文档内容
专题 11.3 三角形的内角【十大题型】
【人教版】
【题型1 三角形内角和定理的证明】......................................................................................................................1
【题型2 应用三角形内角和定理求角度】..............................................................................................................3
【题型3 三角形内角和与平行线的综合应用】.....................................................................................................3
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合应用】.................................................................................................4
【题型5 三角形折叠中的角度问题】......................................................................................................................5
【题型6 应用三角形内角和定理解决三角板问题】.............................................................................................7
【题型7 应用三角形内角和定理探究角的数量关系】.........................................................................................8
【题型8 三角形内角和定理与新定义问题综合】...............................................................................................10
【题型9 直角三角形的判定】................................................................................................................................11
【题型10 应用直角三角形的性质倒角】................................................................................................................12
【知识点1 三角形的内角及内角和定理】
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大
于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
【题型1 三角形内角和定理的证明】
【例1】（2023·浙江·八年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED=180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在
锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③【变式1-1】（2023·浙江·八年级假期作业）如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点
A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔
尖方向的变化，该操作说明了 ．
【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的
同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“△ABC的内角和是180°”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2023春·福建南平·八年级福建省南平第一中学校考阶段练习）在证明“三角形内角和等于
180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续
证明．
已知：如图，△ABC
求证：
证明：如图，在BC边上取点D，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点D作DF∥AC交AB于点F．
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依据：）．
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠3【题型2 应用三角形内角和定理求角度】
【例2】（2023春·江苏·八年级专题练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三
角形的顶角的度数为 ．
【变式2-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若△ABC的三个内角之比为1:3:5，那么△ABC中最大角的度
数为 ．
【变式2-2】（2023春·广东江门·八年级校考阶段练习）在△ABC中，∠C=40∘，且∠B:∠A=4:3，则
∠B的度数为 ．
【变式2-3】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求
∠BDC的度数．
【题型3 三角形内角和与平行线的综合应用】
【例3】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，△ABC经过平移得到△DEF，DE分别交BC，AC于
点G，H，若∠B=97°，∠C=40°，则∠GHC的度数为（ ）
A．147° B．40° C．97° D．43°
【变式3-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东
50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从C岛看A、B岛的视角∠ACB为
多少？【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线
段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB//CD；
（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．
【题型4 三角形内角和与角平分线的综合应用】
【例4】（2023春·广东惠州·八年级惠州一中校考期中）如图，∠A=70°，P是△ABC内一点，BP平分
∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的度数为（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
【变式4-1】（2023春·广东东莞·八年级统考期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC
的平分线，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度数．【变式4-2】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，点E在AC上，点F在CB的延长线上，AB与
EF交于点G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．
(1)求证：AB∥DE；
(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度数．
【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC
于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP
相交于点Q．
(1)若∠A=50°，∠B=60°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；
(2)若∠A=50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若∠A=x°，则∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代数式表示）；
(4)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数．
【题型5 三角形折叠中的角度问题】
【例5】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，∠A=20°，点D在边AC上（如图1），先
将△ABD沿着BD翻折，使点A落在点A'处，A'B交AC于点E（如图2），再将△BCE沿着BE翻折，点C
恰好落在BD上的点C'处，此时∠C'EB=66°（如图3），则∠ABC的度数为（ ）A．66° B．23° C．46° D．69°
【变式5-1】（2023春·河南南阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中， ∠A=60°，将△ABC沿DE翻
折后，点A落在BC边上的点A'处．若∠A'EC=70°，则∠A'DE的度数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【变式5-2】（2023春·甘肃定西·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，将
