据圆周角定理，知∠BAD= ∠BOD= ×105°=52.5°．
2 2
故答案为52.5°．
【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度
数的一半是解答本题的关键．
【变式2-1】（23-24九年级·全国·课后作业）下图中是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB, 称为弧
AB所对的圆心角进行判断.
【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；
B、不是圆心角，故不符合题意；
C、是圆心角，故符合题意；D、不是圆心角，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为
°．
【答案】60
【分析】本题考查了圆心角、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角是解题关键．根据等边三角形的
判定与性质可得∠AOB=60°，由此即可得．
【详解】解：如图，∵在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
即弦AB所对的圆心角为60°，
故答案为：60．
【变式2-3】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的
度数为40°，求∠AOC的度数．
【答案】70°
【分析】连接OE，由弧CE的度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和
定理可求出∠OCE=(180°−40°)÷2=70°，再由CE∥AB，即可得到∠AOC=∠OCE=70°．
【详解】解：连接OE，如图，∵弧CE的度数为40°，
∴∠COE=40°，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE=(180°−40°)÷2=70°，
∵弦CE∥AB，
∴∠AOC=∠OCE=70°．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握
圆的基本性质是解题的关键．
【题型3 求圆中弦的条数】
【例3】（23-24九年级·河南濮阳·期末）如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条
直线上，则图中的弦有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】B
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，
故选B．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦．
【变式3-1】（23-24九年级·江西南昌·阶段练习）如图，△ABC是⊙O内接三角形，请仅用无刻度的直
尺，分别按下列要求画图．（1）在图1中，画山一条与BC相等的弦；
（2）在图2中，画出一个与△ABC全等的三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结CO并延长交⊙O于E，连接BO并延长交⊙O于D，连结ED，再证 BOC≌△DOE
（SAS），可得BC=DE； △
（2）连结AO并延长交⊙O于A′，OA=OA′，连结BO并延长交⊙O于B′，OB=OB′，连结CO并延长交
⊙O于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证 BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证
BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△ AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应
△相等判定方法可证 ABC≌△A′B′C′（SSS）． △
【详解】解：（1）△如图1，DE为所作；
连结CO并延长交⊙O于E，连接BO并延长交⊙O于D，连结ED，
∵OB=OD=OE=OC，
在 BOC和 DOE中，
{ △ OC=O△E )
∠COB=∠EOD ，
OB=OD
∴△BOC≌△DOE（SAS），
∴BC=DE；
（2）如图2， A′B′C′为所作．
连结AO并延长△交⊙O于A′，OA=OA′，连结BO并延长交⊙O于B′，OB=OB′，连结CO并延长交⊙O于C′，OC=OC′，
在 BOC和 B′OC′中，
△ △
{
OC=OC′
)
∠COB=∠C′OB′ ，
OB=OB′
∴△BOC≌△B′OC′（SAS），
∴BC=B′C′；
同理可证 BOA≌△B′OA′（SAS），
∴AB=A′B′△，
同理可证 AOC≌△A′OC′（SAS），
∴AC=A′C△′，
在 ABC和 A′B′C′中，
△ △
{AB=A′B′
)
AC=A′C′ ，
BC=B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．
【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性
质与三角形全等判定与性质是解题关键．
【变式3-2】（23-24九年级·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的
优弧有 条，劣弧有 条．【答案】 1 3 4 4
【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条，
故答案为1，3，4，4．
【变式3-3】（23-24九年级·全国·课后作业）⊙O的半径为2cm，A为⊙O上一定点，点P在⊙O上沿圆
周运动（不与点A重合），则使弦AP的长度为整数的点P共有 个．
【答案】7
【分析】本题主要考查了圆的弦的概念．熟练掌握圆的弦的定义和性质，是解决问题的关键．圆的弦的定
义：连接圆上任意两点间的线段叫做弦．最大弦是直径．
根据⊙O的半径为2cm，得到直径AB=4cm，根据0<AP≤4，得到在半圆上，AP有3个，另一侧也有3
个，加上长度为4cm的是与B点重合，一共有7个．
【详解】如图，∵⊙O的半径为2cm，
∴直径AB=4cm，
∴弦AP长的整数值有1cm或2cm或3cm或4cm，共4种可能，
当AP=1cm或2cm或3cm时,各有2条,
当AP=4cm时有1条,
∴这样的弦共有7条．
∴这样的点P共有7个．
故答案为：7．
【题型4 圆的周长和面积】
【例4】（23-24九年级·山东潍坊·期末）由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图
形的面积为 ．
【答案】16π
【分析】根据题意调查到点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是半径为5和半径为3⊙O所
组成的环形面积即可．本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
【详解】解：如图，到点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是图中环形，
所以S =S −S
环形 大圆 小圆
=π×52−π×32
=25π−9π
=16π．
故答案为：16π．
【变式4-1】（23-24九年级·上海静安·期末）如图，圆环的内外圈用铁丝围成，其中大圆半径比小圆半径
的2倍多1米，如果圆环的面积等于40π平方米，求围成圆环铁丝的总长度.
