文档内容
第 05 讲 空间向量及其应用
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算....................................................................................2
题型二：空间共线向量定理的应用....................................................................................................4
题型三：空间向量的数量积运算........................................................................................................6
题型四：三点共线问题........................................................................................................................8
题型五：多点共面问题......................................................................................................................11
题型六：证明直线和直线平行..........................................................................................................14
题型七：证明直线和平面平行..........................................................................................................14
题型八：证明平面与平面平行..........................................................................................................17
题型九：证明直线与直线垂直..........................................................................................................20
题型十：证明直线与平面垂直..........................................................................................................22
题型十一：证明平面和平面垂直......................................................................................................25
题型十二：求两异面直线所成角......................................................................................................28
题型十三：求直线与平面所成角......................................................................................................30
题型十四：求平面与平面所成角......................................................................................................34
题型十五：求点面距、线面距、面面距..........................................................................................39
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离..................................................................................44
02 重难创新练....................................................................................................................................47
03 真题实战练....................................................................................................................................65题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算
1．如图，已知空间四边形 ，M，N分别是边OA，BC的中点，点 满足 ，设 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
，
，
，
.
故选：B.
2．如图，在四面体 中， 是 的重心， 是 上的一点，且 ，若
，则 为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 是 中点，所以 ，
是 的重心，则 ，
所以 ，
因为
所以
，
若 ，则 ．
故选：D．
3．（2024·高三·山东临沂·期末）正方体 中，M是棱 的中点．记 ， ，
， 用 ， ， 表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ，
三个式子相加得 ，.
故选：A
4．（2024·高三·浙江·开学考试）在平行六面体 中， 为 的中点， 为 的中点，
，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 则 .
所以 ， ，所以 .
故选：C
题型二：空间共线向量定理的应用
5．如图，在三棱柱 中， 为空间一点，且满足 ， ，则下列说法
错误的是（ ）A．当 时，点 在棱 上
B．当 时，点 在线段 上
C．当 时，点 在棱 上
D．当 时，点 在线段 上
【答案】B
【解析】对于 ，当 时， ， ，
所以 ，则点 在棱 上，故 正确；
对于 ，当 时， ， ，
即 ，即
所以点 在线段 上，故 错误；
对于 ，当 时， ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以点 在棱 上，故 正确；
对于 ，当 时，
所以 ， ，
所以 ，
即 ，即 ，
所以点 在线段 上，故 正确．
故选： ．
6．（2024·河北·模拟预测）在空间直角坐标系中， ，若 三点共线，
则 .
【答案】
【解析】由题得 . ，因为 三点共线，所以存在实数 ，使得 ，
即 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
故答案为：
7．（2024·高三·上海·期中）已知向量 ， ，若 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】由题意 ，使得 ，即有 ，
解得 ，从而 .
故答案为： .
8．已知 ， ，且 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
解得 ，所以 ，
故选：A.
题型三：空间向量的数量积运算
9．空间向量 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】 ， ，
由投影向量的定义和公式可知 在 的投影向量为 ，
故选：C.
10．如图，在正三棱柱 中， ，P为 的中点，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由正三棱柱 可得 ， ，
而 ，
故
.
故选：A.
11．（多选题）已知空间向量 ， ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 在 上的投影向量为 ，则
D．若 与 夹角为锐角，则
【答案】ABD
【解析】对于A： ， ，
即： ，解得： .
故A选项正确；
对于B： ，
，解得： .
故B选项正确；
对于C： 在 上的投影向量为： ，
即 ，代入坐标化简可得： ， 无解，
故C选项错误；
对于D： 与 夹角为锐角，
，解得： ，
且 与 不共线，即 ，解得： ，
所以 与 夹角为锐角时，解得： .
故D选项正确；
故选：ABD.
12．已知向量 ，若 ，则 ．
【答案】
【解析】设 向量 ，
， ，设 与 的夹角为 ， ，
， .
故答案为： .
题型四：三点共线问题
13．如图所示，在正方体 中，点 在 上，且 ，点 在体对角线 上，且 ．求证： ， ， 三点共线．
【解析】连接 ， ，
∵
，
，
∴ ，∴ ，
又 ，∴ ， ， 三点共线．
14．在长方体 中，M为 的中点，N在AC上，且 ，E为BM的中点.求证：
，E，N三点共线.
【解析】由图作出如图所示长方体由题可得，
，
，
所以 ，所以 ，E，N三点共线.
15．如图，在平行六面体 中， ， ．
(1)求证： 、 、 三点共线；
(2)若点 是平行四边形 的中心，求证： 、 、 三点共线．
【解析】（1）由题意， ， ，
故
,
,
故 ，由于 有公共点A，
故A、 、 三点共线；
（2）由题意，点 是平行四边形 的中心，
故，
故 ,因为 有公共点D，
故 、 、 三点共线．
题型五：多点共面问题
16．（2024·全国·模拟预测）如图，在正三棱柱 中， ， ， 是 的中点，
，点 在 上，且 ．
是否存在实数 ，使 四点共面？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
【解析】假设存在实数 ，使 四点共面．
由正三棱柱的性质可知 为正三角形，取 的中点 ，连接 ，则 ．
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
故以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，在平面 内，以过点 且垂直于 的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ．因为 ，
所以 ．
若 四点共面，则存在 满足 ，
又 ，所以 解得
故存在实数 ，使 四点共面．
17．已知 ，若 三向量共面，则 等于（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】D
【解析】∵ ， ， 共面，
∴设 （ 为实数），即 ，
∴ ，解得 ．
故选：D.
