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期中真题精选（常考 60 题专练）
一．选择题（共26小题）
1．（2022春•潍坊期中）下列二次根式中，化简后能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能合并的二次根式是同类二次根式解答．
【解答】解：A、 ＝2，不能与 合并，故本选项错误；
B、 ＝2 ，能与 合并，故本选项正确；
C、 ＝2 ，不能与 合并，故本选项错误；
D、 ＝2 ，不能与 合并，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式
称为同类二次根式．
2．（2022春•孝义市期中）化简 的结果是（ ）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
【分析】先计算出被开方的值，根据二次根式的意义解答．
【解答】解：原式＝ ＝5；
故选：A．
【点评】本题主要考查了根据二次根式的意义化简，二次根式 规律总结：当a≥0时， ＝a；当
a≤0时， ＝﹣a．
3．（2022春•源城区校级期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法法则和二次根式的性质进行判断即可．【解答】解：A. 与 不是同类二次根式，不能计算，此选项不合题意；
B． ，原计算错误，此选项不合题意；
C． ，计算正确，此选项符合题意；
D． ，原计算错误，此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的加减法法则和二次根式的性质，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，
再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与
被开方数不变．
4．（2022春•德保县期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、 是最简二次根式，符合题意；
B、 ＝ ＝2 ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ＝ ＝2 ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ＝ ，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因
式的二次根式，叫做最简二次根式．
5．（2022春•温州期中）二次根式 中字母x的取值可以是（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．3
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x﹣1≥0，求解即可．
【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，
解得x≥1．
故x可以取3，故选：D．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开
方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
6．（2022春•东莞市校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形
BCFG的面积和为（ ）
A．225 B．200 C．150 D．无法计算
【分析】根据勾股定理得AC2+BC2＝AB2＝152＝225，从而得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．（2022春•海淀区校级期中）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，
沿AC修了一条近路，已知AB＝40米，BC＝30米，则走这条近路AC可以少走（ ）米路．
A．20 B．30 C．40 D．50
【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝40米，BC＝30米，
∴AC＝ ＝50（米），
30+40﹣50＝20（米），∴走这条近路AC可以少走20米的路．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理．
8．（2022春•德保县期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．
【解答】解：A选项， 是三次根式，故该选项不符合题意；
B选项，﹣2是负数，故该选项不符合题意；
C选项，2是正数，故该选项符合题意；
D选项，x＜0时不是二次根式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式是解题的
关键．
9．（2022春•江城区期中）若 是整数，则正整数n的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据二次根式的定义可得答案．
【解答】解：∵ ＝3 ，
∴正整数n的最小值是5；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的乘法是解题关键．
10．（2022秋•振兴区校级期中）如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面 6米B处
折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米 B．12米 C．14米 D．16米【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和
即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝6m，AC＝8m，
∴BC＝ ＝ ＝10（m），
∴大树的高度＝AB+BC＝6+10＝16（m）．
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出 BC的长度，再根据大树
的高度＝AB+BC进行解答．
11．（2022春•东莞市期中）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方 A处装有红外线激光测温仪（如图
所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体
温．当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即测温仪自动显示体温），则人头顶
高测温仪的距离AD等于（ ）
A．1.5米 B．1.25米 C．1.2米 D．1.0米
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.4米，BE＝CD＝1.8米，ED＝BC＝0.8米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.4﹣1.8＝0.6（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：
AD＝ ＝ ＝1.0（米），
故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线
段AD的长度．
12．（2022春•涧西区期中）已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是