【答案】20π
【分析】设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r+1，根据S =S −S ，列方程求得大圆和小圆的
圆环 大圆 小圆
半径，再计算大圆和小圆的周长之和即可求解．
【详解】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为2r+1，
由图可得，S =S −S ，即(2r+1) 2 ⋅π−πr2=40π，
圆环 大圆 小圆
13
解得， r=− （舍），r=3，
3
∴2r+1=2×3+1=7，
∴2π×3+2π×7=20π，
答：围成圆环铁丝的总长度为20π．
【变式4-2】（23-24九年级·福建厦门·期末）如图，长方形ABCD的面积为225cm2，长和宽的比为5∶3，在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为75cm2的圆（π取3），请通过计算说明理由．
【答案】不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆，理由见解析
【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm，结合长方形ABCD的面积为
225cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公
式以及圆的面积为75cm2，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比
较即可得出结论．
【详解】解：设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm，
根据题意得5x⋅3x=225，
解得x=±❑√15（负值舍弃），
∴x=❑√15，
∴AB=5❑√15cm，AD=3❑√15cm，
∵圆的面积为75cm2，设圆的半径为rcm，
∴πr2=75，
解得r=5cm，
∴4r=20cm，
∵5❑√15<20，
∴不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小的比较，解题关键是求出圆的半径以及长方
形的长．
【变式4-3】（23-24九年级·湖北武汉·期末）如图，是编号为1、2、3、4的400m跑道，每条跑道由两条
直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，每条跑道宽1m，内侧的1号跑道长度为400m，则2号跑道比1号
跑道长 m；若在一次200m比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要使得每
个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移 m（π取3.14）．【答案】 6.28 6.28
【分析】利用各跑道直线跑道相等，每条跑道宽1m，两个半圆相加得一个整圆列出式子对比即可．
【详解】解：设直线部分长为l米
1
1号：2πr× ×2+2l=400m`
2
1
2号：2π(r+1)× ×2+2l=(400+2π)m
2
1
3号：2π(r+2)× ×2+2l=(400+4π)m
2
1
4号：2π(r+3)× ×2+2l=(400+6π)m
2
2号比1号长：(400+2π)−400=2π=6.28m
(400+6π)−(400+2π)
4号起点比2号起点前移： =2π=6.28m
2
故答案为：6.28，6.28
【点睛】本题考查了列代数式，圆的周长公式，整式的加减等知识点，熟练掌握是解题的关键．
【题型5 确定圆内一点最长的弦】
【例5】（23-24·广东深圳·二模）如图（a），A，B是⊙O上两定点，∠AOB=90°，圆上一动点P从点
B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是x(s)，线段AP的长度是y(cm)．图（b）是y随x变化
