文档内容
2023-2024 学年初中数学下学期期中模拟试卷（2）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）测试范围：二次根式、勾股定理
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把
鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，则 的长为
A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理分别求出 和 ，再根据 即可得出答案．
【解答】解： ， ，
，
， ，，
；
故选： ．
【点评】此题考查了二次根式的应用，用到的知识点是勾股定理，根据已知条件求出 和 是解题的
关键．
2．下列二次根式中，为最简二次根式的是
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解： 、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 ，故 不符合题意；
、 是最简二次根式，故 符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3．若 ， ．则代数式 的值是
A． B．3 C． D．
【分析】先求出 ， ， 的值，然后再利用因式分解，进行计算即可解答．
【解答】解： ， ，
，
，，
，
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
4．已知 是正整数， 是整数，则 的最小值是
A．0 B．2 C．3 D．7
【分析】首先把 进行化简，然后根据 是整数确定 的最小值．
【解答】解： ，且 是整数，
是个完全平方数，（完全平方数是能表示成一个整式的平方的数）
的最小值是7．
故选： ．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“ 是个完全平方数”．
5．下列运算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘除法，合并同类项和幂的乘方与积的乘方等知识点逐一判断各选项即可．
【解答】解： 、 ，故选项 符合题意；
、 ，故选项 不符合题意；
、 ，故选项 不符合题意；
、 ，故选项 不符合题意；故选： ．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，合并同类项和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握上述知识点是解
题的关键．
6．已知： ， ，则 与 的关系是
A． B． C． D．
【分析】先分母有理化求出 、 ，再分别代入求出 、 、 、 、 ，求出每个式子的值，即
可得出选项．
【解答】解：分母有理化，可得 ， ，
，故 选项错误；
，故 选项错误；
，故 选项正确；
， ，
，故 选项错误；
故选： ．
【点评】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
7．若二次根式 与 是同类二次根式，则 的值有可能是
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】把各选项的值依次代入计算即可得出答案．
【解答】解： 、当 时， ，与 不是同类二次根式，所以本选项不符合题意；
、当 时， ，与 不是同类二次根式，所以本选项不符合题意；
、当 时， ，与 是同类二次根式，所以本选项符合题意；、当 时， ，与 不是同类二次根式，所以本选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了同类二次根式的定义，难度不大，属于基础题型，熟练掌握同类二次根式的定义是
解题的关键．
8．下列算式结果最小的是
A． B． C． D．
【分析】计算出各个选项中式子的结果，然后观察，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解： ，
，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
9．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 与正方形 ．连结 ，
相交于点 、 与 相交于点 ．若 ，则 的值是
A． B． C． D．
【分析】先证明 ，得出 ．设 ，则 ， ，再由勾股定理得出 ，即可得出答案．
【解答】解： 四边形 为正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
设 ，
为 ， 的交点，
， ，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．设 、 、 是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则
的值是
A．0 B．1
C．3 D．条件不足，无法计算
【分析】由二次根式有意义可知 ， ， ，可得 ， ．代入代数式
即可求解．
【解答】解：依题意得：
，
解得 ，
，
，
把 ， 代入 得：原式
故选： ．
【点评】此题考查了二次根式的有意义时被开方数是非负数的性质与不等式组解集的求解方法．此题比较
难，注意仔细分析．
第Ⅱ卷
二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）
11．如果 是最简二次根式，则 的值可能是 2 （答案不唯一） （填一个正确的即可）
【分析】根据最简二次根式的概念解答即可．
【解答】解： 是最简二次根式，当 ，即 时， 是最简二次根式，
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的
二次根式，叫做最简二次根式．
12．计算 的结果为 2 ， ．
【分析】利用平方差公式进行计算即可解答．
【解答】解：
，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
13．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 请
你写出有以上规律的第⑤组勾股数： 1 1 ， 6 0 ， 6 1 ．
【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可．