（ ） ▱
A．OA＝OC B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
【解答】解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定相等，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
13．（2022春•丰泽区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，
连接OE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝AD B．OE＝ AB C．∠DOE＝∠EOC D．∠EOD＝∠EDO
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE＝DE＝CE＝ CD＝
AB，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD，AC⊥BD，BO＝DO，故选项A不合题意，
∵点E是CD的中点，
∴OE＝DE＝CE＝ CD＝ AB，故选项B不合题意；
∴∠EOD＝∠EDO，故选项D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
14．（2022春•商城县期中）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，
AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（
）
A．4 B．8 C．8 D．16
【分析】先证明四边形AGCH是平行四边形，然后证明AH＝AG，证得四边形AGCH是菱形，再求出AG
即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AECF是矩形，
∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠F＝90°，
∴四边形AGCH是平行四边形，
∠AGB＝∠GCH＝∠AHF，
在△AFH和△AGB中，
，
∴△AFH≌△AGB（AAS），
∴AH＝AG，
∴平行四边形AGCH是菱形，
∴AG＝GC＝CH＝HA，
∵∠AGB＝30°，AB＝2，∴AB＝4，
∴四边形AGCH的周长为4×4＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质
矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等．
15．（2022春•东莞市校级期中）下列线段能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，2 B．3，4，5 C． ，2， D．5，6，7
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形
判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；
C、∵（ ）2+22≠（ ）2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
D、∵52+62≠72，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，
确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
16．（2022秋•沙坪坝区校级期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个
小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是
（ ）
A．5≤a≤6 B．3≤a≤4 C．2≤a≤3 D．1≤a≤2
【分析】画出图形，使BC为饮料罐的底面直径，D为底面圆心，A为上底面中心，作射线BA、射线DA，
则∠ADB＝90°，先根据勾股定理求出吸管在罐内的最大长度AB的值，当吸管底端与点B重合时，则露在
罐外部分最短；当吸管底端与点D重合时，则露在罐外部分最长，分别求出相应的a的值即可．
【解答】解：如图，BC为饮料罐的底面直径，D为底面圆心，A为上底面中心，作射线BA、射线DA，∴AD⊥BC，AD＝4cm，BD＝CD＝3cm，
∵∠ADB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝5（cm），
当吸管底端与点B重合时，则露在罐外部分a最短，此时a＝10﹣5＝5（cm）；
当吸管底端与点D重合时，则露在罐外部分a最长，此时a＝10﹣4＝6（cm），
∴a的取值范围是5≤a≤6，
故选：A．
【点评】此题重点考查勾股定理及其应用，正确地画出图形并且根据勾股定理求出吸管在罐内的最大长度
是解题的关键．
17．（2022春•海淀区校级期中）如图，CD是△ABC的中线，E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则
BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由题意可知EF是△ADC的中位线，由此可求出AD的长，再根据中线的定义即可求出BD的长．
【解答】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝ AD，
∵EF＝1，
∴AD＝2，
∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD＝2，
故选：B．
【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
18．（2022春•雁峰区期中）如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，则：
①OE＝OF； ▱
②图中共有4对全等三角形；
③若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；
④S四边形ABFE ＝S△ABC ；
其中正确的结论有（ ）
A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【分析】根据平行四边形的性质得到AO＝CO＝ AC，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到OE＝OF；
故①正确，根据全等三角形的判定和性质得到②错误，④正确．根据三角形三边关系得到2＜BD＜14，
故③正确；
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝ AC，AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCA，∠AEO＝∠CFO，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF；故①正确，
由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOE≌△COF，
△DOE≌△BOF，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA共6对，故②错误；
∵AC＝6，
∴AO＝3，
∴4﹣3＜OB＜4+3，
∴2＜BD＜14，故③正确；
∵△AEO≌△CFO，
∴S四边形ABFE ＝S△ABC ；故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握平行四
