文档内容
专题 01 二次根式
一．二次根式的定义（共3小题）
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
三．二次根式的性质与化简（共4小题）
四．最简二次根式（共1小题）
五．二次根式的乘除法（共14小题）
六．分母有理化（共6小题）
七．同类二次根式（共3小题）
八．二次根式的加减法（共5小题）
九．二次根式的混合运算（共3小题）
十．二次根式的化简求值（共4小题）
十一．二次根式的应用（共7小题）
知识点一、二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
1
3, , 0.02, 0
a(a0) 2
形如 的式子叫做二次根式，如 等式子，都叫做二次根式.
a a0 a0 a
要点诠释：二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二次根式，
a
才有意义.
2.二次根式的性质
（1） ；（2） ；
（3） .
a a ( a)2 a0
要点诠释：（1） 一个非负数 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （ ），如
1 1
2( 2)2; ( )2;x( x)2
3 3 x0
（ ）.
a2 a a a2
（2） 中 的取值范围可以是任意实数，即不论 取何值， 一定有意义.
a2 a
（3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简.
a2 ( a)2
（4） 与 的异同
a2 a ( a)2 a
不同点： 中 可以取任何实数，而 中的 必须取非负数；
a2 a ( a)2 a a0
= ， = （ ）.
a a2 ( a)2
相同点：被开方数都是非负数，当 取非负数时， = .
3. 最简二次根式
1）被开方数是整数或整式；
2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
2, ab,3 x, a2 b2
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 等都是最简二次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小
于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.
2 8 8 2 2 2 8
如 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型 法则 逆用法则
积的算术平方根化简公式：
二次根式的乘法 a b ab(a0,b0)
ab a b(a0,b0)
商的算术平方根化简公式：
a a
二次根式的除法 (a0,b0) a a
b b (a0,b0)
b b
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如
a bc d ac bd
.
(4)(9) 4 9
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 .
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类
二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次
23 25 2 (135) 2 2
根式.如 .
一．二次根式的定义（共3小题）
1．（2022春•重庆期中）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如 的代数式叫做二次根式进行判断即可．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+2≥2，∴ 一定是二次根式，
而 、 和 中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
2．（2022春•西华县期中）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c
的共轭（è）二次根式．
问题解决：
（1）若a与2 是关于6的共轭二次根式，则a＝ ；
（2）若4+ 与8﹣ m是关于26的共轭二次根式，求m的值．
【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值；
（2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值．
【解答】解：（1）∵a与2 是关于6的共轭二次根式，
∴2 a＝6，
∴a＝ ＝ ，
故答案为： ；
（2）∵4+ 与8﹣ m是关于26的共轭二次根式，
∴（4+ ）（8﹣ m）＝26，
∴8﹣ m＝ ＝ ＝8﹣2 ，
∴m＝2．
【点评】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．
3．（2022春•尧都区期中）已知 是一个正整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．0 B．6 C．3 D．2【分析】先分解质因数，再根据 是一个正整数和a为正整数得出答案即可．
【解答】解：∵ 是一个正整数，
又∵72＝62×2，a为正整数，
∴正整数a的最小值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能正确分解质因数是解此题的关键．
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
4．（2022春•同安区期中）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：二次根式 在实数范围内有意义，
则x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
5．（2020春•河口区校级期中）如果y＝ ，则2x+y的值是 5 或﹣ 3 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x2﹣4≥0，4﹣x2≥0，
∴x2＝4，
解得x＝±2，
y＝1，
∴2x+y＝2×2+1＝4+1＝5，
或2x+y＝2×（﹣2）+1＝﹣4+1＝﹣3，
综上所述，2x+y的值是5或﹣3．
故答案为：5或﹣3．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
6．（2021春•安宁市校级期中）若x，y是实数，且y＝ + +3，求3 的值．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x、y的值，根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，解得，x＝ ，
则y＝3，
则3 ＝3× ＝ ．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
三．二次根式的性质与化简（共4小题）
7．（2022春•威海期中）化简二次根式 的结果为（ ）
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
【分析】先判断a的正负，再化简二次根式．
【解答】解：∵﹣8a3≥0，
∴a≤0
∴ ＝2|a|
＝﹣2a
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简，此题容易忘记判断a的正负而出错．
8．（2022春•西工区期中）若 ，则（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即3﹣b≥0．
【解答】解：∵ ＝3﹣b，
∴3﹣b≥0，解得b≤3．
故选：D．
【点评】解答此题，要弄清以下问题：
1、定义：一般地，形如 （a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时， 表示a的算术平方根；当a
