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专题 21.7 期末复习之解答压轴题十六大题型总结
【人教版】
【题型1 利用二次根式比较大小】..........................................................................................................................1
【题型2 复合二次根式的化简】..............................................................................................................................3
【题型3 勾股定理的证明】......................................................................................................................................4
【题型4 利用勾股定理格点作图】..........................................................................................................................6
【题型5 勾股定理及其逆定理的综合】..................................................................................................................8
【题型6 尺规作图与四边形的综合】....................................................................................................................10
【题型7 四边形中的折叠问题】............................................................................................................................12
【题型8 四边形中的旋转问题】............................................................................................................................14
【题型9 四边形中的定值问题】............................................................................................................................16
【题型10 四边形中的最值问题】............................................................................................................................18
【题型11 动点函数图像】........................................................................................................................................20
【题型12 一次函数的应用】....................................................................................................................................22
【题型13 一次函数与几何综合】............................................................................................................................24
【题型14 新定义问题】............................................................................................................................................26
【题型15 阅读理解问题】........................................................................................................................................27
【题型16 规律探究问题】........................................................................................................................................30
【题型1 利用二次根式比较大小】
【例1】（2024八年级·江苏南京·期末）像(√5+2)(√5﹣2)＝1、√a•√a＝a(a≥0)、(√b+1)(√b﹣1)＝b﹣
1(b≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．
例如，√5与√5，√2 +1与√2﹣1，2√3+3√5与2√3﹣3√5等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，
利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
2
(1)化简： ；
3√3
1 1
(2)计算： + ；
2-√3 √3-√2
(3)比较√2018-√2017与√2017-√2016的大小，并说明理由．【变式1-1】（2024八年级·浙江杭州·期末）阅读材料，并完成下列任务：
材料一：裂项求和
1 1 1 1 1 1 1 1
小华在学习分式运算时，通过具体运算： =1- ， = - ， = - ，……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1
发现规律： = - （n为正整数），并证明了此规律成立．
n⋅(n+1) n n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
应用规律：快速计算 + + +⋯+ =1- + - +⋯+ - =1- = ．
1×2 2×3 3×4 9×10 2 2 3 9 10 10 10
材料二：根式化简
1 1 √3-1 1( 1 )
例1 = = = 1- ；
3+√3 √3(√3+1) √3(√3+1)(√3-1) 2 √3
1 1 √5-√3 1( 1 1 )
例2 = = = -
5√3+3√5 √15(√5+√3) √15(√5+√3)(√5-√3) 2 √3 √5
任务一：化简．
1
(1)化简：
7√5+5√7
1
(2)猜想： = ___________________（n为正整数）．
(2n+1)√2n-1+(2n-1)√2n+1
任务二：应用