18．已知 ， ， ，若 ， ， 三向量不能构成空间的一个基底，则实数
的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】若 三向量不能构成空间向量的一组基底，
所以 共面，
则存在 使得 ，
则 ，解得 ，
所以实数 的值为1．
故选：A．
19．已知 ， ， ，若 ， ， 三向量共面，则实数 等于（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ， 三向量共面，故设 ，（ ）,
即 ，
即有 ，解得 ，
故 ，
故选：D
20．已知 三点不共线，对平面 外的任一点O，下列条件中能确定点 共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】平面 外的任一点O，点 共面的充要条件是 ，且 ，
对于A，由 ，得 ，点 不共面，A不是；
对于B，由 ，得 ，点 不共面，B不是；
对于C，由 ，得 ，点 不共面，C不是；
对于D，由 ，得 ，点 共面，D是.
故选：D
21．（2024·高三·四川成都·开学考试）在四棱柱 中， ，
．
(1)当 时，试用 表示 ；(2)证明： 四点共面；
【解析】（1）四棱柱 中， ，
因为 ，
所以
；
（2）设 （ 不为0），
，
则 共面且有公共点 ，则 四点共面；
题型六：证明直线和直线平行
22．如图，已知四棱台 的上、下底面分别是边长为2和4的正方形， ，且 底
面 ，点 满足 ，点 是棱 上的一个点(包括端点)．
(1)求证： ；
【解析】（1）因为 底面 ，且底面 为正方形，且 、 底面 ，
所以 ， ， 两两互相垂直，
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)， ， ， ， ，
则 ， ，有 ，故 ；题型七：证明直线和平面平行
23．如图，在四棱台 中，底面ABCD是边长为2的正方形， 平面ABCD，
， ，P为AB的中点.
求证： 平面 ；
【解析】底面ABCD是边长为2的正方形， 平面ABCD，
故 ， ， 两两垂直.
以 为原点， 分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示空间直角坐标系，
在四棱台 中， ， ，P为AB的中点，
故 ,
则 ,
所以 ，即 ，
且 平面 ， 平面 ，
故 平面 .
24．（2024·广西柳州·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，F为
AB的中点．求证： 平面 ；
【解析】以 为原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
， ， ．
因为 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
25．（2024·天津河北·二模）如图，四棱锥 中，侧棱 平面 ，点 是 的中点，底
面 是直角梯形， .
(1)求证： 平面 ；【解析】（1）证明： 平面 ，以 为原点，分别以 、 、 的方向为 轴，
轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
，点 是 的中点，
, ，
则
平面 ， 平面 的一个法向量为 .
，
平面 ， 平面 ；
题型八：证明平面与平面平行
26．如图，在直四棱柱 中，底面 为等腰梯形， ， ， ，
， 是棱 的中点．求证：平面 平面 .
【解析】因为 ， 是棱 的中点，
所以 ，所以 为正三角形.
因为 为等腰梯形， ，
所以 .取 的中点 ，连接 ，
则 ，所以 .
以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，
又 不重合， 不重合，
所以 ， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面
27．在正方体 中， 分别是 的中点，试建立适当的空间直角坐标系，
求证：平面 平面 .
【解析】证明: 如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，
则有 ， ， ， ， ， ，于是 ， ， ， ，
显然有 ， ，所以 ， ，
由 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
同理 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面
28．如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点E在线段 上，且 ，
分别为 、 、 的中点.求证：
(1)平面 平面 ；
(2)平面 平面 .
【解析】（1）证明：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， .
设 ，则 ， ， .
因为 ， ， ，
所以 ， .
所以 ， ，即 ， .又 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 ， ， ，
所以 ， .
所以 ， .
因为 平面 ，所以 平面 .
又由（1）知 平面 ，所以平面 平面 .
题型九：证明直线与直线垂直
29．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 上一点且满足
， ， 分别为 ， 的中点．
求证： ；
【解析】因为 平面 ， ，
如图以 为原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，因为 ，所以 ．30．如图，在三棱柱 中， 平面 分别是
的中点．求证： ．
【解析】选取 作为空间的一个基底，设 ．
由已知条件和三棱柱的性质，得 ， ，
， ．
所以 ，
所以 ，即 ．
31．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，平面 平面 是 的中点，
.
(1)求证： .
(2)若㫒面直线 与 所成的角为 ，求四棱锥 的体积.
【解析】（1）设 的中点为 ，连接 ，
由四边形 是矩形，得 .
是 的中点， .
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 直线 两两垂直.
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴､ 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
设 .依题意得， ，
.
，
，即 .
（2）由（1）可得 ，
异面直线 与 所成的角为 ，
，解得 ，
由（1） 平面 ，
所以 为四棱锥 的高，且 ，
四棱锥 的体积为 .
题型十：证明直线与平面垂直
32．如图所示，在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ， ， ，
是 的中点，作 交 于点 ，且 ．求证： 平面 ；
【解析】以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，可得 ， ， ，则 ．
设点 的坐标为 ，因为 ，所以 ，
即 ， ， ，
所以点 的坐标为 ，即 ．
因为 ，所以 ，则 ．
由已知 ，且 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
33．如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点， 为 的中点， 为 中点．
求证： 平面 ．
【解析】如图以 为原点，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，则 ，即 ，
，则 ，即 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ．
34．如图，在长方体 中， ，点 分别为棱 的中点，求证：
平面 ；
【解析】方法一：因为 是 的中点，
所以 和 是等腰直角三角形，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 ，
又 平面 ，且 ，
所以 平面 ；
方法二：以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标
系，，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
又 平面 ，且 ，
所以 平面 .
