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专题 16.1 二次根式【九大题型】
【人教版】
【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】.........................................................................................................1
【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】.........................................................................................................1
【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】.......................................................................................................2
【题型4 根据二次根式有意义条件求值】...........................................................................................................2
【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】.................................................................................................3
【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】.....................................................................................3
【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】.................................................................................4
【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】.................................................................................................4
【题型9 复杂的复合型二次根式化简】....................................................................................................................5
【知识点1 二次根式的定义】
形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，√❑叫做二次根号，a叫做被开方数.
【题型1 根据二次根式概念判断二次根式】
【例1】（2022春•宁津县期末）下列各式中，一定是二次根式的个数为（ ）
√a 1
√3，√m，√x2+1，√3 4，√−m2−1， （a≥0），√2a+1（a＜ ）
3 2
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【变式1-1】（2022春•顺平县期末）下列各式是二次根式的是（ ）
A．√−2 B．−√2 C．√32 D．√x
【变式1-2】（2022春•宜城市期末）在式子 ， ， ，x+y中，二次根式有（ ）
√2 √33 √x2+1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2022春•凤庆县期末）下列各式： 、 ， ， ， ， 中，
√5 √a2 √−3 √38 √x−1(x⩾1) √x2+2x+1
一定是二次根式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【题型2 根据二次根式的定义求字母的值】
【例2】（2022春•莱州市期末）若√12n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
【变式2-1】（2022春•昭阳区校级月考）若√80n是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1
【变式2-2】（2022春•信州区校级月考）当x＝ − 时，代数式3−√2x+1有最大值，其最大值是
2
．
【变式2-3】（2022•金牛区校级自主招生）已知a为实数，则代数式 的最小值为（ ）
√27−12a+2a2
A．0 B．3 C．3√3 D．9
【知识点2 二次根式有意义的条件】
（1）二次根式中的被开方数是非负数；（2）二次根式具有非负性：√a≥0.
【知识点3 判断二次根式有意义的条件】
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须
是
非负数；（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【题型3 根据二次根式有意义条件求范围】
√1
【例3】（2022春•来凤县期末）若代数式 x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
5
A．x＞5 B．x≥5 C．x≠5 D．x＜5
√a+1
【变式3-1】（2022春•泰山区期末）若式子 有意义，则a的取值范围为（ ）
a−2
A．a≥﹣1 B．a≠2 C．a≥﹣1且a≠2 D．a＞﹣1
【变式3-2】（2022春•泰山区期末）若 ，则x的取值范围是 ．
√(3x−4) 2=4−3x
√4x
【变式3-3】（2022春•睢县期中）若 有意义，则x的取值范围为 ．
6−|x|
【题型4 根据二次根式有意义条件求值】
【例4】（2022春•海淀区校级期末）已知a，b都是实数，b=√1−2a+√4a−2−2，则ab的值为 ．
【变式4-1】（2022春•西湖区校级期中）某数学兴趣小组在学习二次根式 后，研究了如下四个