1 1 1 1
(3)计算： + + +⋯+ ；
3+√3 5√3+3√5 7√5+5√7 49√47+47√49
任务三：探究
√3-1
(4)已知x=
2
√5-√3 √7-√5 √2025-√2023
y= + +⋯+ ，
1+√3+√5+√3×5 1+√5+√7+√5×7 1+√2023+√2025+√2023×2025
比较x和y的大小，并说明理由．
1
【变式1-2】（2024八年级·江苏宿迁·期末）已知a= ，求2a2-8a+1的值．小明是这样分析与解答
2+√3
的：
1 2-√3
∵a= = =2-√3，
2+√3 (2+√3)(2-√3)
∴a-2=-√3，∴(a-2) 2=3，即a2-4a+4=3，
∴a2-4a=-1，
∴2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
1
(1)若a= ，求3a2-12a-1的值；
√5-2
1 1 1 1
(2)计算： + + +⋅⋅⋅+ = ；
√2+1 √3+√2 √4+√3 √100+√99
(3)比较√2023-√2022与√2022-√2021的大小，并说明理由．
【变式1-3】（2024八年级·北京海淀·期末）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得
很好的效果，例如，比较a＝2√3和b＝3√2的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2＝12，b2＝18，则a2
＜b2，∴a＜b．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较c＝4√2，d＝2√7大小，c d（填写＞，＜或者＝）．
(2)猜想m＝2√5+√6，n＝2√3+√14之间的大小，并证明．
(3)化简：√4 p-8√p-1+√4 p+8√p-1＝ （直接写出答案）．
【题型2 复合二次根式的化简】
【例2】（2024八年级·湖南郴州·开学考试）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简√5-2√6
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
√5-2√6=√2-2√2×3+3①
=√ (√2) 2-2√2×√3+(√3) 2②
=√ (√2-√3) 2③
=√2-√3④
在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）化简√9+2√18；
（3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：√8+4√3．
【变式2-1】（2024八年级·北京海淀·期末）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：．
4+2√3=1+3+2√3=12+2√3+(√3) 2=(1+√3) 2
这样小明就找到了一种把类似4+2√3的式子化为完全平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)结合小明的探索过程填空： + √5=(1+2√5) 2；
(2)7+4√3的算术平方根为 ；
(3)化简：√3-2√2+√5-2√6+√7-2√12+⋯+√2n+1-2√n(n+1) ．(𝑛为正整数)
【变式2-2】（2024八年级·江西萍乡·期末）先阅读下列解答过程，然后再解答
形如的化简√m±2√n，只要我们找到两个数a、b，使得a+b＝m，ab＝n，（√a）2+（√b）2＝m；
√a×√b＝√n，便有√m±2√n＝√ (√a) 2+√ (√b) 2 ±2√a×√b＝√ (√a±√b) 2＝√a±√b（a＞b＞0）例如：
√5±2√6＝√ (√3) 2 ±2√3×√2+(√2) 2＝√ (√3+√2) 2＝√3±√2，仿照上述方法化简下列各式
（1）√3-2√2；
（2）√13+2√42．
【变式2-3】（2024八年级·福建三明·期末）先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简
√7+4√3中发现：首先把√7+4√3化为√7+2√12﹐由于4+3=7，4×3=12，即：(√4) 2+(√3) 2=7，
√4×√3=√12，所以√7+4√3=√7+2√12=√ (√4) 2+2√4×3+(√3) 2=( √ (√4+√3) 2=2+√3，
问题：
（1）填空：√4+2√3=__________，√5-2√6=____________﹔
（2）进一步研究发现：形如√m±2√n的化简，只要我们找到两个正数a，b（a>b），使a+b=m，
ab=n，即(√a) 2+(√b) 2=m，√a×√b=√n﹐那么便有： √m±2√n=__________．
（3）化简：√4-√15（请写出化简过程）
【题型3 勾股定理的证明】
【例3】（2024八年级·江苏泰州·期末）（1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积得到的等式：
________
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由；
（3）根据上面两个结论，解决下面问题：
① 在直角△ABC中，∠C=90°，三边分别为a、b、c，a+b=7，ab=12，求c的值：
② 如图3,五边形ABCDE中，线段AC⊥BD，AC=BD=2，四边形ODAE为长方形，在直角△BOC中，
OB=x，OC= y，其周长为n，当n为何值时，长方形AODE的面积为定值，并说明理由．
【变式3-1】（2024八年级·江苏镇江·期末）把一个直立的火柴盒放倒（如图），请你用不同的方法计算梯
形ACED的面积，再次验证勾股定理？（设火柴盒截面宽为a，长为b，对角线为c）
【变式3-2】（2024八年级·山西运城·期末）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三
角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四
1 1
个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ab×4+(b-a) 2 ，从而得到等式c2= ab×4+(b-a) 2 ，化
2 2
简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求
法”．【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．
向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三
边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的
关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶
点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
【变式3-3】（2024八年级·江苏镇江·期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，
已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：c2=a2+b2，得b2=c2-a2=(c+a)(c-a)，
b2
b2 (c+a)-
则c-a= ，得到： (c+a)-(c-a) c+a (c+a) 2-b2 ．
