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专题 14.2 整式的乘法【十大题型】
【人教版】
【题型1 整式乘法中的求值问题】.......................................................................................................................1
【题型2 整式乘法中的不含某项问题】...............................................................................................................2
【题型3 整式乘法中的错看问题】.......................................................................................................................2
【题型4 整式乘法中的遮挡问题】.......................................................................................................................2
【题型5 整式乘法的计算】...................................................................................................................................3
【题型6 整式乘法的应用】...................................................................................................................................3
【题型7 整式除法的运算与求值】.......................................................................................................................4
【题型8 整式除法的应用】...................................................................................................................................5
【题型9 整式乘法中的新定义】...........................................................................................................................6
【题型10 整式乘法中的规律探究】.......................................................................................................................7
【知识点1 整式的乘法】
单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．
【题型1 整式乘法中的求值问题】
【例1】（x+m）（x﹣n）＝x2+ax+7（m，n为整数），则a的值可能是（ ）
A．7 B．﹣7 C．8 D．﹣9
【变式1-1】（2022春•汝州市校级月考）若（5x+2）（3﹣x）＝﹣5x2+kx+p，则代数式（k﹣p）2的值为（
）
A．98 B．49 C．14 D．7
【变式1-2】（2022春•诸暨市期末）若A、B、C均为整式，如果A•B＝C，则称A能整除C，例如由
（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣7，则k的值为（
）
7 2 4 2
A．- B．- C． D．
3 3 3 3【变式1-3】（2022春•江都区期中）如果（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣12（其中a，b都是整数），那么m可
取的值共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【题型2 整式乘法中的不含某项问题】
【例2】（2022秋•黔江区期末）要使（x2﹣x+5）（2x2﹣ax﹣4）展开式中不含 x2项，则a的值等于
（ ）
A．﹣6 B．6 C．14 D．﹣14
【变式2-1】（2022春•双流区校级期中）关于x的代数式（ax﹣3）（2x+1）﹣4x2+m化简后不含有x2项和
常数项，且an+mn＝﹣5，求﹣4n2+3m的值．
【变式2-2】（2022秋•耒阳市校级月考）已知多项式M＝x2+5x﹣a，N＝﹣x+2，P＝x3+3x2+5，且M•N+P
的值与x的取值无关，求字母a的值．
【变式2-3】（2022春•上城区期末）若多项式x2﹣（x﹣a）（x+2b）+4的值与x的取值大小无关，那么
a，b一定满足（ ）
b
A．a＝0且b＝0 B．a＝2b C．ab＝0 D．a=
2
【题型3 整式乘法中的错看问题】
【例3】（2022春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以
（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）
A．3x2﹣7xy+2y2 B．3x2+7xy+2y2
C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3 D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3
【变式3-1】（2022春•芦溪县期中）某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上
﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？
【变式3-2】（2022秋•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙
错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）
【变式3-3】（2022春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的
符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．
【题型4 整式乘法中的遮挡问题】
【例4】（2022秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复
习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A．9x2 B．﹣9x2 C．9x D．﹣9x
【变式4-1】（2022秋•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂
笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内
应填写（ ）
A．+21xy B．﹣21xy C．﹣3 D．﹣10xy
【变式4-2】（2022春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿
出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题 3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3 ﹣
3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ．
【变式4-3】（2022秋•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨
水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．
【题型5 整式乘法的计算】
【例5】（2022春•冠县期中）计算：
（1）（x﹣2y）（x+2y﹣1）+4y2
（2）（a2b）[（ab2）2+（2ab）3+3a2]．
【变式5-1】（2022春•西城区校级期中）求（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）的值，其中x＝﹣2．
1
【变式5-2】（2022秋•长宁区校级期中） x(4-2x)-2（3﹣2x）（4x+1）．
2
【变式5-3】（2022春•海陵区校级月考）计算：
（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．
（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．
【题型6 整式乘法的应用】
【例6】（2022春•杭州期中）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长
为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7
【变式6-1】（2022春•吴江区期末）从前，古希腊一位庄园主把一块长为a米，宽为b米（a＞b＞100）
的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加 10米，宽减少10米，
继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（ ）A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
【变式6-2】（2022秋•安溪县期中）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准
备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．
（1）通道的面积共有多少平方米？
（2）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是162平方米，求
通道的宽度是多少米？
【变式6-3】（2022春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S ，
1
S．
2
（1）S 与S 的大小关系为：S S．
1 2 1 2
