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（新教材适用）2025 秋人教版
八年级数学上册知识点清单
第十三章 三角形
一、三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
提示：
(1)三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
(2)三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相
接”.
(3)三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，
读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC
来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
二、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边的之差小于第三边.
提示：
(1)理论依据：两点之间线段最短.
(2)三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于
最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形
两边长，可求第三边长的取值范围．
(3)证明线段之间的不等关系．
三、三角形的分类
1.按角分类：
直角三角形
三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
提示：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
·1·不等边三角形
三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
提示：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外
一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角.
③等边三角形：三边都相等的三角形.
四、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段
或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需
要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
从三角形的一个顶点向它的对 三角形一个内角的平分线与
三角形中，连接一个顶点
文字语言 边所在的直线作垂线，顶点和 它的对边相交，这个角的顶点
和它对边中点的线段．
垂足之间的线段． 与交点之间的线段．
A A A
21
图形语言
B D C B D C B D C
过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接 作∠BAC的平分线AD，交BC
作图语言
AD． 于点D．
A A A
21
标示图形
B D C B D C B D C
1.AD是△ABC的高． 1.AD是△ABC的中线．
1.AD是△ABC的角平分线．
2. AD是△ABC中BC边上的 2.AD是△ABC中BC边
2.AD平分∠BAC，交BC于点
高． 上的中线．
符号语言
3.AD⊥BC于点D． 1 D．
3.BD=DC= BC
2 1
4.∠ADC=90°，∠ADB=90°． 3.∠1=∠2= ∠BAC．
4.点D是BC边的中点． 2
(或∠ADC=∠ADB=90°)
因为AD是△ABC的高，所以 因为 AD 是 △ABC 的中 因为AD平分∠BAC，所以∠1
1
推理语言 AD⊥BC． 线 ，所以 BD = DC = =∠2= ∠BAC．
2
1
(或∠ADB=∠ADC=90°)
BC．
2
用途举例 1.线段垂直． 1.线段相等． 角度相等．
·2·2.角度相等． 2.面积相等．
1.与边的垂线不同．
注意事项 -- 与角的平分线不同．
2.不一定在三角形内．
三角形的三条高(或它们的延 一个三角形有三条中线， 一个三角形有三条角平分线
重要特征
长线)交于一点． 它们交于三角形内一点． 它们交于三角形内一点．
五、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形
的稳定性.
提示：
(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改
变．
(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结
构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使
栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它
的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有
时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，
使它不变形．
六、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
提示：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
七、三角形的外角 A
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外
角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
B C D
提示：
(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一
条边是三角形某条边的延长线．
(2)三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常
每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．
2．性质：
(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
(2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．
提示：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经
·3·常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．
3.三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
提示：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，
可推出三角形的三个外角和是360°
第十四章 全等三角形
一、全等图形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等
形.
提示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平
移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
二、全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
三、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.
提示：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全
等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
四、全等三角形的判定
一般三角形 直角三角形
边角边（SAS）
两直角边对应相等，一边
角边角（ASA）
判定 一锐角对应相等.
角角边（AAS）
斜边、直角边定理（HL）
边边边（SSS）
性质 对应边相等、对应角相等
备注 判定三角形全等必需有一组对应边相等。
五、全等三角形的证明思路
找夹角→SAS
已知两边找直角→HL
找另一边→SSS
边为角的对边→找任一角→AAS
全等三角形 找夹角的另一边→SAS
已知一边一角
边为角的邻边找夹边的另一角→ASA
找边的对角→AAS
找夹边→ASA
已知两角
找任一边→AAS
六、全等三角形证明方法
·4·全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边
形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用
全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见
的几何问题.可以适当总结证明方法.
1．证明线段相等的方法：
(1) 证明两条线段所在的两个三角形全等.(2) 利用角平分线的性质证明角平分线上
的点到角两边的距离相等.(3) 等式性质.