c+a a= = =
2 2 2(c+a)
(c+a) 2-b2
从而得到了勾股定理的推论：己知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则a=
2(c+a)
【问题解决】如图2，已知△ABC的三边长分别为AB=√41,BC=8,AC=5，如何计算△ABC的面积？
据记载，古人是这样计算的：作BC边上的高AH．以BH,CH的长为斜边和直角边作Rt△DEF（如图
3），其中DE=BH,EF=CH．(1)用古人的方法计算DF2的值，完成下面的填空：
DF2=DE2-EF2
=BH2-CH2
=[（__________）❑ 2-（__________）❑ 2]-[（__________）❑ 2-（__________）❑ 2]
=__________
(2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成△ABC面积的计算过程；
(3)你还有其他计算△ABC的面积的方法吗？写出解答过程．
【题型4 利用勾股定理格点作图】
【例4】（2024八年级·山西晋中·期末）在如图的正方形网格中，若每个小方格边长均为1，请你根据所学
的知识解答下列问题：
（1）在下列各数中，任意选取三个无理数，并判断这三个数为边长的线段能否组成一个直角三角形，请
直接写出所有能构成直角三角形的三边对应的无理数；
√2、 √4、 √5、 √8、 √10、 √15、 √20、√25；
（2）在解决（1）的问题时，你所运用的定理名称是 ．
A． 勾股定理 B． 勾股定理逆定理
（3）在下面方格上画出（1）中你所确定的一个直角三角形，并且顶点都在格点上．
【变式4-1】（2024八年级·江苏徐州·期末）如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小
正方形的格点上，求：
（1）△ABC的周长；
（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
（3）△ABC的面积；
（4）点C到AB边的距离．【变式4-2】（2024八年级·山西晋中·期末）问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边
的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点
称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC，其顶点A，B，C都在格点上，同时构造长
方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF经过点A，ED经过点B．同学们借助此图求出了
△ABC的面积．
（1）在图（1）中，△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ．△ABC的面积是 ．
（2）已知△PMN中，PM＝√17，MN＝2√5，NP＝√13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出
△PMN，并直接写出△RMN的面积 ．
【变式4-3】（2024八年级·广东云浮·期末）综合探究：
“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√5、√10、√13，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求△ABC的高，而借用网
格就能计算出它的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．
(1)直接写出图1中△ABC的面积是______；
(2)若△MNP的边长分别为√m2+16n2、√9m2+4n2、√4m2+4n2（m>0，n>0，且m≠n），试运用构
图法在图2中画出相应的△MNP，并求出△MNP的面积．(3)拓展应用：求代数式：√x2+1+√(4-x) 2+4(0≤x≤4)的最小值．
【题型5 勾股定理及其逆定理的综合】
1
【例5】（2024八年级·重庆·期末）如图1，在△AOB中点C为OB边上一点，已知BC= AB，
2
OC=OA=3，AB=4，连接AC．
(1)求△AOB的面积和线段AC的长；
(2)如图2，将△ADB沿BD折叠，点A恰好落在OB边上的点E处，折痕BD交OA于点D，点F是AC上一
点．当△ADF与△BCF的面积相等时，求点F到OB的距离．
【变式5-1】（2024八年级·江苏镇江·期末）阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三
角形和全等解决问题．
如图1，B、C、D三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECD具有共同的顶点C，我们容
易证明△BCE≌△ACD，从而得到BE= ；
理解：如图2，已知点D在等边三角形ABC内，AD=5，BD=4，CD=3，以CD为边在它的下方作等边三
角形CDE，求∠BDC的度数；
应用：如图3，在△ABC中，AC=10，BC=12，点D在△ABC外，位于BC下方，△ABD为等边三角形，
当∠ACD=30°时，CD2= ．
【变式5-2】（2024八年级·湖北恩施·期末）如图，△ABC和ΔEDC都是等边三角形，
AD=√7,BD=√3,CD=2求:（1）AE长；（2）∠BDC的度数：（3）AC的长．【变式5-3】（2024八年级·江苏南京·期末）如图①，∠CDE是四边形ABCD的一个外角，AD∥BC，
BC=BD，点F在CD的延长线上，∠FAB=∠FBA，FG⊥AE，垂足为G．
（1）求证：
①DC平分∠BDE；
②BC+DG=AG．
（2）如图②，若AB=4，BC=3，DG=1．
①求∠AFD的度数；
②直接写出四边形ABCF的面积．
【题型6 尺规作图与四边形的综合】
【例6】（2024八年级·重庆巴南·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．
(1)用尺规完成以下基本作图：作∠BAD的平分线交BC于点E，在DA上截取DF，使DF=CE（保留作图
痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC且AD=_________，
∵DF=CE，AD-DF=BC-CE，
∴_____________．∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠EAF．
∵AE平分∠BAF，
∴____________，
∴∠BEA=∠BAE．
∴____________，
∴四边形ABEF是菱形．
【变式6-1】（2024八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）实践与操作：如图，已知，在Rt△ABC中，
∠BAC=90°．
(1)①利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：作线段AC的垂
直平分线MN，垂足为O；
②连接BO，并延长BO到点D，使得OD=BO，连接AD、CD；
③分别在OA、OC的延长线上取点E、F，使AE=CF，连接BF、FD、DE、EB．
推理与运用：
(2)①求证：四边形BFDE是平行四边形：
②若AB=4，AC=6，当四边形BFDE是矩形时求它的面积．
【变式6-2】（2024·山西大同·八年级期末）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务.
