文档内容
专题 23.2 中心对称【八大题型】
【人教版】
【题型1 中心对称图形的识别】..............................................................................................................................1
【题型2 根据中心对称的性质判断正误】..............................................................................................................2
【题型3 根据中心对称的性质求面积】..................................................................................................................4
【题型4 根据中心对称的性质求长度】..................................................................................................................5
【题型5 关于原点对称的点的坐标】......................................................................................................................6
【题型6 坐标系中作中心对称图形】......................................................................................................................6
【题型7 补全图形使之成为中心对称图形】.........................................................................................................8
【题型8 中心对称中的规律问题】..........................................................................................................................9
【知识点1 中心对称图形】
如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的
对称中心。
【题型1 中心对称图形的识别】
【例1】（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC，连接
AE，BD，添加下列条件后不一定使四边形ABDE既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
1
A．AB=BC B．AC=BC C．AC= BE D．AC⊥BC
2
【变式1-1】（2023春·山西晋中·九年级统考期中）下列图形是物理器件的平面示意图，从左至右分别代表
小车、放大镜、钩码和砝码，其中可近似看作中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【变式1-2】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对
称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）在等边三角形，平行四边形，正五边形和圆这4个图形
中，一定是轴对称图形但不是中心对称图形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点2 中心对称的基本性质】
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对
称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②
中心对称的两个图形是全等图形。
【题型2 根据中心对称的性质判断正误】
【例2】（2023春·福建泉州·九年级统考期末）如图，△AOD与△BOC关于点O成中心对称，连接AB、
CD，以下结论错误的是（ ）A．OA=OB B．△AOD≌△COB
C．AD=BC D．S =S
△ACD △BCD
【变式2-1】（2023春·全国·九年级统考期中）下列说法中，正确的有（ ）
①平行四边形是中心对称图形②两个全等三角形一定成中心对称
③对称中心是连接两对称点的线段的中点④若是轴对称图形，一定不是中心对称图形⑤若是中心对称图形，
则一定不是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2-2】（2023春·河南南阳·九年级统考期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，有以
下结论：①点A与点A'是对称点；②BO=B'O；③AB∥A'B'；④∠ACB=∠C' A'B'．其中正确结论的
序号为 ．
【变式2-3】（2023春·北京海淀·九年级中关村中学校考期中）如图，分别在四边形ABCD的各边上取中
点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形
ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AH M'G'和AF'N'E，延长M'G'，N'F'
相交于点K，得到四边形M M'K N'．下列说法中正确的是（ ）
①FN=HM
②∠K=∠C
③
S =S
四边形MM'KN' 四边形ABCD
④四边形M M'K N'是平行四边形
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【题型3 根据中心对称的性质求面积】
【例3】（2023春·广东深圳·九年级校考期中）对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向
上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，
5）．已知点A的坐标为（2，0），点Q是直线l上的一点，点A关于点Q的对称点为点B，点B关于直线
l的对称点为点C，若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（8，6），则△ABC的面积是（
）
A．12 B．14 C．16 D．18
【变式3-1】（2023春·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称．
(1)画出对称中心O；（保留作图痕迹）
(2)若 BC=3，AC=4，AB=5，则△DEF的面积= ．
【变式3-2】（2023春·江西宜春·九年级统考期末）如图，已知正方形ABCD，请仅用无刻度直尺，完成
以下作图（保留作图痕迹）
(1)在图1中，点E、F、G、H、I、J、K、L是正方形各边的三等分点，请利用上述三等分点的其中两
个点，画一条直线，使其与直线HL将正方形ABCD面积四等分；(2)在图2中，AC与BD相交于点O，点P、点Q分别在边BC、AD上，且PC=QD，画出四边形MOPC
1
（M点在线段CD上）．使得四边形MOPC的面积等于正方形ABCD面积的 ．
4
【变式3-3】（2023春·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）点O是平行四边形ABCD的对称中心，
1 1
AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝ AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝ BC；若S,S 分
1 2
2 3
别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S,S 之间的等量关系是
1 2
【题型4 根据中心对称的性质求长度】
【例4】（2023春·江苏镇江·九年级镇江市外国语学校校考期中）如图是由五个边长为1的小正方形拼成
的图形，点P是其中四个小正方形的公共顶点，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积
相等的两部分，则剪痕的长度为 ．
【变式4-1】（2023春·河南·九年级河南省第二实验中学校考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，
BC=6，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则
OE+OF的值为（ ）
A．2√2 B．5√2 C．√5 D．2√5
