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八年级数学下学期期末模拟预测卷 03
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
考生注意：
1．本试卷28道试题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答
题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．（2021春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期末）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均
为1，点A、B都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． 的面积为10 B．
C． D．点A到直线 的距离是2
【答案】A
【分析】求出AC，AB，根据三角形的面积公式可判断A；根据勾股定理的逆定理可判断B；根据勾股定理
可判断C；根据三角形的面积结合点到直线距离的意义可判断D．
【详解】解：B、∵ ， ， ，
∴ ，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
A、∵∠BAC＝90°， ， ，
∴ ，本选项结论错误，符合题意；
C、由勾股定理得： ，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵ ，∴ ，
∴h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理及其逆定理，勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是a，
b，斜边长为c，那么 ．
2．（2022春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期末）在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且
∠AOD＝120°．若AB＝3，则BC的长为( )
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，可以得到AC的长，再根据勾股定理，即可得到BC
的长，本题得以解决．
【详解】解：∵∠AOD=120°，∠AOD+∠AOB=180°，
∴∠AOB=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC，∠ABC=90°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OC，
∵AB=3，
∴AC=6，
∴BC= ，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想解答．3．（2020春·北京·八年级101中学校考期末）小明、小聪参加了100m跑的5期集训，每期集训结束时进
行测试，根据他们的集训时间、测试成绩绘制成如图两个统计图．
根据图中信息，有下面四个推断：
①这5期的集训共有56天；
②小明5次测试的平均成绩是11.68秒；
③从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑；
④从测试成绩看，两人的最好成绩都是在第4期出现，建议集训时间定为14天．
所有合理推断的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
【答案】A
【分析】根据条形统计图将每期的天数相加即可得到这5期的集训共有多少天；根据折线统计图可以求得
小明5次测试的平均成绩；根据图中的信息和题意可知，平均成绩最好是在第1期．
【详解】解：对于①：这5期的集训共有5+7+10+14+20＝56（天），故正确；
对于②：小明5次测试的平均成绩是：（11.83+11.72+11.52+11.58+11.65）÷5＝11.66（秒），故错误；
对于③：从集训时间看，集训时间不是越多越好，集训时间过长，可能造成劳累，导致成绩下滑，故正确；
对于④：从测试成绩看，两人的最好的平均成绩是在第1期出现，建议集训时间定为5天．故错误；
故选：A．
【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图、平均数的概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．
4．（2020春·北京·八年级人大附中校考期末）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使
点D与点B重合，折痕为EF，则BF的长为( )A．4 B．5 C． D．3.5
【答案】B
【分析】首先证明BF=BE=DE，设BF=BE=DE= ，在Rt△ABE中，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，
由翻折的性质可知，DE=BE，∠DEF=∠BEF，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BF=BE=DE，
设BF=BE=DE= ，
在Rt△ABE中，
∵BE2=AB2+AE2，
∴ 2=32+( )2，
解得 ，
∴BF=5，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决
问题．
5．（2020春·北京·八年级人大附中校考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，
边BC在y轴上，若点A的坐标为(12，13)，则点B的坐标为( )A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．
【详解】∵A（12，13），
∴OD=12，AD=13，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=AD=13，
在Rt△ODC中，OC= ，
∴OB=13-5=8．
∴B（0，8）．
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，属于中考常考题型．
6．（2020春·北京·八年级人大附中校考期末）计算 的结果正确的是( )
A． B．3 C．6 D．
【答案】A
【分析】分别根据二次根式的除法和乘法法则以及二次根式的平方计算每一项，再合并即可．
【详解】解：原式= ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握二次根式的乘除法则是解题的关
键．
7．（2021春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期末）若实数a、b、c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则
函数y＝-cx-a的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限即可．