数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题：已知矩形ABCD，利用尺规作一个菱形，使菱形的
四个顶点在矩形的边上.
勤奋组的方法为：如图1，做线段AB的垂直平分线，交AB,CD于点E,G，做AD的垂直平分线，分别交
AD,BC于点H,F，顺次连接E,F,G,H，则四边形EFGH是菱形.善思小组分享的方法是：如图2，分别以A,B为圆心，AB长为半径作弧，交AD,BC于点H,G，连接
HG，则点E与点A重合，点F于点B重合时，四边形EFGH是特殊的菱形.
任务：
(1)证明勤奋组的作法正确；
(2)分别在图3和图4的平行四边形中用不同于材料中的方法作菱形，要求尺规作图，保留作图痕迹，顶点
在原四边形的边上．
【变式6-3】（2020·安徽滁州·八年级期末）如图，E、F两点分别在平行四边形ABCD的边CD、AD上，
AE＝CF，AE、CF相交于点O．
（1）用尺规作出∠AOC的角平分线OM（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：OM一定经过B点．
【题型7 四边形中的折叠问题】
【例7】（2024·山东菏泽·八年级期末）【问题情境】已知在四边形ABCD中，M为边AD上一点（不与点
A，D重合），连接BM，将△ABM沿BM折叠得到△NBM，点A的对应点为点N．
【问题解决】（1）如图（1），若四边形ABCD是正方形，点N落在对角线BD上，连接AN并延长交CD于点G，写出
与∠DGA相等的角：______（写出一个即可）：
【拓展变式】
（2）如图（2），若四边形ABCD是矩形，点N恰好落在AB的垂直平分线EF上，EF与BM交于点G．给
出下列结论：①GN=2EG；②△GMN是等边三角形；③当M，N，C三点共线时，MC=BG+NF，请
任意选择一个你认为正确的结论加以证明；
（3）如图（3），若四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB=4，∠ABC=60°，点N落在线段BC上，
P为AB的中点，连接DP，PN，DN，求△PND的面积．
【变式7-1】（2024八年级·江苏南京·期末）如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【探究发现】
操作一：先把矩形ABCD对折，折痕为EF；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接PM，BM．根据以上操作，
当点M在EF上时，写出图1中∠ABP=________°；
(2)【类比应用】
小明将矩形纸片换成边长为4cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=________°，CQ=________；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说
明理由．
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，当QF=1cm，请直接写出AP的长．【变式7-2】（2024八年级·重庆铜梁·期末）综合与实践
问题情境：
在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片
ABCD中，E为CD边上任意一点，将△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D'．
分析探究：
（1）如图1，当∠ABC=60°，当点D'恰好落在AB边上时，三角形AD'E的形状为 ．
问题解决：
（2）如图2，当E，F为CD边的三等分点时，连接FD'并延长，交AB边于点G．试判断线段AG与BG的
数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当∠ABC=60°，∠DAE=45°时，连接DD'并延长，交BC边于点H．若▱ABCD的面积
为24，AD=4，请直接写出线段D'H的长．
【变式7-3】（2024八年级·江苏扬州·期末）（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，
将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC
有何数量关系？并证明你的结论．
（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求DG的长；
（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍
然成立？请说明理由．
【题型8 四边形中的旋转问题】
【例8】（2024·广东珠海·八年级期末）如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形
ABCD摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB，CD上，
连接AE、AF．(1)求证：△AEF是等腰三角形；
(2)图2取AF的中点M，EF的中点为N，连接MD，AN，请判断线段MD与MN的关系，并证明；
(3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则（2）中的结论还成立
吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【变式8-1】（2024·辽宁·八年级期末）综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD，并且量得AB=2cm，AC=4cm．
【操作发现】
（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到如图2所示
的△AC'D，过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点E，请你判断四边形ACEC'的形状，并证明
你的结论．
（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D三点在同一条直
线上，得到如图3所示的△AC'D，连接CC'，取CC'的中点F，连接AF并延长至点G，使FG=AF，连