的关系图象，其中图象与x轴交点的横坐标记为m，则m的值是（ ）
14
A．8 B．6 C．4❑√2 D．
3【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点P的运动时间是解题关键．
根据AP最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答．
【详解】解：如图，当点P运动到PA过圆心O，即PA为直径时，AP最长，
由图（b）得，AP最长时为6，此时x=2，
∵∠AOB=90°，
∴∠POB=90°，
∴此时点P路程为90度的弧，
∵点P从点B运动到点A的弧度为270度，
∴运动时间为2×3=6，
故选：B．
【变式5-1】（23-24九年级·河南周口·期末）若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，则AB的长不可能
是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据直径是最长的弦即可求解．
【详解】解：∵若⊙O的直径长为4，点A，B在⊙O上，
∴AB的长不可能是5，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键．
【变式5-2】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）如图，AB是半径为2的⊙O的弦，点C是⊙O上的一个
动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．【答案】2
1
【分析】如图，连接AO并延长，交圆于点D，连接BD，由中位线定理，得MN= AC，点A为定点，C
2
1 1
为动点，AC的最大值为直径长，即AD长．于是MN= AC的最大值为 AD=2．
2 2
【详解】解：如图，连接AO并延长，交圆于点D，连接BD，
∵点M，N分别是AB，BC中点，
1
∴MN= AC．
2
点A为定点，C为动点，AC的最大值为直径长，即AD长．
∵AD是直径，
∴AD=4．
1 1
∴MN= AC的最大值为 AD=2．
2 2
故答案为：2
【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键．
【变式5-3】（23-24九年级·江苏宿迁·期中）如图，⊙O的半径为5，弦BD的长为6，延长BD至点A，使
得点D为AB的中点，在⊙O上任取一点C，连接AC、BC，则AC2+BC2的最大值为（ ）A．290 B．272 C．252 D．244
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，圆内最长弦是直径，过点C作CN⊥AB于点N，连接CD，根据勾股定理
可得AC2+BC2 =72+2(DN2+CN2)，CD2=DN2+CN2，利用弦CD最长等于直径即可得出答案．
【详解】解：过点C作CN⊥AB于点N，连接CD，
∵点D为AB的中点，BD=6，
∴AD=BD=6，
∵CN⊥AB，
∴∠ANC=∠BNC=90°，
∴AC2=AN2+CN2，
∴AC2+BC2=AN2+CN2+BN2+CN2
=(AD+DN) 2+(BD−DN) 2+2CN2
=AD2+2AD⋅DN+DN2+BD2−2BD⋅DN+DN2+2CN2
=62+2AD⋅DN+DN2+62−2AD⋅DN+DN2+2CN2
=72+2DN2+2CN2
=72+2(DN2+CN2)，
当DN2+CN2最大时，AC2+BC2最大，
在Rt△CDN中，
CD2=DN2+CN2，
∴当CD最大时，AC2+BC2最大，∵ ⊙O的半径为5，
∴弦CD最长等于直径是10，
∴DN2+CN2=CD2=100，
AC2+BC2=72+2(DN2+CN2)=72+2×100=272．
故选：B．
知识点3：点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：
点P在圆外 d＞r；
点P在圆上 d=r；
点P在圆内 d＜r.