【详解】解：∵a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，（b的正负情况不能确定），
∴－c＜0，－a＞0，
∴函数y＝－cx－a的图象经过第一、二、四象限．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题
的难点．
8．（2021春·北京·八年级北京东方德才学校校考期末）若关于 的一元一次不等式组 恰有3个
整数解，且一次函数 不经过第三象限，则所有满足条件的整数 的值之和是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据关于x的一元一次不等式组 恰有3个整数解，可以求得a的取值范围，再根据一
次函数 不经过第三象限，可以得到a的取值范围，结合不等式组和一次函数可以得到最
后a的取值范围，从而可以写出满足条件的a的整数值，然后相加即可．
【详解】解：由不等式组 ，得 ，∵关于x的一元一次不等式组 恰有3个整数解，
∴ ，
解得-3＜a≤1，
∵一次函数y=（a-2）x+a+1不经过第三象限，
∴a-2＜0且a+1≥0，
∴-1≤a＜2，
又∵-3＜a≤1，
∴-1≤a≤1，
∴整数a的值是-1，0，1，
∴所有满足条件的整数a的值之和是：-1+0+1=0，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的
取值范围，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
9．（2021春·北京·八年级北京东方德才学校校考期末）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A
出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（
）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【答案】B
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．【点睛】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关
系即可求解．
10．（2020春·北京·八年级人大附中校考期末）已知直线 过点 且与x轴相交夹角
为30度，P为直线 上一动点， 为x轴上两点，当 时取到最小值时，P的坐标
为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过解直角三角形证得A′是点A关于直线l的对称点，连接A′B，交直线l于P，此时PA+PB=A′B，
根据两点之间线段最短，则PA+PB此时取到最小值，求得直线l和直线A′B的解析式，然后两解析式联立，
解方程组即可求得此时P的坐标．
【详解】如图，设直线 交x轴于点M，
∵直线 ： （k＞0）过点( ，0)，且与 轴相交夹角为30°，
∴OM= ，
∴ON=OM ，MN=2ON=2，
∴N( ，1)，
把M( ，0)，N( ，1)代入 ，得：
，解得 ，∴直线 为： ，
∵OM=OA= ，
∴AN=MN=2，
过A点作直线 的垂线，交y轴于A′，则∠OAA′=60°，
∠OA′A=30°，
∴A′A=2OA=2 ，
∴OA′= ，
∴A′N=OA′- ON=2，
∴A′N=AN，
∵A′A⊥直线 ，
∴直线 平分AA′，
∴A′是点A关于直线 的对称点，
连接A′B，交直线 于P，此时PA+PB=A′B，PA+PB时取到最小值，
∵OA′=3，
∴A′（0，3），
设直线A′B的解析式为 ，
把A′（0，3），B( ，0) 代入得 ，
解得： ，
∴直线A′B的解析式为 ，
由 解得 ，∴P点的坐标为( ，2)，
故选：A．
【点睛】本题是一次函数与几何的综合问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，轴
对称-最短路线问题，解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质等，求得出点A关于直线 的对称点是
解题的关键．
二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
11．（2021春·北京·八年级北京东方德才学校校考期末）某小组 个人在一次数学小测试中，有 个人的
平均成绩为 ，其余 个人的平均成绩为 ，则这个小组的本次测试的平均成绩为________．
【答案】89
【分析】先求出总成绩，再运用求平均数公式即可求出平均成绩．
【详解】∵有3个人的平均成绩为96，其余7个人的平均成绩为86，
∴这个小组的本次测试的总成绩为：3×96+7×86=890，
∴这个小组的本次测试的平均成绩为：890÷10=89．
【点睛】本题主要考查的是平均数的求法，属于基础题型．熟记计算公式是解决本题的关键．
12．（2020春·北京·八年级101中学校考期末）如图，在菱形 中， ，点 是边 的中
点， 是对角线 上的一个动点，若 ，则 的最小值是_____.
【答案】
【分析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．
【详解】连接DE交AC于P，连接DB，
由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，
∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，
∵∠ABC=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∵AE=BE，
∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．
在Rt ADE中，DE= = ．
△
∴PB+PE的最小值为 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本
题的关键．
13．（2020春·北京·八年级北京市第二中学分校校考期末）如图，边长为6的正方形 绕点 按顺时
针方向旋转 后得到正方形 ， 交 于点 ，则 ____________．
【答案】
【分析】过点F作FI⊥BC于点I，延长线IF交AD于J，根据含30°直角三角形的性质可求出FI、FJ和JH
的长度，从而求出HD的长度．
【详解】解：过点F作FI⊥BC于点BC，延长线AD交AD于J，由题意可知：CF=BC=6，∠FCB=30°，
∴FI=3，CI=
∵JI=CD=6，
∴JF=JI-FI=6-3=3，
∵∠HFC=90°，
∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，
∴∠JFH=∠FCB=30°，
设JH=x，则HF=2x，
∴由勾股定理可知：（2x）2=x2+32，
∴x= ，
∴DH=DJ-JH=
故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，含30°的直角三角形的性
质，本题属于中等题型．
14．（2020春·北京·八年级北京市第二中学分校校考期末）菱形 中， ， ，则菱
形 的面积为_____________.