接CG、C'G，得到四边形ACGC'，请你判断四边形ACGC'的形状，并证明你的结论．
【实践探究】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A
重合，此时A点平移至A′点，A'C与BC'相交于点H，如图4所示，连接CC'，直接写出线段C'H的长
度．【变式8-2】（2024·辽宁大连·八年级期末）【问题呈现】
如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P旋转，旋
转过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F（点F与点C，D不重合）．
探索线段DE、DF、AD之间的数量关系．
【问题初探】
（1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段DE、DF、AD之
间的数量关系，并说明理由；
【问题引申】
（2）如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，∠EPF=60°，其他条件不变，请你
帮小悦得出此时线段DE、DF、AD之间的数量关系是 ；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且∠EPF
旋转至DF=1时，DE的长度为 ．
【变式8-3】（2024八年级·福建泉州·期末）已知：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，
∠ABC=∠ADC=α．P是BC边上一动点，联结PA，将PA绕点P顺时针方向旋转α，得到PQ，联结
AQ．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)M是BC延长线上一点，联结QM，且AB=BC．
①若MC=BP，求证：MC=MQ；②如图2，若MP=BP，α=90°，联结DM、DQ，求证：DM=√2DQ．
【题型9 四边形中的定值问题】
【例9】（2024八年级·陕西西安·期末）问题探究：
（1）如图1，平行四边形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝3，BC＝5，M、N分别为AD、DC上的点，且
DM+DN＝4，则四边形BMDN的面积最大值是 ．
（2）如图2，∠ACB＝90°，且AC+BC＝4，连接AB，则△ABC的周长是否存在最小值？若存在，求出最
小值；若不存在，说明理由．
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC交BD于O，已知∠AOB＝120°，且AC+BD＝10，
则△AOD与△BOC的周长之和是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出最小值．
【变式9-1】（2024八年级·吉林长春·期末）如图①，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E在边BC上，
且BE=2，动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动．作∠PEQ=90°，
EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．
(t>0)
(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为______；
PE
(2)当点Q和点D重合时，求 的值；
QE
PE
(3)当点P在边AD上运动时，如图②，求证： 为定值，并求这个值；
QE
(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF、QF，当四边形EPFQ和矩形ABCD的重叠部分为轴对称四
边形时，直接写出t的取值范围．【变式9-2】（2024八年级·江苏南通·期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角
线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接
PA，PE，AC．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）求四边形ABDE的周长和面积；
（3）记 ABP的周长和面积分别为C 和S， PDE的周长和面积分别为C 和S，在点P的运动过程中，
1 1 2 2
试探究下△列两个式子的值或范围：①C +C ，△②S+S，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定
1 2 1 2
值的，请直接写出它的取值范围．
【变式9-3】（2024八年级·陕西榆林·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=√2 ，点E为对角线AC上
一动点（点E不与点A、C重合），连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩
形DEFG，连接CG．
（1）求AC的长；
（2）求证矩形DEFG是正方形；
（3）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【题型10 四边形中的最值问题】
【例10】（2024八年级·浙江金华·期末）如图1：正方形ABCD的边长为3，E是直线AD上一动点，连接
CE，在CE的右侧以C为直角顶点作等腰直角三角形ECF，连接BE，DF．(1)当点E在线段AD上运动时，试判断BE与DF的数量关系，并说明理由．
(2)当AE=2ED时，求EF的长．
(3)如图2，连接BF，则BE+BF的最小值为______．
【变式10-1】（2024八年级·陕西延安·期末）问题提出
（1）在平面内，已知线段AB=5，AC=3，则线段BC的最小值为______．
问题探究
（2）如图1，在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=4，∠D=60°，P是边AD的中点，Q是边CD上一
动点，将三角形PDQ沿PQ所在直线翻折，得到三角形PEQ，连接BE，求BE的最小值．
问题解决
（3）如图2，平行四边形ABCD为某公园平面示意图，扇形BMN为该公园的人口广场，已知AB=150m，