【题型6 判断点与圆的位置关系】
【例6】（23-24九年级·安徽阜阳·期末）在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为6cm，则
点P与⊙O的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．
【答案】圆外
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外
⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r；据此即可判断求解，掌握点与圆的位置关系是解题的关
键．
【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为6cm，
∴d>r，
∴点P在圆外，
故答案为：圆外．
【变式6-1】（23-24九年级·广东湛江·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，点D在边AB
上，且AD=5，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断，三角形中位线定理等知识．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．首先根据
1
三角形中位线的性质得出OP= AD，进而利用点与圆的位置关系得出即可．
2
【详解】解：连接OP，
∵以AC为直径作⊙O，线段CD的中点为P，
∴OP是△CAD的中位线，
1
∴OP= AD=2.5，
2
1
∵AO=CO= AC=2，
2
∴2<2.5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外．
故选：C．
【变式6-2】（23-24九年级·北京海淀·期末）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一
个5G基站，其覆盖半径为200m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C
【答案】A
【分析】
根据勾股定理的逆定理证得△ABC是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得BD的长，然
后与200m比较大小，即可解答本题．本题考查勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，点
D与圆的位置关系，解题的关键是求出三角形三个顶点到点的距离．
【详解】解：∵AB=300m，BC=400m，AC=500m，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，
∵点D是斜边AC的中点，
1
∴AD=CD=250m，BD= AC=250m，
2
如图，以D为圆心，200m为半径画圆，
∵250>200，
∴点A，B，C都不在覆盖范围内，
故选：A．
【变式6-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图，△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC
于点D，点P为AD上的点，DP=2，以点P为圆心6cm为半径画圆，下列说法错误的是（ ）
A．点A在⊙P外 B．点B在⊙P外
C．点C在⊙P外 D．点D在⊙P内
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求出BD=CD=6cm，利用勾股定理求出AD，得到AP的长，即可判断点A
与⊙P的位置关系；利用勾股定理求出BP、CP，即可判断点B、C与⊙P的位置关系，由DP即可判断点
D与⊙P位置关系．
【详解】解：∵AB=AC=10cm,BC=12cm,AD⊥BC，
∴BD=CD=6cm，∠ADC=90°，
∴AD=❑√AC2−CD2=❑√102−62=8cm，∵DP=2cm，
∴AP=6cm，
∴点A在⊙P上；故A选项符合题意；
连接BP、CP，
∵AB=AC,AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴BP=CP=❑√CD2+PD2=❑√62+22=2❑√10>6,
∴点B、C都在⊙P外；故B、C选项都不符合题意；
∵DP=2<6，
∴点D在⊙P内，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，线段垂直平分线的判定及性质，等腰三角形三线合一
的性质，熟记点与圆的位置关系是解题的关键．
【题型7 由点与圆的位置关系求半径】
【例7】（23-24九年级·北京顺义·期末）已知矩形ABCD中， AB=4，BC=3，以点B为圆心r为半径作
圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 ．
【答案】3≤r≤5
【分析】连接BD，AC，利用勾股定理求出BD的长，抓住已知以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，就可求出⊙B的半径r的取值范围．