【答案】
【分析】菱形的每条对角线平分一组对角，则∠BAO= ∠BAD=60°，即 ABC是等边三角形，由此可求得
△
AC=AB=2cm；由菱形的性质知：菱形的对角线互相垂直平分，在Rt BAO中，已知了AB、AO的长，可由
勾股定理求得BO的长，进而可得出菱形ABCD的面积． △
【详解】如图，
在菱形ABCD中，∠BAC= ∠BAD= ×120°=60°又∵在 ABC中，AB=BC，
∴△ABC△为等边三角形，
∴AC=AB=2cm．
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴△AOB为直角三角形，
∴∠ABO=90°-∠BAO=30°
∴AO= AB=1，，
∴OB= ，
∴BD=2BO=2 ，
∴S= AC×BD= ×2×2 =2 ，
故答案为2 ．
【点睛】本题主要考查的是菱形的性质，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质，三角形
的面积等知识点的应用，注意：菱形性质有菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分、每条对角线平分
一组对角．菱形的面积等于对角线乘积的一半．
15．（2020春·北京·八年级北大附中校考期末）如图，已知正比例函数y ＝ax与一次函数y ＝﹣ x+b的图
1 2
象交于点P下面有四个结论：①a＞0；②b＜0；③当x＜0时，y ＜0；④当x＞2时，y ＜y ．其中正确的
1 1 2
序号是_____
【答案】①③
【分析】根据函数的图象可得：a＞0；b＞0；当x＜0时y ＜0；当x＞2时y ＞y ，可得结果.
1 1 2
【详解】解：①∵正比例函数y ＝ax经过一三象限，
1
∴a＞0正确；②∵一次函数y ＝﹣ x+b的图象交y轴的正半轴，
2
∴b＞0，
∴b＜0错误；
③∵当x＜0时y ＝ax的图象位于x轴的下方，、
1
∴y ＜0正确；
1
④观察图象得当x＞2时y ＞y ，
1 2
∴y ＜y 错误，
1 2
故答案为①③．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是仔细的读图并熟练掌握一次函数的
性质，难度不大．
16．（2020春·北京·八年级北大附中校考期末）如图，在□ABCD中，CH⊥AD于点H， CH与BD的交点为
E.如果∠1=70°，∠ABC=3∠2，那么∠ADC= ________
【答案】60°
【详解】∵∠1=70°，
∴∠DEH=70°.
∵CH⊥AD,
∴∠HDE=90°-70°=20°.
∵AD∥BC,
∴∠2=∠HDE=20°.
∵∠ABC=3∠2，
∴∠ABC=60°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=60°.
点睛: 本题直接通过平行四边形性质、平行线的性质、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是
解决问题的关键．
17．（2021春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期末）将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S，阴影部分的面积之和为
1
S，若S S，则 的值为___．
2 1 2
【答案】3
【分析】求出 ． ，根据 得出 ，求出 或 ，再求出答案
即可．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
或 ，
解得： 或 ，
，
舍去，当 时， ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了列代数式和整式的混合运算，能求出 和 的值是解此题的关键．
18．（2021春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期末）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和
线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a，第2幅图形中“●”的个数为a，第
1 2
3幅图形中“●”的个数为a，…，以此类推，则 的值为___
3
【答案】
【分析】根据给定几个图形中黑点数量的变化可找出变化规律“an=n(n+2)（n为正整数）”，进而可得出
，将其代入 中计算即可求出结果.
【详解】观察图形,可知：a=3=1×3，a=8=2×4，a=15=3×5，a=24=4×6，…，
1 2 3 4
∴an=n(n+2)(n为正整数)，
∴ ，
∴
=
==
= .
故答案为 .
【点睛】本题考查规律型-图形的变化类，通过图形正确找出变化规律是解题的关键.