边形的性质是解题的关键．
19．（2022春•南关区校级期中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中
点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（ ）
A．5 B．6.5 C．10 D．12
【分析】连接OE，根据菱形的性质可得OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，再由勾股定理可得AD＝
13，再根据E是边AD的中点，可得OE＝6.5，再证得四边形EFOG为矩形，即可求解．
【解答】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝10，BD＝24，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝ ＝13，
又∵E是边AD的中点，
∴OE＝ AD＝ ×13＝6.5，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴∠EFO＝∠EGO＝∠GOF＝90°，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG＝OE＝6.5．故答案为：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形
的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．
20．（2022春•阜平县期中）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，
DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．
其中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边
形，得出①正确；当∠BAC＝90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩
形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，
等量代换可得∠EAD＝∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可
得出③正确；由AB＝AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形
AEDF是菱形，④错误，进而得到正确说法的个数．
【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC＝90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
又DE∥CA，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④错误，
则其中正确的个数有3个．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的定义，菱形、矩形的判定，涉及的知识有：平行线的性质，角平分线的
定义，以及等腰三角形的判定与性质．
21．（2022秋•信宜市校级期中）如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，
则阴影部分的面积是（ ）
A．48 B．60 C．76 D．80
【分析】先由∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，根据勾股定理求得AB＝10，再分别求出正方形ABCD的面积
和△AEB的面积，即可由S阴影 ＝S正方形ABCD ﹣S△AEB 求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，
∴AB＝ ＝ ＝10，
∵四边形ABCD是正方形，
∴S正方形ABCD ＝AB2＝102＝100，
∵S△AEB ＝ AE•BE＝ ×6×8＝24，
∴S阴影 ＝S正方形ABCD ﹣S△AEB ＝100﹣24＝76，
∴阴影部分的面积是76，
故选：C．
【点评】此题重点考查正方形的性质、勾股定理的应用、三角形及正方形的面积公式等知识与方法，由勾
股定理求出AB的长度是解题的关键．
22．（2022春•海淀区校级期中）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB＝ ，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长为c，那么
a2+b2＝c2解答．
23．（2022春•开福区校级期中）勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、
天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系，在一次数学活动中，数学小组发现
如下图形：在△ABC中，∠ACB＝90°，图中以AB、BC、AC为边的四边形都是正方形，并且经测量得到
三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（ ）
A．25 B．175 C．600 D．625
【分析】由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，直接代入计算即可．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴225+400＝S，∴S＝625．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键，属于基础题．
24．（2022春•顺德区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于
点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．48 C．72 D．96
【分析】由菱形的性质得OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，则AC＝12，再由直角三角形斜边上的中线性
质求出BD的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×4＝8，
∴菱形ABCD的面积＝ AC•BD＝ ×12×8＝48，
故选：B．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌
握菱形的性质，求出BD的长是解题的关键．
25．（2022春•朝阳区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．下列条件
不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可解答．
【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不
符合题意；
B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；
C．根据邻边相等的平行四边形是菱形能判定平行四边形 ABCD为菱形，不能判定平行四边形ABCD为矩
形，故此选项符合题意；
D．∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
