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专题 01 幂运算
（知识点梳理+典例剖析+变式训练）
【知识点梳理】
1、同底数幂的乘法法则：am ⋅an =am+n
（m,n都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意：底数可以是多项式或单项式。
如：(a+b) 2 ⋅(a+b) 3 =(a+b) 5
2、幂的乘方法则：(am ) n =a mn （m,n都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(−35 ) 2 =3 10
幂的乘方法则可以逆用：即 a mn =(am ) n =(an ) m
如：
46 =(42
)
3 =(43
)
2
3、积的乘方法则：
(ab) n =anbn
（n是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（−2x3y2z) 5 =(−2) 5 ⋅(x3 ) 5 ⋅( y2 ) 5 ⋅z5 =−32x 15 y 10 z5
4、同底数幂的除法法则：am ÷an =am−n
（
a≠0,m,n
都是正整数，且
m≻n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab) 4 ÷(ab)=(ab) 3 =a3b3
5、零指数和负指数；
a0 =1（a≠0）即任何不等于零的数的零次方等于1。1
a−p
=
ap （ a≠0,p 是正整数），即一个不等于零的数的−p次方等于这个数的
p次方的倒数。
1 1
2−3
=( )
3
=
如： 2 8
6、科学记数法：如：0.00000721=7.21¿10−6
（第一个非零数字前零的个数）
【经典题型】
考点1 同底数幂的乘法
【典例1】（2021秋•汉滨区期末）x4•x4的运算结果为（ ）
A．x16 B．x8 C．2x4 D．2x8
【答案】B
【解答】解：x4⋅x4＝x4+4＝x8，
故选：B．
【变式1-1】（2022•合肥一模）计算（﹣a）2⋅（﹣a）3的结果正确的是（ ）
A．a5 B．a6 C．﹣a5 D．﹣a6
【答案】C
【解答】解：（﹣a）2⋅（﹣a）3＝（﹣a）2+3＝（﹣a）5＝﹣a5．
故选：C．
【变式1-2】（2021•安徽）计算x2•（﹣x）3的结果是（ ）
A．x6 B．﹣x6 C．x5 D．﹣x5
【答案】D
【解答】解：x2•（﹣x）3＝﹣x2•x3＝﹣x5．
故选：D．
【变式1-3】（2021秋•岳麓区校级期末）计算a2⋅a3⋅a4的结果是（ ）
A．a6 B．a7 C．a8 D．a9
【答案】D
【解答】解：原式＝a2+3+4＝a9，
故选：D．【典例2】（2020秋•饶平县校级期末）若2m＝8，2n＝4，则2m+n＝（ ）
A．12 B．4 C．32 D．2
【答案】C
【解答】解：原式＝2m×2n＝8×4＝32，
故选：C．
【变式2-1】（2021春•滦南县期中）若2m•2n＝32，则m+n的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：∵2m•2n＝2m+n＝32＝25，
∴m+n＝5，
故选：B．
【变式2-2】（2020秋•澄海区期末）若am＝4，an＝6，则am+n＝（ ）
A． B． C．10 D．24
【答案】D
【解答】解：∵am＝4，an＝6，
∴am+n＝am•an＝4×6＝24，
故选：D．
【变式2-3】（2021秋•伊川县期末）已知a+b﹣2＝0，则3a•3b的值是（ ）
A．6 B．9 C． D．﹣9
【答案】B
【解答】解：∵a+b﹣2＝0，
∴a+b＝2，
∴3a•3b
＝3a+b
＝32
＝9．
故选：B．
【变式2-4】（2021秋•海珠区期末）已知2x＝5，则2x+3的值是（ ）
A．8 B．15 C．40 D．125
【答案】C【解答】解：∵2x＝5，
∴2x+3
＝2x×23
＝5×8
＝40．
故选：C．
考点2 幂的乘方和积的乘方
【典例3】（2021秋•澄海区期末）计算：（﹣2a2）3＝（ ）
A．﹣8a6 B．8a6 C．﹣6a6 D．﹣8a5
【答案】A
【解答】解：（﹣2a2）3＝﹣8a6．
故选：A．
【变式3-1】（2021秋•惠安县期末）化简（﹣5x）2的结果是（ ）
A．5x2 B．﹣25x C．10x D．25x2
【答案】D
【解答】解：（﹣5x）2＝25x2，
故选：D．
【变式3-2】（2022•南通模拟）计算（﹣ ac2）2的结果是（ ）
A．﹣ a2c4 B． a2c2 C． a2c4 D． a2c2
【答案】C
【解答】解：原式＝ a2c4，