2．证明角相等的方法：
(1) 利用平行线的性质进行证明.(2) 证明两个角所在的两个三角形全等.(3) 利用
角平分线的判定进行证明.(4) 同角(等角)的余角(补角)相等.(5) 对顶角相等.
3．证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证
明.
4．辅助线的添加:
(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折
变换全等三角形；
(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
5. 证明三角形全等的思维方法:
(1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地
发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
(2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应
根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使
之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
M
七、角平分线
A
概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，
P
这条射线叫做这个角的角平分线。
O B N
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
数学语言：如图，∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON ∴PA=PB
判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．
数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB ∴∠MOP=∠NOP
八、角平分线常考四种辅助线：
1.图中有角平分线，可向两边作垂线。
2.角平分线加垂线，三线合一试试看。
3.角平分线平行线，等腰三角形来添。
4.也可将图对折看，对称以后关系出现。
·5·第十五章 轴对称
一、轴对称
1.轴对称图形和轴对称
(1)轴对称图形
如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做
轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任
何一对对应点所连线段的垂直平分线.
(2)轴对称
定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：
①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；
②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交
点在对称轴上.
(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系
区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；
轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形
沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形
看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
2.线段的垂直平分线
线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相
等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
二、作轴对称图形
(1)几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，
再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线
段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
三、等腰三角形
1.等腰三角形
(1)定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
(2)等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合
一”).特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
(3)等腰三角形的判定
·6·如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边”).
2.等边三角形
(1)定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
(2)等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
(3)等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
3.直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
第十六章 整式的乘法
一、同底数幂的乘法性质
am⋅an=am+n(其中m,n都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
提示：(1)同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多
项式.
(2)三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即am⋅an⋅ap=am+n+p(m,n,p都是正整数).
(3)逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的
底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即am+n=am⋅an(m,n都是正整数).
二、幂的乘方法则
(am)n=amn(其中m,n都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
提示：(1)公式的推广：((am)n)p=amnp (a≠0，m,n,p均为正整数)
(2)逆用公式：amn=am
n=an
m，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些
幂变形，从而解决问题.
三、积的乘方法则
(ab)n=an⋅bn (其中n是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘.
提示：(1)公式的推广：(abc)n=an⋅bn⋅cn (n为正整数).
(2)逆用公式：anbn=ab
n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互
1
为倒数时，计算更简便.如：
2
10 1
×210= ×2
2
10
=1.
注意事项
(1)底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
(2)同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要
遗漏.
·7·(3)幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
(4)积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
(5)灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
(6)带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
四、单项式乘单项式
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含
有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
提示：
(1)单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
(2)单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到
一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的
乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的
指数写在积里作为积的一个因式.
(3)运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
(4)三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
五、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即
m(a+b+c)=ma+mb+mc.
提示：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多
个单项式乘单项式的问题.
(2)单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
(3)计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要
注意单项式的符号.
(4)对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结
果.
六、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所
得的积相加.即 a+b m+n =am+an+bm+bn.
提示：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两
个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊
的二项式相乘： x+a x+b =x2+a+b x+ab.
七、平方差公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特
·8·征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变
式有以下类型：
(1)位置变化：如(a+b)(-b+a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型
(2)系数变化：如(3x+5y)(3x-5y)
(3)指数变化：如(m3+n2)(m3-n2)
(4)符号变化：如(-a-b)(a-b)
(5)增项变化：如(m+n+p)(m-n+p)
(6)增因式变化：如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)
八、完全平方公式
完全平方公式： a±b 2=a2±2ab+b2
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数
的平方和加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形：
a2+b2=a+b 2-2ab=a-b 2+2ab ， a+b 2=a-b 2+4ab
九、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负
号，括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检
查添括号是否正确.
十、补充公式
1.(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq；
2.(a±b)(a2∓ab+b2)=a3±b3；
3.(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3；
4.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
第十七章 因式分解
一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个
多项式分解因式.