又∵∠BAD＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
26．（2022春•江汉区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC．BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点
H，连接CH，若AB＝2，AC＝2 ，则CH的长是（ ）
A． B．3 C． D．4
【分析】由菱形的性质得∠ADC＝2∠BDA，AD＝CD＝AB＝2，OA＝OC＝ ，OB＝OD，AC⊥BD，再
由勾股定理得OB＝1，则BD＝2OB＝2，得AB＝AD＝BD，然后由等边三角形的性质得∠ADH＝30°，AH
＝1，进而由勾股定理得DH＝ ，求出∠CDH＝90°，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，AC＝2 ，∴∠ADC＝2∠BDA，AD＝CD＝AB＝2，OA＝OC＝ ，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝ ＝ ＝1，
∴BD＝2OB＝2，
∴AB＝AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝∠BDA＝60°，
∴∠ADC＝2∠BDA＝120°，
∵DH⊥AB，
∴∠ADH＝ ∠BDA＝30°，AH＝BH＝ AB＝1，
在Rt△ADH中，由勾股定理得：DH＝ ＝ ＝ ，
∵∠CDH＝∠ADC﹣∠ADH＝120°﹣30°＝90°，
∴CH＝ ＝ ＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解
题的关键．
二．填空题（共8小题）
27．（2022春•黄州区校级期中）若y＝ + +1，则x﹣y＝ ．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得x、y的值，再代入所求数轴计算即可．
【解答】解：∵y＝ + +1，
∴ ，
∴2x﹣3＝0，
解得x＝ ，
∴y＝1，∴x﹣y＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
28．（2022春•栖霞市期中）计算 ÷3 × 的结果是 1 ．
【分析】按从左往右依次计算，也可以把除法化为乘法计算．
【解答】解：原式＝3 ÷3 ×
＝ ×
＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的乘除，掌握二次根式的乘除法法则和运算顺序是解决本题的关键．
29．（2022春•嘉祥县期中）如图，在四边形 ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8．则
∠ADC的度数为 150 ° ．
【分析】连接BD，根据AB＝AD＝6，∠A＝60°，得出△ABD是等边三角形，求得BD＝6，然后根据勾股
定理的逆定理判断三角形BDC是直角三角形，从而求得∠ADC＝150°．
【解答】解：如图，连接BD，
∵AB＝AD＝6，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝6，∠ADB＝60°，
∵BC＝10，CD＝8，
则BD2+CD2＝82+62＝100，BC2＝102＝100，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝60°+90°＝150°．故答案为：150°．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质，求出∠ADB＝60°与∠BDC＝90°是解
题的关键．
30．（2022春•雄县期中）直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边为 5 或 ．
【分析】题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析．
【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为
故直角三角形的第三边应该为5或
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．
31．（2022春•漳平市期中）计算（ ﹣2）2021（ +2）2022的结果为 +2 ．
【分析】根据二次根式的混合运算的法则计算即可．
【解答】解：（ ﹣2）2021（ +2）2022
＝（ 2）2021（ +2）2021×（ +2）
＝[（ ﹣2）（ +2）]2021（ +2）
＝[（ ）2﹣22]2021（ +2）
＝ +2．
故答案为： +2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键．
32．（2022春•汶上县期中）对于任意的正数 a、b定义运算“★”为：a★b＝ ，则
（3★2）×（8★12）的运算结果为 2 ．【分析】根据题意选择合适的对应法则．因为3＞2，所以选择第二种对应法则；8＜12，选第一种对应法
则．
【解答】解：∵3★2＝ ，8★12＝ ＝
∴（3★2）×（8★12）＝（ ）（ ）
＝2（ ）（ ）
＝2．
故答案为2．
【点评】主要考查二次根式的乘法运算及化简．定义新运算题型能很好的考查学生对新情景知识的学习能
力．读懂题意，按照定义是关键．
33．（2022春•璧山区期中）已知直角三角形的两边长为3和4，则直角三角形的面积为 或 6 ．
【分析】分为两种情况：①斜边AB＝4，②直角边AC＝4，再求出答案即可．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，
分为两种情况：
①当斜边AB＝4，BC＝3时，由勾股定理得：AC＝ ＝ ＝ ，
△ABC的面积是 ＝ ×3＝ ；
②当BC＝3，AC＝4时，△ABC的面积是 ＝ ＝6，
所以直角三角形的面积为 或6，
故答案为： 或6．
【点评】本题考查了直角三角形的面积和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
34．（2022春•瑞金市期中）在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交
AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为 1 0 或 1 4 ．【分析】根据平行四边形的性质可得CD＝AB＝6，结合角平分线的定义，等腰三角形的性质可求解AF＝
AB＝6，DE＝DC＝6，由EF＝2即可求得BC的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝6，
同理DE＝DC＝6，
如图1，∵EF＝2，
∴AE＝AF﹣EF＝6﹣2＝4，
∴AD＝BC＝AE+DE＝4+6＝10，
如图2，∵EF＝2，
∴AE＝AF+EF＝6+2＝8，
∴AD＝BC＝AE+DE＝6+8＝14，
综上所述，BC的长为10或14，
故答案为：10或14．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明 AF＝AB＝8，DE
＝DC＝8是解题的关键．
三．解答题（共26小题）
35．（2022 春•海珠区校级期中）已知实数 a，b，c 在数轴上的位置如图所示，化简：|a|﹣ +．
【分析】由数轴可得c＜a＜0，b＞0，从而得c﹣a＜0，再结合二次根式的化简的方法进行求解即可．
【解答】解：由数轴得：c＜a＜0，b＞0，
∴c﹣a＜0，
∴|a|﹣ +
＝﹣a﹣b+a﹣c
＝﹣b﹣c．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出相应的数的范围．
