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专题 01 平行线中的拐点问题的五种模型
目录
题型一：猪蹄模型（M型）与锯齿模型..................................................................................................................1
题型二：铅笔头模型..................................................................................................................................................9
题型三：牛角模型....................................................................................................................................................18
题型四：羊角模型....................................................................................................................................................24
题型五：蛇形模型（“5”字模型）......................................................................................................................26
题型一：猪蹄模型（M型）与锯齿模型
例1．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图
形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
（1）如图①， ，M是 之间的一点，连接 ，若 ，求 的度数；
【灵活运用】
（2）如图②， 是 之间的两点，当 时，请找出 和
之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③， 均是 之间的点，如果 ，直接写出
的度数．
【变式1-1】（1）如图①，如果 ，求证： ．
（2）如图②， ，根据上面的推理方法，直接写出 ___________．
（3）如图③， ，若 ，则 ___________（用x、
y、z表示）．【变式1-2】已知直线 ，直线 与直线 、 分别相交于C、D两点．
(1)如图 ，有一动点P在线段 之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，
又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段 之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出
新的结论并说明理由．
【变式1-3】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）【知识探究】在一次数学课上，李老师让同学们独立
完成练习．
（1）如图-1，直线 ，则 ___________．
A． B． C． D．
【类比探究】在同学们都正确解答后，李老师对这道题进行了如下改编．
（2）将图-1中的点 沿 的方向平移到点 的位置，如图-2所示，请写出 和 之间
的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）将图-1平移，使它的点 与图-2的点 重合（如图-3所示），当 ， 恰好分别平分
时， 与 之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果；
（4）如图-4，已知 ， ， ， ，试判断 与 是否平行，并说
明理由．
【变式1-4】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线 ，点P为平面内一点（不在两条直线
上）．(1)如图①，若点P在直线 与 之间，且 ， ，求 的度数；
(2)如图②，若点P在直线 上方，且 ， ．
①求 的度数；
②如图③， 的平分线和 的平分线交于点G，求 的度数．
题型二：铅笔头模型
例2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图， ， =（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这
盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头 与支架 平行时可达到最佳照明角度，此时支架 与
水平线 的夹角 ，两支架 和 的夹角 ．
(1)求此时支架 与底座 的夹角 的度数；
(2)求此时灯头 与水平线 的夹角 的度数．
【变式2-2】（1）如图1， ，求 的度数．
解：过点E作 ．
（已作），
（ ）．
又 （已知），
_______ _______（平行关系的传递性），
（两直线平行，同旁内角互补），
（等式性质），即 _______；
（2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中， ，则 _______；
（3）根据（1）和（2）的规律，图3中 ，猜想： _______；
（4）如图4， ，在B，D两点的同一侧有 共n个折点，则
的度数为_______（用含n的代数式表示）．
【变式2-3】（24-25七年级下·江苏扬州·月考）问题情境：如图1， ， ，
，求 度数.
小明的思路是：过P作 ，通过平行线性质来求 .
(1)按小明的思路，易求得 的度数为 度；(直接写出答案)
(2)问题迁移：如图2， ，点P在射线 上运动，记 ， ，当点P在B、D两点
之间运动时，问 与 ， 之间有何数量关系？请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出
与 ， 之间的数量关系.
【变式2-4】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图， ，点 是直线 上一点，点 是平行线
、 之间一点，连接 、 ．
【问题提出】
（1）如图1，过点 作 ，若 ， ，求 的度数；
【问题初探】（2）如图2， 平分 ， 平分 ， 与 相交于点 ，若 ，求 的度数；
【衍生拓展】
（3）如图3， 平分 ， 平分 ， 与 相交于点 ， 平分 ，过点 作
，请探究 与 之间的数量关系，并说明理由．
【变式2-5】（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图， ，点 、 分别在直线 、 上，
点 在直线 、 之间， ．
(1)如图1，点 在直线 、 之间，连接 ， ，求证： ；
(2)如图2，直线 交 、 的角平分线分别于点 、 ，求 的值（用含 的
代数式表示）；
(3)如图3， ， ， ．直线 交 、 分别于点 、
，若 ， ，则 的值是______．
题型三：牛角模型
例3．如图，已知 ， ， ，则 的度数为 °．
【变式3-1】（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图， ，在 的两边上分别过点 和点
向同方向作射线 和 ，且 ．
（1）若 ，则 的度数为 ．
（2）若 和 的平分线所在的直线交于点 （ 与 不重合），则 的度数为 ．
【变式3-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线 分别交 于点 ，垂足为
，已知 ．(1) 和 平行吗？为什么？
(2)点 是平面内一点，连接 ，求 的度数．
【变式3-3】直线 ，P 为直线 上方一点，连接 ．
(1)如图1，若 ，求 的度数；
(2)如图1，设 ，求 的度数（用含α、β的式子表示）；
(3)如图2，N为 内部一点， ，连接 ，若 ，求 的值．
题型四：羊角模型
例4．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，如图， ， ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知 ，E，F是直线 上方两点，连接
， ， ， ，已知 平分 ，且 ．若 ， ，求 的
度数为（ ）A． B． C． D．
题型五：蛇形模型（“5”字模型）
例5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图， ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期末） 一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而
过，第一次拐弯 的度数为 ．第二次拐弯 的度数为 ，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一
次拐弯之前的道路平行，则 ．
【变式5-2】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁
郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图 所示的样子．
(1)如图 ， ， ， ，求 的度数；
(2)聪明的小明在图 的基础上，将图 变为图 ，其中 ， ， ，
，求 的度数．
【变式5-3】（24-25八年级上·湖北黄冈·开学考试）如图， ．
(1)如图1，请探索 ， ， 三个角之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知 ．①如图2，若 ，求 的度数；
②如图3，若 和 的平分线交于点 ，请直接写出 与 的数量关系．
【变式5-4】（24-25七年级下·广东·期末）综合探究
(1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能．
如图①，已知点A是 外一点，连接 ．求 的度数．
解：过点A作 ，则 ______， ，
又∵ ．∴ ；
(2)【方法运用】如图②所示，已知 ， 交于点E， ，求 的度数．
(3)【拓展探究】如图③所示，已知 ， 分别平分 和 ，且 所在直线
交于点F，过F作 ，若 ，求 的度数．