＝0时， ＝0；当a小于0时，二次根式无意义．2、性质： ＝|a|．9．（2022春•武昌区校级期中）已知 ≈1.414，则 的近似值为 2.8 3 （结果保留小数点后两位）．
【分析】化简 的值即可得出答案．
【解答】解： ＝2 ≈2.83，
故答案为：2.83．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握 ＝ • （a≥0，b≥0）是解题的关键．
10．（2022春•黄梅县期中）小明做数学题时，发现 ＝ ； ＝ ； ＝ ；
＝ ；…；按此规律，若 ＝ （a，b为正整数），则a+b＝ 7 3 ．
【分析】找出一系列等式的规律为 ＝n （n≥1的正整数），令n＝8求出a与b的值，
即可确定出a+b的值．
【解答】解：根据题中的规律得：a＝8，b＝82+1＝65，
则a+b＝8+65＝73．
故答案为：73．
【点评】此题考查了二次根式的性质及化简，找出题中的规律是解本题的关键．
四．最简二次根式（共1小题）
11．（2022春•东莞市校级期中）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A． 的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B． 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C． 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D． 是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得
尽方的因数和因式．
五．二次根式的乘除法（共14小题）
12．（2022春•藤县期中）计算 所得的结果是（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简得出答案．
【解答】解： ＝2 ．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
13．（2022春•沂水县期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝ ，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算，本题属于基础题型．
14．（2022春•新市区校级期中）使 有意义的x的取值范围是 x ＜ ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，进而得出x的取值范围．
【解答】解：使 有意义，则1﹣3x＞0，
解得：x＜ ．
故答案为：x＜ ．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．15．（2021春•渑池县期中）计算 × 的结果是 2 ．
【分析】利用二次根式的乘法公式，直接计算即可．
【解答】解：原式＝ ＝ ＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的乘法，题目比较简单，掌握 × ＝ 是解决本题的关键．
16．（2022春•镜湖区校级期中）化简： ．
【分析】运用二次根式的性质进行化简，再合并即可．
【解答】解：由题意可知2﹣x≥0，
∴x≤2，
∴x﹣3＜0，
∴原式＝3﹣x﹣2+x
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
17．（2022春•环江县期中）计算： ．
【分析】按照二次根式的乘除混合运算顺序进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝1．
【点评】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
18．（2022春•禹州市期中）已知实数x，y，a，b满足 + ＝ × ．
求a+b的值及7x﹣y2023的值．
【分析】化简 × ，再根据非负数的性质可得出a+b的值；
由非负数的性质可得 ，解二元一次方程组可得x，y的值，将x，y的值代入7x﹣y2023即可得出
答案．【 解 答 】 解 ： ∵ × ＝ ＝
，
∴2022﹣（a+b）＝0，
∴a+b＝2022．
∵ + ＝ × ，
∴ + ＝0，
∴ ，
①×2，得6x﹣2y﹣14＝0③，
③﹣②，得5x﹣10＝0，
解得x＝2，
将x＝2代入①，得6﹣y﹣7＝0，
解得y＝﹣1，
将x＝2，y＝﹣1，代入7x﹣y2023，
得7×2﹣（﹣1）2023＝14﹣（﹣1）＝14+1＝15．
∴7x﹣y2023＝15．
【点评】本题考查二次根式的乘法、非负数的性质、二次根式有意义的条件以及解二元一次方程组，熟练
掌握二次根式的乘法以及非负数的性质解答本题的关键．
19．（2022春•尧都区期中）若 • ＝ ，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≥﹣2 C．a≥24 D．2≥a≥﹣2
【分析】根据二次根式的乘法的法则及二次根式有意义的条件进行分析即可．
【解答】解：∵ • ＝ ，
∴a+2≥0，a﹣2≥0，
解得：a≥﹣2，a≥2，
即a的范围为：a≥2．
故选：A．【点评】本题主要考查二次根式的乘法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（2022春•牟平区期中）若 成立，则m的值可以是（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．5
【分析】根据二次根式有意义的条件进行分析即可．
【解答】解：∵ 成立，
∴m+3≥0，4﹣m＞0，
解得m≥﹣3，m＜4，
即﹣3≤m＜4，
故符合的只有2．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的运算法则的掌
握．
21．（2022春•昭平县期中）已知 ．
（1）求a+b的值；
（2）求2x+y2021的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得关于a、b的不等式组，解不等式组即可求得答案；
（2）把a+b的值代入所给式子，继而根据非负数的性质可得关于 x、y的方程组，解方程组求解x、y的值
代入所求式子进行计算即可．
【解答】解：（1）由题意 ，
由①得：a+b≥2022，
由②得：a+b≤2022，
所以a+b＝2022；
（2）∵由（1）可知，a+b＝2022，
∴ ，
即： ，
∴ ，解之，得： ，
∴2x+y2011＝2×3+（﹣1）2021＝5．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的
关键．
22．（2022春•五华县期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1） ；（2） ．
验证：
（1） ＝ ；
（2） ＝ ．
①按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： ＝ ； ＝ ；
②通过上述探究你能猜测出： ＝ （n＞0），并验证你的结论．
【分析】（1）按照题干中两个等式及其验证过程的基本思路，猜想即可；
（2）先猜测出结果，再按照原题写出验证过程即可．
【解答】解：按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 ， ，
验证如下：
＝
＝
＝＝
＝
＝ ；
＝
＝
＝
＝
＝
＝ ．
故答案为： ， ；
（2）通过上述探究你能猜测出 ，
验证如下：
＝＝
＝
＝
＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次根式运算的规律性题目，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
23．（2022春•西城区校级期中）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知