故选：C．
【变式3-3】（2022•柳城县一模）计算（﹣a2b）3的结果是（ ）
A．﹣a6b3 B．a6b C．3a6b3 D．﹣3a6b3
【答案】A
【解答】解：（﹣a2b）3＝﹣a6b3．
故选：A．
【典例4】（2021秋•忠县期末）若5x＝a，5y＝b，则53x+2y＝（ ）
A．3a+2b B．a3+b2 C．6ab D．a3b2【答案】D
【解答】解：∵5x＝a，5y＝b，
∴53x+2y
＝53x•52y
＝（5x）3•（5y）2
＝a3b2，
故选：D．
【变式 4-1】（2021 秋•绵阳期末）已知 3m＝x，32n＝y，m，n 为正整数，则 9m+2n＝
（ ）
A．x2y2 B．x2+y2 C．2x+12y D．24xy
【答案】A
【解答】解：当3m＝x，32n＝y时，
9m+2n
＝9m×92n
＝（3m）2×（32n）2
＝x2y2．
故选：A．
【变式4-2】（2022春•贵阳期中）xm＝2，xn＝4，则x2m+3n的值为（ ）
A．16 B．48 C．256 D．128
【答案】C
【解答】解：当xm＝2，xn＝4时，
x2m+3n＝x2m•x3n＝（xm）2•（xn）3＝22×43＝4×64＝256．
故选C．
【变式4-3】（2021秋•内江期末）已知4x＝6，2y＝8，8z＝48，那么x，y，z之间满足的等
量关系正确的是（ ）
A．2x+y＝z B．xy＝3z C．2x+y＝3z D．2xy＝z
【答案】C
【解答】解：∵4x＝6，2y＝8，8z＝48，
∴4x•2y＝8z，
∴22x•2y＝23z，
∴22x+y＝23z，∴2x+y＝3z，
故选：C．
【典例5】（2021秋•兰山区期末）计算（﹣2）2022×（﹣ ）2021等于（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【答案】A
【解答】解：（﹣2）2022×（﹣ ）2021
＝（﹣2）×（﹣2）2021×（﹣ ）2021
＝（﹣2）×[（﹣2）×（﹣ ）]2021
＝（﹣2）×12021
＝﹣2×1
＝﹣2，
故选：A．
【变式5-1】（2021秋•滑县期末）计算（﹣1 ）2019×（ ）2021的结果等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣
【答案】D
【解答】解：（﹣1 ）2019×（ ）2021
＝
＝
＝
＝
＝﹣1×
＝ ．故选：D．
【变式5-2】（2021秋•南部县校级期中）计算（ ）2015×（﹣3）2016的结果是（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C． D．3
【答案】D
【解答】解：（ ）2015×（﹣3）2016
＝
＝
＝（﹣1）2015×（﹣3）
＝﹣1×（﹣3）
＝3．
故选：D．
【变式5-3】（2021春•太湖县期末）计算（ ）2021×（ ）2022×（﹣1）2023的结果是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：（ ）2021×（ ）2022×（﹣1）2023
＝（ × ）2021× ×（﹣1）
＝12021× ×（﹣1）
＝1× ×1
＝﹣ ，
故选：D．
考点3 同底数幂的除法
【典例6】（2021秋•思明区校级期末）计算a6÷（﹣a）3的结果是（ ）A．a2 B．﹣a2 C．a3 D．﹣a3
【答案】D
【解答】解：原式＝a6÷（﹣a3）
＝﹣a6﹣3
＝﹣a3，
故选：D．
【变式6-1】（2021秋•长春期末）计算a6÷a3，正确的结果是（ ）
A．3 B．a3 C．a2 D．3a
【答案】B
【解答】解：a6÷a3＝a6﹣3＝a3．
故选：B．
【变式6-2】（2022•广西模拟）计算m3÷m3结果是（ ）
A．m6 B．m C．0 D．1
【答案】D
【解答】解：m3÷m3＝m3﹣3＝m0＝1．
故选：D．
【变式6-3】（2021•烈山区一模）计算（﹣a）12÷（﹣a）3的结果为（ ）
A．a4 B．﹣a4 C．a9 D．﹣a9
【答案】
【解答】解：（﹣a）12÷（﹣a）3＝（﹣a）12﹣3＝（﹣a）9＝﹣a9，
故选：D．
【典例7】（2021秋•衡阳期末）已知5x＝3，5y＝2，则52x﹣3y＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵5x＝3，5y＝2，
∴52x﹣3y
＝52x÷53y
＝（5x）2÷（5y）3
＝32÷23
＝ ，故选：A．
【变式7-1】（2021秋•昆明期末）若m＞0，mx＝3，my＝2，则mx﹣3y的值为（ ）
A． B．﹣ C．1 D．
【答案】D
