文档内容
2024-2025 学年人教版八年级数学下学期期末模拟试卷 02
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷共24题，选择10题，填空6题，解答8题
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
4．回答客观题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．函数 的自变量取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查函数的自变量取值范围．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的
范围．
【详解】解：根据题意得： ，解得： ．
故选：C．
2．为了考查甲、乙两块地中小麦的长势，分别从中随机抽出10株麦苗，测得麦苗高如图所示，若 和
分别表示甲、乙两块地麦苗高数据的方差，则（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，越稳定，即波动越小，由统计图可知甲的
麦苗高的波动情况比乙的麦苗高的波动情况小，据此可得答案．
【详解】解：观察统计图可知，甲的麦苗高的波动情况比乙的麦苗高的波动情况小，故 ，
故选：B．
3．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A. 被方数含有能开的尽方的数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B. 被方数是小数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
C. 被方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D. 是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
4．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，下列条件不能判定 为直角三角形的是
（ ）
A． B． ， ，
C． ， ， D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项
判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键．
【详解】解： 、∵ ，
∴ ，
∴能判定为直角三角形，不符合题意；
、∵ ， ， ，∴ ，
∴不能判定为直角三角形，符合题意；
、∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴
∴能判定为直角三角形，不符合题意；
、∵ ，
∴ ，
∴能判定为直角三角形，不符合题意；
故选： ．
5．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象如图所示．小星根据图象
得到如下结论：①在一次函数 的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次
方程组 的解为 ；③关于x的一元一次方程 的解为 ；④当 时，
．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图像，结合一次函数的性质和图象，逐一判断即可解答，熟知一次函数的
性质是解题的关键．
【详解】解：①由函数图象可知，直线 从左至右呈下降趋势，
所以y的值随着x值的增大而减小，故①正确；②由函数图象可知，一次函数一次函数 与 的图象交点坐标为 ，
所以方程组 的解为 ，故②正确；
③由函数图象可知，直线 与x轴的交点坐标为 ，
所以方程 的解为 ，故③正确；
④由函数图象可知，直线 过点 ，
所以当 时， ，故④正确；
故选：D．
6．如图，在 中， ，分别以 ， 为边作正方形．若 ，则正方形 和
正方形 的面积和为（ ）
A．25 B．36 C．49 D．64
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：正方形 和正方形 的面积之和为 ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
7．如图，在长方形 中， ， ，E为边 上一点，且 ，动点 从点 出发，沿
路径 运动，则三角形 的面积 与点 经过的路径长 之间的函数关系用图象表示大致
是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题函数图象．求出 的长，然后分三种情况讨论：①点P在 上运动时，利
用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式；②点P在 上运动时，根据
式整理得到y与x的关系式；③点P在 上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系，
根据解析式即可得到函数的图象．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ， ，
∴ ，
当点P在 上运动，即 时， ，
，
∴ ；
当点P在 上运动，即 时，
， ，
∴，
∴ ；
当点P在 上运动，即 时， ，
，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的面积 与点 经过的路径长 之间的函数关系式为 ，
∴当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
∴选项D的图象符合题意．
故选：D．
8．如图， 是线段 上一动点， 分别是 的中点，
随着点 的运动， 的长（ ）
A．随着点 的位置变化而变化 B．保持不变，长为C．保持不变，长为 D．保持不变，长为
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定和性质，中位线性质，掌握以上概念及计算是关键．
如图所示，过点 作 于点 ，连接 ，可得四边形 是矩形， ，
，在 中，由勾股定理得到 ，由题意可得 是中位线，由此即
可求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
在 中，点 分别是 的中点，则 是中位线，
∴ ，
∴随着点 的运动， 的长保持不变，长为 ，
故选：D ．
9．如图，在 中， ， ， ，将边 沿 翻折，点B落在点E处，连接
交 于点F，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题、垂线段最短，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先利用勾股定
理可得 ，再根据折叠的性质可得 ，从而可得 ，则当 的值最小时， 取
得最大值，然后根据垂线段最短可得当 时， 的值最小，利用三角形的面积公式可求出 的