36．（2022秋•揭阳期中）阅读理解题：
已知a＝ ，将其分母有理化．
小明同学是这样解答的：
a＝ ＝ ＝ ．
请你参考小明的化简方法，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算： +……+ ；
（3）若a＝ ，求2a2+8a+1的值．
【分析】（1）直接分母有理化即可；
（2）把分式变形，然后裂项相消即可；
（3）先对a进行分母有理化，然后化简2a2+8a+1，代入求值即可．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ；
（2） +……+＝ +（ ）+（ ）+……+（ ）
＝﹣1+ ．
（3）a＝ ＝﹣（2+ ），
2a2+8a+1＝2（a2+4a+4）﹣7＝2（a+2）2﹣7，
将a＝﹣（2+ ）代入得，2× ﹣7＝3．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式和分母有理化，能够把分式准确变形是解答本题的关
键．
37．（2022春•东莞市期中）计算： ．
【分析】利用完全平方公式，平方差公式，进行计算即可解答．
【解答】解：
＝3﹣2 +1﹣（2﹣1）
＝3﹣2 +1﹣1
＝3﹣2 ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握平方差公式，完全平方
公式是解题的关键．
38．（2022春•民权县期中）已知x＝3+2 ，y＝3﹣2 ，则
（1）x+y＝ 6 ；x﹣y＝ 4 ；xy＝ 1 ．
（2）根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算下列式子的值：x2﹣3xy+y2﹣x﹣y．
【分析】（1）根据二次根式的加减法计算x+y与x﹣y的值，利用平方差公式计算xy的值；
（2）先利用完全平方公式变形得到原式＝（x+y）2﹣5xy﹣（x+y），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵x＝3+2 ，y＝3﹣2 ，
∴x+y＝6，x﹣y＝4 ，xy＝9﹣8＝1；故答案为：6，4 ，1；
（2）原式＝（x+y）2﹣5xy﹣（x+y）
＝62﹣5×1﹣6
＝25．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代
入的方法可简化计算．
39．（2022春•温州期中）计算： ．
【分析】先利用二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝ +
＝ +
＝3 +2
＝5 ．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是
解决问题的关键．
40．（2022春•澄城县期中）小明家装修，电视背景墙长BC为 m，宽AB为 m，中间要镶一个长为
2 m，宽为 m的大理石图案（图中阴影部分）．除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，求壁布的面
积．（结果化为最简二次根式）
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
× ﹣2 ×＝3 ×2 ﹣2 ×
＝6 ﹣2
＝4 （m2），
答：壁布的面积为4 m2．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．
41．（2022春•平舆县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角
∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠BAD＝∠DAC．证出∠ADC＝∠CEA＝90°，由矩形的判定可得
出结论；
（2）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．证出DC＝AD，由正方形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAC+∠CAE＝∠BAD+∠MAE，
∵∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE＝180°，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝90°，
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）解：答案不唯一，如：当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
故当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
【点评】本题考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综
合运用．
42．（2022春•林州市期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 + ﹣|b﹣a|．
【分析】根据数轴可知a＜0，a+b＜0，b﹣a＞0，再化简即可．
【解答】解：由题意知：a＜0，a+b＜0，b﹣a＞0，
∴原式＝|a|+|a+b|﹣|b﹣a|
＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a
＝﹣a﹣2b．
【点评】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟练掌握 是解题的关键．
43．（2022秋•扬州期中）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处
开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的
距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可求∠ACB＝90°，再根据三角形面积公式即可求解；
（2）先根据勾股定理求出BD，进一步求得一辆货车从C处经过D点到B处的路程．【解答】解：（1）∵AC＝15km，BC＝20km，AB＝25km，
152+202＝252，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴CD＝ AC×BC÷ ÷AB＝12（km）．
故修建的公路CD的长是12km；
（2）在Rt△BDC中，BD＝ ＝16（km），
一辆货车从C处经过D点到B处的路程＝CD+BD＝12+16＝28（km）．
故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是28km．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形，以便利用勾股
定理．
44．（2022春•老边区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F分别是垂足．求证：
AF∥CE．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB＝CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得
AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，然后利用AAS证得△AEB≌△CFD，即可得AE＝CF，由有一组对边相等