【详解】解：连接BD，AC，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3，
∴BD=AC=❑√AB2+BC2=5，AD=BC=3，CD=AB=4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故答案为：3≤r≤5．
【点睛】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理．注意若半径为r，点到圆心的距离为
d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．
【变式7-1】（23-24九年级·山东烟台·期末）点P是⊙O所在平面内一点，若⊙O的面积为9π，则当OP
时，点P－定在⊙O的外部．
【答案】＞3
【分析】由⊙O的面积为9π，可求出半径为3，再根据点P在圆外d>r可得解．
【详解】解：设⊙O的半径为r，
∵⊙O的面积为9π，
∴πr2=9π，
∴r=3，
∴⊙O的半径为3，
∴当OP>3时，点P一定在⊙O的外部．
故答案为：>3．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系．
【变式7-2】（23-24九年级·江苏南通·期中）在数轴上，点A所表示的实数为4，点B所表示的实数为b，
⊙A的半径为2，要使点B在⊙A内时，实数b的取值范围是（ ）
A．b>2 B．b>6 C．b<2或b>6 D．2<b<6【答案】D
【分析】要使点B在⊙A内，则AB<2，即|b−4)<2，求解即可．
【详解】解：要使点B在⊙A内，则AB<2，即|b−4)<2
解得2<b<6，
故选：D
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点
到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
【变式7-3】（23-24九年级·上海·专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D
在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能
是（ ）
A．r=1 B．r=3 C．r=5 D．r=7
【答案】B
【分析】连接AD交⊙A于E，根据勾股定理求出AD的长，从而求出DE、DB的长，再根据相交两圆的
位置关系得出r的范围即可．
【详解】解：连接AD交⊙A于E，如图1，
在Rt △ACD中，由勾股定理得：AD=❑√AC2+CD2=❑√42+32=5，
则DE=AD−AE=5−3=2，
∵BC=7，CD=3，∴BD=7−3=4，
∴ ⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，必须2<r<4，
即只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和
点与圆的位置关系的内容是解题的关键．
【题型8 求一点到圆上点的距离的最值】
【例8】（23-24·陕西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3， M是平面内一动点，且
BM=1，则线段MD的最大值为 ．
【答案】❑√13+1/1+❑√13
【分析】该题主要考查了矩形的性质，勾股定理，圆相关知识点，解题的关键是明确点M的运动轨迹．
根据勾股定理算出BD=❑√13，再根据题意确定点M在以1为半径的⊙B上运动，DM的最大值=BD+BM
，即可求解；
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°,CD=AB=2，
∴BD=❑√22+32=❑√13，
∵BM=1，
∴点M在以1为半径的⊙B上运动，
如图当B,M,D三点共线时，DM最大，最大值=BD+BM=❑√13+1．
故答案为：❑√13+1．
【变式8-1】（23-24·河南郑州·三模）如图，点M是等边三角形ABC边BC的中点，P是三角形内一点，
连接AP，将线段AP以A为中心逆时针旋转60°得到线段AQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的
最小值为 ．
【答案】2❑√3−1
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有
关定义以及和性质等知识，得到点Q的运动路线是解答的关键．连接PM，AM，将线段AM绕着点A逆
时针旋转60°得到线段AH，连接QH，MH，由旋转性质可推导△HAQ≌△MAP(SAS)，△MAH是等边
三角形，则HQ=MP=1，MH=AM，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而
可知当M、Q、H共线时，MQ最小，最小值为MH−1，根据等边三角形的性质求得AM值即可求解．
【详解】解：连接PM，AM，将线段AM绕着点A逆时针旋转60°得到线段AH，连接QH，MH，
由旋转性质得AQ=AP，AH=AM，∠MAH=∠PAQ=60°，即∠HAQ=∠MAP=60°−∠QAM，
∴△HAQ≌△MAP(SAS)，△MAH是等边三角形，
∴HQ=MP=1，MH=AM，
