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期中真题精选（基础 60 题专练）
一、单选题
1．（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先化简，然后根据同类二次根式分别进行判断．
【详解】解：A、 ，与 是同类二次根式，符合题意；
B、当 时， ，与 不是同类二次根式，不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不符合题意；
D、 ，与 不是同类二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二
次根式叫同类二次根式．
2．（2022春·广东江门·八年级校联考期中）菱形的两条对角线的长分别是 和 ，则菱形的面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据菱形的面积公式即可求解．
【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为 和 ，
∴面积为
故选：A．
【点睛】本题主要考查菱形的面积，解题的关键是熟知菱形的面积等于对角线乘积的一半．
3．（2022春·广东江门·八年级校联考期中）在平行四边形 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．
【详解】解：如图：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．
4．（2022秋·贵州·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，本题得以解决．
【详解】解： ，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2022春·广东江门·八年级校联考期中）下列说法错误的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直且平分 B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形
【答案】C
【分析】根据菱形的性质与判定，矩形的性质逐一判断即可．【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，说法正确，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，说法正确，不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法错误，符合题意；
D、四条边相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，熟知菱形的性质与判定条件，矩形的性质是解
题的关键．
6．（2021春·江苏常州·八年级常州市清潭中学校考期中）下列说法中错误的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．一组邻边相等的平行四边形是菱形
C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【分析】根据正方形、菱形、平行四边形、矩形的定义或判定即可得到答案．
【详解】根据正方形、菱形、平行四边形的定义知A、B、D正确；
一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，选项C错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形、菱形、平行四边形、矩形的判定，解题的关键是明确题意，牢记相关概
念．
7．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在 中， ，点D是 的中点．连接 ，
若 ，则 的长度是（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．5
【答案】C
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，即 ，进而求得 的长
度．
【详解】解：∵ ，点D是 的中点，∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
8．（2022春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图所示，等腰直角三角尺 斜边紧贴木板边缘，点O是
的中点， ，则点O与直角顶点C之间的距离为（ ）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：∵ ，点O是 的中点， ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
是解题的关键．
9．（2022春·广东广州·八年级校考期中）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义，即可进行解答．
【详解】解：A、 不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、 是最简二次根式，故B符合题意；C、 不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、 不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：根号下不含有可
开方是因数，根号下不含有分母．
10．（2022春·重庆·八年级校考期中）如图，在 中， ，若 ，则正方形 和
正方形 的面积和为（ ）
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
【答案】C
【分析】根据勾股定理即可进行解答．
【详解】解：∵四边形 和四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
11．（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）在 中， ， ， ，则图中
五个小直角三角形的周长之和为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周
长为大直角三角形的周长．
【详解】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为 ，
，
五个小直角三角形的周长之和 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识和平移的性质，难度适中，需要注意的是：平移前后图形的大小、
形状都不改变．
12．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期中）如图，是一扇高为2m，宽为 m的门框，李师傅有3块薄木
板，尺寸如下：①号木板长3m，宽 m；②号木板长2.8m，宽 m；③号木板长4m，宽 m．可以从
这扇门通过的木板是（ ）
A．①号 B．②号 C．③号 D．均不能通过
【答案】C
【分析】根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可．
【详解】解：因为 ，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于 米．所以选③号木板．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理并正确计算解题的关键．
13．（2020秋·河南郑州·八年级校考期中）有下列各组数：①6，8， ；② ， ， ；③ ， ，1；④ ， ， ；⑤ ， ， ．其中勾股数有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【分析】根据勾股数的概念即：能够构成直角三角形三边的正整数，满足 ．
【详解】解：
，故①是勾股数；
，故②不是勾股数；
、 不是正整数，故③不是勾股数；