最小值，由此即可得．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
∴当 的值最小时， 取得最大值，
由垂线段最短可知，当 时， 的值最小，
此时 ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
故选：C．
10．如图，已知四边形 为正方形． 为对角线 上一点，连接 ，过点 作 ，
交 的延长线于点 ，以 为邻边作矩形 ，连接 ．下列结论：① ；②矩形
是正方形；③ ；④ 平分 ．其中结论正确的序号有（ ）A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】连接 ，作 于点H， 于点L，由正方形的性质得 ， 垂直平
分 ，则 ，因为 平分 ，所以 ，再推导出 ，进而证明
，得 ，所以 ，可判断①正确；由四边形 是矩形， ，证明
四边形 是正方形，可判断②正确；再证明 ，得 ，可判断③正确；可证明
，则 ，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接 ，作 于点H， 于点L，则 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， 垂直平分 ，
∵E为 上一点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
∵四边形 是矩形， ，
∴四边形 是正方形，故②正确；
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，故③正确；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
故④正确．
故选：D．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性
质等知识．
二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，掌握相关运算法则是解题关键．先根据
乘法分配律展开，再计算乘法，然后化为最简二次根式计算即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
12．已知某人要种植培育的种子有四种类型，分别是甲、乙、丙、丁，对于每一种种子发芽天数与稳定性
（方差）如下表所示，在同时考虑稳定性和快速发芽的情况下，它应该选择的种子类型是 ．
种类 甲 乙 丙 丁
平均数
方差
【答案】甲
【分析】本题考查了平均数和方差．平均数反映了一组数据的总体趋势，但是平均数容易受到极端数值的
影响；方差体现了一组数据的波动性，方差越大数据的波动越大，所以同时考虑稳定性和快速发芽的情况
下，应选择平均数和方差都较小的类型．
【详解】解： 甲发芽的平均天数最少，方差最小，
同时考虑稳定性和快速发芽的情况下，应选择甲．
故答案为： 甲．
13．如图，在 中， ， 是 边上的中线，且 ，则 的长为 ．【答案】12
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据
直角三角形的性质可知 ，再根据已知条件即可解答．
【详解】解：∵在 中， ，
∴ 是直角三角形，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为： ．
14．如图，直线l与x轴交于点 ，与 轴交点 ，点 是直线l上一点，过点M的直线
交边 点N，若直线 将 分成面积相等的两部分，则点N的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先根据点A和点B的坐标求出 的面积，再利用待定
系数法直线l解析式，进而得到点M的坐标，再由直线 将 分成面积相等的两部分得到 的面积，据此利用三角形面积计算公式列式求解即可．
【详解】解：∵直线l与x轴交于点 ，与 轴交点 ，
∴ ，
∴ ；
设直线l的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线l的解析式为 ，
∵点 是直线l上一点，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵直线 将 分成面积相等的两部分，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．如图，菱形 的边长是 ， 于点 E．若 ，则菱形 的面积为
．【答案】
【分析】本题考查求菱形面积，涉及菱形性质，勾股定理，含 角的直角三角形的性质等知识，熟练掌
握直角三角形中含 角所对的边是斜边的一半是解决问题的关键．根据菱形 的边长是 ，
，得到 ， ， ，从而得到菱形 的面积为
即可解答．
【详解】解： ， ，
∴在 中，则 ，
菱形 的边长是 cm，
在 中， ，
，
菱形 的面积为 ，
故答案为： ．
16．已知直线 ： 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，直线 也经过 点，位置如图所示，且与
直线 所夹锐角为 ，则直线 的函数表达式为 ．【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直
角三角形的判定与性质，作出合适的辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．过点 作 ，交
于 ，过 作 轴于点 ，由 可推出 ，结合
，从而证明 ，得到 ， ，然后
利用直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，求出 、 的坐标，得到 、 的长度，从而得到 点
坐标，最后利用待定系数法即可求得直线 的函数表达式．
【详解】解：如图，过点 作 ，交 于 ，过 作 轴于点
，
是等腰直角三角形
，
直线 ： 与 轴交于点 ，与 轴交于点
，
，点的坐标为
设直线 的解析式为
直线 经过 ，
解得：
的解析式为 ．
故答案为： ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算题：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：
（1）先化简二次根式，再进行加减运算即可；
（2）先利用乘法分配律及平方差公式计算，再合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式．
18．如图， 在中，E，F分别是 ， 的中点．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．根
据平行四边形的性质得出 ， ，根据中点定义得出 ， ，证明
，即可证明结论．
【详解】证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
， 分别是 ， 的中点，
， ，
，
四边形 是平行四边形．