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．
②若该正方形的面积为S ，试探究：S 与S 的差（即S﹣S ）是否为常数？若为常数，求出这个常数，
3 3 2 3 2
如果不是，请说明理由．
【知识点2 整式的除法】
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．
【题型7 整式除法的运算与求值】
【例7】（2022•襄都区校级开学）先化简，再求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷xy，其中x＝﹣10，1
y= ．
25
【变式7-1】（2022春•秀洲区校级月考）若等式（6a3+3a2）÷（6a）＝（a+1）（a+2）成立，则a的值为
．
1 1
【变式7-2】（2022春•萧山区月考）若A与- ab的积为-4a3b3+3a2b2- ab，则A为（ ）
2 2
3 1
A．﹣8a2b2+6ab﹣1 B．-2a2b2+ ab+
2 4
3
C．8a2b2﹣6ab+1 D．2a2b2- ab+1
2
【变式7-3】（2022·四川·石室佳兴外国语学校七年级阶段练习）已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项
式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____．
【题型8 整式除法的应用】
【例8】（2022秋•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①
5 3
是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为： a、2a、 a，小长方体的长、宽、高
2 2
a
分别为：2a、a、 ；配件②是一个正方体，其棱长为a
2
（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？
（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利 30元，则
1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？
【变式8-1】（2022春•抚州期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图 2
的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（ ）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b
【变式8-2】（2022春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报
的整式A作被除式，娜娜报的整式B作除式，要求商式必须为﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）
（1）若丽丽报的是x3y﹣6xy2，则娜娜应报什么整式？
（2）若娜娜也报x3y﹣6xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．
【变式8-3】（2022秋•思明区校级期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）；
②用被除式的第一项去除除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方；
③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次
数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
例如：计算2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式和余式，可以用竖式演算如图．
所以2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式为2x3+x+5，余式为﹣3x+5．
（1）计算（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）的商式为 ，余式为 ；
（2）2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求a、b的值．
【题型9 整式乘法中的新定义】
【例9】（2022秋•夏津县期中）阅读并解决其后的问题：
|a b
我们将四个有理数a，b，c，d写成 |的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，
c d|a b
b，c，d为构成这个矩阵的元素，我们定义矩阵的运算为： |=ad﹣bc，对于两个矩阵相加我们定
c d
|a b |m n |a+m b+n
义 为 ： |+ |= |， 下 面 是 两 个 二 阶 矩 阵 的 加 法 运 算 过 程 ：
c d x y c+x d+ y
|2 -3 |-2 -4 |2+(-2) (-3)+(-4) |0 -7 0×4﹣4×（﹣7）＝28．
|+ |= |= |=
3 5 1 -1 3+1 5+(-1) 4 4
|17 -5 |-15 12 |-15 12|
（1）计算 |+ |+ 的值；
6 2 16 -8 16 -8
|2x-3 x+2 |-2x 4x+8 |-2x 4x+8|
（2）计算 |+ |+ ．
2 5x-7 6 2x+3 6 2x+3
【变式9-1】（2022秋•兰陵县期中）定义：若A﹣B＝1，则称A与B是关于1的单位数．
（1）3与 是关于1的单位数，x﹣3与 是关于1的单位数．（填一个含x的式子）
3
（2）若A＝3x（x+2）﹣1，B=2( x2+3x-1)，判断A与B是否是关于1的单位数，并说明理由．
2
【变式9-2】（2022•顺平县二模）如果一个两位数a的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们
称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两
位数与原两位数的和与11的商记ω（a），例如：a＝13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，
新两位数与原两位数的和，31+13＝44，和与11的商44÷11＝4，所以ω（13）＝4．根据以上定义，回
答下列问题：
（1）计算：ω（23）＝ ．
（2）若一个“跟斗数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），且ω（b）＝8，则“跟斗数”b＝
．
（3）若m，n都是“跟斗数”，且m+n＝100，则ω（m）+ω（n）＝ ．
【变式9-3】（2022•渝中区校级模拟）阅读以下材料：
材料一：如果两个两位数ab，cd，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的
新数ba，dc，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对
“有缘数对”．
例如：46×96＝64×69＝4416，所以，46和96是一对“有缘数对”，
材料二：在进行一些数学式计算时，我们可以把某一单项式或多项式看作一个整体，运用整体换元，使
得运算更简单．
例如：计算（x2+3x﹣1）（x2+3x﹣8），令：（x2+3x）＝A，原式＝（A﹣1）（A﹣8）＝A2﹣9A+8＝（x2+3x）2﹣9（x2+3x）+8
＝x4+6x3﹣27x+8
解决如下问题：
（1）①请任写一对“有缘数对” 和 ．
②并探究“有缘数对”ab和cd，a，b，c，d之间满足怎样的等量关系．并写出证明过程．
（2）若两个两位数（x2+2x+3）（x2﹣2x+4）与（x2﹣2x+5）（x2+2x+5）是一对“有缘数对”，请求出
这两个两位数．
【题型10 整式乘法中的规律探究】
【例10】（2022春•江都区期中）探究规律，并回答问题：
（1）运用多项式乘法，计算下列各题：
①（x+2）（x+3）＝ ；
②（x+2）（x﹣3）＝ ；
③（x﹣3）（x﹣1）＝ ；
（2）若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝ ，q＝ ；
（3）根据此规律，直接写出以下结果：
①（x+5）（x+7）＝ ；
②（t+2）（t﹣1）＝ ．
【变式10-1】（2022春•永丰县期末）探究发现：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化
成整式问题来解决．
阅读解答：比较20182019×20182016与20182017×20182018的大小．
解：设20182017＝a，那么20182019×20182016＝（a+2）（a﹣1）＝a2+a﹣2；20182017×20182018＝
a2+a．
因为a2+a﹣2 a2+a（填＜＞、或＝），
所以20182019×20182016 20182017×20182018（填＜、＞、或＝）．
问题解决：化简求代数式的值．
（m+22.2018）（m+14.2018）﹣（m+18.2018）（m+17.2018），其中m＝2016．
【变式10-2】（2022春•包河区期末）探究规律，解决问题：
（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．
（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．
（3）化简：（m﹣1）（mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，mn+mn﹣1+mn﹣2+…+1为n+1
项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．
【变式10-3】（2022春•雅安期末）已知x≠1．观察下列等式：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2；
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；
…
（1）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1）＝ ；
（2）应用：根据你的猜想请你计算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25+26）＝ ；
②（x﹣1）（x2022+x2021+x2020+…+x2+x+1）＝ ．
（3）判断2100+299+298+…+22+2+1的值的个位数是几？并说明你的理由．