，故④是勾股数；
， ， 不是正整数，故⑤不是勾股数；
所以勾股数有①、④，共2组，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股数的定义；掌握勾股数是正整数且满足 是解题的关键．
14．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形的性质，勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：A选项，在 中， ，则 ，
， ，不是直角三角形，故符合题意；
B选项， 变形得， ，由勾股定理得， 是直角三角形，故不符合题意；
C选项， 中， ，且 ，可知 ，是直角三角形，故不符合题
意；
D选项， ，则 ，是直角三角形，故不符合题意．
故选：A．【点睛】本题主要考查直角三角形，掌握直角三角形的性质，角度，边的关系，勾股定理的逆定理是解题
的关键．
15．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）以下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成直角三角形的
是（ ）
A．4，6，8 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25
【答案】A
【分析】利用勾股定理的逆定理逐一进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、 ，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，符合题意，选项正确；
B、 ，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，不符合题意，选项错误；
C、 ，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，不符合题意，选项错误；
D、 ，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，不符合题意，选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握运用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方
法： ①先确定最长边，②分别计算最长边平方和另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方
和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．
16．（2022春·湖北恩施·八年级校考期中） 化简的结果是（ ）
A．－2 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】先将括号内的数化简，再算算术平方根，可得出答案．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的化简方法是解题的关键．
二、填空题
17．（2022秋·贵州贵阳·八年级校考期中）如果 是二次根式，那么 应该满足的条件是_________．
【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0即可求解．
【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：
，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，被开方数大于或等于0．
18．（2022秋·山东东营·八年级校考期中）如图， 两点被一座山隔开， 分别是 中点，
测量 的长度为30米，那么 的长度为_______米．
【答案】
【分析】由题意可得， 为 的中位线，利用中位线的性质求解即可．
【详解】解：由题意可得， 为 的中位线，
则 ，即 （米）
故答案为：
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是掌握三角形中位线的性质．
19．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知一个直角三角形的两直角边分别为3，4，则此三角形斜边
上中线长为____．
【答案】2.5
【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】解：由勾股定理得，斜边 ，
所以，斜边上中线长 ．
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的
关键．
20．（2022秋·北京·八年级校考期中）比较大小： ______ ；（填“＞或“＜或“＝）．
【答案】＜【分析】根据二次根式的大小比较方法比较大小即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较方法是解答的关键，本题是利用
“当 ， 时，若 ，则 ”求解．
21．（2022秋·上海·八年级校考期中）化简： ______．
【答案】 ##
【分析】根据二次根式的性质，即 由此即可求解．
【详解】解：根据二次根式的性质得，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式开根的方法是解题的关键．
22．（2022秋·江苏常州·八年级校考期中）判断由线段a．b，c组成的三角形是不是直角三角形：
．解：因为 ．所以 ，根据 _____，这
个三角形不是直角三角形．
【答案】勾股定理的逆定理
【分析】根据题干中判断是否为直角三角形的方法即可得出结果．
【详解】已知三边判断三角形是不是直角三角形，用勾股定理的逆定理．
故答案为：勾股定理的逆定理．
【点睛】题目主要考查勾股定理逆定理的应用，理解题意，掌握勾股定理逆定理是解题关键．
23．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在 中， ， ， 分别为 和 的
中点， ， ，则 ______．【答案】6
【分析】先利用中点定义求出 ， ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ ， 分别为 和 的中点， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵在 中， ，
∴ ，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了中点的定义与勾股定理，解题关键是牢记勾股定理．
24．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）若直角三角形两直角边平方和为36，则它的斜边长为______．
【答案】6
【分析】当 时，由勾股定理得， ，可得c的值．
【详解】解：当 时，
由勾股定理得， ，
∵直角三角形两直角边平方和为36，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．（2022秋·江西萍乡·八年级统考期中）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【分析】根据 求解即可．
【详解】∵ 在实数范围内有意义，∴ ,
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握这个条件是解题的关键．
26．（2022春·广东江门·八年级校联考期中）如图，在直角三角形中，斜边 ，那么 边上的中
线 的长为_______cm．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．
【详解】解：∵在直角三角形中，斜边 ，
∴ 边上的中线 的长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
是解题的关键．
27．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）如下图，长为6，宽为3的矩形 ，阴影部分的面积为