且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形，从而证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得
△AEB≌△CFD，得到AE∥CF且AE＝CF是解此题的关键．
45．（2022春•顺德区校级期中）如图，已知：在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交
BC于点D，交AB于点E，且CF∥AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A＝ 4 5 °时，四边形BECF是正方形；
（3）在（2）的条件下，若AC＝4，则四边形ABFC的面积为 1 2 ．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有 BE＝EC，BF＝FC，根
据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，而∠ACB＝90°，则∠ACE＝45°，若∠A＝45°，
则∠AEC＝90°，可得四边形BECF是正方形；
（3）根据梯形面积公式即可得到答案．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵CF∥AE
∴∠FCB＝∠CBE，
∴∠FBC＝∠CBE，
∵∠FDB＝∠EDB，BD＝BD，
∴△FDB≌△EDB（ASA），
∴BF＝BE，
∴BE＝EC＝FC＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
（2）解：当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形，理由如下：
若四边形BECF是正方形，则∠ECB＝∠FCB＝45°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠AEC＝90°，
由（1）知四边形BECF是菱形，
∴四边形BECF是正方形；
故答案为：45；
（3）解：由（2）知，四边形BECF是正方形，AE＝BE＝CE＝2 ，
∴四边形ABFC的面积为 ＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握菱形、正方形的判定定理．
46．（2022春•合川区校级期中）笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，
由于周边施工，由C到A的路现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直
线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．
（1）判断△BCH的形状，并说明理由；
（2）求原路线AC的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）△BCH是直角三角形，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝82+62＝100，
BC2＝100，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；
（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣6）千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣6，CH＝8，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，
∴x2＝（x﹣6）2+82
解这个方程，得x＝8 ，
答：原来的路线AC的长为8 千米．
【点评】此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
47．（2022春•凤山县期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9，
（1）求DC、AB的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形．
【分析】（1）在Rt△BCD中利用勾股定理求得CD的长，然后在Rt△ADC中求得AD的长，根据AB＝
AD+DB即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可判断．
【解答】解：（1）∵在Rt△BCD中，BC＝15，BD＝9，
∴CD＝ ＝ ＝12．
在Rt△ADC中，AC＝20，CD＝12，
∴AD＝ ＝ ＝16．
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25．
（2）∵AB＝25，AC＝20，BC＝15，
∴AB2＝252＝625，AC2+BC2＝202+152＝625，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理的内容是关键．
48．（2022秋•富阳区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5．
求：（1）△ABC的周长；
（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？【分析】（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，先根据勾股定理求出AB和AC的长，继而即可求出△ABC的
周长；
（2）根据勾股定理的逆定理，看△ABC的三边是否符合勾股定理，即可判断出△ABC是否是直角三角形．
【解答】解：（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AB2＝AD2+BD2，AC2＝AD2+CD2，
又AD＝12，BD＝16，CD＝5，
∴AB＝20，AC＝13，
△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+AC+BD+DC＝20+13+16+5＝54．
（2）∵AB＝20，AC＝13，BC＝21，
AB2+AC2≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理及其逆定理的知识，属于基础题，关键是熟练掌握勾股定理公式．
49．（2022春•哈巴河县期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．BE＝2DE，延长DE到
点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【分析】（1）由三角形中位线定理得DE∥BC，且BC＝2DE，再证四边形BCFE是平行四边形，然后由
菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得∠BEF＝∠BCF＝120°，∠BCE＝∠BEC＝60°．再证△EBC是等边三角形．得BE＝
BC＝CE＝4．过点E作EG⊥BC于点G．则BG＝ BC＝2．然后由勾股定理求出EG的长，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且BC＝2DE，
∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形，
又∵BE＝FE，
∴平行四边形BCFE是菱形；
（2）解：∵四边形BCFE是菱形，
∴∠BEF＝∠BCF＝120°，
∴∠BCE＝∠BEC＝ ×120°＝60°．