则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，
∵MQ≥MH−HQ，
∴当M、Q、H共线时，MQ最小，最小值为MH−1，
∵点M是等边三角形ABC边BC的中点，AB=4，
1 1
∴AM⊥BC，BM= BC= AB=2，
2 2∴AM=❑√AB2−BM2=❑√42−22=2❑√3，即MH=2❑√3，
∴MQ的最小值为2❑√3−1，
故答案为：2❑√3−1．
【变式8-2】（23-24九年级·湖北武汉·期中）如图，已知在△ABC中，BA=BC=15，AC=18，将
△ABC绕点A逆时针旋转．得到△AB′C′．点D是边AC的中点，点E为边BC上的动点，在△ABC绕点
A逆时针旋转的过程中，点E的对应点是点E′，则线段DE′长度的最大值与最小值的差是 ．
108
【答案】
5
【分析】如图，连接BD，作AH⊥B′C′于H，B′D′⊥AC′于D′．求出DE′的最小值以及最大值即可解
决问题．
【详解】解：如图，连接BD，作AH⊥B′C′于H，B′D′⊥AC′于D′．
以A为圆心，以AH为半径作圆，与直线AC的右侧交点为E″，
以A为圆心，以AC为半径作圆，与直线AC的左侧交点为C″，
∵BA=BC=15，AC=18，点D是边AC的中点，
1
∴BD⊥AC，AD=DC= AC=9，
2
∴BD=B′D′=❑√BA2−AD2=❑√152−92=12，
1 1
∵S = B′D′·AC′= B′C′·AH，
△AB′C′ 2 2
B′D′·AC′ 12×18 72
∴AH= = = ，
B′C′ 15 5
72 27
在旋转过程中，当点E′与E″重合时，DE″的值最小，且最小值为： −9= ，
5 5
当点E′与C″重合时，DC″的值最大，且最大值18+9=27，
27 108
∴线段DE′长度的最大值与最小值的差为：27− = ，
5 5108
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质，
熟练掌握勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，垂线段最短，圆的基本性质是解题的关键．
32
【变式8-3】（23-24九年级·江苏镇江·阶段练习）如图，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交
25x
于A、B两点，点P在以C(−2,0)为圆心，1为半径的⊙C上运动，点Q是AP的中点，则OQ长的最大值
为（ ）
3 5 4 3
A． B． C． D．
2 2 5 5
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题,三角形中位线定理,圆的性质等知识点，熟练掌
握正比例函数与反比例函数的性质是解题关键．连结PB，根据反比例函数的中心对称性可得OA=OB，
1
即得OQ是△ABP的中位线，所以OQ= PB，当PB经过圆心C时，PB取得最大值，最大值为PC+PB
2
，求出PC，BC的值，即得答案．
【详解】连结PB，32
∵正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，
25x
∴点A与点B关于原点O对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
1
∴OQ= PB，
2
当PB经过圆心C时，PB取得最大值，最大值为PC+PB，
{
y=2x
)
联立 32 ，
y=
25x
4 4
{ x= ) { x=− )
5 5
解得 或 ，
8 8
x= x=−
5 5
4 8
∴B(− ,− )，
5 5
∵C(−2,0)，
√ 4 2 8 2
∴BC=❑(− +2) +(− −0) =2，
5 5
∵点P在1为半径的⊙C上运动，
∴PC=1，
∴PC+BC=1+2=3，
1 3
∴OQ长的最大值为 ×3= ．
2 2
故选A．【题型9 圆中角度的计算】
【例9】（23-24九年级·广东珠海·期末）如图，在平面直角坐标系中，B，C为x轴上两点，以点O为圆心
画圆（直径小于BC），交y轴负半轴于点A，过点A作x轴平行线DE，点P为圆上一个动点，连接
OP，AP，下列说法正确的有（ ）
①当点P运动到第一象限，则∠OPA=∠DAP−∠BOP
②当点P运动到第二象限，则∠OPA=∠DAP−∠BOP
③当点P运动到第三象限，则∠OPA=∠DAP+∠BOP
④当点P运动到第四象限，则∠OPA=∠DAP+∠BOP
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，平行线的性质，解题的关键是利用数形结合的思想来求
解，画出每一种情况的图形，然后利用平行线的性质求解．
【详解】解：①当点P运动到第一象限，则∠OPA=∠BOP−∠DAP，故①错误；
②当点P运动到第二象限，
则∠OPA=∠DAP−∠BOP，故②正确；
③当点P运动到第三象限，则∠OPA=∠QPA+∠OPQ=∠DAP+∠BOP，故③正确；
④当点P运动到第四象限，则∠OPA=∠DAP+∠BOP，
则∠OPA=∠PAE+∠POC，故④错误，
故正确的为：②③，
故选：D．
【变式9-1】（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）如图，A´B的圆心为点O，以点B为圆心作OD´C，且与