【解答】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5， ，故
第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13，
又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为 ，第三个数为 ，
根据勾股定理的逆定理，得： ，
解得 ．
则得第5组数是：11，60，61．
故答案为：11，60，61．
【点评】本题考查了勾股数，关键是根据给出的数据找出规律是本题解题关键．
14．若 是整数，则正整数 的最小值是 5 1 ．
【分析】根据 ，且 是整数， 是整数，即可得出结果．
【解答】解： ，
，，
是整数，且 是整数，
的最小值为：51．
故答案为：51．
【点评】本题考查开方的有关知识，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
15．正方形Ⅰ的边长为 ，面积为12；正方形Ⅱ的边长为 ，面积为27．计算 1 ．
【分析】先根据正方形面积公式，求出 ， ，再代入计算化简即可．
【解答】解：由题意得： ， ，
或 （不合题意舍去）， （不合题意舍去），
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式除以单项式法则，注意结果要
化为最简二次根式．
16．如图，在 中， ， ， ，若点 是边 上的一个动点，以每秒3个单
位的速度按照从 运动，同时点 从 以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，
另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为 ，若 为直角三角形，则 的值为 、
．【分析】分三种情况讨论，当 时，则 ， ，当 时， ，
再分别列出方程求解即可．
【解答】解：①如图（1）当 时，则 ， ，
， ，
，
解得： ；
②如图（2）当 时，
，
，
，
若 ，
则 ．
，
③当 时，
，
，
，
若 时，则 ，
这时 ， ， 三点共线，不符合题意；
故答案为 、 ．
【点评】此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一
半，关键是根据题意画出图形，注意分类讨论．
17．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区 游玩，到达 地后，导航显示
车辆应沿北偏西 方向行驶4千米至 地，再沿北偏东 方向行驶一段距离到达风景区 ，嘉琪发现
风景区 在 地的北偏东 方向，那么 ， 两地的距离为 ．
【分析】如图所示，过点 作 于 ，由题意得， ， ，利用三角形内角和
定理求出 ，再求出 ， ，得到 千米， ，利用勾股定
理求出 千米，即可利用勾股定理求出 的长．【解答】解：如图所示，过点 作 于 ，
由题意得， ， ，
，
，
，
， ，
（千米）， ，
（千米），
（千米），
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位
角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．已知，在 中， ，点 是 的中点， 于点 ，连接 ．请从下面 ，
两题中任选一题作答．我选择 题．
．如图1，若 ，则线段 的长为 ．
．如图2，若 ， ，则线段 的长为 ．
【分析】根据自己的能力选择 ；．由勾股定理求解 的长， 及 的长，过 点作 于点 ，求得 ， 的长，再利用
勾股定理可求解；
．由勾股定理求解 的长，过 点作 于点 ，求得 的长，再利用勾股定理 的长，即
可求得 的长，利用勾股定理可求解．
【解答】解： ；
． ， ，
， ，
为 的中点，
，
于点 ，
，
，
，
，
过 点作 于点 ，
，
，
，
，
故答案为： ；
． ， ， ，
，
过 点作 于点 ，
，，
，
，
为 的中点，
为 的中点，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识的综合运用，灵活
运用直角三角形的性质是解题的关键．
三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分）
19．（1）已知 ，化简： ；
（2）已知 ，求 的平方根．
【分析】（1）先根据二次根式的性质计算得到原式 ，再根据绝对值的意义去绝对值，然后
合并即可；（2）先根据二次根式有意义的条件得到 且 ，则 ，再计算出 ，接着计算出
，然后根据平方根的定义求解．
【解答】解：（1）当 时，
原式
；
（2）根据题意得 且 ，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
因为4的平方根为 ，
所以 的平方根为 ．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数．也考查了平方根．
20．如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点 ， ， ， 均在格点上．
（1）判断 的形状，并说明理由；
（2）求四边形 的面积．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得： ，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1） 为直角三角形，理由：由题意得： ，
，
，
，
为直角三角形，
；
（2）在 中， ， ，
；
在 中， ， ，
，
四边形 的面积为 ．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的
关键．
21．计算：
【分析】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【解答】解：原式 ．
【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．
合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．
22．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写出另一个式子的平方，如 ．