∴△EBC是等边三角形．
∴BE＝BC＝CE＝4．
过点E作EG⊥BC于点G，
∴BG＝ BC＝2．
∴EG＝ ＝ ＝2 ，
∴S菱形BCFE ＝BC•EG＝4×2 ＝8 ．
【点评】本题考查了菱形判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定
与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
50．（2022春•武威期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F，
连接ED，BF，求证：四边形DEBF是平行四边形．【分析】由平行四边形的性质和已知条件证明△CEB≌△AFD，所以可得BE＝DF，进而证明四边形BFED
是平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠BCE＝∠DAF．
又∵BE∥DF，
∴∠BEC＝∠DFA．
在△CEB和△AFD中，
，
∴△CEB≌△AFD（AAS）．
∴BE＝DF．
∴四边形DEBF为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关
键．
51．（2022春•富阳区校级期中）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的
中点，连接AE，AF，CE，CF． ▱
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB⊥AC，AB＝3，BC＝5．求BD的长．
【分析】（1）由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）由勾股定理得AC＝4，则OA＝ AC＝2，再由勾股定理求出OB＝ ，进而解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝ ，
∴OA＝ AC＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝ ，
∴BD＝2OB＝2 ．
【点评】本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握
平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．
52．（2022秋•崂山区期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、
AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）若AC＝4，BD＝6，求EF的长．
【分析】（1）先证四边形DECO是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，得∠DOC＝90°，即可得出
结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC＝2，OB＝OD＝3，AC⊥BD，再由勾股定理得CD＝ ，然后由矩形的
性质得EF＝OF，OE＝CD＝ ，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴∠DOC＝90°，
∴平行四边形DECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝6，
∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝3，AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴CD＝ ＝ ＝ ，
由（1）得：四边形DECO是矩形，
∴EF＝OF，OE＝CD＝ ，
∴EF＝ OE＝ ．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练
掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
53．（2022春•如皋市期中）如图，△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，DG⊥AC，EF⊥AC，垂足分
别为G，F．
（1）求证：四边形DEFG为矩形；
（2）若AB＝AC＝2 ，EF＝2，求CF的长．
【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得 AE＝DE＝ ；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到
AF的长度；最后结合AB＝AC＝AG+FG+CF＝2 求解即可．
【解答】（1）证明：∵点D是AB的中点，E点是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE∥AC．∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥DG．
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形；
（2）∵AB＝AC＝2 ，EF＝2，D点是BC的中点，
∴DE＝AD＝ AB＝ ．
由（1）知，四边形DEFG为矩形，则GF＝DE＝ ．
在直角△ADG中，EF＝2，AD＝ ，由勾股定理得：AG＝ ＝1．
∵AB＝AC＝2 ，FG＝ED＝ ，
∴CF＝AC﹣AG﹣GF＝2 ﹣1﹣ ＝ ﹣1．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，根据题意
找到长度相等的线段是解题的关键．
54．（2022春•锦江区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，且
∠ABE＝∠CDF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）连接CE，若CE平分∠DCB，CF＝3，DE＝5，求平行四边形ABCD的周长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出AE＝CF，进而利用平行四边形的判
定解答即可；
（2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出DE＝CD＝5，再求出BC＝BF+CF＝5+3＝8，求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠DCF，AB＝CD，
∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BF＝DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ECB，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE＝∠ECB，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴DE＝CD＝5，
∴BF＝DE＝5，
∴BC＝BF+CF＝5+3＝8，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝2×（8+5）＝26．
【点评】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练
掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