19．某校对八年级学生10月份“读书量”进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单
位：本）进行了统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)请补全两幅统计图；
(2)求本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数；
(3)已知该校八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生中，10月份“读书量”为5本的学生有多少？【答案】(1)见解析；
(2)本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为 本；
(3)该校八年级500名学生中，10月份“读书量”为5本的学生大约有75人．
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数以及样本估计总体，掌握条形统计图、扇形统计
图中的数量关系以及加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
（1）从两个统计图可知，样本中读书量是1本的学生有4人，占被调查人数的 ，由频率=频数 总数即
可求出样本容量，进而求出样本中读书量为3本的学生人数，补全条形统计图，求出样本中读书量为5本
的学生占调查人数的百分比即可补全扇形统计图；
（2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可；
（3）样本估计总体，用样本中读书量为5本的学生所占的百分比估计总体中读书量为5本的学生所占的百
分比，再根据频率=频数 总数进行计算即可．
【详解】（1）解： 人，样本中读书量为3本的学生人数为 人，
样本中读书量为5本的学生人数占被调查人数的百分比为 ，
补全的条形统计图、扇形统计图如图所示：
（2）解： 本，
答：本次所抽取的学生10月份“读书量”的平均数为 本；
（3）解 人，
答：该校八年级500名学生中，10月份“读书量”为5本的学生大约有75人．
20．已知一次函数 的图象经过 两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)这个一次函数的图象与 轴， 轴分别交于点 和点 ，点 在直线 上，点 的坐标为 ，且
，求点 的坐标．【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理，一次函数的几何应用；
（1）把点 代入 ，再进一步求解即可；
（2）先求解 ， ，再利用面积公式建立方程求解即可
【详解】（1）解：将点 代入 得：
，
解得： ，
∴一次函数解析式为： ．
（2）解：当 ，则 ；当 ，则 ；
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点P在直线 上，
∴ 或 ，∴ ， ，
∴ 或 ．
21．如图，在 中，边 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ，边 的垂直平分线交 ，
于点 ， ， 的周长是12．
(1)求 的长；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等边对等角、勾股定理、三角形的内角和定理，掌握线
段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）根据角之间的数量关系，得到 ，设 ，则 ，再根据勾股定理求
解即可．
【详解】（1）解： 是边 的垂直平分线， 是 的垂直平分线，
， ，
；
（2）解： ，
，
， ，
， ，
，
设 ，则 ．
，
，
，， ，
的面积 ．
22．观察下列式式子的化简过程：
① ；
② ；
③ ；…
(1)请直接写出第四个等式，并猜想第n个等式；
(2)求 的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式的应用，正确得出 是解
题的关键．
（1）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
（2）仿照解题过程的典例所揭示的规律，将分母有理化；
（3））由 将原式化简，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：第四个等式为 ，
；
（2）∵∴
．
23．【定义新知】
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”．
【应用探究】
(1)如图，在 中， ，求证： 是“奇异三角形”；
(2)已知，等腰 是“奇异三角形， ，求底边 的长．（结果保留根号）
【答案】(1)见解析
(2)底边 的长为 或 ．
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，二次根式的化简以及
中线定义的综合应用，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解．解
题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（1）取 的中点D，连接 ，利用勾股定理求得 ，即可得出 是“奇异三角形”；
（2）需要分两种情况：①当腰上的中线 时，则 ，过B作 于E，根据等腰三角形
的性质以及勾股定理，即可求得 的长；②当底边上的中线 时，则 ，且
，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，列出方程，即可求得 的长．
【详解】（1）解：如图，取 的中点D，连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是“奇异三角形”；
（2）解：分两种情况：
如图，当腰上的中线 时，则 ，过B作 于E，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 中， ，
∴ 中， ；
如图，当底边上的中线 时，则 ，且 ，设 ，则 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，底边 的长为 或 ．
24．如图，矩形 的对角线 相交于点 ．
(1)求证：四边形 为菱形；
(2)求证： ；
(3)若 ，则菱形 的面积为_________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，再利用矩形的性质得出 ，即可得出答案；
（2）由（1）可得 ，再根据矩形的性质可证 ，进而得到
，结合 ，可证 ，即可得出结论；
（3）连接 交 于点F，利用矩形的性质结合勾股定理求出 ， ，再根据四边形
是菱形，证明 是 的中位线，求出 ，进而求出 ，最后由菱形