条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为显性条件；而有
的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的
条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
【阅读理解】
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：（ ）2﹣|1﹣x|
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：x≤
∴1﹣x＞0
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）
＝1﹣3x﹣1+x
＝﹣2x
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ﹣（ ）2；
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 + ﹣|b﹣a|．【分析】（1）根据二次根式有意义条件得出2﹣x≥0，求出x≤2，再根据二次根式的性质进行计算即可；
（2）根据数轴得出a＜0＜b，|a|＞|b|，再根据二次根式的性质和绝对值进行计算即可．
【解答】解：启发应用
（1）隐含条件2﹣x≥0，
解得：x≤2，
所以 ﹣（ ）2
＝3﹣x﹣（2﹣x）
＝3﹣x﹣2+x
＝1；
类比迁移
（2）从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，
所以 + ﹣|b﹣a|
＝﹣a﹣（a+b）﹣（b﹣a）
＝﹣a﹣a﹣b﹣b+a
＝﹣a﹣2b．
【点评】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关
键．
24．（2022 春•福清市期中）已知 ， ，c＝2021×2020﹣
2019×2021，则（a﹣b）（b﹣c）的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．无法确定
【分析】利用完全平方公式及平方差公式对已知条件进行整理，再进行判断即可．
【解答】解：∵ ＝ ＝ ＜2022，
＝ ＝ ＝2022，
c＝2021×2020﹣2019×2021＝2021×（2020﹣2019）＝2021，
∴a﹣b＜0，b﹣c＝1，∴（a﹣b）（b﹣c）＜0，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法，平方差公式，二次根式的化间，解答的关键是对相应的运算法则
的掌握与灵活运用．
25．（2022春•渝水区校级期中）已知： ， ．求下列各式的值．
（1）xy；
（2）x2﹣xy+y2．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的加法法则求出x+y的值，先根据完全平方公式进行变形，再代入，最后根据二次根式
的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）∵x＝ + ，y＝ ﹣ ，
∴xy＝（ + ）×（ ﹣ ）
＝（ ）2﹣（ ）2
＝7﹣5
＝2；
（2）∵x＝ + ，y＝ ﹣ ，
∴x+y＝（ + ）+（ ﹣ ）＝2 ，
∵xy＝2，
∴x2﹣xy+y2
＝（x+y）2﹣3xy
＝（2 ）2﹣3×2
＝28﹣6
＝22．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值和完全平方公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解
此题的关键．六．分母有理化（共6小题）
26．（2022春•兴宁区校级期中）计算：（1﹣ ）0+（ ）﹣1﹣ ÷ × ．
【分析】先零指数幂，负整数指数幂和二次根式π 的乘法和除法法则进行计算，再根据二次根式的加减法法
则进行计算即可．
【解答】解：（1﹣ ）0+（ ）﹣1﹣ ÷ ×
π
＝1+ ﹣
＝1+ ﹣3
＝ ﹣2．
【点评】本题考查了零指数幂，负整数指数幂和二次根式的乘法和除法等知识点，能熟练掌握负整数指数
幂、零指数幂的定义和二次根式的乘除法法则是解此题的关键．
27．（2022春•香河县期中）若M，N分别代表两个多项式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab．
（1）求多项式M和N．
（2）当a＝ +1，b＝ ﹣1时，求 分式的值．
【分析】（1）将已知两个等式联立方程组，解之可得M、N；
（2）先将所求M、N表示的多项式代入化简，再将a、b的值代入计算可得．
【解答】解：（1）将M+N＝2a2，M﹣N＝2ab组成方程组，得 ，
①+②，得2M＝2a2+2ab，所以M＝a2+ab，
①﹣②，得2N＝2a2﹣2ab，所以N＝a2﹣ab．
（2） ＝ ＝ ＝ ，
当a＝ +1，b＝ ﹣1时，
＝ ＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题主要考查分母有理化，以及分式的值，解题的关键是掌握整式、分式的混合运算顺序和运算
法则及二次根式的运输能力．28．（2022春•赞皇县期中）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，
其实我们还可将其进一步简化：
＝ ；（一）
＝ ＝ ；（二）
＝ ＝ ＝ ；（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化
还可以用以下方法化简：
＝ ＝ ＝ ；（四）
（1）化简 ＝ ＝
（2）请用不同的方法化简 ．
①参照（三）式得 ＝ ﹣
②步骤（四）式得 ＝ ﹣
（3）化简：
+ + +…+ ．
【分析】（1）根据题中所给出的例子把分母化为完全平方式的形式即可；
（2）①根据步骤（三）把分母乘以 ﹣ 即可；
②根据步骤（四）把分子化为（ ﹣ ）（ + ）的形式即可；
（3）把各式的分母有理化，找出规律即可得出结论．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ， ＝ ＝ ．故答案为： ， ；
（2）①原式＝ ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ；
②原式＝ ＝ ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ；
（3）原式＝ + + +…+
＝
＝ ．
【点评】本题考查的是分母有理化，根据题意得出分母有理化的规律是解答此题的关键．
29．（2022春•海淀区校级期中）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝ ，n＝
（其中a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“和谐数对”．
例如：（4，1）的一对“和谐数对”为（ ，1）和（1， ）．
（1）数对（16，5）的一对“和谐数对”是 （ ， ）和（ ， ） ；
（2）若数对（3，m）的一对“和谐数对”相同，则m的值为 ；
（3）若数对（x，y）的一个“和谐数对”是（ ，1），则xy的值为 或 2 ．
【分析】（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义，列等式 ＝ ，解方程进而得出结论；
（4）根据新定义，列方程组，解出进而得出结论．【解答】解：（1）∵m＝ ＝ ，n＝ ，
∴数对（16，5）的一对“和谐数对”是（ ， ）和（ ， ），
故答案为：（ ， ）和（ ， ）；
（2）∵数对（3，m）的一对“和谐数对”相同，
∴ ＝
∴m＝ ；
故答案为： ；
（3）∵数对（x，y）的一个“和谐数对”是（ ，1），
∴ 或 ，
解得 或 ，
∴xy＝ 或2．
故答案为： 或2．
【点评】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