55．（2022春•渝中区校级期中）如图，在 ABCD中，G是BC的中点，点F在CD上，FG的延长线与
AB的延长线交于点E，连接BF，CE． ▱
（1）求证：四边形CEBF是平行四边形；
（2）若AD＝6，∠AEC＝90°，求EF．
【分析】（1）证△GCF≌△GBE（ASA），得FG＝EG，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得BC＝AD＝6，再证平行四边形CEBF是矩形，然后由矩形的性质即可得出结
论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠GCF＝∠GBE，
∵G是BC的中点，
∴CG＝BG，
在△GCF和△GBE中，
，
∴△GCF≌△GBE（ASA），
∴FG＝EG，
∴四边形CEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，
由（1）可知，四边形CEBF是平行四边形，
∵∠AEC＝90°，
∴平行四边形CEBF是矩形，
∴EF＝BC＝6．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟
练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
56．（2022春•海淀区校级期中）如图，在 ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E，使BE＝ AB，
连结BF，CE． ▱
（1）求证：四边形BECF是平行四边形；
（2）若AB＝6，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，且AB＝DC，再证CF＝BE，然后根据平行四边形的
判定定理即可得到结论；
（2）过点C作CH⊥BE于点H．解直角三角形得到BH＝ CB＝2，CH＝2 ，再根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
∵F是CD的中点，
∴CF＝ CD．
又∵BE＝ AB，
∴CF＝BE，
∵CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形；
（2）解：如图，过点C作CH⊥BE于点H．
在 ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，
∴▱∠CBE＝∠A＝60°．
∵AB＝6，AD＝4，
∴CD＝AB＝6，CB＝AD＝4，
在Rt△BCH中，∠BCH＝90°﹣∠CBE＝30°，
∴BH＝ CB＝2，
∴CH＝ ＝ ＝2 ，
由（1）可知，四边形BECF是平行四边形，
∴BE＝CF＝ CD＝3，则EH＝BE﹣BH＝3﹣2＝1，
在Rt△CHE中，根据勾股定理得：CE＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解
题的关键．
57．（2022春•济南期中）如图，已知E、F是 ABCD对角线AC上的两点，并且AF＝CE．
求证：四边形EBFD是平行四边形． ▱【分析】连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OF＝OE，即可得出结论．
【解答】证明：如图，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AF＝CE，
∴AF﹣OA＝CE﹣OC，
即OF＝OE，
∵OB＝OD，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
58．（2022春•清丰县期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：
四边形ABED是平行四边形．
【分析】证出BC＝EF，由SSS即可得出△ABC≌△DEF，由全等三角形的性质得出∠B＝∠DEF，证出
AB∥DE，由AB＝DE，即可得出结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，∴△ABC≌△DEF（SSS）；
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
又∵AB＝DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识；熟练掌握平
行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
59．（2022春•义乌市期中）已知点E、F分别是 ABCD的边BC、AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形； ▱
（2）若BC＝12，∠BAC＝90°，求 AECF的周长．
▱
【分析】（1）根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝CE，即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质得到AE＝CE＝ BC＝6，再证平行四边形AECF是菱形，于是得
到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵点E、F分别是 ABCD的边BC、AD的中点，
▱
∴AF＝ AD，CE＝ BC，
∴AF＝CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵BC＝12，∠BAC＝90°，E是BC的中点．
∴AE＝CE＝ BC＝CE＝6，
∴平行四边形AECF是菱形，
∴ AECF的周长＝4×6＝24．
【▱点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等
知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．60．（2022春•济南期中）如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且
EF＝BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：DF∥AC；
（2）若BF垂直平分CD，BF＝AE＝2 ，求BC的长．
【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证出OE是△BDF的中位线，得OE∥DF，即DF∥AC；
（2）求出AB＝3，BE＝ AE，则CD＝3，∠BAE＝30°，得CG＝ CD＝ ，∠DCE＝30°，再求出BG的
长，然后由勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
∵BE＝EF，
∴OE是△BDF的中位线，
∴OE∥DF，
即DF∥AC；
（2）解：∵EF＝BE，BF＝2 ，
∴BE＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠DCE＝∠BAE，
∵BF垂直平分CD，
∴∠CGE＝90°，CG＝DG，BF⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝3，BE＝ AE，
∴CD＝3，∠BAE＝30°，∴CG＝ CD＝ ，∠DCE＝30°，
∴EG＝ CG＝ ，
∴BG＝BE+EG＝ + ＝ ，
∴BC＝ ＝ ＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的判定与
性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