AB的延长线交于点C，与AO的延长线交于点D．已知∠OBD=102°，求∠BCD的度数．
【答案】60.75°
【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠BOD =39°，再由等腰三角形的性质及三角形
1
外角性质得∠OBA= ∠BOD=19.5°，继而利用三角形的外角性质即可得解．
2
【详解】解：∵OB=OD，∠OBD=102°，
180°−∠OBD 180°−102°
∴∠BOD= = =39°，
2 2
∵OB=OA，
∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB+∠OBA=∠BOD=39°，
1
∴∠OBA= ∠BOD=19.5°，
2
∴∠ABD=∠OBA+∠OBD= 121.5°，
∵BD=BC，
1 1
∴∠BCD=∠BDC= ∠ABD= ×121.5°=60.75° ．
2 2
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质以及圆的认识，熟练掌握三
角形的内角和定理及等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式9-2】（23-24九年级·湖南湘西·期中）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合
的一个动点，延长BP到点C，使PC=PB，D是AC的中点，连接PD、PO．
(1)求证：△CDP ≌ △POB；
(2)连接OD，当四边形BPDO是菱形时，求∠PBA的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠PBA=60°
1
【分析】（1）根据中位线的性质得到DP∥AB，DP= AB，由SAS可证△CDP≌△POB；
2
（2）根据菱形的性质得OB=PB，从而证△PBO是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵点D是AC的中点，PC=PB，
1
∴DP∥DB，DP= AB=OB，
2
∴∠CPD=∠PBO．
1
∵BO= AB，
2
∴DP=OB，
在△CDP和△POB中，¿，
∴△CDP ≌△POB(SAS)；
（2）解：连接OD，
∵四边形BPDO是菱形，
∴OB=PB，
∵OB=OP，
∴OB=OP=PB，
∴△PBO是等边三角形，
∴∠PBA=60°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定及性质以及菱形的性质，解题关键是
1
根据中位线的性质得到DP∥AB，DP= AB，由SAS得出△CDP≌△POB．
2
【变式9-3】（23-24·湖北武汉·一模）如图，在⊙O中，OA⊥OB，C为⊙O上一点，连接OC，BC．
(1)若∠AOC−∠ABC=30°，求∠BOC的度数；
BC
(2)若△AOB的面积与△BOC的面积之比为5：3，求 的值．
AB
【答案】(1)∠BOC的度数为50°
BC ❑√5
(2) =
AB 5【分析】（1）设∠BOC=x°，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到
1
∠OBA=45°，∠OBC=90°− x°，再根据∠AOC−∠ABC=30°建立方程求解即可；
2
（2）过C作CH⊥OB于H，设OA=OB=OC=5a，根据三角形面积之比求出CH=3a，则由勾股定理
得OH=4a，进而得到BH=OB−OH=a，再利用勾股定理求出BC、AB的长即可得到答案．
【详解】（1）解：设∠BOC=x°，
∵OA=OB=OC，OA⊥OB，
180°−∠BOC 1
∴∠OBA=45°，∠OBC=∠OCB= =90°− x°，
2 2
∵∠AOC−∠ABC=30°，
( 1 )
∴90°+x°− 45°+90°− x° =30，
2
解得x=50，
∴∠BOC=50°；
（2）
解：过C作CH⊥OB于H，设OA=OB=OC=5a，
∵△AOB的面积与△BOC的面积之比为5：3，
1
OA⋅OB
2 5
∴ = ，
1 3
OB⋅CH
2
OA 5
∴ = ，
CH 3
∴CH=3a，
∴OH=❑√OC2−CH2=4a，
∴BH=OB−OH=a，在Rt△HBC中，由勾股可得BC=❑√CH2+BH2=❑√10a，
在Rt△OAB中，由勾股可得AB=❑√OA2+OB2=5❑√2a，
BC ❑√5
∴ = ．
AB 5
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助线构
造直角三角形是解题的关键．
【题型10 圆中线段长度的计算】
【例10】（23-24·上海虹口·二模）如图，在扇形AOB中，∠AOB=105°，OA=8，点C在半径OA上，
将△BOC沿着BC翻折，点O的对称点D恰好落在弧AB上，再将弧AD沿着CD翻折至弧A D（点A 是点
1 1
A的对称点），那么OA 的长为 ．
1
【答案】8❑√2−8/−8+8❑√2
【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接OD，由翻
