文档内容
专题 01 平行线中的拐点问题的五种模型
目录
题型一：猪蹄模型（M型）与锯齿模型..................................................................................................................1
题型二：铅笔头模型..................................................................................................................................................9
题型三：牛角模型....................................................................................................................................................18
题型四：羊角模型....................................................................................................................................................24
题型五：蛇形模型（“5”字模型）......................................................................................................................26
题型一：猪蹄模型（M型）与锯齿模型
例1．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图
形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图①， ，M是 之间的一点，连接 ，若 ，求 的度数；
【灵活运用】
（2）如图②， 是 之间的两点，当 时，请找出 和
之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③， 均是 之间的点，如果 ，直接写出
的度数．
【答案】（1）100°；（2） ，理由见解析；（3）
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键．
（1）过点M作 ，证明 ，则 ，进而得 ，
由此可得∠B+∠D的度数；
（2）过点M作 ，则 ，证明 ，由（1）得 ，则，进而得 ，再根据 ，
即可得出 和 之间的数量关系；
（3）过点G作 ，依题意得 ，证明 ，由
（1）得 ，则 ，由此可得 的度数．
【详解】解：（1）过点M作 ，如图①所示：
，
，
，
，
，
；
（2） 和 之间的数量关系是： ，理由如下：
过点M作 ，如图②所示，
，
，
，
由（1）得： ，
，
，
，
，
又 ，
，
；
（3） ，理由如下：过点G作 ，如图③所示：
，
，
，
，
，
由（1）得： ，
，
，
．
【变式1-1】（1）如图①，如果 ，求证： ．
（2）如图②， ，根据上面的推理方法，直接写出 ___________．
（3）如图③， ，若 ，则 ___________（用x、
y、z表示）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】（1）过P作 ，利用平行线的判定与性质证明即可；
（2）过点P作 ，过点Q作 ，根据平行线的性质即可求解；
（3）过点P作 ，过点Q作 ，根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）证明：过P作 ，如图，
∴ ，
∵ （已知），
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ；
（2）如图，过点P作 ，过点Q作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）过点P作 ，过点Q作 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为： ．
【变式1-2】已知直线 ，直线 与直线 、 分别相交于C、D两点．
(1)如图 ，有一动点P在线段 之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，
又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段 之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出
新的结论并说明理由．【答案】(1) ，理由见解析
(2)不成立， ，理由见解析
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）过点 作 ，则 ，则 ， ，再根据角度和差计算求解即可；
（2）同（1）即可求解．
【详解】（1）解： ，理由如下，
过点 作 ，
，
，
， ，
，
．
（2）解：上述结论不成立．新结论： ，理由如下：
过点 作 ．
，
∴
，
，
，即 ．
【变式1-3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）【知识探究】在一次数学课上，李老师让同学们独立
完成练习．（1）如图-1，直线 ，则 ___________．
A． B． C． D．
【类比探究】在同学们都正确解答后，李老师对这道题进行了如下改编．
（2）将图-1中的点 沿 的方向平移到点 的位置，如图-2所示，请写出 和 之间
的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）将图-1平移，使它的点 与图-2的点 重合（如图-3所示），当 ， 恰好分别平分
时， 与 之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果；
（4）如图-4，已知 ， ， ， ，试判断 与 是否平行，并说
明理由．
【答案】（1）C；（2） ，理由见解析；（3） ；（4）
．理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同
旁内角互补；平行于同一直线的两直线平行．
（1）利用平行线的性质，即可得到 ， ，进而得出 ；
（2）过D作 ，利用平行线的性质，即可得到 ， ，进而得出
；
（3）利用（1）（2）中的结论，即可得到 与 之间的数量关系；
（4）过C作 ，过D作 ，利用平行线的判定和性质即可证明 ．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ， ，
即 ，
故选：C．
（2） ，
如图，过D作 ，∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（3） ，
理由：由（1）可得， ，
由（2）可得， ，
又∵ ， 分别平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
（4） ．理由如下，
如图，过C作 ，过D作 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式1-4】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线 ，点P为平面内一点（不在两条直线
上）．(1)如图①，若点P在直线 与 之间，且 ， ，求 的度数；
(2)如图②，若点P在直线 上方，且 ， ．
①求 的度数；
②如图③， 的平分线和 的平分线交于点G，求 的度数．
【答案】(1)
(2)① ；②
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点P作 ，根据平行线的性质，分别求出 和 的度数，即得答案；
（2）①过点P作 ，根据平行线的性质，分别求出 和 的度数，即可求得答案；
②过点G作 ，根据平行线的性质，分别求出 和 的度数，即可求得答案．
【详解】（1）解：过点P作 ，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解:①过点P作 ，
，
，
，
，
；②过点G作 ，
是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
，
，
，
，
，
．
题型二：铅笔头模型
例2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图， ， =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造两组互补的同旁内角．过 点作
直线 ，根据平行线的性质可得 ， ，然后再计算
即可．
【详解】解，如下图所示，过C点作直线 ，
，
，
， ，
，即 .