三．解答题（共10小题，满分66分）
19．（2022秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）计算：
【答案】
【分析】按顺序先分别进行立方根运算，平方运算，化简绝对值，然后再按运算顺序进行计算即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及了立方根、平方、化简绝对值等，熟练掌握各运算的运算法则
是解题的关键．
20．（2020春·北京·八年级北大附中校考期末）已知：如图，在
▱
ABCD中，点E是BC的中点，连接AE
并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)若AF＝AD，求证：四边形ABFC是矩形．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据平行四边形性质得出AB∥DC，推出∠1＝∠2，根据AAS证两三角形全等即可；
（2）根据全等得出AB＝CF，根据AB∥CF得出平行四边形ABFC，推出BC＝AF，根据矩形的判定推出即
可．【详解】(1)证明：如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC 即 AB∥DF，
∴∠1＝∠2，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE．
在 ABE和 FCE中，
△ △
，
∴△ABE≌△FCE(AAS)．
(2)证明：∵△ABE≌△FCE，
∴AB＝FC，
∵AB∥FC，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AF＝AD，
∴AF＝BC，
∴四边形ABFC是矩形．
【点睛】考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，本题
主要考查学生运用定理进行推理的能力．
21．（2020春·北京·八年级人大附中校考期末）在平面直角坐标系中，对于与坐标轴不平行的直线 和点
P，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线 于点M，N，若 ，则称P为直线
的平安点．
已知点A（1）当直线 的表达式为 时，
①在点A，B，C中，直线 的平安点是______________；
②若以OB为边的矩形OBEF上存在直线 的平安点，则点E的横坐标的取值范围_______________；
③若直线 被坐标轴所截得的线段上所有的点都是直线 的平安点，则 应满足的条件为
__________________；
（2）当直线 的表达式为 时，若点C是直线 的平安点，求 的取值范围．
【答案】（1）①A，C；② 或 ；③ 且 ；（2）k＞0或 或 ．
【分析】（1）①根据P为直线l的平安点的定义即可判断；
②当PM+PN=2时，根据平安点的定义可知点E的横坐标n的取值范围；
③根据平安点的定义可得k，b应满足的条件；
（2）分三种情况：当k＞0时；当-1＜k＜0时；当k＜-1时；进行讨论即可求解．
【详解】解：（1）①根据直线l的平安点可知，过点B作x轴，y轴的垂线，分别交直线 于点O，N，如
图，∵B（0，1），则有BN=1，BO=1
∴BN+BO=2，故点B不是直线l的平安点；
过点C作x轴，y轴的垂线，分别交直线 于点M，N，如图，
∵B（-1，1），则有CN=2，CM=2
∴CN+CM=4＞2，故点C是直线l的平安点；
过点A作x轴，y轴的垂线，分别交直线 于点O，M，如图，
∵A（ ，0），则有AM= ，AO=
∴AM+AO=2 ＞2，故点A是直线l的平安点；
∴在点A，B，C中，直线l的平安点是A，C；
②若以OB为边的矩形OBEF上存在直线l的平安点，则点E的横坐标n的取值范围n＜0或n＞2；
③若直线y=kx+b（kb≠0）被坐标轴所截得的线段上所有的点都是直线l的平安点，则k，b应满足的条件
为|b|＞1且0＜k＜|b|；
（2）由题意知C（-1，1），M（-1，-k），N（ ，1），k≠0，当k＞0时，CM+CN=（1+k）+（ +1）＞2，
则C定为直线l的平安点；
当-1＜k＜0时，CM+CN=（1+k）+（- -1）＞2，
解得1- ＜k＜1+ ，
则当1- ＜k＜0时，C为直线l的平安点；
当k＜-1时，CM+CN=（-1-k）+（ +1）＞2，
解得k＞-1- 或k＜-1- ，
则当k＜-1- 时，C为直线l的平安点．
综上所述，若点C是直线l的平安点，k的取值范围为k＞0或1- ＜k＜0或k＜-1- ．
故答案为：A，C；n＜0或n＞2；|b|＞1且0＜k＜|b|．
【点睛】本题考查一次函数综合题、P为直线l的平安点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用
特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
22．（2020春·北京·八年级北大附中校考期末）某学校七、八年级各有学生300人，为了普及冬奥知识，
学校在七、八年级举行了一次冬奥知识竞赛，为了解这两个年级学生的冬奥知识竞赛成绩（百分制），分
别从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩，进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．七、八年级成绩分布如下：
成
绩
0≤x≤ 10≤x≤1 20≤x≤2 30≤x≤3 40≤x≤4 50≤x≤5 60≤x≤6 70≤x≤7 80≤x≤8 90≤x≤10
x
9 9 9 9 9 9 9 9 9 0
年
级
七 0 0 0 0 4 3 7 4 2 0
八 1 1 0 0 0 4 6 5 2 1
（说明：成绩在50分以下为不合格，在50～69分为合格，70分及以上为优秀）
b．七年级成绩在60～69一组的是：61，62，63，65，66，68，69
c．七、八年级成绩的平均数中位数优秀率合格率如下：年 中位