的面积公式计算即可．【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵矩形 的对角线 相交于点O，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
（2）证明：由（1）知四边形 是菱形；
∴ ，
∴
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：连接 交 于点F，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵四边形 是菱形；
∴ 垂直平分 ，即点F是 的中点，
∵四边形 是矩形，
∴ ，即点O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，∴ ，
∴菱形 的面积为 ．
【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形中位线，菱形的判定与性
质，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定方法是解题关键．
25．在平面直角坐标系 中，对于点P与图形 给出如下定义：N为图形上任意一点，P，N两点间距
离的最小值称为点P与图形 的“近点距离”．特别的，当点P在图形 W上时，点P与图形 的“近
点距离”为零．如图1，点 ．
(1)点 与线段 的“近点距离”是___________；点 与线段 的“近点距离”是
___________；
(2)点P在直线 上，如果点P与线段 的“近点距离”为 ，那么点P的坐标是___________
(3)如图2，将线段 向右平移3个单位，得到线段 ，连接 ，若直线 上存在点G，使得
点G与四边形 的“近点距离”小于或等于 ，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)1， ；(2) 或 ；
(3) ．
【分析】（1）画出图形，直接利用新定义结合勾股定理可得答案；
（2）画出图形，分两种情况利用数形结合的方法，一次函数的性质与勾股定理解答即可；
（3）如图，过 作 直线 ，则线段 的长度为点 与四边形 的“近点距离”，求解
直线 为 ，过 作 轴于 ，过 作 直线 ，则线段 的长度为点 与四
边形 的“近点距离”由平移可得 ，同理可得直线 为 ，再进一步解答即可．
【详解】（1）解：如图：
∵ ，
∴点 与线段 的“近点距离”是 ，
∵ ，
，
∴点 与线段 的“近点距离”是 ，故答案为：1， ；
（2）解：如图，当 在 左边时，
当 时， 两点间距离最小，
∵点 与线段 的“近点距离”为 ，
，
，
，
，
∴ ，
当 在 的右边时，如图中的 ，
，
过 作 轴的平行线，过 作 轴的垂线，交点为 ，
∵直线 为 ，
为等腰直角三角形，
，
，故答案为： 或 ；
（3）解：如图，过 作 直线 ，则线段 的长度为点 与四边形 的“近点距离”，
∵一次函数 ，
，
，
∴设 ，
∴ ，
设直线 为 ，
∴
解得： ，
∴直线 为 ，
∴ ，
当 时， ，过 作 轴于 ，
，
，
，
；
如图，过 作 直线 ，则线段 的长度为点 与四边形 的“近点距离”，
∵由平移可得 ，
同理可得直线 为 ，
∴ ，
，当 时，则 ，
过 作 轴于 ，
，
，
，
，
∴ ，
解得 ；
∴直线 上存在点 ，使得点 与四边形 的“近点距离”小于或等于 ， 的取值范围为
．
【点睛】本题考查了新定义的含义，一次函数的几何应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性
质，二次根式的运算，平移的性质，理解题意是解题的关键．
26．【模型建构】
如图1，已知线段 ， 所在直线交于点O，其所夹锐角为 ．小明在学习了平移之后，将图1中的线
段 ， 其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到多个以点A，B，C，D其中三个点为顶点的平行
四边形．例如：图2是将线段 沿 方向平移线段 的长度得到 ，图3是将线段 沿
方向平移线段 的长度得到 ．【模型应用】
（1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题：
如图4，在 中， ， ，点D，E分别在 ， 延长线上，且 ，
，求证： ．
方法一：过点E作 ，且 ，连接 ， ，将证明 ，转化为证明 ；
方法二：过点C作 ，且 ，连接 ， ，将证明 ，转化为证明 ．
请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程．
（2）小明又尝试将(1)中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者
按照自己的思路解答下面问题：
如图5，在 中， ，E为 上一点，D为 延长线上一点，且 ， ，连
接 交 于点G，求 的度数．
（3）如图6，在 中， ，D，E分别是边 ， 上的点，且 于点H，若 ，
， ，请直接写出 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到 ；方法一：如图1，过点 作
，且 ，连接 ， ，证明四边形 是平行四边形．得到 ，
，再证明 ， ，进而证明 是等边三角形，利用等边三角形的性
质得到 即可．
方法二：如图2，过点 作 ，且 ，四边形 是平行四边形．由 ，
证明 ，得到 ， ，再证明 是等边三角形得到即可．
（2）方法一：如答图3，过点 作 ，且 ，连接 ，证明四边形 是平行
四边形，得到 ， ，再证明 得到即可得结论；
方法二：如答图4，过点 作 ，且 ，连接 ，证明四边形 是平行四边形
得到 ， ，再证明 ，得到 ， ，进而求得
即可；
（3）如答图5，过点 作 ，且 ，连接 ，作 于点 ，证明四边
形 是平行四边，得到 ， ，进而 ，则 ，
在 中，利用勾股定理分别求解即可．
【详解】解：（1）证明： ， ，
，
方法一：如图1，过点 作 ，且 ，连接 ，
四边形 是平行四边形．
， ，
，
， ，
，
即 ，
，
，
，
，，
，
是等边三角形．
．
方法二：如图2，过点 作 ，且 ，连接 ，
四边形 是平行四边形．
， ，
，
， ，
，
即 ，
，
，
，
， ，
， ，
，
是等边三角形，
．
（2）方法一：如图3，过点 作 ，且 ，连接 ，四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
；
方法二：如图4，过点 作 ，且 ，连接 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
， ，
，， ，
，
，
，
；
（3）如图5，过点 作 ，且 ．连接 ，作 于点 ，
四边形 是平行四边形．
， ，
，
，
在 中，
由勾股定理，得 ．
于点 ，
，
中，有 ．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰
直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质应用和全等三角形的性质，“一题多解”的方
法运用是解答的关键．