30．（2022春•怀仁市期中）阅读下列材料，然后解答问题：
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如： ， ， 一样的式子．其实我们还可以
将其进一步化简：
＝ ＝ ：（一） ＝ ＝ ：（二）
＝ ＝ ＝ ：（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
＝ ＝ ＝ ＝ ．（四）
请解答下列问题：
（1）请用不同的方法化简 ．
①参照（三）式得 ＝ ﹣ ；
②参照（四）式得 ＝ ＝ ＝ ﹣ ；
（2）化简： + + ；（保留过程）
（3）猜想： + + +…+ 的值．（直接写出结论）
【分析】根据分母有理化，可得答案．
【解答】解：（1）结果为 ﹣ ；
②参照（四）式得 ＝ ＝ ＝ ﹣ ；
（2）化简： + +
＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ ＝ ﹣1；
（3）猜想： + + +…+ ＝ （ ﹣1）．
【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是解题关键．
31．（2022春•芜湖期中）【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法．
如： ，这是利用平方差公式进行化简运算的思路．
除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质 ＝|a|．
如：对于 ，设 ．由 ，可知x＞0．
由 ，解得 ．
即 ．
【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简 ．
【分析】利用题干材料的方法解答即可．
【解答】解：设x＝ ，
∵ ，
∴x＜0．
∵x2＝ ＝6﹣3 +6+3 ﹣2 ＝6，
∴x＝﹣ ．
原式＝ ﹣
＝5﹣2 ﹣
＝5﹣3 ．
【点评】本题主要考查了分母有理化，二次根式的性质与化简，实数大小的比较，乘法公式，本题是阅读
型题目，理解并熟练应用题干中方法是解题的关键．
七．同类二次根式（共3小题）
32．（2019春•西陵区校级期中）下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察
被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式
时要先因式分解后再观察．【解答】解：A、 ＝2，与 不是同类二次根式；
B、 与 不是同类二次根式；
C、 与 是同类二次根式，正确；
D、 与 不是同类二次根式；
故选：C．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根
式．
33．（2022春•鼓楼区校级期中）下列二次根式能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A. 与 不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B. ＝2 ， 与 是同类二次根式，能合并，故符合B题意；
C. ＝2 ， 与 不是同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D. ＝3 ， 与 不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
34．（2022春•东莞市期中）若最简根式 与 是同类二次根式，则m＝ 2 ．
【分析】根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．
【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴﹣2m+9＝5m﹣5，
解得m＝2，
故答案为：2．【点评】此题考查的是同类二次根式与最简二次根式，掌握其概念是解决此题关键．
八．二次根式的加减法（共5小题）
35．（2022春•沂源县期中）如果 与 的和等于3 ，那么a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵ 与 ＝2 的和等于3 ，
∴ ＝3 ﹣2 ＝ ，
故a+1＝3，
则a＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题关键．
36．（2016春•临沧校级期中） ＝ 3 ．
【分析】根据二次根式的加减运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝2 + ，
＝（2+1） ，
＝3 ，
故答案为：3 ．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，其运算法则为：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简
二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
37．（2022春•吉林期中）计算： ．
【分析】根据二次根式的性质化简各数，然后根据二次根式的加减法进行计算即可求解．
【解答】解：原式＝ ＝ ．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，正确地计算是解题的关键．
38．（2022春•定南县期中）计算： ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【解答】解：原式＝2×2 ﹣3 +4 ＝4 ﹣3 +4 ＝5 ．
【点评】此题考查了二次根式的加减，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根
式的合并．
39．（2022春•贺州期中）计算： +2 ．
【分析】先根据二次根式的性质进行计算（同时去掉括号），再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解： +2
＝4 ﹣2 +6 +2
＝4 +6 ．
【点评】本题考查了二次根式的加减，能正确根据二次根式的加减法法则进行计算是解此题的关键．
九．二次根式的混合运算（共3小题）
40．（2022春•福山区期中）计算
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（6 ﹣4 ）÷ ﹣ +
＝2 ÷ ﹣ +
＝2﹣ +
＝2﹣ ；
（2）原式＝12+1﹣4 ﹣（12﹣18）
＝12+1﹣4 +6＝19﹣4 ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
41．（2022春•柘城县期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如 3+2 ＝（1+ ）2.善
于思考的小明进行了以下探索：设a+b ＝（m+n ）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b ＝
m2+2n2+2mn ．故a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b ＝（m+n ）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝
m 2 +3 n 2 ，b＝ 2 m n ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： 2 8 + 1 6 ＝（ 4 + 2 ）2；
（3）若a+4 ＝（m+n ）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【分析】（1）先根据完全平方公式展开，再得出a、b的值即可；
（2）设 a+ ＝（m+ ）2，根据完全平方公式求出（m+ ）2＝m2+3+2m ，得出 2m＝1，a＝
m2+3，再求出答案即可；