平均数 优秀率 合格率
级 数
七 64.7 m 30% 80%
八 63.3 67 n 90%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值；
（2）小军的成绩在此次抽样之中，与他所在年级的抽样相比，小军的成绩高于平均数，却排在了后十名，
则小军是 年级的学生（填“七”或“八”）；
（3）可以推断出 年级的竞赛成绩更好，理由是 （至少从两个不同的角度说明）．
【答案】（1）m＝64，n＝40%；（2）八；（3）八年级学生成绩较好，从中位数、及格率、优秀率上看，
八年级均较高，因此成绩总体较好
【分析】（1）七年级的中位数，把七年级学生的成绩排序后找第10、11位的数据的平均数即为中位数，
通过所给的表格数据和在60～69一组的成绩，可以得出第10、11位的数据，进而求出中位数，通过表格
中可以计算出八年级优秀人数，再求出优秀率即可；
（2）根据平均数和极端值进行判断即可；
（3）从平均数、及格率、优秀率等方面进行判断即可．
【详解】解：（1）m＝（63+65）÷2＝64，n＝（5+2+1）÷20＝40%，
故答案为：m＝64，n＝40%；
（2）因为平均数会受到极端值的影响，八年级有两个学生的成绩较差，使平均分较低，小军虽然高于平
均成绩，仍可能排在后面，可以估计他是八年级学生，
故答案为：八；
（3）八年级学生成绩较好，从中位数、及格率、优秀率上看，八年级均较高，因此成绩总体较好．
【点睛】本题考查了频数分布表、中位数、平均数、方差等知识，理解及格率、优秀率是解决问题的关键．
23．（2022秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中， ， ，
且满足 ，过 作 轴于 ．(1)求三角形 的面积；
(2)若线段 与 轴交于点 ，在 轴上是否存在点 ，使得三角形 和三角形 的面积相等，
若存在，求出 点坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)36
(2) 或
【分析】（1）先根据非负数的性质求出 ， 的值，进而得出 ， 两点的坐标，根据三角形的面积公式
即可得出结论；
（2）设 ，利用三角形 和三角形 的面积相等可得到关于 的方程，再解方程求出 即可得
点坐标.
【详解】（1） ，
， ，
解得 ， ，
， ，
轴，
，
， ，
；
（2）设 ，，
，
三角形 和三角形 的面积相等， ，
，
，即 ，
解得： 或 ，
或 ；
【点睛】本题昰三角形综合题，考查了非负数的性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式，理解坐标与
长度的关系是解题的关键．
24．（2022春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标
都为整数的点叫做“整点坐标”，正比例函数y＝kx（k≠0）的图像与直线x＝3及x轴围成三角形．
（1）正比例函数y＝kx（k≠0）图像过点（1，1）；
①k的值为 ；
②该三角形内的“整点坐标”有 个；
（2）如果在x轴上方由已知形成的三角形内有3个“整点坐标”，求k的取值范围．【答案】（1）①1；②1；（2）1＜k≤
【分析】（1）①把（1，1）代入y=kx，可求出k的值，②画出函数的图像，可知三角形内有1个“整点坐
标”；
（2）当直线y=x绕着点O逆时针旋转时，就有3个“整点坐标”，即k＞1，当直线y=kx过点D（2，3）
时，k取最大值，可得取值范围．
【详解】解：（1）①∵正比例函数y＝kx（k≠0）图像过点（1，1），
∴代入得：1＝k，
即k＝1，
故答案为：1；
②如图，直线y＝x、直线x＝3和x轴围成的三角形是ABC，
则三角形ABC内的“整点坐标”有点，（2，1），共1个，
故答案为：1；
（2）当直线y＝kx过点D（2，3）时，其关系式为y＝ x，
当直线y＝kx过点A（3，3）时，其关系式为y＝x，
∴当三角形内有3个“整点坐标”，k的取值范围为1＜k≤ ．【点睛】本题考查一次函数的图像与性质的应用，理解“整点坐标”的实际意义是正确解答的前提．
25．（2020春·北京·八年级101中学校考期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是CD边上一动点
（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，
连接EF，AF．
（1）当DM＝2时，依题意补全图1；
（2）在（1）的条件下，求线段EF的长；
（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD的数量关系 ．
【答案】（1）见详解；（2） ；(3)AD=DM或AD=2DM．
【分析】（1）根据题意作出图形便可，
（2）连接BM，先证明△ADM≌△ABF，再证明△FAE≌△MAB，求得BM，便可得EF；
（3）设DM=x（x＞0），求出AE、AF、EF，当△AEF为等腰三角形，分两种情况：AE=EF或AF=EF，列出方
程求出x的值，进而求得最后结果．
【详解】（1）根据题意作图如下：（2）连接BM，如图2，
∵点D与点E关于A M所在直线对称，
∴AE=AD，∠MAD=∠MAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D= =∠ABF=90°，
在△ADM和△ABF中 ，
∴△ADM≌△ABF（SAS），
∴AF=AM，∠FAB=∠MAD，
∴∠FAB=∠MAE，
∴∠FAE=∠MAB，
在△FAE和△MAB中
∴△FAE≌△MAB（SAS），
∴EF=BM，
∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=6，
∵DM=2，
∴CM=4，
∴在Rt MCB中， BM= ，
∴EF= ；
（3）设DM=x（x＞0），则CM=6-x，在Rt MCB中
∴EF=BM= ，
∵AE=AD=6，在Rt ADM中AF=AM= ，
∴AF＞AE，