【变式4-2】（2023春·辽宁朝阳·九年级统考期末）如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB=√5，
AE=3，∠D=90°，则AC= ．【变式4-3】（2023春·黑龙江佳木斯·九年级统考期中）如图，△AOD和△COB关于点O中心对称，
∠AOD＝60°，△ADO＝90°，BD＝12，P是AO上一动点，Q是OC上一动点（点P，Q不与端点重合），
且AP＝OQ．连接BQ，DP，则DP+BQ的最小值是 ．
【题型5 关于原点对称的点的坐标】
【例5】（2023春·浙江温州·九年级校联考期中）在平面直角坐标系中有A，B，C三个点，点B的坐标是
(2,3)，点A，点C关于点B中心对称，若将点A往右平移4个单位，再往上10个单位，则与C重合，则点A
的坐标是 ．
【变式5-1】（2023春·广东·九年级江门市第二中学校考期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣
3，4），那么下列说法正确的是（ ）
A．点A与点B（﹣3，﹣4）关于y轴对称
B．点A与点C（3，﹣4）关于x轴对称
C．点A与点E（﹣3，4）关于第二象限的平分线对称
D．点A与点F（3，﹣4）关于原点对称
【变式5-2】（2023春·重庆开州·九年级统考期末）平面直角坐标系内与点A(2,-3)关于原点对称的点B的
坐标是(x,y)，则yx= ．
【变式5-3】（2023春·四川南充·九年级南充市实验中学校考期末）若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）
关于原点成中心对称，则a＋b＝ ．
【题型6 坐标系中作中心对称图形】
【例6】（2023春·贵州·九年级统考期末）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角
坐标系，△ABC的位置如图所示，先作与△ABC关于原点O中心对称的△A B C ，再把△A B C 向上
1 1 1 1 1 1
平移4个单位长度得到△A B C ．
2 2 2(1)作出△A B C 和△A B C ；
1 1 1 2 2 2
(2)△A B C 与△ABC关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______．
2 2 2
【变式6-2】（2023春·山东济南·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个
小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）若△ABC和△AB C 关于原点O成中心对称图形，画出△AB C ；
1 1 1 1 1 1
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB C ；
2 2
（3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B 与点C 距离之和最小，请直接写出P B +P C 的最小值为 ．
1 1 1 1
【变式6-3】（2023春·江苏·九年级期中）如图，在正方形网格中， ABC的顶点均在格点上，请在所给的
直角坐标系中解答下列问题： △
（1）作出 ABC关于原点O成中心对称的 ABC ；
1 1 1
（2）直接△写出：以A、B、C为顶点的平形△四边形的第四个顶点D的坐标 ．【题型7 补全图形使之成为中心对称图形】
【例7】（2023春·福建宁德·九年级统考期中）如图，都是由全等的边长为1的小等边三角形构成的网格，
图中阴影部分是由若干个小等边三角形构成的，请分别按下列要求设计图案：
(1)在图1中画出将阴影部分图形沿某一方向平移3个单位长度后的图形，要求各顶点仍在格点上．
(2)在图2中再任意给两个小等边三角形涂上阴影，使得6个阴影小等边三角形组成的图形是中心对称图形．
（只需画出符合条件的一种情形）
(3)在图3中画出将阴影部分图形绕点O按顺时针方向旋转60°后的图形．
【变式7-1】（2023春·浙江丽水·九年级校联考期中）如图，将①②③④中的一块涂成阴影后能与图中原有
阴影部分组成中心对称图形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式7-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在4×4的方格中，有4个小方格被涂黑成“L”
形．(1)在图1中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
(2)在图2中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形是轴对称图形但不是中心对称图形．
【变式7-3】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）下列三个3×4的网格图均由相同的小菱形组成，每个
网格图中有3个小菱形已涂上阴影，请在余下的空白小菱形中，分别按要求选取一个涂上阴影：
(1)使得4个阴影小菱形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)使得4个阴影小菱形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．
(3)使得4个阴影小菱形组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
（请将三个小题依次作答在图1，图2，图3中，均只需画出符合条件的一种情形即可．）
【题型8 中心对称中的规律问题】
【例8】（2023春·全国·九年级期中）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA B 是边长为2的等边三角
1 1
形，作△B A B 与△OA B 关于点B 成中心对称，再作△B A B 与△B A B 关于点B 成中心对称，点
2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 2 1 2
在第 个三角形上， （n是正整数）的顶点 的坐标是 ．
(13,√3) △B A B A
2n 2n+1 2n+1 2n+1
【变式8-1】（2023春·安徽淮北·九年级校联考阶段练习）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下
可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索：
(1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（a 表示第n个三角形数），由图形可得a =1，
n 1
a =3，a =6，a =10，a = ；
2 3 4 5
(2)为探索a 的值，将摆成三角形进行旋转180°，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计
n
算2a 的值，∴2a = ；（用含n的代数式表示）
n n
(3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由．
【变式8-2】（2023春·广西桂林·九年级校考期中）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点
O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC B，对角线交于点O ，以AB，AO 为邻边作平行四边形
1 1 1
AO C B……依此类推，则平行四边形AO C B的面积为 cm2．
1 2 n n+1
【变式8-3】（2023春·浙江·九年级专题练习）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成
x +x
中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(x ，y )、Q(x ，y )的对称中心的坐标为( 1 2，
1 1 2 2 2
y + y
1 2 )．
2
观察应用：(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P (0,-1)、P (2,3)的对称中心是点A，则点A的坐标为 ；
1 2
(2)另取两点B(-1.6,2.1)、C(-1,0)．有一电子青蛙从点P 处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，
1
即第一次跳到点P 关于点A的对称点P 处，接着跳到点P 关于点B的对称点P 处，第三次再跳到点P 关
1 2 2 3 3
于点C的对称点P 处，第四次再跳到点P 关于点A的对称点P 处，…则点P 、P 的坐标分别为 、
4 4 5 3 8
．
拓展延伸：
(3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标．