（3）根据完全平方公式求出（m+n ）2＝m2+3n2+2mn ，求出2mn＝4，a＝m2+3n2，求出mn＝2，根
据m、n为正整数得出m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，再求出a即可．
【解答】解：（1）∵（m+n ）2＝m2+3n2+2mn ，
又∵a+b ＝（m+n ）2，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
故答案为：m2+3n2，2mn；
（2）设a+b ＝（m+n ）2，∵（m+n ）2＝m2+3n2+2mn ，
∴2mn＝b，a＝m2+3n2，
取n＝2，m＝4，则b＝16，a＝16+12＝28，
故答案为：28，16，4，2；
（3）（m+n ）2＝m2+3n2+2mn ，
∵a+4 ＝（m+n ）2，
∴2mn＝4，a＝m2+3n2，
∴mn＝2，
∵m、n都为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝4+3＝7；
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝1+12＝13，
所以a的值是7或13．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，能根据完全平方公式展开是解此题的关键．
42．（2022春•平舆县期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样
的 式 子 ， 其 实 我 们 还 可 以 将 其 进 一 步 化 简 ： ； ；
﹣1．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简： ＝ ； ＝ ．
（2）填空： 的倒数为 ﹣ ．
（3）化简： ．
【分析】（1）根据题目的定义化简即可；（2）根据倒数的定义即可求解；
（3）首先把每个代数式分母有理化，然后合并即可求解．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ； ＝ ＝ ；
（2）∵（ ）（ ﹣ ）＝6﹣5＝1，
∴ + 的倒数为 ﹣ ；
故答案为：（1） ； ；（2） ﹣ ；
（3）原式＝ （ ﹣1+ ﹣ +......+ ﹣ ）×（ +1）
＝ （ ﹣1）×（ +1）
＝ （2n+1﹣1）
＝n．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，解题首先正确理解题目定义，然后注意利用平方差公式简
化计算．
一十．二次根式的化简求值（共4小题）
43．（2022春•赞皇县期中）先化简，再求值：a+ ，其中a＝2020．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 小亮 的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ＝ | a | ；
（2）先化简，再求值：a+2 ，其中a＝﹣2．
【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可；
（2）根据二次根式的性质把原式化简，把a＝﹣2代入计算即可．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ＝|a|，
故答案为：小亮； ＝|a|；
（2）原式＝a+2 ＝a+2|a﹣3|，
∵a＝﹣2＜3，
∴原式＝a+2（3﹣a）＝a+6﹣2a＝6﹣a＝8．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质： ＝|a|是解题的关键．
44．（2022春•荔湾区校级期中）已知x＝ +1，y＝ ﹣1，求代数式x2﹣xy+y2的值．
【分析】先化简求值的代数式x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy，然后代入已知求值即可．
【解答】解：∵x＝ +1，y＝ ﹣1，
∴x2﹣xy+y2
＝（x﹣y）2+xy
＝（ ）2+（ ）（ ）
＝4+（2﹣1）
＝4+2﹣1
＝5．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式变形求值的代数式使得运算简便是解题的关
键．
45．（2022春•尧都区期中）（1） ；
（2）下面是小明同学对于题目“化简并求值：2a+ ，其中a＝1“的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：原式＝2a+ ……………第一步
＝2a+a﹣3…………………………第二步
＝3a﹣3．……………………第三步
把a＝1代入得，原式＝3a﹣3＝0．……………第四步
任务一：填空：第 二 步开始出现错误，错误原因是 算术平方根必须是非负数 ；
任务二：请直接写出代数式正确的值．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算；
（2）根据算术平方根的性质判断即可．
【解答】解：（1）原式＝4 ﹣6× ﹣
＝4 ﹣2 ﹣
＝ ；
（2）任务一：第二步开始出现错误，错误原因是算术平方根必须是非负数，
故答案为：二，算术平方根必须是非负数；
任务二：原式＝2a+3﹣a
＝a+3，
当a＝1时，原式＝1+3＝4．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关
键．
46．（2021春•梁子湖区期中）已知a＝ ，求 ﹣ 的值．
【分析】先化简，代入求值．
【解答】解：∵a＝ ，
∴a＝2﹣ ， ＝2+ ，1＞a＞0，
﹣＝ ﹣
＝（a﹣2）﹣
＝a﹣2+
＝2﹣ ﹣2+（2+ ）
＝2﹣ ﹣2+2+
＝2．
【点评】本题考查了二次根式化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质，分母有理化，分式的化简．
一十一．二次根式的应用（共7小题）
47．（2022春•丰都县期中）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方
形．
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a＝20+2 ，b＝20﹣2 ，x＝ ，求剩余部分的面积．
【分析】（1）用长方形的面积减去四周四个小正方形的面积列式即可；
（2）根据（1）所列出的式子，再把a＝20+2 ，b＝20﹣2 ，x＝ 代入即可求出答案．
【解答】解：（1）剩余部分的面积为：ab﹣4x2；
（2）把a＝20+2 ，b＝20﹣2 ，x＝ 代入ab﹣4x2得：
（20+2 ）（20﹣2 ）﹣4×（ ）2
＝400﹣8﹣4×2＝400﹣8﹣8
＝384．
【点评】此题主要考查二次根式的应用，用代数式表示正方形、矩形的面积，需熟记公式，且认真观察图
形，得出等量关系．
48．（2022春•思明区校级期中）计算：
（1） + × ；
（2）（ ﹣ ）2；
（3）设长方形的面积为S，相邻两边长分别是a，b，已知S＝4 ，a＝ ，求b．
【分析】（1）根据二次根式混合运算的法则计算即可；
（2）根据完全平方公式计算即可；
（3）利用长方形的边＝面积÷邻边列式计算即可．
【解答】解：（1） + ×
＝ +
＝ +3
＝4 ；
（2）（ ﹣ ）2
＝5﹣2 +2
＝7﹣2 ；
（3）b＝S÷a
＝4 ÷
＝ ．
【点评】此题考查二次根式的应用，二次根式的乘除法，掌握长方形面积计算公式是解决问题的根本．
49．（2022春•磁县期中）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据正方形的面积公式求得边长；
（2）先求出直角三角形BFG、ABD的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就
是阴影部分的面积．
【解答】解：（1）正方形ABCD的边长为：BC＝ ，
正方形ECFG的边长为：CF＝ ；
（2）∵BF＝BC+CF，BC＝2 ，CF＝4 ，
∴BF＝6 ；