点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A．22° B．21° C．20° D．19°
【变式5-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知，在△ABC中，点E在边AB上，点D是BC上一个动点，
将∠B沿E、D所在直线进行翻折得到∠EFD．(1)如图，若∠B=50°，则∠AEF+∠FDC=______；
(2)在图中细心的小明发现了∠AEF，∠FDC，∠B之间的关系，请您替小明写出这个数量关系并证明．
【题型6 应用三角形内角和定理解决三角板问题】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，a∥b，一块含45°的直角三角板的一个顶点落在直线b
上，若∠1=58°54'，则∠2的度数为（ ）
A．103°6' B．104°6' C．103°54' D．104°54'
【变式6-1】（2023春·八年级单元测试）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中
∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、
C．
(1)若∠A=40°，则∠ABC+∠ACB= °，∠DBC+∠DCB= °，∠ABD+∠ACD= °．
(2)若∠A=55°，则∠ABD+∠ACD= °．
(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，
∠D=30°，小明得到下列结论：
①如果∠2=30°，则AC∥DE；
②∠BAE+∠CAD=180°；
③如果BC∥AD，则∠2=30°；
④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6-3】（2023春·八年级课时练习）小宋对三角板在平行线间的摆放进行了探究
(1)如图（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，直接写出∠2的度数；
若∠1=m°，直接写出∠2的度数（用含m的式子表示）．
(2)如图（2），将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°
角的直角三角板的直角顶点与45°角的顶点重合于点A，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边b重合，
含45°角的三角板的另一个顶点在纸条的另一边a上，求∠1的度数．
【题型7 应用三角形内角和定理探究角的数量关系】
【例7】（2023春·广东潮州·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE
上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D；(1)如图1，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数；
(2)如果点F在线段AE上（不与点A重合）时，如图2，直接写出∠EFD、∠C、∠B的数量关系．
【变式7-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AB∥CD，E为线段CD上一点，∠BAD＝n°，n＝
15xy，且 ．
√x-1+(y-3) 2=0
(1)求n的值．
(2)求证：∠PEC﹣∠APE＝135°．
(3)若P点在射线DA上运动，直接写出∠APE与∠PEC之间的数量关系．（不考虑P与A、D重合的情
况）
【变式7-2】（2023春·河南漯河·八年级校考期末）已知 ABC．
（1）如图（1），∠C>∠B，若 AD⊥BC 于点 D，AE 平△分∠BAC，你能找出∠EAD 与∠B，∠C 之间
的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE 平分∠BAC，F 为 AE 上一点，FM⊥BC 于点 M，∠EFM 与∠B，∠C之间有何
数量关系？并说明理由．
【变式7-3】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．(1)如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，试说明∠A＝2∠CME；
(2)如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数．
(3)如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若
1
∠ACH＝ ∠ECH请直接写出∠MNB与∠A之间的数量关系．
2
【题型8 三角形内角和定理与新定义问题综合】
【例8】（2023春·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内
角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，
∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”.
(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”.
(2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，
请求出∠ABD的度数.
【变式8-1】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，
我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，
那么倍角α的度数是（ ）
A．99° B．99°或49.5° C．99°或54° D．99°或49.5°或54°
【变式8-2】（2023·全国·八年级专题练习）我们定义：
【概念理解】
在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的 4 倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角
形”．如：三个内角分别为 130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】
如图 1，∠MON=72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM 交ON于点B，以A为端点作射线
AD，交线段OB 于点C（点 C不与 O，B重合）
（1）∠ABO＝ ，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”．【应用拓展】
如图 2，点D在△ABC 的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使
∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”， 求∠B的度数．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期末）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那
么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，则∠B=_____°；
(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度数．
【知识点2 直角三角形的判定】
有两个角互余的三角形是直角三角形．
【题型9 直角三角形的判定】
【例9】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考阶段练习）如图，∠C=90°，∠1=∠2，求证△ADE是
直角三角形．【变式9-1】（2023·浙江·八年级假期作业）若一个三角形三个内角度数的比为2:3:5，那么这个三角形是
（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【变式9-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）在下列条件：① ∠A+∠B+∠C=180∘；②
1 1 1
∠A:∠B:∠C=1:2:3；③ ∠A=∠B=2∠C；④ ∠A= ∠B= ∠C；⑤ ∠A=∠B= ∠C中，
2 3 2
能确定△ABC为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式9-3】（2023春·八年级课时练习）如图AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD
交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【知识点3 直角三角形的性质】
直角三角形两个内角互余．
【题型10 应用直角三角形的性质倒角】
【例10】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，
∠CBF=30°，∠AFB=70°．(1)∠BAD= 度．
(2)求∠DAE的度数．
(3)若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
【变式10-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，点
F、A、D、C共线，AB、EF相交于点M，且EF⊥BC，则图中与∠E相等的角有（ ）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足是D，则图中与
∠B互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式10-3】（2023春·八年级课时练习）已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，
且∠ACD=∠B．
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．
①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．