_____.
【答案】9
【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解．
【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为 ，
所以阴影部分的面积9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键．
28．（2021春·广西南宁·八年级三美学校校考期中）如图所示，已知 中， ， ，于 ， 为 上任一点，则 等于______．
【答案】
【分析】在 和 中，分别表示出 和 ，在 和 中，表示出 和
，代入求解即可；
【详解】解：∵ 于 ，
∴ ，
在 和 中，
， ，
在 和 中，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析计算是解题的关键．
29．（2022秋·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，在平行直角坐标系中有两点 ，则A、B两
点之间的距离为_____【答案】
【分析】先根据A、B两点的坐标求出 及 的长，再根据勾股定理即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
即A、B两点之间的距离是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方是解答此题的关键．
30．（2020秋·甘肃兰州·八年级校考期中）在 中，斜边 ，则 ______．
【答案】2
【分析】根据勾股定理，可知两直角边的平方和等于斜边平方，进而得出答案．
【详解】∵在 中，斜边
∴
∴
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是根据勾股定理，发现题干中 ．
31．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图，以直角三角形的三边为边向外作三个正方形A、B、C．
若 ，则 _____．【答案】8
【分析】由勾股定理可知： ，代入计算即可．
【详解】解：由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
．
32．（2022春·广东汕头·八年级统考期中）计算： _______．
【答案】
【分析】根据分母有理化的法则计算即可．
【详解】 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法则，掌握二次根式的乘除法则是解题的关键．
33．（2021春·广东珠海·八年级校考期中）已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边长是
____________【答案】12或13
【分析】求第三边的长必须分类讨论，分12是斜边或直角边两种情况，然后利用勾股定理求解．
【详解】解：分两种情况：
①当5和12为直角边长时，
由勾股定理得：斜边长 ；
②12为斜边长时，斜边长为12；
故答案为：12或13．
【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键，注意分类讨论，
避免漏解．
三、解答题
34．（2020春·云南昭通·八年级统考期中）如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于 ，过点
的直线 分别交 ， 于 ， ，连结 ， ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】证明见解析．
【分析】由平行四边形的性质得到 ， ， ，根据全等三角形的性质得到 ，
由平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
在 与 中
，
，
，
，四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
35．（2022春·福建龙岩·八年级校联考期中）已知：如图， 中， ， ．
（1）作 的角平分线，交 于点 （用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）CE的长为2
【分析】（1）根据尺规作图作 的平分线即可；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，求出DE＝DA＝BC＝3，再求出CE即可．
【详解】解：如图，（1）AE即为∠DAB的角平分线；
（2）∵AE为∠DAB的角平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
在▱ABCD中，CD∥AB，
∴∠BAE＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝DA＝BC＝3，
∵DC＝AB＝5，
∴CE＝CD﹣DE＝2．
答：CE的长为2．
【点睛】当平行线遇上角平分线时，通过角的转化，可以得到等腰三角形，这是初中几何一个很重要的数
学模型，要深刻领会．
36．（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中
点，分别连接BE、DF、BD．
（1）求证： AEB≌△CFD；
△（2）当 ABD满足什么条件时，四边形EBFD是菱形，请说明理由．
△
【答案】（1）见解析；（2）∠ABD=90°，见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；
（2）由菱形的性质逆推：BE=DE，因为∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，所以∠ABD=∠ABE+∠EBD=
×180°=90°，从而可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，AB=CD．
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE= AD，FC= BC．
∴AE=CF．
在 AEB与 CFD中，
△ △
，
∴△AEB≌△CFD（SAS）．
（2）解：
∵ 为AD的中点，
四边形EBFD是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质，直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半，题目的综合性较强，难度中等．37．（2021春·北京丰台·八年级期中）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交
于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】见解析
【分析】先由两组对边分别相等证明四边形ABCD是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形
证明即可.
【详解】证：∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，BD＝2OD，
∵OA＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，灵活的根据已知条件选择合适的判定方法是证明的关键.