故选：B．
【变式2-1】如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这
盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头 与支架 平行时可达到最佳照明角度，此时支架 与
水平线 的夹角 ，两支架 和 的夹角 ．
(1)求此时支架 与底座 的夹角 的度数；
(2)求此时灯头 与水平线 的夹角 的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】平行线的性质在生活中的应用
【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
（1）过点 作 ，根据平行线的性质求解即可；
（2）根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2） ，
，
，，
，
．
【变式2-2】（1）如图1， ，求 的度数．
解：过点E作 ．
（已作），
（ ）．
又 （已知），
_______ _______（平行关系的传递性），
（两直线平行，同旁内角互补），
（等式性质），
即 _______；
（2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中， ，则 _______；
（3）根据（1）和（2）的规律，图3中 ，猜想： _______；
（4）如图4， ，在B，D两点的同一侧有 共n个折点，则
的度数为_______（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ；（4）
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、平行公理推论的应用
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同
旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键．
（1）根据平行公理的推论可得 ，再根据根据平行线的性质可得 、
，即可求得 ；
（2）过点C作 ，过点D作 ，根据平行公理的推论可得 ，再根据
根据平行线的性质可得 ， ， ，即可求得
；
（3）由（1）和（2）总结规律即可求解；
（4）根据所得规律可直接求解．
【详解】（1）解：过点E作 ．
（已作），（两直线平行，同旁内角互补）．
又 （已知），
（平行关系的传递性），
（两直线平行，同旁内角互补），
（等式性质），
即 ；
（2）如图，过点C作 ，过点D作 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其 ；
由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其 ；
因为B，F两点的同一侧有3个折点，
所以 ；
（4）由（3）可知 ．
【变式2-3】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）问题情境：如图1， ， ，
，求 度数.
小明的思路是：过P作 ，通过平行线性质来求 .
(1)按小明的思路，易求得 的度数为 度；(直接写出答案)
(2)问题迁移：如图2， ，点P在射线 上运动，记 ， ，当点P在B、D两点
之间运动时，问 与 ， 之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与 ， 之间的数量关系.