题型十一：证明平面和平面垂直
35．如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， 平面 ，
， ， 为 的中点．
求证：平面 平面 ；
【解析】以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
则A(0,0,0)， ， ， ，
， ， .
设平面PCD的一个法向量为⃗n =(x ,y ,z )，则 ，
1 1 1 1
即 ，不妨令 ，则 ， ，
所以 ，
设平面PAC的一个法向量为 ，则 ，
即 ，不妨令 ，则 ， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，所以平面 平面 ．
36．（204·广东深圳·统考模拟预测）在正方体 中，如图 、 分别是 ， 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
【解析】（1）设棱长为 ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，所以 ，则平面 平面 ．
37．已知在直三棱柱 中，其中 为 的中点，点 是 上靠近
的四等分点， 与底面 所成角的余弦值为 ．
(1)求证：平面 平面 ；
【解析】（1）取 的中点 ，连 ，因为 为 的中点，所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
因为 与底面 所成角的余弦值为 ，所以 与底面 所成角的余弦值为 ，
因为三棱柱为直三棱柱，所以 平面 ，所以 是 与底面 所成角，所以
，所以 ，所以 ，
又 ，所以 是边长为 的等边三角形，
取 的中点 ， 的中点 ，连 ，则 ， ， 平面 ，
以 为原点， 的方向为 轴建立空间直角坐标系：
则 ， ， ， ， ， ， ， ，
，
， ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
则 ，得 ，令 ，得 ， ，
，令 ，得 ， ， ，
因为 ，所以 ，所以平面 平面 .
题型十二：求两异面直线所成角
38．已知正方体 的棱长为1，点 在线段 上，若直线 与 所成角的余弦值为 ，
则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】分别以 为 建立空间直角坐标系， 设 ，
则 ,
直线 与 所成角的余弦值为 ，
.
解得： , , .
故选：B.
39．（2024·辽宁·一模）如图，四边形 是正方形， 平面 ，且 ， 是线段
的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为 .【答案】
【解析】
因为 平面 ，则 ， ，又四边形 是正方形，
则 ，以 为坐标原点， 分别为 轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，且 ，则 ，
， ，又 是线段 的中点，则 ，
则 ， ，则 ，
设异面直线 与 所成角为 ，即 ，
则 ，所以 ，
即异面直线 与 所成角的正切值为 .
故答案为：
40．（2024·高三·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－ABC 中，BA＝BC＝BB＝1，BA BC
1 1 1 1
⊥(1)记平面 平面 ，证明： 平面 ；
(2)点Q是直线 上的点，若直线 与 所成角的余弦值为 ，求线段 长.
【解析】（1）证明：连接 交于点 ，连接 交于点 ，连接 ，
则平面 和平面 交线为 ，即
因为 为直三棱柱，所以 为平行四边形，
所以 为 中点， 为 中点，所以 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，即 平面 .
（2）直三棱柱 中， ，所以 两两垂直.
以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 .
设 ，则 ，
所以
解得 ，所以线段 长为 .
题型十三：求直线与平面所成角
41．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，直线 垂直于梯形 所在的平面， ，
为线段 的中点， ， ，四边形 为矩形.(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）设 ，连接 ，
因为四边形 为矩形，所以 为 中点，
又 为 中点，则 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）以 为坐标原点， ， ， 的正方向分别为x，y，z轴，
可建立如图所示空间直角坐标系，
则A(1,0,0)， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为：⃗n=(x,y,z)，
且 ，令 ，解得： ， ，所以 ，
设直线 与平面 所成角为 ，所以 .
则直线 与平面 所成角的正弦值为 .
42．（2024·高三·广东汕头·开学考试） 在四棱锥 中， ， ，
，点 为 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）∵点 为 的中点，则 ，
∵ ，∴ ，
又 即 ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ， 平面 ， 平面 ，则 平面 .
（2）连接 交 于 ，连接 ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ 为 的中点，又 ，则 ，
∵平面 平面 ， 平面 ，面 面 ，
∴ 平面 ，又 平面 ，∴ ，
在 中，由余弦定理可得 ，
∴ ，∴ ，∵ ，
∴ 为直角三角形，即 ，
过点 作 的平行线 ，以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，如图
可得 ，
∴ ，
设面 的法向量为 ，则 ，
取 得 ，∴设 与平面 所成的角为 ，则
∴ 与平面 所成的角的正弦值为
43．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 是 上的点，且 平面 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ， ， ， 是棱 上的点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
试确定 点的位置．
【解析】（1）因为 平面 ， 面 ，所以 ，又 ，所以 ，
又三棱柱 是直三棱柱，所以 ，
又易知 与 相交， 面 ，所以 平面 .