提示：(1)因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不
是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
(3)因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，
而整式乘法是一种运算.
二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
·9·提示：(1)公因式必须是每一项中都含有的因式.
(2)公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
(3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大
公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
三、提公因式法
把多项式ma+mb+mc分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因
式m，另一个因式是（a+b+c），即ma+mb+mc=m（a+b+c），而（a+b+c）正好是
ma+mb+mc除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
提示：
(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即ma+mb+mc=m（a+b+c）
(2)用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
(3)当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内的第一项的系数
变为正数，同时多项式的各项都要变号.
(4)用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提
取公因式后，该项变为：“+1”或“-1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
四、公式法--平方差公式
两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：
a2-b2=a+b a-b
提示：
(1)逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.
(2)平方差公式的特点：左边是两个数(整式)的平方，且符号相反，右边是两个数(整
式)的和与这两个数(整式)的差的积.
(3)套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或
多项式.
提示：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特
征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变
式有以下类型：
(1)位置变化：如(a+b)(-b+a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型
(2)系数变化：如(3x+5y)(3x-5y)
(3)指数变化：如(m3+n2)(m3-n2)
五、公式法--完全平方公式
两个数的平方和加上(减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(差)的平方．
即a2+2ab+b2=a+b
2，a2-2ab+b2=a-b
2.
形如a2+2ab+b2，a2-2ab+b2的式子叫做完全平方式.
提示：
·10·(1)逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
(2)完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之
积的2倍. 右边是两数的和(或差)的平方.
(3)完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
(4)套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或
多项式.
第十八章 分式
一．分式的定义
A
(1)分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
B
叫做分式．
(2)因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
(3)分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解
为除号，还兼有括号的作用．
(4)分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上
A
看是 的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，
B
不要化简．
1 A
(5)分式是一种表达形式，如x+ +2是分式，如果形式都不是 的形式，那就不
x B
能算是分式了，如：(x+1)÷(x+2)，它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果
1
用负指数次幂表示的某些代数式如(a+b)-2，y-1，则为分式，因为y-1= 仅是一种数学
y
上的规定，而非一种运算形式．
二．分式有意义的条件
(1)分式有意义的条件是分母不等于零．
(2)分式无意义的条件是分母等于零．
(3)分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
(4)分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
三．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
四．分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题
型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解
题的捷径．
五．分式的基本性质
·11·(1)分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
(2)分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质
将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的
任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符
号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形
的．
六．约分
(1)约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变
形叫做分式的约分．
(2)确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
(3)规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找
出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
七．通分
(1)通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，
这样的分式变形叫做分式的通分．
(2)通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
(3)规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再
去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分
母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防
止遗漏因式．
八．最简分式
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
九．最简公分母
(1)最简公分母的定义：
·12·通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分
母叫做最简公分母．
(2)一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍
数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以
将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整
式)为底数的幂的因式都要取最高次幂．
十．分式的加减法
(1)同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
(2)异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通
分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，
分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项
相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将
分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几
个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对
两个或两个以上的分式来说的．
十一．分式的乘除法
(1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
(2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相
乘．
(3)分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
(4)分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行
分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
(5)规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应
先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左
到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
十二．分式的混合运算
(1)分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘
除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
(2)最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
(3)分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法
·13·的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号
里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要
进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题
目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
十三．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行
约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太
大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当⋯时，原式=⋯”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体
条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式
中的各分式都有意义，且除数不能为.
十四．分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
十五．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方
程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数
的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
十六．解分式方程
(1)解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
(2)解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以
应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解
是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不
是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
十七．换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简
·14·化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对
象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单
化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个
字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
十八．分式方程的增根
(1)增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方
程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值
的根，叫做原方程的增根．
(2)增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分
式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为
零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数
的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，
那么就会出现增根．
(3)检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公
分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
十九．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
(1)在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问
题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
(2)列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
二十．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述
要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作
效率=工作量工作时间等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高
理解能力．
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