【答案】(1)110
(2) ，理由见解析
(3)当P在 延长线上时， ； 当P在 延长线上时，
【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的
题目，解题时注意分类思想的运用．
（1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出 度数，利用 ，进行求
解即可；
（2）过点 作 ，易得 ，得到 ，进而得到 ；
（3）分P在 延长线上，和P在 延长线上，两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
（2）解： ，理由如下：
过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（3）解：如图所示，当P在 延长线上时，
过点 作 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
如图所示，当P在 延长线上时，
同理可得： ， ，
．
【变式2-4】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图， ，点 是直线 上一点，点 是平行线
、 之间一点，连接 、 ．
【问题提出】
（1）如图1，过点 作 ，若 ， ，求 的度数；
【问题初探】
（2）如图2， 平分 ， 平分 ， 与 相交于点 ，若 ，求 的度数；
【衍生拓展】
（3）如图3， 平分 ， 平分 ， 与 相交于点 ， 平分 ，过点 作
，请探究 与 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键．（1）过点 作 ，由平行线的性质得出 ， ，根据
，计算求解即可；
（2）根据（1）中的结论先得到： ， ，再由角平分线的定义即
可得出结论；
（3）作 的角平分线 交 于点 ，由邻补角的角平分线互相垂直得到 ，由根据两
直线平行，同旁内角互补得到 与 的关系，再由（2）题的结论即可得出 与 的数量关
系即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
， ，
，
的度数为 ；
（2）解：由（1）得： ，
同理： ，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
；
，
；
（3）解： ，理由如下，
∵ 平分 ，
，
平分 ，
，
，即 ，
，即 ，
，
，即 ，，
由（2）得： ，
．
【变式2-5】（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图， ，点 、 分别在直线 、 上，
点 在直线 、 之间， ．
(1)如图1，点 在直线 、 之间，连接 ， ，求证： ；
(2)如图2，直线 交 、 的角平分线分别于点 、 ，求 的值（用含 的
代数式表示）；
(3)如图3， ， ， ．直线 交 、 分别于点 、
，若 ， ，则 的值是______．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
（1）过 作 ，过 作 ，易得 ，利用平行线的性质可求解；
（2）由角平分线的定义可设 ， ，延长 交 于点G，过点M
作 交 于点H，又由（1）可得， ，则 ，进
而求解；
（3）设 ， ，则 ， ，
分别过点M，N作 ， ，则 ，由 得 ，再由
（1）的结论得 ，计算可求解n值．
【详解】（1）解：过 作 ，过 作 ，又∵ ，
∴ ，
则 ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ；
（2）解：如图2，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴设 ， ，
延长 交 于点G，过点M作 交 于点H，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
过点M作 ，
则 ， ，
∴ ，
又由（1）可得， ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（3）解：如图3，设 ， ，则 ， ，
分别过点M，N作 ， ，则 ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又由（1）知 ，
得到 ，
∴ ．
题型三：牛角模型
例3．如图，已知 ， ， ，则 的度数为 °．
【答案】40
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键．
过点C作 ，则 ，由 ， ，得到 ，从而
，进而根据角的和差即可解答．
【详解】解：过点C作 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：40
【变式3-1】（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图， ，在 的两边上分别过点 和点
向同方向作射线 和 ，且 ．
（1）若 ，则 的度数为 ．
（2）若 和 的平分线所在的直线交于点 （ 与 不重合），则 的度数为 ．
【答案】 或
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过点 作 ，而 ，可得 ，证明 ，
，再进一步解答即可；
（2）分两种情况当 为锐角时，过点 作 ，过点 作 ，利用平行线的性质可得
， ，再结合角平分线即可求得；当 为钝角时，
， ，再根据角平分线及平行线性质得
．
【详解】解：（1）过点 作 ，而 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
（2）①当 为锐角时，如图所示：过点 作 ，过点 作 ，
，
，
， ，
， ，
，即 ，
， ，
， ，
，即 ，
又 点 为 和 的角平分线所在的直线的交点，
， ，
，
②当 为钝角时，如图所示：
过点 作 ，过点 作 ，
，
，
， ，
， ，
，
，
，
， ，
， ，又 点 为 和 的角平分线所在的直线的交点，
， ，
，
综上所述 或
故答案案为： 或 ．
【变式3-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线 分别交 于点 ，垂足为
，已知 ．
(1) 和 平行吗？为什么？
(2)点 是平面内一点，连接 ，求 的度数．
【答案】(1) ，理由见解析；
(2) ．
【分析】（1）通过垂直定义和已知角的关系，推导出同位角相等，从而判断 与 是否平行．
（2）过点 作平行线，利用平行线的性质，将角进行转化，求出 的度数．
本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过点 作 ，∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式3-3】直线 ，P 为直线 上方一点，连接 ．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图1，设 ，求 的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为 内部一点， ，连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．