（2）由（1）知 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 ， ， ，又 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
设 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
由 ，得到 ，取 ，则 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，整理得到 ，
解得 或 （舍），所以 点为 上的三等分点，且 ，
即 点为 上靠近 的三等分点.题型十四：求平面与平面所成角
44．（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体 中，底面 是边长为2的菱形，且
， 与平面 所成的角为 与 交于 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【解析】（1）
连结 ，
底面 是边长为2的菱形， ．
，
．
点 为线段 中点， ．
为菱形， 平面 ， 平面
又 平面 ， 平面 平面 ，在平面 上的射影为 ，
为直线 与平面 所成的角，即 ．
在 中， ，
．
则 ．
又 平面 平面 ，
平面 ．
（2）由（1）知 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系
则 ，
则
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
则 即 取 ，则 ．
即 取 则 ．
设二面角 大小为 ，
则 ．
，
二面角 的正弦值为 ．
45．（2024·四川·模拟预测）如图，多面体 中，已知面 是边长为4的正方形， 是等
边三角形， ， ，平面 平面 ．(1)求证： ；
(2)求二面角 的大小．
【解析】（1）由 是正方形，得 ，而平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，则 平面 ，又 平面 ，于是 ，又 ，
所以 .
（2）在平面 内过 作 ，由平面 平面 ，平面 平面 ，
得 平面 ，以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，则 ，令 ，得 ，
而平面 的法向量为 ，设二面角 的平面角为 ，显然 为锐角，
于是 ，则 ，
所以二面角 的大小 .
46．（2024·河南周口·模拟预测）如图，平行六面体 中，底面 与平面 都是
边长为2的菱形， ，侧面 的面积为 .
(1)求平行六面体 的体积；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.【解析】（1）连接 ， ，
因为底面 与平面 均为菱形，且 ，
所以 与 均为等边三角形，
取AB的中点 ，连接 ， ，则 ， ，则 ，
因为侧面 的面积为 ，
所以 的面积为 ，则 ，
所以 ，则 .
在 中， ，则 ，
所以 ，所以 .
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
故平行六面体 的体积 .
（2）由（1）可知， 两两垂直，以 为原点，以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )，
1 1 1
由 得 取 ，则 .
设平面 的法向量为 ，，
由 得 取 ，则 ，于是 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 .
47．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台 中，底面四边形ABCD为菱形，
平面ABCD.
(1)证明： ；
(2)若M是棱BC上的点，且满足 ，求二面角 的余弦值.
【解析】（1）在四棱台 中， 延长后必交于一点，
故 四点共面，因为 平面 ， 平面 ，故 ，
连接 ，因为底面四边形 为菱形，故 ，
平面 ，故 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）过点A作 的垂线，交 与点N，以 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角
坐标系 （如图），
设 ，则 ，由于 ，故 ，则 ， ，
则 ， ， ，
记平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，
则 ，即 ，
平面 的法向量可取为 ，
则 .
所以二面角 的余弦值为 .
题型十五：求点面距、线面距、面面距
48．如图1，在等腰直角三角形ABC中， ， ，D，E分别是AC，AB上的点，
，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥 ，其中
．
(1)求证： ；
(2)求点B到平面 的距离．
【解析】（1）连接 ，
因为在等腰直角三角形 中， ，
在 中， ，同理得 ，
因为 ，所以 ，所以
所以 平面 ，
所以 平面 ．
（2）取 中点 ，则 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)， ，
所以 ，令 ，则 ，则 ，
又 ， ，
所以点 到平面 的距离为 ．
49．如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面 所截而得的，其中 ， ，
， .
（1）求点C到平面 的距离；
（2）设过点 平行于平面 的平面为 ，求平面 与平面 之间的距离.
【解析】（1）由题意，以 为原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐
标系，如图所示，
可得 ，设 ，因为 为平行四边形，可得 ，
即 ，所以 ，即 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
又由 ，
所以点 到平面 的距离为 .
（2）由（1）知平面 的一个法向量为 ，
又由 ，可得点 到平面 的距离为 ，
因为过点 平行于平面 的平面为 ，
所以平面 与平面 之间的距离等于但 到平面 的距离，
即平面 与平面 之间的距离 .
50．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，直四棱柱 各棱长均为2， ，O是线段
BD的中点．(1)求点O到平面 的距离；
(2)求直线AB与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）连接 ，由题意，点 为 的交点，
连接 交 于点 ，连接 ，则 平面 ，
因为四边形 为菱形，则 ，
如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，
在 中， ，则 为等边三角形，则 ，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，则有 ，可取 ，
则点O到平面 的距离为 ；
（2） ，故 ，
则 ，
即直线AB与平面 所成角的正弦值为 ．
51．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1， ，点G是线段BF的中点．
(1)证明： 平面DAF；
(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求点G到平面DEF的距离．
【解析】（1）取 中点 ，连接 ，如图所示：
为 中点，则 ，又 ，得 ，
由 ， ，得 ，
所以四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为 ， ， ，所以 .
因为 平面 ，且直线 与圆柱底面所成角为 ，
所以 ，则有 .
如图，以 为原点， 分别为 轴，过 垂直于底面的直线 为 轴，建立空间直角坐标系
，则有 ， ，
，
设平面 的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，则 ，
令 ，有 ，得 ，
，
设点 到平面 的距离为 ，
.
故点 到平面 的距离 .
题型十六：点到直线距离、异面直线的距离
52．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中，点 在棱 上，且
．
(1)求四棱锥 的表面积
(2)若点 在棱 上，且 到平面 的距离为 ，求点 到直线 的距离．
【解析】（1）由 ， ,所以 ,
,所以 ,
,
故四棱锥 的表面积为
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示空间直角坐标
系，
则 ,0, ， ,4, ， ,4, ， ，其中 ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 令 ，则平面 的法向量 ，
设 到平面 的距离为 ， ，
由于 ，解得 ，
故 ，
点 到直线 的距离为 ．
53．（2024·辽宁·一模）已知空间中的三个点 ，则点 到直线 的距离为
．
【答案】 /
【解析】由题意知， ，
所以 ，得 ， ，
所以点A到直线BC的距离为
.