折得OB=BD，AC=A C，∠BOC=∠BDC=105°，证出△OBD是等边三角形，设AC=a，在
1
Rt△COD中，根据勾股定理列方程并解出AC进而求出结论．
【详解】解：连接OD，
由翻折得：OB=BD，AC=A C，∠BOC=∠BDC=105°，OC=CD，
1
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD=60°，∴∠OCD=360°−105°−105°−60°=90°，
设AC=a，则OC=8−a=CD，A O=8−2a，
1
在Rt△COD中，OC=CD=8−a，
∴(8−a) 2+(8−a) 2=82，
解得：a =8−4❑√2，a =8+4❑√2>8（舍去），
1 2
∴OA =OA−2AC=8−2(8−4❑√2)=8❑√2−8，
1
故答案为：8❑√2−8．
【变式10-1】（23-24九年级·山东滨州·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3，以点C为圆
心、CA为半径的圆与AB交于点D，若点D巧好为线段AB的中点，则AB的长度为（ ）
3
A． B．3 C． 6 D．9
2
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的圆的性质求解即可；
【详解】连接CD，
∵以点C为圆心、CA为半径的圆与AB交于点D，AC=3，
∴CA=CD=3，
又∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为线段AB的中点，
1
∴CD= AB，
2∴AB=2CD=6；
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和圆的性质，准确计算是解题的关键．
【变式10-2】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点O在边BC上，OC=1
，点A在⊙O上，⊙O与直线BC交于点M,N（点M在点N右侧），则AM的长度为（ ）
A．3❑√5 B．8 C．4❑√5 D．2❑√10
【答案】C
【分析】连接OA，由正方形性质可得AB=BC=4，OB=BC−OC=4−1=3，∠ABC=90°，然后用勾
股定理求出半径，再求出OM的长即可．
【详解】解：连接OA，
∵正方形ABCD的边长为4，OC=1，
∴AB=BC=4，OB=BC−OC=4−1=3，∠ABC=90°，
∴在Rt△AOB中，OA=❑√AB2+OB2=❑√42+32=5，
∴OM=OA=5，
∴BM=BO+OM=3+5=8，
∴在Rt△ABM中，AM=❑√AB2+BM2=❑√42+82=4❑√5，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、圆的性质及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握有关圆的性质，属
于中考常考题型．【变式10-3】（23-24·广东江门·模拟预测）综合探究
如图，在扇形OMN中，OM=3,∠MON=90°,A是M´N上异于M,N的动点，过点A作AB⊥OM于点
B，作AC⊥ON于点C，连接BC，点E,D在线段BC上，且BE=ED=DC．
(1)求证：四边形OEAD是平行四边形．
(2)当点A在M´N上运动时，在AB,AE,BE中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长
度；若不存在，请说明理由．
(3)求证：AB2+3AD2是定值．
【答案】(1)见解析；
(2)存在，1；
(3)见解析．
【分析】本题主要考查圆的基本性质以及勾股定理：
（1）道德证明四边形OBAC是矩形，得OF=AF,CF=BF，同理可证DF=EF，得出四边形OEAD是平
行四边形．
1
（2）根据点A是M´N上的点，OM=3，得出BC=OA=OM=3，由BE=EF=FC得出BE= BC=1；
3
x❑√9−x2 6−x2
（3）过点A作AH⊥BC于点H．设AB=OC=x，则AC=❑√9−x2，求出AH= ，DH=
3 3
，计算出3AD2，进一步可得出结论
【详解】（1）证明：如图，连接OA交BC于点F．
∵AB⊥OM,AC⊥ON,∠MON=90°
，
∴∠ACO=∠ABO=∠BOC=90°，∴四边形OBAC是矩形，
∴OF=AF,CF=BF．
∵BE=DC，
∴CF−CD=BF−BE，
∴DF=EF，
∴四边形OEAD是平行四边形．
（2）解：存在，线段BE的长度不变．
∵点A是M´N上的点，OA=3,
在矩形OBAC中，BC=OA=OM=3．
∵BE=ED=DC,BC=CD+DE+EB，
1 1
∴BE= BC= ×3=1．
3 3
（3）解：如图，过点A作AH⊥BC于点H．
设AB=OC=x，则AC=❑√OA2−OC2=❑√9−x2．
1 1 x❑√9−x2
由 BC⋅AH= AB⋅CA，得AH= ，
2 2 3
√ (x❑√9−x2) 2 x2
∴BH=❑ x2− = ．
3 3
x2 6−x2
∴DH=BC−CD=3−1− = ，
3 3
[ (6−x2 ) 2 (x❑√9−x2) 2 )
∴3AD2=3(AH2+DH2)=3 + =12−x2，
3 3
∴AB2+3AD2=x2+12−x2=12，
是定值．