BC=130m，AC=140m，BM=BN=20m．为了提升游客体验感，工作人员准备在弧MN上找一点P，
沿AP，CP修两条绿色通道，并在AP上方和CP右方区域种植花卉供游客观赏，其余地方修建其他设施，
求其他设施区域APCD面积的最小值．
【变式10-2】（2024八年级·河南新乡·期末）在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连
接BE，EF．
（1）操作发现：
①在矩形ABCD中，任意折叠所得的 BEF是一个 三角形；
②当折痕经过点A时，BE与AE的数△量关系为 ．
（2）深入探究：
在矩形ABCD中，AB＝√3，BC＝2√3．
①当 BEF是等边三角形时，求出BF的长；
②△B△EF的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF的长；若不存在，请说明理由．
【变式10-3】（2024·重庆·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正
三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．
(1)证明：BE=CF．
(2)当点E，F分别在边BC，CD上移动时(△AEF保持为正三角形)，请探究四边形AECF的面积是否发
生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
(3)在(2)的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．
【题型11 动点函数图像】
【例11】（2024八年级·福建宁德·期末）李大爷在如图 1 所示扇形湖畔的栈道上散步，他从圆心 O 出发，
沿O→A→B→O 匀速运动，最后回到点 O，其中路径 AB 是一段长 180 米的圆弧．李大爷离出发点 O
的直线距离 S（米）与运动时间 t（分）之间的关系如图 2 所示．（1）在 时间段内，李大爷离出发点 O 的距离在增大；在 4~10 分这个时间段内，李大爷在 路段上运动
（填 OA，AB 或 OB）；李大爷从点 O 出发到回到点 O 一共用了 分钟；
（2）扇形栈道的半径是 米，李大爷的速度为 米/分；
（3）在与出发点 O 距离 75 米处有一个报刊亭，李大爷在该处买报纸时逗留了一会儿．已知李大爷在买
报纸前后始终保持运动速度不变，则李大爷是在第 分到达报刊亭，他在报刊亭停留了 分钟．
【变式11-1】（2024八年级·北京房山·期末）如图，在正方形ABCD中，AB=5cm，点E在正方形边上沿
B→C→D运动（含端点），连接AE，以AE为边，在线段右侧作正方形AEFG，连接DF、DG.
小颖根据学习函数的经验，在点E运动过程中，对线段AE、DF、DG的长度之间的关系进行了探究.
下面是小颖的探究过程，请补充完整：
（1）对于点E在BC、CD边上的不同位置，画图、测量，得到了线段AE、DF、DG的长度的几组值，
如下表：
位置 位置 位置 位置 位置 位置 位置
1 2 3 4 5 6 7
AE/cm 5.00 5.50 6.00 7.07 5.99 5.50 5.00
DF/cm 5.00 3.55 3.72 5.00 3.71 3.55 5.00
DG/cm 0.00 2.30 3.31 5.00 5.28 5.69 7.07
在AE、DF和DG的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数.
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象：（3）结合函数图像，解决问题：
当ΔGDF为等腰三角形时，AE的长约为
【变式11-2】（2024八年级·河北石家庄·期末）如图1，在长方形ABCD中，AB=12cm，BC=10cm，点
P从点A出发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿D→C→B→A运动，到点A
停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，运动a秒后，点P，Q同时改变
速度，点P的速度变为6cm/s，点Q的速度变为bcm/s．图2是点P出发x秒后，△APD的面积S （cm2）
1
与x（s）的函数关系图像；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S （cm2）与x（s）的函数关系图像．
2
(1)动点P在线段___上运动时，S 的面积保持不变；动点Q到达点A时，x的值为___；
1
(2)求a，b的值；
(3)设点P离开点A所走的路程为y （cm），点Q离开点D所走的路程为y （cm），当x>a时，分别求出
1 2
y ，y 与x的函数关系式；
1 2
(4)当两个动点所走过的路程比为1:2时，直接写出x的取值范围．
【变式11-3】（2024八年级·四川成都·期末）如图1，在正方形ABCD中，O是AD的中点，P点从A点出
发沿A→B→C→D的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出
发沿D→C→B→A的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点
的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段OP扫过的面积S 与时间t的图象，图3
P是线段OQ扫过的面积S 与时间t的图象．
Q
(1)正方形ABCD的边长是__________；
(2)求线段OQ扫过的面积S 与时间t的代数关系式；
Q
(3)若∠POQ在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t．
【题型12 一次函数的应用】
【例12】（2024八年级·江苏盐城·期末）五一期间，某电器商城推出了两种促销方式,且每次购买电器时只
能使用其中一种方式：第一种是打折优惠，凡是在该商城购买家用电器的客户均可享受八折优惠；第二种
方式是：赠送优惠券，凡在商城三天内购买家用电器的金额满400元且少于600元的，赠优惠券100元
1
（优惠券在购买该物品时就可使用）；不少于600元的，所赠优惠券是购买电器金额的 ，另再送50元现
4
金.