∴S△BFG ＝ GF•BF＝24；
又S△ABD ＝ AB•AD＝4，
∴S阴影 ＝S正方形ABCD +S正方形ECFG ﹣S△BFG ﹣S△ABD
＝8+32﹣24﹣4，
＝12．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．第（2）题关键是把阴影部分
面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．
50．（2022春•清丰县期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，那么这
个三角形的面积为 ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的
边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为
“海伦﹣秦九韶公式”．解答下列问题：如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）△ABC的面积；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．
【分析】（1）先求得三角形周长的一半，即p的值，然后代入公式进行计算即可求解；
（2）根据三角形面积进行计算即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝7，b＝5，c＝6，
∴ ，
∴△ABC的面积 ；
（2）如图，∵△ABC的面积＝ ，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了三角形面积公式，二次根式的应用，正确的计算是解题的关键．
51．（2022春•巴东县期中）秦九韶（1208年﹣1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳
县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精
研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的
世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国
数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的《数书九章》序
堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果统称海
伦﹣秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝ ，那么三角形的面积为：s＝．
（1）在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积．
（2）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．求
BE的长．
【分析】（1）根据题目的指示，了解海伦﹣秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，
计算三角形的面积即可；
（2）根据角平分线的性质的到ED＝EH＝EF，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海伦﹣秦九韶公式求
得△ABC的面积．再根据 ，即可求DE，根据勾股定理求出BE．
【解答】解：（1）p＝ ，
∴ ；
（2）如图，过点E作EF⊥AC，EH⊥AB，垂足为F，H．
由角平分线的性质可得：ED＝EH＝EF．
在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，由海伦—秦九韶公式：
求得p＝ ，
△ABC的面积为： ＝ ．
S△ABC ＝S△ABE +S△BEC +S△CAE ，
∴ ，
即 ， ；又∵AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，
∴ ，
∴在Rt△BDE中，由勾股定理得：
BE＝ ＝ ．
【点评】本题考查二次根式的应用，也考察了勾股定理解直角三角形，以及等腰三角形的性质，解答本题
的关键是明确题意，熟悉掌握海伦﹣秦九韶公式求三角形的面积．
52．（2022春•长葛市期中）在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈
量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋著
名的数学家秦九韶（约1202～约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学家海伦
（Heron，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了利
用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前 287年—公
元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角形三边长分别
为a、b、c，那么三角形的面积为 ．（公式里的p为半周长，即 ）
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：
（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 4 ．
（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，求该四边形的面积．【分析】（1）根据题意应用二次根式的计算解答即可；
（2）根据二次根式的计算解答即可．
【解答】解：（1）∵三角形三边长分别为3、6、7，
∴p＝ ＝8
∴三角形的面积为 ＝4 ．
故答案为：4 ；
（2）连接AC，
∵四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝ ＝5，
∴△ABC的面积＝ ×3×4＝6，
∵ ＝9，
∴△ACD的面积＝ ＝6 ，
∴四边形ABCD的面积为6+6 ．【点评】此题考查二次根式的应用，关键是根据三角形的面积公式解答．
53．（2022春•阳东区期中）已知一个矩形相邻的两边长分别为a，b，且a＝ ，b＝ ．
（1）求此矩形的周长；
（2）求此矩形的面积；
（3）求与此矩形面积相等的正方形的对角线的长．
【分析】（1）根据矩形的周长公式计算即可；
（2）根据矩形的面积公式计算即可；
（3）正方形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）此矩形的周长为：
（ + ）×2
＝（2 + ）×2
＝3 ×2
＝6 ；
（2） × ＝2 × ＝4，
（3）与此矩形面积相等的正方形的对角线的长 ＝2 ．
【点评】此题考查二次根式的计算，关键是熟练掌握矩形的周长和面积公式、以及正方形面积公式应用．
一、单选题
1．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 是最简二次根式，符合题意；B. ，故 不是最简二次根式，不合题意；
C. ，故 不是最简二次根式，不合题意；
D. =3，故 不是最简二次根式，不合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了最简二次根式根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题关键，判断二次根式是最
简二次根式要符合两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含开的尽方的因数或因式．
2．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）下列各式中，运算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、 ，故A错误；