38．（2022春·湖南张家界·八年级统考期中）如图，在正方形 中，点 在 边的延长线上，点
在 边的延长线上，且 ，连接 和 相交于点 ．
求证： ．
【答案】证明见解析．
【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，
利用全等三角形的性质可得答案．
【详解】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，在△BCF和△ABE中，
∴ （SAS），
∴AE=BF．
【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
39．（2021春·广西河池·八年级统考期中）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接
CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明．
【答案】四边形AECF是平行四边形，证明见解析．
【分析】根据矩形的性质得出 ，可得出∠DFA=∠BAF，进而得出∠DCE=∠DFA，证得 ，再
根据平行四边形的判定得出即可．
【详解】解：四边形AECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ，
∴∠DFA=∠BAF，
又∵∠DCE=∠BAF，
∴∠DCE=∠DFA
∴ ，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的判定以及平行四边形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此
题的关键．
40．（2021春·广西河池·八年级统考期中）如图，在平行四边形 中，点 在 的延长线上，点
在 的延长线上，连接 ，分别与 ， 交于点 ， ， ．求证： ．【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
41．（2022春·山东济南·八年级校考期中）已知：如图，在 中， 是对角线 上两个点，且
．求证：
【答案】见详解
【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD，∠ABE=∠CDF，证明出△ABE≌△CDF，得出结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴AE=CF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与三角形全等的判定与性质，关键在于掌握平行四边形的性质
与三角形全等的判定．
42．（2022春·福建泉州·八年级校联考期中）已知：如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ，
， ．
（1）若 ， ，求 的长；
（2）求证：四边形 是菱形．
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据矩形的性质可得 ，再根据等边三角形的判定与性质可得
，由此即可得；
（2）先根据平行四边形的判定可得四边形 是平行四边形，再根据菱形的判定即可得证．
【详解】解：（1） 四边形 是矩形，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2） ， ，四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是菱形．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点，熟练掌握矩形的性质
是解题关键．
43．（2022·广东东莞·八年级校考期中）如图， 的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，
OD的中点，连接AE，CF．求证： ．
【答案】见解析
【分析】连接AF，CE，利用平行四边形的性质可得 ， ，再结合E，F分别是OB，OD
的中点，得到四边形AFCE是平行四边形，即可求证．
【详解】证明：连接AF，CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
又∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平四边形的性质和判定，熟练掌握平四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．
44．（2021春·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，O为AC的中
点，连接BO并延长至D，使OD＝OB，连接AD，CD，求证：四边形ABCD是矩形．【答案】见解析
【分析】根据O为AC的中点， OD＝OB，可得四边形 是平行四边形，再由∠B＝90°，即可求证．
【详解】证明：如图，
∵O为AC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解题的关键．
45．（2022春·福建莆田·八年级莆田华侨中学校考期中）如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，
DE⊥AC，BF⊥AC垂足分别是E、F．
求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】利用平行四边形的性质可得 ，再由DE⊥AC，BF⊥AC，可得 ，
，可证 ，从而得到 ，即可求证．
【详解】解：∵AC是平行四边形ABCD的一条对角线，
∴ ， ，
∴ ，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴ ， ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握
平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．
46．（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，
BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF．
【答案】见解析
【分析】可证明 ABE CDF，即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB CD
∴∠BAC=∠DCA
∵BE AC于E，DF AC于F
∴∠AEB=∠DFC=90°
在 ABE和 CDF中 ，
∴ ABE CDF（AAS）
∴AE=CF
【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的
判定是解决问题的关键．47．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中
点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB= CD，根据平行线的性质得到∠GAE=∠HCF，得
△AGE≌△CHF（SAS），根据全等三角形的性质得到GE= HF，∠AEG =∠CFH，根据平行四边形的判定
定理即可得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE//HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形判定与的
性质是解题的关键．
48．（2022春·广西来宾·八年级统考期中）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，依次顺序
连接各边中点得到四边形EFGH．(1)猜想四边形EFGH是什么特殊四边形？
(2)对你的猜想给予证明．
【答案】(1)菱形
(2)见解析