(1)以上两种促销方式中第二种方式，可用如下形式表达：设购买电器的金额为x（x≥400）元，优惠券金额
为y元，则：①当x＝500时，y＝ ；②当x≥600时，y＝ ；
(2)如果小张想一次性购买原价为x（400≤x＜600）元的电器，可以使用优惠券，在上面的两种促销方式中，
试通过计算帮他确定一种比较合算的方式？
(3)如果小张在促销期间内在此商城先后两次购买电器时都得到了优惠券（两次购买均未使用优惠券），第
一次购买金额在600元以内，第二次购买金额超过600元，所得优惠券金额累计达800元，设他购买电器
的金额为W元，W至少应为多少？（W＝支付金额－所送现金金额）
【变式12-1】（2024八年级·安徽合肥·期末）某商场准备购进甲乙两种服装进行销售．甲种服装每件进价
160元，售价210元；乙种服装每件进价120元，售价150元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服
装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元?
(3)在（2）的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(00)的点，叫做该函数图象的“n阶和点”.例如，(2,1)为一次函数y=x-1的“3阶和
点”．
(1)若点(-1,-1)是y关于x的正比例函数y=mx的“n阶和点”，则m= ______ ，n= ______ ；
(2)若y关于x的一次函数y=kx-2的图象经过一次函数y=x+3图象的“5阶和点”，求k的值；
(3)若y关于x的一次函数y=nx-4的图象有且仅有2个“n阶和点”，求n的取值范围．
【变式14-3】（2024八年级·江苏淮安·期末）问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是180°，则称这两个三角形是关于这条底边的互补
三角形．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，且∠A+∠D=180°，则
△ABC与△DBC是关于BC的互补三角形．(1)初步思考：如图2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，D、E为△ABC外两点，
EB=EC，∠EBC=45°，△DBC为等边三角形．则△ABC关于BC的互补三角形是______，并说明理
由．
(2)实践应用：如图3，在长方形ABCD中，AB=8，AD=10．点E在AB边上，点F在AD边上，若
△BEF与△BCF是关于BF互补三角形，试求AE的长．
(3)思维探究：如图4，在长方形ABCD中，AB=8，AD=10．点E是线段AB上的动点，点P是平面内
一点，△BEP与△BCP是关于BP的互补三角形，直线CP与直线AD交于点F．在点E运动过程中，线段
BE与线段AF的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE的长；若不相等，请说明理由．
【题型15 阅读理解问题】
【例15】（2024八年级·重庆·期末）阅读下列两则材料，回答问题
材料一：我们将(√a+√b)与(√a-√b)称为一对“对偶式”，因为(√a+√b)(√a-√b)=(√a) 2-(√b) 2=a-b
所以构造“对偶式”相乘可以将(√a+√b)与(√a-√b)中的“√❑”去掉．例如：已知√23-x-√17-x=2，
求√23-x+√17-x的值．
(√23-x-√17-x)(√23-x+√17-x)=23-x-(17-x)=6
∵√23-x-√17-x=2，∴√23-x+√17-x=3
材料二：如图，点A(x ,y )，点B(x ,y )，以AB为斜边作Rt△ABC，
1 1 2 2
则C(x ,y )，AC=|x -x |，BC=|y - y |，所以AB=√(x -x ) 2+(y - y ) 2；反之，可将代数式
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
√(x -x ) 2+(y - y ) 2的值看作点A(x ,y )到点B(x ,y )的距离，例如：
1 2 1 2 1 1 2 2
√x2+2x+ y2-2y+2=√(x+1) 2+(y-1) 2=√ [x-(-1)] 2+(y-1) 2，∴可将√x2+2x+ y2-2y+2的值看作点(x,y)到点(-1,1)的距离．
(1)利用材料一，解关于x的方程：√33-x-√17-x=2，其中x≤17；
(2)利用材料二，求代数式√x2+2x+ y2-2y+2+√x2-4x+ y2+6 y+13的最小值，并求出此时x与y的关
系式，写出x的取值范围．
【变式15-1】（2024八年级·山西吕梁·期末）阅读下列材料，完成相应任务．
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1
如图1，△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的中线．求证：BD= AC．
2
分析：要证明BD等于AC的一半．可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得
DE=BD．连接AE，CE．可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE=AC，这样将直角三角
1
形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到BD= AC．
2
(1)请你按材料中的分析写出证明过程；
(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是 ；
A．转化思想
B．类比思想