B、 ，故B正确；
C、 不能合并，故C错误；
D、 ，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，以及合并同类项的运算法则，解题的关键是掌握运算法则进行判断．
3．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围
是
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
【答案】A
【详解】解：由题意得 ．
解得x≥3，
故选：A．
4．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的运算法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 和 不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、 ，故本选项错误，不符合题意；
C、 ，故本选项正确，符合题意；
D、 ，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
5．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）二次根式 中a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据二次根式中，被开方数的非负性求解即可．
【详解】解：∵ 中， ，
∴a的最小值为0，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式的双重非负性性质，熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0是解题的关键．
6．（2022春·广东汕头·八年级统考期中） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据倒数的定义，以及分母有理化，解答即可．
【详解】解： 的倒数是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分母有理化，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
7．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）下列运算中正确的是( )A． B． + C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的加减以及二次根式的乘法运算，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意；
B、 与 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ， 不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
8．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）下列各代数式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C．a2 D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义逐项判断即可.
【详解】因为 不是二次根式，故A不符合题意；
因为 是二次根式，故B符合题意；
因为 不是二次根式，故C不符合题意；
因为 不是二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的判断，掌握定义是解题的关键．即一般地，形如 的代数式叫
做二次根式．
二、填空题
9．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）若 2﹣x，则x的取值范围是 _____．【答案】x≤2
【分析】根据已知得出x-2≤0，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵ 2﹣x，
∴x﹣2≤0，
x≤2，
则x的取值范围是：x≤2．
故答案为：x≤2．
【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意当a≤0时， ．
10．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）在实数范围内分解因式： ＝______．
【答案】
【分析】根据平方差公式 ，得 ．
【详解】解：根据平方差公式，得
故答案为： ．
【点睛】此题考核知识点：平方差公式 ，解题的关键在于将式子化为 形式．
11．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）已知 ，若 是最简二次根式，请写出一个符合条件的正
整数n：_______．
【答案】1
【分析】根据根号下不含能开得尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案．
【详解】解：∵ 且 是最简二次根式，
∴ ，
故答案为：1(答案不唯一)．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键．
12．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）将 化为最简根式是 _____．【答案】3
【分析】将18拆成 ，再开方即可．
【详解】解： .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，将被开方数化成完全平方数与某数乘积的形式是解题的关键．
13．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）已知 ，那么 的值等于
_____．
【答案】
【分析】通过完全平方公式求出 ，把待求式的被开方数都用 的代数式表示，然后再进行计算．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
．
故答案为： ．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用 的
代数式表示．
14．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）设 ，求
不超过 的最大整数 ______．
【答案】
【分析】首先将 化简，可得 ，然后再代入原式求出 ，即可
得出答案．
【详解】解：
，
，
不超过 的最大整数 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简 是解题
的关键．三、解答题
15．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）计算（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）分别根据二次根式的性质和平方差公式计算各项，再合并即可；
（2）先根据二次根式的性质化简每一项，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解：（1）原式= ；
（2）原式= ．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，属于基础题目，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）计算：
【答案】
【分析】先化简二次根式及立方根，同时计算二次根式的除法，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握二次根式的化简，求立方根，二次根式的除法计算法则是
解题的关键．
17．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）计算：