【分析】（1）四边形ABCD是矩形，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH是菱形；
（2）连接AC，BD，根据中位线的性质得出 且EF＝GH，从而四边形EFGH是平行四边形，再
根据EF＝EH得出四边形EFGH是菱形．
【详解】（1）四边形ABCD是矩形，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH是菱形，
∴猜想四边形EFGH是菱形；
（2）证明：如图，连接AC，BD，
∵E，F分别是AD，AB中点，∴EF是 的中位线，
∴ 且 ，
同理， 且 ，
∴ 且EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵E，H分别是AD，CD的中点，∴EH是 的中位线，
∴ 且 ，而四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，
∴EF＝EH，∴四边形EFGH是菱形．
【点睛】本题考查中位线和矩形的性质以及平行四边形、菱形的判定定理，熟记平行四边形、菱形、矩形
的性质和判定是解题的关键．
49．（2022春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，有一块四边形空地需要测量面积，经技术人员测量，已
知∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．请用你学过的知识计算出这块空地的面
积．
【答案】四边形ABCD的面积为234平方米．
【分析】利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，然后根据S ABCD＝
四边形
S ADC+S ABC即可求出空地的面积．
△ △
【详解】连接AC．
在Rt△ABC中，
∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，
∴AC2＝A2+BC2＝202+152＝252，
在△ADC中，
CD＝7，AD＝24，AC＝25，
∴AD2+CD2＝242+72＝252＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，
∴S ABCD＝S ADC+S ABC 15×20 7×24＝234（平方米），
四边形
△ △
∴四边形ABCD的面积为234平方米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．50．（2022春·江西赣州·八年级统考期中）在△ ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，AB＝8，求BC的长．
【答案】
【分析】在△ ABC中，根据勾股定理直接求得BC即可
【详解】解：在△ ABC中
∵∠C＝90°
∴
．
【点睛】本题考查了勾股定理，易错点为学生不注意区分直角边与斜边，容易把6，8看成直角边长，而误
把10作为斜边长，解题时要注意数形结合思想的运用．
51．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期中）如图，货车卸货时支架侧面是 ，已知
．求 的长．
【答案】
【分析】直接利用勾股定理进而得出 的长．
【详解】解：在 中，
∴ ．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
52．（2022秋·广东佛山·八年级校考期中）如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部D处．已知楼顶D处离地面的距离 为 ，云梯的长度为 ，求梯子的底部和墙基的距离 ．
【答案】
【分析】根据勾股定理可得 即可求解．
【详解】解：由题意得： ， ，在 中，根据勾股定理得：
梯子的底部和墙基的距离 ．
【点睛】本题主要考查勾股定理，能根据勾股定理求直角边是解题的关键．
53．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点
A， ， 在同一条直线上， ， ， ， ．
(1)填空： ______ ，根据三角形面积公式，可得 的面积 ______；根据割补法，由梯形的面
积减去阴影部分的面积，可得 的面积 ______．
(2)求证： ．
【答案】(1) ， ，
(2)见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论；（2）用两种不同的方法表示梯形 的面积，计算化简后，即可得出 ．
【详解】（1）解： ， ， ，
，
，
，
，
，
的面积 ，
由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得 的面积
，
故答案为： ， ， ；
（2）证明： ，
， ，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即 ，
，
．
【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键．54．（2022春·广东阳江·八年级校考期中）计算：
【答案】
【分析】先计算二次根式的除法运算，再计算二次根式的加减运算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
55．（2021秋·陕西榆林·八年级统考期中）计算： ．
【答案】3
【分析】按照二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
56．（2021秋·陕西榆林·八年级统考期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是关键．
57．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）计算：(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则，分母有理化计算即可；
（2）利用乘法分配律计算 ，利用分数的性质和二次根式的性质化简 ；
（3）根据二次根式除法和运算法则和分母有理化化简 ，再计算与5的和即可；
（4）先利用完全平方公式、平方差公式分别进行计算，再求和即可．
【详解】（1）
（2）（3）
（4）
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
58．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）计算．
(1) ．
(2)
【答案】(1)
(2)【分析】（1）将 化为最简二次根式即可
（2）先将括号内的数化为最简二次根式，然后去括号相减即可
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】本题考查了二次根式的化简和二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的
关键
59．（2020秋·河南郑州·八年级校考期中）计算．
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算；
（2）根据二次根式的混合运算进行化简计算即可．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．
60．（2022秋·河南郑州·八年级校考期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对值的性质，非零数的零次幂的计算方法，有理数的加减运算法则即可求解；
（2）根据二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则，即可求解．
【详解】（1）解：
．（2）解：
．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握绝对值的性质，非零数的零次幂，二次根式的性质，二次根
式的混合法则是解题的关键．