故答案为：
54．（2024·安徽合肥·一模）棱长为1的正方体 如图所示， 分别为直线 上的动
点，则线段 长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，当PQ为两异面直线的公垂线段
时，PQ长度最短，此时PQ长度为MN的最小值,
则 ,
由 ，所以 ，所以 ,
所以
故答案为： .
55．四棱锥 中， 的中点分别为 ，底面正方形的边长为 ，
求 与 间的距离．【解析】以正方形 的中心 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
由题意 ，
， ，
故 ， ．
设 为与 和 的公垂线在同一个方向上的向量，
则 ， ，
得 ，
∴异面直线 与 间的距离： ．
1．（2024·江西新余·模拟预测）已知 ，直线 过原点且平行于 ，则 到 的距离为
（ ）.
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】由题意取 ，则 ，
所以 到 的距离为.
故选：C
2．（2024·山东济南·三模）如图所示，正方体 的棱长为1，点 分别为
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行
C．三棱锥 的体积为 D．直线BC与平面 所成的角为
【答案】B
【解析】A选项： 为正方体，所以 ，直线 与直线 不垂直，所以直线
与直线 不垂直，故A错误；
如图建立空间直角坐标系，则 ，
对于B，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 在平面 外，所以直线 与平面 平行，所以B正确，
对于C， ，所以三棱锥 的体积为 ，所以
C错误，
对于D， ，直线BC与平面 所成的角为 ，
，所以D错误，
故选：B.3．（2024·浙江·模拟预测）边长为1的正方体 中， ， 分别是 ， 中点， 是
靠近 的四等分点， 在正方体内部或表面， ，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
所以 ，则 ，
因为 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，当且仅当 ，此时 时，等号成
立，
所以 的最大值是 .
故选：D.4．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体 中，已知 ，
，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线 与BD所成的角为90°
B．线段 的长度为
C．直线 与 所成的角为90°
D．直线 与平面ABCD所成角的正弦值为
【答案】D
【解析】在平行六面体 中，令 ， ， ，
由 ， ，
得 ， ，
对于 ，显然 ， ，
则 ，即 ，
因此直线 与 所成的角为 ，A正确；
对于B， ，即 ，B正确；
对于C， ，即 ，
因此直线 与 所成的角为 ，C正确；
对于D，在平行六面体 中，四边形 是菱形，即 ，
又 ， ， 平面 ，于是 平面 ，
又 平面 ，则平面 平面 ，
连接 交 于点 ，在平面 内过点 作 于点 ，如图，由平面 平面 ，因此 平面 ，即直线 与平面 所成角为 ，
，则 ，即 ，
由 及选项C知， ，则 ，D错误.
故选：D
5．已知向量 ， ，向量 在向量 上的投影向量为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】向量 在向量 上的投影向量为
故选：A
6．（2024·山东菏泽·二模）如图，在正方体 中， ，则下列结
论中正确的是（ ）
A． 平面 B．平面 平面
C． 平面 D．平面 内存在与 平行的直线
【答案】C
【解析】因为 为正方体，设正方体边长为2，
以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
同理解得平面 的法向量 ，
，故A不正确；
，故B不正确；
，
，所以 ，
又 ，所以 平面 ，C正确；
平面 的一个法向量为 ，
，故D不正确；
故选：C
7．定义一个集合 ，集合中的元素是空间内的点集，任取 ，存在不全为0的实数 ，使
得 ．已知 ，则 的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知这三个向量 共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出
，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，则当 无法推出
，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知 三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由 能推出 ，
对D，由空间直角坐标系易知 三个向量共面，
则当 无法推出 ，故D错误.
故选：C．8．（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中， 与平面 交于
点 ，与平面 交于点 ，点 分别在线段 上运动，则线段 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示：以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，
可得 ，
则 ，可知 ，
且 ， 平面 ，可知： 平面 ，
且 平面 ，可得 ，
设 ，即 ，则 ，
因为 ，解得 ，即 ；
同理可得： 平面 ， ，则 ， ，
又因为 ，
则三棱锥 为正三棱锥，点 为等边 的中心，
在 中，结合等边三角形可知： ，
因为 平面 ， 平面 ，则 ，可知 ，
当 时， 取到最小值 ；
当 时， 取到最大值 ；
综上所述：线段 的取值范围为 .
故选：C.