∴当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE=EF，或AF=EF，
①当AE=EF时，有 =6，
解得x=6，
经检验，x=6是所列方程的解，
∴DM=6，
∴AD=DM；
②当AF=EF时， = ，
解得，x=3，
经检验，x=3是所列方程的解，
∴DM=3，
∵AD=6，
∴AD=2DM，
综上，DM与AD的数量关系为AD=DM或AD=2DM．
故答案为：AD=DM或AD=2DM．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，
等腰三角形的性质，勾股定理，分类思想和方程思想，关键是证明三角形全等．
26．（2020春·北京·八年级北京市第二中学分校校考期末）在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩
形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．
（1）如图2，点B的坐标为（0，b）．
若b＝4，则点A，B的“相关矩形”的面积是 ；
①若点A，B的“相关矩形”的面积是5，则b的值为 ．
②（2）如图3，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的
坐标为（m，2）．若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m
的取值范围．
【答案】（1） 2； 7或﹣3；（2）m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+ 或2﹣ ≤m≤3．
① ②
【分析】（1）①由矩形的性质即可得出结果；
②由矩形的性质即可得出结果；
（2）由题意得出点M在直线y=2上，由等边三角形的性质和题意得出OD=OE=DE=1，EF=DF=DE=2，得出
OF= OD= ，分两种情况：
①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（-3，2）
或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（-2+ ，2）；得出
m的取值范围为-3≤m≤-2+ 或2- ≤m≤1；
②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（3，2）
或（-1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（2- ，2）；得出
m的取值范围为2- ≤m≤3或-1≤m≤-2+ ；
【详解】（1） ∵b＝4，
①∴点B的坐标为（0，4），如图2﹣1所示：
∵点A的坐标为（1，2），
∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（4﹣2）×1＝2，
故答案为：2；
如图2﹣2所示：
②
由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣2|×1＝5，
∴|b﹣2|＝5，
∴b＝7或b＝﹣3，
故答案为：7或﹣3；
（2）∵点M的坐标为（m，2），
∴点M在直线y＝2上，
∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），
∴OD＝OE＝ DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，
∴OF＝ OD＝ ，
分两种情况：如图3所示：当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
①则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；
若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（﹣2+ ，2）或（2 ﹣，2）；
∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+ 或2﹣ ≤m≤1；
当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
②则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；
若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，
则点M的坐标为（2﹣ ，2）或（﹣2+ ，2）；
∴m的取值范围为2﹣ ≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+ ；
综上所述，m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+ 或2﹣ ≤m≤3．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质，
勾股定理，待定系数法确定一次函数的解析式，新定义“相关矩形”等知识；本题综合性强，有一定难度．
27．（2022春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期末）在平面直角坐标系xOy中，把图形G上的点到直线l
距离的最大值d定义为图形G到直线l的最大距离．如图1，直线l经过(0，3)点且垂直于y轴，A(-2，2)，
B(2，2)，C(0，-2)，则△ABC到直线l的最大距离为5．（1）如图2，正方形ABCD的中心在原点，顶点都在坐标轴上，A(0，2)．
①求正方形ABCD到直线y=x+4的最大距离．
②当正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离小于 时，直接写出b的取值范围．
（2）若正方形边长为2，中心P在x轴上，且有一条边垂直于x轴，该正方形到直线y=x的最大距离大于
，求P点横坐标的取值范围．
【答案】（1）① ；②-4＜b＜4；（2）x＜-2或x＞2.