√a2=|a|
问题，其中错误的是（ ）A．在a＞1的条件下化简代数式 的结果为2a﹣1
a+√a2−2a+1
B． 的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的值可以为0.6
a+√a2−2a+1
C．当 的值恒为定值时，字母a的取值范围是a≤1
a+√a2−2a+1
D．若 ，则字母a必须满足a≥1
√a2−2a+1=(√a−1) 2
1 |1−y|
【变式4-2】（2022春•海安市校级月考）若x，y是实数，且y＜√x−1+√1−x+ ，求 的值为
2 y−1
．
【变式4-3】（2022•勃利县期末）已知a满足|2017﹣a|+√a−2018=a，则a﹣20172的值是 ．
【知识点4 二次根式的性质】
性质1： = （ ），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
(√a) 2 a a≥0
{ a（a≥0）
性质2：√a2=|a|= ，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
−a（a<0）
【题型5 利用二次根式的性质化简（数字型）】
【例5】（2022春•平山县期末）二次根式 的值是（ ）
√(−2) 2
A．﹣2 B．2或﹣2 C．4 D．2
【变式5-1】（2022春•金东区期中）下列计算正确的是（ ）
A． ±3 B． 5 C． 2 D． 3
√9= √22+32= √4= √(−3) 2=−
【变式5-2】（2022春•乐清市期末）当a＝5时，二次根式√4+a的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．﹣1
【变式5-3】（2022春•辛集市期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C．√ 1 1 D．√ 1 2 1
√25=±5 √−(√5) 2=√5 16 =4 3 ( ) =
4 2 8 4
【题型6 利用二次根式的性质化简（字母及复合型）】
【例6】（2022•泗水县二模）已知 ，当x分别取正整数1，2，3，4，5，…，2022时，
y=√(x−3) 2−x+4
所对应y值的总和是（ ）A．2026 B．2027 C．2028 D．2029
【变式6-1】（2022秋•南昌期末）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．
√ 1
已知m为实数，化简：−√−m3−m −
m
1
解：原式=−m√−m−m⋅ √−m
m
=(−m−1)√−m．
【变式6-2】（2022春•凤凰县月考）若式子 与 的和为2，则a的取值范围是
√4−4a+a2 √a2−8a+16
．
【变式6-3】（2022•绵阳模拟）等式 成立的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
√x2 (x+1)=−x√x+1
A．
B．
C．
D．
【题型7 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】
【例7】（2022春•黄骅市期中）已知a，b，c在数轴上的位置如下图：化简代数式 |a+b|
√a2− +√(c−a) 2+
|b+c|的值为
【变式7-1】（2022•宁波）已知：a＜0，化简√ 1 2 √ 1 2 ．
4−(a+ ) − 4+(a− ) =
a a【变式 7-2】（2022•广饶县期末）实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值
|b+c| ．
√a2−√(c−a+b) 2+ −√3 b3=
【变式7-3】（2022春•禹州市校级月考）已知1＜x＜3，求 的值．
√1−2x+x2+√x2−8x+16
【题型8 含隐含条件的参数范围化简二次根式】
【例8】（2022•建湖县一模）2、6、m是某三角形三边的长，则 等于（ ）
√(m−4) 2−√(m−8) 2
A．2m﹣12 B．12﹣2m C．12 D．﹣4
【变式8-1】（2022春•辛集市期末）已知xy＜0，化简：x√−y ．
=
x2
【变式 8-2】（2022•徐汇区校级月考）如果 a，b，c 为三角形 ABC 的三边长，请化简：
．
√(a−b+c) 2+√(b−c−a) 2=
【变式8-3】（2022春•靖江市期末）已知：m是 的小数部分，求√ 1 的值．
√5 m2+ −2
m2
【题型9 复杂的复合型二次根式化简】
【例 9】（2022•思明区校级期末）若 a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c
，则a，b，c的大小关系是（ ）
=√20192+2020+2021
A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【变式9-1】（2022•兴平市期中）像√4−2√3，√√96−√63...这样的根式叫做复合二次根式．有一些复
合 二 次 根 式 可 以 借 助 构 造 完 全 平 方 式 进 行 化 简 ， 如 ：
； 再 如 ：
√4−2√3=√3−2√3+1=√(√3) 2−2×√3+12=√(√3−1) 2=√3−1
．请用上述方法探索并解决
√5+2√6=√3+2√6+2=√ (√3) 2+2×√6+(√2) 2=√ (√3+√2) 2=√3+√2
下列问题：
（1）化简：√11+2√30= ，√24−6√15= ；
（2）若a+6√5=（m+√5n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
【变式 9-2】（2022•阜阳校级自主招生）已知 x ，其中实数﹣4≤a≤10，则
=√a2−6a+23
√x+5−4√x+1+√x+10−6√x+1的值为 ．
【变式9-3】（2022春•郧西县期末）像√4−2√3，√√48−√45⋯这样的根式叫做复合二次根式．有一些
复 合 二 次 根 式 可 以 借 助 构 造 完 全 平 方 式 进 行 化 简 ， 如 ：
． 再 如 ：
√4−2√3=√3−2√3+1=√(√3) 2−2√3×1+12=√(√3−1) 2=√3−1
．请用上述方法探索并
√5+2√6=√3+2√6+2=√(√3) 2+2×√3×√2+(√2) 2=√(√3+√2) 2=√3+√2
解决下列问题：
（1）化简：√10+2√21；
（2）化简：√14−8√3．
（3）若a+6√5=（m+√5n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