(1) ．(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式先化简二次根式和进行二次根式的乘法，再进行合并即可；
（2）原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开后再合并即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键．
18．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）已知点 在第二象限 ， 化简
【答案】
【分析】根据第二象限的坐标特征 得到 ， ，再利用二次根式的性质和绝对值的性
质化简求解即可．
【详解】解：∵点 在第二象限，
∴ ， ，即 ，
∴．
【点睛】本题考查了点所在的象限、二次根式的性质、绝对值的性质、完全平方公式等知识，熟知点所在
的象限的坐标特征和绝对值的化简是解答的关键．
19．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根
式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与 ， 与 ， 与 等
都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请回答下列问题：
(1)化简： ___________；
(2)比较 与 的大小关系；
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题干进行分母有理化即可化简；
（2）先将其倒数利用分母有理化进行化简比较大小，再根据倒数的性质，即可比较原数大小；
（3）先对括号内进行分母有理化，再计算乘法，最后计算加减即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；（2）解： ，
，
，
，
，
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题关键．
20．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．
例如：因为 ， ，所以 与 ， 与 互为有理化因式．进行二次
根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1) 的有理化因式是________；化简： ________；(2)化简：
(3)拓展应用：已知， ， ， ，
试比较a，b，c的大小，并说明理由．
【答案】(1) ；
(2)8
(3) ，见解析
【分析】（1）根据题目中的例子分别确定它们有理化因式即可；
（2）先对分母进行有理化，然后再合并同类项即可；
（3）先分别求出 进行分母有理化，然后进行比较，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵
∴ 的有理化因式是 ；
∴ ．
故答案为 ； ．
（2）解：
．
（3）解： ，理由如下：∵
∴ ．
【点睛】本题主要考查了材料阅读、二次根式的混合运算、分母有理化等知识点，读懂阅读材料是解答本
题的关键．
21．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料已知下面一列等式：
； ； ；
(1)请用含 的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算： ；
(4)计算： ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一
个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两
个分数之差，据此可以写出一般性等式；
（2）根据分数的运算法则即可验证；
（3）根据（1）中的结论进行计算即可；（4）先将分母有理化，再合理利用（1）中的结论计算即可．
【详解】（1）解：根据题意，由规律可得：
它的一般性等式为 ；
（2）证明：
原式成立；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题是寻找规律的题型，考查了数字的变化规律，还考查了学生分析问题、归纳问题以及解决问
题的能力，总结规律要从整体、部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．
22．（2022秋·山东济南·八年级统考期中）阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；(2)计算 的值；
(3)请求出 的运算结果．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根据前面的等式，仿写出下一个等式即可；
（2）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式，再利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
．
（3）解：
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式等知识点，在处理二次根式混合运算时，先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能
结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
23．（2022春·甘肃定西·八年级统考期中）先阅读，后解答：
， ；像上述解题过程中， 与
、 与 相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题
过程也称为分母有理化．
(1) 的有理化因式是______； 的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
① ______； ② ______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3)
【分析】（1）根据有理化因式的定义，仿照阅读中例子，得到 、 的有理化因式；
（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根号即可；
（3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：（1） 的有理化因式是 ， 的有理化因式是 ；
故答案为： ， ；
（2）① ，② ；
故答案为： ， ；
（3）
．
【点睛】此题考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及准确找出二次根式的有理化因式是解答问题的
关键．
24．（2022春·山西临汾·八年级统考期中）综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可
以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如： ，
．
由此，可将一些被开方数为无理数的式子进行化简 ，
．
(1)请你依上述方法将 化成一个式子的平方，并直接写出 的值．
(2)化简： ．
(3)若 且 、 、 均为正整数，则 ________．
【答案】(1) ，
(2)2
(3)5或7
【分析】（1）参照题目例子，将4拆分为1和3，把 转化为 的形式，即可求解；（2）用（1）中方法把被开方数是无理数的式子依次化简，再进行二次根式的加减运算即可；
（3）计算 的平方，与 进行对比即可求出a值．
(1)
解： ，
．
(2)
解：
，
同理 ，
，
．
(3)
解：
且 、 、 均为正整数，
，
， ，
当 ， 或 ， 时， ；
当 ， 或 ， 时， ；
故答案为：5或7．
【点睛】本题考查完全平方公式、二次根式的混合运算，题目较为新颖，能够灵活运用完全平公式对二次
根式进行化简是解题的关键．