9．（多选题）（2024·河南·模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱 中， ，
， ， 分别为棱 ， 的中点，则（ ）
A． 平面
B．
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．平面 与平面 的夹角的正切值为
【答案】ABD
【解析】选项A：如图连接 交 于 ，连接 ，
由题意可知 为 的中点，又 为 的中点，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，故A正确；
选项B：由题意 为等边三角形， 为 的中点，
故 ,
又棱柱 为直三棱柱，故 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，又 平面 ，故 ，故B正确；
选项C：
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
因 ，故A(√3,0,0)，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，则
故C错误；选项D：由题意平面 的一个法向量为 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，则
，即 ，设 ，则 ， ，
故 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
故 ，
故 ，故D正确，
故选：ABD
10．（多选题）（2024·山东淄博·二模）如图，在平行六面体ABCD﹣ABC D 中，以顶点A为端点的三条
1 1 1 1
棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 ，M为AC 与BD 的交点．若 ， ， ，则下列
1 1 1 1
说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由题意可知， ，
对于A， ，故A正确；
对于B，又因为 ，
所以 ，所以 ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确．
故选：AD．
11．（多选题）（2024·河北·模拟预测）已知正方体 为 中点， 为BC中点，则
（ ）
A．直线PD与直线 平行 B．直线 与直线 垂直
C．直线PQ与直线 相交 D．直线PQ与直线 异面
【答案】BD
【解析】根据题意，设正方体的棱长为2，以 为坐标原点，如图建立坐标系，
则 ,0, ， ,2, ， ,2, ， ,0, ， ,2, ， ,2, ， ,0, ，
,0, ， ,2, ，
对于A， ,0, ， ,0, ，由于 对于任意的 都不会成立，则 与 不平行，则直
线 与直线 不平行，A错误；
对于B， ,2, ， , , ，则有 ，则 ，即直线 与直线
垂直，B正确；
对于C，直线 与 相交，故 平面 ，直线 平面 ， ，所以PQ与直线
是异面直线，C错误；
对于D， ,显然两直线不平行，假设直线 与直线 相交，则 在
同一平面上， ,故存在实数 使得 ，即 ，则 无解，故
与直线 既不相交也不平行，是异面直线，D正确．
故选：BD．12．（2024·江苏苏州·模拟预测）空间内四点 ， ， ，D可以构成正四面体，则点
D的坐标是 ．
【答案】
【解析】由已知正四面体ABCD的棱长为1，所以D的竖坐标正四面体的高，
的外接圆半径为 ，
所以正四面体的高为 ，
而横坐标，纵坐标即底面三角形ABC的重心坐标， ，
所以 ，
故答案为： .
13．（2024·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，设 ，若沿直线
把平面直角坐标系折成大小为 的二面角后， ，则 的余弦值为 ．
【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，过点 作 于点 ，
可知 ，
沿直线 把平面直角坐标系折成大小为 的二面角后，
仍有 ，则 ，
由 ，
可得 ，
即 ，
即 ，
可得 ．
故答案为：
14．（2024·高三·广东深圳·期中）在长方体 中， ，点 为侧面
内一动点，且满足 平面 ，则 的最小值为 ，此时点 到直线 的距离
为 .
【答案】 /
【解析】如图所示，因为 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 平面 ，因为 平面 ，
所以平面 平面 ，因为 平面 ，要使得 平面 ，
则 平面 ，因为平面 平面 ，
故点 的轨迹为线段 ，当 取最小值时， ，则 为 的中点，
则 .
以 为原点， 的方向分别为 ， 轴建立空间直角坐标系，易知 ，
取 ，
则 ，
所以点 到直线 的距离为 .
故答案为： ；
15．（2024·天津蓟州·模拟预测）如图，在四棱锥 中，已知棱 两两垂直，长度分别为
1，2，2，若 ，且向量 与 夹角的余弦值为 .
(1)求实数 值；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【解析】（1）依题意，以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系 ，
，由 ，得 ，则 ，而 ，
而 ，显然 ，解得 .（2）由（1）得 ， ，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，又 ，
于是 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（3）由（2）令平面 的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
16．（2024·河北·模拟预测）如图，四棱锥 中，平面 平面
， ．设
中点为 ，过点 的平面 同时垂直于平面 与平面 ．
(1)求
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值；
(3)求平面 截四棱锥 所得多边形的周长．
【解析】（1）设 ， ， ，则 ，
在 中， ，
整理得 ，
由题意得 ，
则 ，即 ，
解得 ，
因此 ，
即 ．
（2）作 中点 ，连接 ， ，
因为 为 中点， ，
所以 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 ， ， 平面 ，故 ， ， ，
因为 ， ，
所以四边形 、四边形 都是平行四边形，
故 ， ，而 ，所以 ，
又因为 为 中点，所以 ，在平面 中也有 ，
由于 ，故 ， ， ， ，
由勾股定理得： ， ，
故以 为原点， ， ， 为 ， ， 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 ，平面 ，平面 ，平面 的法向量分别为 ， ， ，
则 ，即 ，取 ，则 ，
同理可得 ，
因为平面 同时垂直于平面 ，平面 ，所以 ， ，即 ，取 ，则 ，
平面 的法向量是 ，则 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
故 ，
因此平面 与平面 夹角的正弦值为 ．
（3）设 是平面 上一点，因为平面 过点 ，则可以设 ，
这是因为此时 ，因此可设 ，
因为当平面与平面相交时，其交线必为直线且唯一，故只需讨论平面 与四棱锥 的公共部分，
当 时， 在直线 上，
因此平面 过直线 ，故平面 与平面 ，平面 交于直线 ，与棱 ， 分别交于 ， ，
故只需讨论平面 与棱 ， 的交点：设平面 与棱 ， 的交点分别为 ， ，
则设 ， ，
令 ，则 ，
解得 ，即 ，
同理可得 ，
故平面 与平面 交于 ，平面 交于 ，因此平面 截四棱锥 所得截面多边形为四
边形 ，
故周长为 ．
17．（2024·山东淄博·二模）已知直角梯形 ， ， ， ，
为对角线 与BD的交点．现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，点 为 的中点，
如图所示：(1)证明： 平面PBM；
(2)求三棱锥 体积的最大值；
(3)当三棱锥 的体积最大时，求直线AB与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）直角梯形 中，
由相似可得，
因为 ， ，可得 ， ，
故可得 ， ，
由 ，则由勾股定理逆定理得， ，即 ，
，
翻折后可得， ， ，
又因为 ， 在平面 内，
故 平面
（2）因为点 为边 的中点，
所以 ，又 ，
所以 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
所以点P到平面ABC的距离，即为点P到BM的距离，设为h，
因为 为定值，
当h最大时，三棱锥 的体积最大，
而 ，则 ，
当h=1时， .