（1）过点P向右 ，则 ，得出 ，进而求出结论；
（2）过点P向右 ，则 ，得出 ，进而求出结论；
（3）过点P向左作 ，过N向左作 ，则 ，设
，则 ，得出，进而求出结论．
【详解】（1）解：过点P向右 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点P向右 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）过点P向左作 ，过N向左作 ，
∵ ，
∴ ，
与（2）同理，得 ，依题意，设 ，
则 ．
∴ ，
∴ ．
题型四：羊角模型
例4．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，如图， ， ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点 作 ，进而得到 ，根据平行线的性质求出
的度数，再利用角的和差关系计算即可．
【详解】解：过点 作 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【变式4-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知 ，E，F是直线 上方两点，连接
， ， ， ，已知 平分 ，且 ．若 ， ，求 的
度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过 作 ，过 作 ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ， ，
由 可得 ， ，最后根据 求解即可．
【详解】解：如图，过 作 ，过 作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：C．
题型五：蛇形模型（“5”字模型）
例5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图， ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由平行线的性质推出 ，得到 ，即可求出 的度数．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故选：D．
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期末） 一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而
过，第一次拐弯 的度数为 ．第二次拐弯 的度数为 ，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一
次拐弯之前的道路平行，则 ．
【答案】
【知识点】根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添
加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的
桥梁．本题可以过点 作 后借助平行线的知识进行解答．
【详解】解：过点 作 ．由题可知 ，，
， ．
．
故答案为： ．
【变式5-2】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁
郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图 所示的样子．
(1)如图 ， ， ， ，求 的度数；
(2)聪明的小明在图 的基础上，将图 变为图 ，其中 ， ， ，
，求 的度数．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键．
（ ）过点 作 ，则有 ，又因为 ，所以 ，则 ，
然后通过角度和差即可求解；
（ ）过点 作 ，过点 作 ，所以 ，所以 ，
， ，然后通过角度和差即可求解．
【详解】（1）解：如图 ，过点 作 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ；
（2）解：如图 ，过点 作 ，过点 作 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
【变式5-3】（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图， ．
(1)如图1，请探索 ， ， 三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知 ．
①如图2，若 ，求 的度数；
②如图3，若 和 的平分线交于点 ，请直接写出 与 的数量关系．
【答案】(1) ．理由见解析
(2)① ；②
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系【分析】（1）过点 作 ，结合 ，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可．
（2）①过点 作 ，结合 ，得到 ，利用平行线的性质，结合（1）的结论
变形计算即可．
②过 作 ，而 ，则 ，利用平行线的性质解答即可．
本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解： ， ， 三个角之间的数量关系是： ．
理由如下：
过点 作 ，
，
，
， ，
，
即： ．
（2）解：①过点 作 ，
，
，
，
，
由（1）得： ，
，
，
即： ，
， ，
．
②解： 与 的数量关系是： ．
理由如下：
为 的平分线， 为 的平分线，
， ，过 作 ，而 ，
，
则
设 ，
则 ，
故 ，
故 ．
【变式5-4】（24-25七年级下·广东·期末）综合探究
(1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能．
如图①，已知点A是 外一点，连接 ．求 的度数．
解：过点A作 ，则 ______， ，
又∵ ．∴ ；
(2)【方法运用】如图②所示，已知 ， 交于点E， ，求 的度数．
(3)【拓展探究】如图③所示，已知 ， 分别平分 和 ，且 所在直线
交于点F，过F作 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利
用转化思想解答是解题的关键．
（1）过点A作 ，如图①，根据平行线的性质得到 ， ，然后利用平角的定
义得到 ；
（2）过点E作 ，如图②，利用平行线的性质得到 ，则 ， ，
然后把两式相加可得 ；（3）过E点作 ，根据平行线的性质得到 ，根据角平分线的定义得到
， ，设 ， ，结合平行线的性质得
到 ，利用 代入求解即可．
【详解】（1）解：过点A作 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ；
故答案为： ， ；
（2）解：过点E作 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴ .
（3）解：过E点作 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
设 ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∵
．