【解答】解：∵mx＝3，my＝2，
∴mx﹣3y＝mx÷（my）3＝3÷23＝ ．
故选：D．
【变式7-2】（2021春•沙坪坝区校级期中）已知3m＝12，3n＝4，则3m﹣n的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解答】解：∵3m＝12，3n＝4，
∴3m﹣n＝3m÷3n＝12÷4＝3．
故选：A．
【变式7-3】（2021秋•涡阳县期末）计算（﹣a2）3÷a3结果是（ ）
A．﹣a2 B．a2 C．﹣a3 D．a3
【答案】C
【解答】解：（﹣a2）3÷a3
＝﹣a6÷a3
＝﹣a3，
故选：C．
【变式7-4】（2021秋•巴彦县期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9 B．a2+a2＝2a4
C．a6÷a2＝a4 D．（﹣2a2）3＝﹣6a6
【答案】C
【解答】解：A．根据同底数幂的乘法法则，a3•a3＝a6，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据合并同类项法则，a2+a2＝2a2，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据同底数幂的除法法则，a6÷a2＝a4，那么C正确，故C符合题意．
D．根据积的乘方与幂的乘方法则，（﹣2a2）3＝﹣8a6，那么D错误，故D不符合题意．
故选：C．
【典例8】（2020秋•罗湖区校级期末）计算：（﹣2）2+4×（﹣1）2021﹣|﹣23|+（ ﹣5）
π0．
【答案】7
【解答】解：原式＝4+4×（﹣1）﹣8+1
＝4﹣4﹣8+1
＝﹣7．
【变式8-1】（2020春•工业园区期末）计算：（﹣2）2﹣12020+（ ﹣3.14）0．
【答案】4 π
【解答】解：原式＝4﹣1+1
＝4．
【变式8-2】（2021春•楚雄州期末）计算：（﹣2）2+18÷3﹣（ ﹣4）0
【答案】9 π
【解答】解：原式＝4+6﹣1
＝9．
【变式8-3】（2021春•上海期末）计算：﹣12008﹣（ ﹣1）0+|﹣3|
【答案】1
【解答】解：原式＝﹣1﹣1+3＝1．
【典例9】（2021秋•新罗区期末）计算： ．
【答案】
【解答】解：
＝ ﹣ ﹣1+1
＝0．
【变式9-1】（2021秋•仓山区校级期末）计算﹣3﹣2的结果是（ ）
A．﹣9 B．﹣6 C． D．
【答案】C
【解答】解：﹣3﹣2＝﹣ ＝﹣ ，
故选：C．【变式9-2】（2021秋•公安县期末）计算3﹣2+（3.14﹣ ）0的结果是（ ）
π
A．﹣5 B．10 C．7 D．
【答案】D
【解答】解：原式＝ +1
＝ ．
故选：D．
【变式9-3】（2021秋•建昌县期末） ＝ 1 0 ．
【答案】10
【解答】解：原式＝9+1
＝10，
故答案为：10．
【典例10】（2021秋•北海期末）预防新型冠状病毒感染要用肥皂勤洗手，已知肥皂泡的
厚度约为0.0000007m，将数据0.0000007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣7 B．7×107 C．0.7×10﹣6 D．0.7×106
【答案】A
【解答】解：0.0000007＝7×10﹣7，
故选：A．
【变式10-1】（2022•香洲区校级一模）据考证，单个雪花的质量在0.00025克左右，这个
数用科学记数法表示为（ ）
A．2.5×10﹣3 B．2.5×10﹣4 C．2.5×10﹣5 D．﹣2.5×10﹣4
【答案】B
【解答】解：0.00025＝2.5×10﹣4．
故选：B．
【变式10-2】（2021秋•惠州期末）下列各数用科学记数可记为2.021×10﹣3的是（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．0.002021 D．﹣0.002021
【答案】C
【解答】解：2.021×10﹣3＝0.002021．
故选：C．【变式10-3】（2021秋•绵阳期末）在党中央的坚强领导下，经过两年的战斗，新型冠状
病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状病毒的直径约为213纳
米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示213纳米，则正确的结果是（ ）
A．2.13×10﹣6米 B．0.213×10﹣6米
C．2.13×10﹣7米 D．21.3×10﹣7米
【答案】C
【解答】解：∵1纳米＝1.0×10﹣9米，
∴213纳米＝213×10﹣9米＝0.000000213米＝2.13×10﹣7米．
故选：C．