（3）由（2）得，当三棱锥 的体积最大时，
点P到平面ABC的距离为 ，即 平面 ．
故 ， ，又因为 ，
故 ， ， 两两垂直．
故可以 为原点，
直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
由题可得， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
18．（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 为 的中点，点 在 上，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
(3)设点 在 上，且 判断直线 是否在平面 内，说明理由．
【解析】（1）因为 平面 ，又 平面 ，则 ，
又 ，且 ， ， 平面 ，故CD 平面 ；又 面 ，
，
， 为 中点，
，
，CD， 面 ，
面 ；
（2）过点 作AD的垂线交 于点 ，
因为 平面 ，且 ， 平面 ，所以 ， ，
故以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0,0,0)， ， ， ， ，
因为 为 的中点，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，则 ，即 ，
令 ，则y=−1，x=−1，故 ，
又因为平面 的法向量为 ，
所以 ，
所以平面 与平面 的夹角余弦值为 ；
（3）直线 不在平面 内，
因为点 在 上，且 ，又 ，故 ，
则 ，
由（2）可知，平面 的法向量为 ，所以 ，
所以直线 不在平面 内．
1．（2024年北京高考数学真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在
上，且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）取 的中点为 ，接 ，则 ，
而 ，故 ，故四边形 为平行四边形，
故 ，而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）
因为 ，故 ，故 ，故四边形 为平行四边形，故 ，所以 平面 ，
而 平面 ，故 ，而 ，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
则
设平面 的法向量为 ，
则由 可得 ，取 ，
设平面 的法向量为 ，
则由 可得 ，取 ，
故 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形
ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形， ， ，
， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【解析】（1）因为 为 的中点，所以 ，
四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ，
平面 ，所以 平面 ；
（2）如图所示，作 交 于 ，连接 ，
因为四边形 为等腰梯形， ，所以 ，
结合（1） 为平行四边形，可得 ，又 ，
所以 为等边三角形， 为 中点，所以 ，又因为四边形 为等腰梯形， 为 中点，所以 ，
四边形 为平行四边形， ，
所以 为等腰三角形， 与 底边上中点 重合， ， ，
因为 ，所以 ，所以 互相垂直，
以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立 空间直角坐标系，
， ， ，
，设平面 的法向量为⃗m=(x ,y ,z )，
1 1 1
平面 的法向量为⃗n=(x ,y ,z )，
2 2 2
则 ，即 ，令 ，得 ，即⃗m=(√3,3,1)，
则 ，即 ，令 ，得 ，
即 ， ，则 ，
故二面角 的正弦值为 .
3．（2024年天津高考数学真题）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ，
平面 ， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．
(1)求证 平面 ；(2)求平面 与平面 的夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【解析】（1）取 中点 ，连接 ， ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
则有 、 ，
故四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
（2）以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有A(0,0,0)、 、 、 、C(1,1,0)、 ，
则有 、 、 ，
设平面 与平面 的法向量分别为 、 ，
则有 ， ，
分别取 ，则有 、 、 ， ，
即 、 ，
则 ，
故平面 与平面 的夹角余弦值为 ；
（3）由 ，平面 的法向量为 ，则有 ，
即点 到平面 的距离为 .
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ，
， ，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得
．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．
【解析】（1）由 ，
得 ，又 ，在 中，
由余弦定理得 ,
所以 ，则 ，即 ，
所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
故 ；
（2）连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ，由（1）知 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，
由 是 的中点，得 ，
所以 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，则 ， ，
令 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 和平面 所成角为 ，则 ，
即平面 和平面 所成角的正弦值为 .
5．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥 中， 平面 ，
．
(1)求证： 平面PAB；
(2)求二面角 的大小．
【解析】（1）因为 平面 平面 ，
所以 ，同理 ，
所以 为直角三角形，
又因为 ， ，
所以 ，则 为直角三角形，故 ，
又因为 ， ，所以 平面 .
（2）由（1） 平面 ，又 平面 ，则 ，
以 为原点， 为 轴，过 且与 平行的直线为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
又因为二面角 为锐二面角，
所以二面角 的大小为 .
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）如图，在正四棱柱 中， ．点
分别在棱 , 上， ．(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
【解析】（1）以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
，
，
又 不在同一条直线上，
.
（2）设 ，
则 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，，
设平面 的法向量 ，
则 ，
令 ，得 ，
，
，
化简可得， ，
解得 或 ，
或 ，
.
7．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．
(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）连接 ，因为E为BC中点， ，所以 ①，
因为 ， ，所以 与 均为等边三角形，
，从而 ②，由①②， ， 平面 ，
所以， 平面 ，而 平面 ，所以 ．
（2）不妨设 ， ， ．
， ，又 ， 平面 平面 ．
以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设 ，
设平面 与平面 的一个法向量分别为 ，
二面角 平面角为 ,而 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，取 ，所以 ；
，取 ，所以 ，
所以， ，从而 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
8．（2022年新高考天津数学高考真题）如图，在直三棱柱 中， ，点D、E、F分别
为 的中点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【解析】（1）证明：在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，则
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 、 、 、 、 、 、 、 、 ，
则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，则 ，故 ，
平面 ，故 平面 .