善于思考的小明进行了以下探索：设 （其中 、 、 、 均为整数），则有， ， ．这样小明就找到了一种把类似 的式子化
为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 、 、 、 均为正整数，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得
， ；
（2）若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值．
（3）化简 ．
【分析】（1）根据小明的方法，将 按完全平方公式展开，和 的系数进行对比，即可求
出 和 的值；
（2）欲求出 ， ， 的值，需要先求出 ， 的值，根据题意可知 ，进而得到 ，结
合 ， 均为正整数即可求出 ， 的值；再根据 即可求出 的值．
【解答】解：（1）仿照小明的方法，将 展开，得：
，
将 与 的系数进行对比，可得：
、 ．
故答案为： ， ．
（2）观察 可知，
，
由（1）中的规律可知，
，
则 ，
由于 、 均为正整数，则有：或
将 、 代入 ，得：
，
将 、 代入 ，得：
，
综上可知， 的值为13或7．
（3） ．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意，并对相应的运算法则的掌握．
23．先观察“比较 与 的大小”这个问题的解答过程，再解决后面提出的问题．
解： ， ．
， ．
又 ．
（1）试用以上方法，比较 与 的大小；
（2）填空： （填“ ”或“ ” ．
【分析】（1）利用题中的方法得到 ， ，然后比较 和
的大小即可；
（2）与（1）中的方法一样进行大小比较．【解答】解：（1） ， ，
而 ，
，
即 ；
（2） ， ，
而 ，
，
即 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式和实数的
运算．
24．古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：
如果一个三角形的三边长分别为 、 、 ，设 ，则三角形的面积 ．
我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果
一个三角形的三边长分别为 、 、 ，则三角形的面积 ．依据上述公式解决
下列问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于 ；
（2）若一个三角形的三边长分别是 ，3， ，求这个三角形的面积．【分析】（1）把 、 、 的长代入求出 ，再开方计算即可得解；
（2）把 、 、 的长代入求出 ，再开方计算即可得解．
【解答】解：（1） ，
．
答：这个三角形的面积等于 ．
故答案为： ．
（2）
．
答：这个三角形的面积是3．
【点评】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．
25．如图， 中， ， ， ，若动点 从点 开始，按 的
路径运动，且速度为每秒 ，设出发的时间为 秒．
（1）出发2秒后，求 的周长；
（2）当 为几秒时， 平分 ；
（3）问 为何值时， 为等腰三角形？【分析】（1）利用勾股定理得出 ，进而表示出 的长，由勾股定理求出 ，进而得出答案；
（ 2 ） 过 点 作 于 点 ， 由 证 明 ， 得 出 ， 因 此
，设 ，则 ，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．
【解答】解：（1） ， ， ， 有勾股定理得 ，动点 从点 开始，
按 的路径运动，且速度为每秒
出发2秒后，则 ，那么 ．
，
由勾股定理得
的周长为： ；
（2）如图2所示，过点 作 于点 ，
平分 ，
．
在 与 中， ，
，
，
．
设 ，则
在 中， ，即 ，
解得： ，
当 秒时， 平分 ；
（3）若 在边 上时， ，
此时用的时间为 ， 为等腰三角形；
若 在 边上时，有两种情况：
①若使 ，此时 ， 运动的路程为 ，
所以用的时间为 ，故 时 为等腰三角形；
②若 ，过 作斜边 的高，根据面积法求得高为 ，
根据勾股定理求得 ，
所以 运动的路程为 ，
的时间为 ， 为等腰三角形；
③若 时，则 ，
， ， ，
的路程为 ，所以时间为 时， 为等腰三角形．
或 或 或 时 为等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；
本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．
26．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为 ，较短的直角边长为
，斜边长为 ，结合图①，试验证勾股定理．
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为 24，
，求该飞镖状图案的面积．
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形 ，正方形 ，正方形的面积分别为 ， ， ，若 ，则 ．
【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理；
（2）可设 ，根据勾股定理列出方程可求 ，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（3）根据图形的特征得出四边形 的面积设为 ，将其余八个全等的三角形面积一个设为 ，从而
用 ， 表示出 ， ， ，得出答案即可．
【解答】解：（1） ，另一方面 ，
即 ，
则 ．
（2） ，
设 ，依题意有
，
解得 ，
．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形 的面积设为 ，将其余八个全等的三角形面积一个设为 ，
正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ， ， ，得出 ， ， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点评】考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方
法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用 ， 表示出 ， ， ，再利用 求出
是解决问题的关键．