【分析】（1）①延长CB交直线y=x+4于点E，记直线y=x+4与y轴交于点F，由直线y=x+4可知，
∠CFE=45°，再根据勾股定理即可求出正方形ABCD到直线y=x+4的最大距离；
②由①可知，当b=4时，正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离为 ，结合图形直接写出b的取值范围
即可；（2）当正方形ABCD的一个顶点在y=x上时，该正方形到直线y=x的距离为 ，此时点P的横坐标为-2
或2，结合图形即可求出点P横坐标的取值范围.
【详解】（1）①如图，延长CB交直线y=x+4于点E，记直线y=x+4与y轴交于点F，
由直线y=x+4可知，∠CFE=45°，
∵正方形ABCD的中心在原点，顶点都在坐标轴上，A(0，2)，
∴CE⊥EF，CF=4+2=6，
∴ ，
∴ ，
即正方形ABCD到直线y=x+4的最大距离为 ；
②由①可知，当b=4时，正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离为 ，
若要使正方形ABCD到直线y=x+b的最大距离小于 ，
则b的取值范围为-4＜b＜4；
（2）当正方形ABCD在如图所示位置时，该正方形到直线y=x的距离为 ，
此时点P的横坐标为-2或2，若要该正方形到直线y=x的最大距离大于为 ，
则点P横坐标的取值范围为x＜-2或x＞2.
【点睛】此题主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题，准确理解新定义，并根据新定义作出图形，
结合图形作出判断是解题的关键.
28．（2022春·北京朝阳·八年级北京八十中校考期末）正方形ABCD中，将线段AB绕点B顺时针旋转α(其
中 )，得到线段BE，连接AE．过点C作CF⊥AE交AE延长线于点F，连接EC，DF．
（1）在图1中补全图形；
（2）求∠AEC的度数；
（3）用等式表示线段AF，DF，CF的数量关系，并证明．
【答案】（1）补图见详解；（2）135°；（3）AF= +CF，证明见详解．
【分析】（1）将线段AB绕点B顺时针旋转α角度，在∠ABC任意转动α即可，连接AE并延长，过点C
作CF⊥AE交AE延长线于点F，连接EC，DF即可补全图形．
（2）根据旋转，可得△ABE和△BCE都为等腰三角形，∠ABE=α，，则∠EBC=90°-α，分别用α表示∠BEA
和∠BEC，相加即可得到答案．
（3）在AF上取AH=CF，然后证明△AHD≌△CFD，可以得到HD=DF，证明∠HDF=90°，所以△HDF为等
腰直角三角形，HF= ，根据图可得AF=HF+AH= +CF．
【详解】解：（1）根据题意，可以画出图形，如图所示：（2）∵AB旋转到BE
∴△ABE和△BCE都为等腰三角形
∵∠ABE=α
∴∠EBC=90°-α
∴∠BEA=90°- α，∠BEC=45°+ α，
∵∠AEC=∠BEA+∠BEC
∴∠AEC=90°- α+45°+ α=135°
（3）在AF上取AH=CF
∵∠AOD=∠COF，∠ADO=∠OFC=90°
∴∠DAH=∠DCF
在△AHD和△CFD中
∴△AHD≌△CFD
∴∠ADH=∠CDF，DH=DF∵∠ADH+∠HDO=90°
∴∠CDF+∠HDO=90°
∴△HDF为等腰直角三角形
∴HF=
∵AF=AH+HF
∴AF=CF+
【点睛】本题主要考查了语句理解，画出图形，运用等腰三角形的性质求角度等知识点，合理的做辅助线，
构造全等三角形是解决本题的关键．