C．数形结合思想
D．从一般到特殊思想
(3)如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分
别是AD和BE的中点，连接FG．若AB=12，CD=8，CE=3，则FG= ．【变式15-2】（2024八年级·广东惠州·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，可以将其进一步化简：
√3+1
2 2(√3-1) 2(√3-1) 2(√3-1)
= = = =√3-1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
√3+1 (√3+1)(√3-1) (√3) 2-1 2
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．
1 1 1 1
(1)计算： + + +⋯+ ．
√3+1 √5+√3 √7+√5 √2019+√2017
√m+1-√m √m+1+√m
(2)已知m是正整数，a= ，b= ，a+b+3ab=2021，求m．
√m+1+√m √m+1-√m
(3)已知√15+x2-√26-x2=1，则√15+x2+√26-x2的值为?
【变式15-3】（2024八年级·安徽安庆·期末）阅读材料：
例：说明代数式√x2+1+√(x-3) 2+4的几何意义，并求它的最小值．
解：√x2+1+√(x-3) 2+4=√(x-0) 2+1+√(x-3) 2+22．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P(x,0)是x轴上一点，则√(x-0) 2+1可以看成点P与点
A(0,1)的距离，√(x-3) 2+22可以看成点P与点B(3,2)的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA与PB
长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点A'，则PA=PA'．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小
值，而点A'，B间的直线段距离最短，所以PA'+PB的最小值为线段A'B的长度．为此，构造直角三角形
A'CB，因为A'C=3，CB=3，所以由勾股定理得A'B=3√2，即原式的最小值为3√2．
根据以上阅读材料，解答下列问题：(1)代数式√(x-1) 2+1+√（x-2）2+16的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)，点B
的距离之和．（填写点B的坐标）
(2)代数式√x2+25+√x2-12x+45的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0) 与点A 、点B 的距离之和．
（填写点A，B的坐标）
(3)求出代数式√x2+25+√x2-12x+45的最小值．
【题型16 规律探究问题】
【例16】（2024八年级·浙江台州·期末）（1）观察下列各式的特点：
√2-1>√3-√2，
√3-√2>2-√3，
2-√3>√5-2，
√5-2>√6-√5，
…
根据以上规律可知：√2021-√2020______√2022-√2021（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）观察下列式子的化简过程：
1 √2-1
= =√2-1，
√2+1 (√2+1)(√2-1)
1 √3-√2
= =√3-√2，
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2)
1 √4-√3
= ＝√4-√3，
√4+√3 (√4+√3)(√4-√3)
…
1
根据观察，请写出式子 （n≥2，且n是正整数）的化简过程．
√n+√n-1
1 1 1 1
（3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：| - |+| - |+|
√2+1 √3+√2 √3+√2 √4+√31 1 1 1
- |+•••+| - |．
√4+√3 √5+√4 √100+√99 √101+√100
【变式16-1】（2024八年级·上海·期末）细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：
(√1)
2+1=(√2) 2
；
(√2)
2+1=(√3) 2
；
(√3)
2+1=(√4) 2
；⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（1）请用含n（n为正整数）的等式表示上述交化规律：______；
（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；
（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于√7的长度；
（4）若S表示三角形面积，S =S ，S =S ，S =S ⋅⋅⋅，计算出S2+S2+S2+⋅⋅⋅+S2
1 △OP 1 P 2 2 △OP 2 P 3 3 △OP 3 P 4 1 2 3 10
的值．
【变式16-2】（2024八年级·浙江绍兴·期末）在数学课“合作学习”环节，沈老师要求同学们通过观察如
图1所示的坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律．
同学们通过讨论，积极发言，主要把k进行分类，得出一次函数的部分性质：
对于一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．
【跟进练习】对于函数y=-2x+3，当-3