（2） ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， .
因此，直线 与平面 夹角的正弦值为 .
（3） ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，则 ，
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
9．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ，
， ， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为
的中点．(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）过点 、 分别做直线 、 的垂线 、 并分别交于点 、 ．
∵四边形 和 都是直角梯形， ， ，
由平面几何知识易知， ，则四边形 和四边形
是矩形，∴在Rt 和Rt ， ，
∵ ，且 ，
∴ 平面 是二面角 的平面角，则 ，
∴ 是正三角形，由 平面 ，得平面 平面 ，
∵ 是 的中点， ，又 平面 ， 平面 ，可得 ，而
，∴ 平面 ，而 平面 ．
（2）因为 平面 ，过点 做 平行线 ，所以以点 为原点， ， 、 所在直线
分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，
设 ，则 ，
设平面 的法向量为
由 ，得 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
∴ ．10．（2022年新高考全国II卷数学真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是
的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，
所以 、 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面
（2）过点 作 ，如图建立空间直角坐标系，因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，则 ， ，
所以 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以
；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ；
所以 .
设二面角 的大小为 ，则 ，
所以 ，即二面角 的正弦值为 .
11．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥 中， 底面
．(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
【解析】（1）证明：在四边形 中，作 于 ， 于 ，
因为 ，
所以四边形 为等腰梯形，
所以 ，
故 ， ，
所以 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 ；
（2）如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
，
则 ，
则 ，设平面 的法向量 ，
则有 ，可取 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体 中，
，E为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
【解析】（1）因为 ，E为 的中点，所以 ；
在 和 中，因为 ，
所以 ，所以 ，又因为E为 的中点，所以 ；
又因为 平面 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）连接 ，由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，所以 ，所以 ，
当 时， 最小，即 的面积最小.
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 是等边三角形，
因为E为 的中点，所以 ， ，
因为 ，所以 ,
在 中， ，所以 .
以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，
所以 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
13．（2022年新高考全国I卷数学真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）在直三棱柱 中，设点A到平面 的距离为h，
则 ，
解得 ，
所以点A到平面 的距离为 ；
（2）取 的中点E,连接AE,如图，因为 ，所以 ,
又平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
在直三棱柱 中， 平面 ，
由 平面 ， 平面 可得 ， ，
又 平面 且相交，所以 平面 ，
所以 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，
则 ,所以 的中点 ，
则 ， ,
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，
可取 ，
则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
14．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥 中，底面 是正方形，若
．（1）证明：平面 平面 ；
（2）求二面角 的平面角的余弦值．
【解析】
（1）取 的中点为 ，连接 .
因为 ， ，则 ，
而 ，故 .
在正方形 中，因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，故 为直角三角形且 ，
因为 ，故 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 .
（2）在平面 内，过 作 ，交 于 ，则 ，
结合（1）中的 平面 ，故可建如图所示的空间坐标系.
则 ，故 .
设平面 的法向量 ，
则 即 ，取 ，则 ，
故 .
而平面 的法向量为 ，故 .二面角 的平面角为锐角，故其余弦值为 .
15．（2021年北京市高考数学试题）如图：在正方体 中， 为 中点， 与平面
交于点 ．
（1）求证： 为 的中点；
（2）点 是棱 上一点，且二面角 的余弦值为 ，求 的值．
【解析】(1)如图所示，取 的中点 ，连结 ，
由于 为正方体， 为中点，故 ，
从而 四点共面，即平面CDE即平面 ，
据此可得：直线 交平面 于点 ，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点 与点 重合，
即点 为 中点.
(2)以点 为坐标原点， 方向分别为 轴， 轴， 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，不妨设正方体的棱长为2，设 ，
则： ，
从而： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
设平面 的法向量为： ，则：
，
令 可得： ，
从而： ，
则： ，
整理可得： ，故 （ 舍去）.
16．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，
PD=DC=1， 为 的中点，且PB⊥AM．（1）求 ；
（2）求二面角 的正弦值．
【解析】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面 ，四边形 为矩形，不妨以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、
、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
设 ，则 、 、 、 、 ，
则 ， ，
，则 ，解得 ，故 ；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结 ．因为 底面 ，且 底面 ，所以 ．
又因为PB⊥AM，PB∩PD=P，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．从而 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，于是 ．
1
所以
BC2=1．所以
．
2
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结 交 于点N．
由[方法二]知 ．
在矩形 中，有 ，所以 ，即 ．
令 ，因为M为 的中点，则 ， ， ．由 ，得 ，解得 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面 的法向量为 ，则 ， ，
由 ，取 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
由 ，取 ，可得 ，
，
所以， ，
因此，二面角 的正弦值为 .
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体 ，联结 ，交点记为H，由于 ， ，所以
平面 ．过H作 的垂线，垂足记为G．
联结 ，由三垂线定理可知 ，故 为二面角 的平面角．
易证四边形 是边长为 的正方形，联结 ， ．
，
由等积法解得 ．
在 中， ，由勾股定理求得 ．
所以， ，即二面角 的正弦值为 ．
【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，
结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等
面积方法求得.
（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，
为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.
