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2022-2023 学年八年级数学下学期期中模拟预测卷 02
（考试时间：100分钟 试卷满分：120分）
考生注意：
1．本试卷26道试题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答
题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一．选择题（共10小题每题3分，满分30分）
1．式子 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a≥﹣2
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a+2≥0，
∴a≥﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2．下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次根式的乘除法法则计算，判断即可．
【解答】解：A、 ÷2 ＝ ＝ ，故本选项计算错误，不符合题意；
B、 ＝ × ＝5×4＝20，本选项计算正确，符合题意；
C、 ＝ ＝ ，故本选项计算错误，不符合题意；
D、 × ＝ ＝ ，故本选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键．
3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
B、∵20＝4×5＝22×5，∴ 的被开方数20中含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故本选项不
符合题意；
C、 的被开方数中0.2是小数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 的被开方数 是分数，不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条
件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开
得尽方的因数和因式．
4．边长为2的等边三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得 D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知
AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
【解答】解：AB＝2，
∵等边三角形高线即中线，
∴BD＝CD＝1，
在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1，
∴AD＝ ＝ ，
∴等边△ABC的面积为 BC•AD＝ ×2× ＝ ，
故选：B．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定
理计算AD的值是解题的关键．
5．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.4km，则M，C
两点间的距离为（ ）
A．0.6km B．1.2km C．1.5km D．2.4km
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝ AB，代入求出即可．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵M为AB的中点，
∴CM＝ AB，
∵AB＝2.4km，
∴CM＝1.2km，
故选：B．
【点评】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出 CM＝ AB
是解此题的关键．
6．以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（ ）
A．1， ， B．1.5，2.5，2 C．8，15，17 D．1，2，3
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角
三角形判定则可．【解答】解：A、12+（ ）2＝（ ）2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、82+152＝172，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，
确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，若 ，则DE的长
为（ ）
A．3 B． C． D．4
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AD＝BD，再根据菱形的四条边都相等
可得AB＝AD，然后求出AB＝AD＝BD，从而得到△ABD是等边三角形，再利用三角函数可得答案．
【解答】解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴AD＝DB＝AB，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠ADB＝∠ABD＝60°，
∵ ，
∴DE＝BD•sin∠ABD＝2 ＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别为边BC，AC的中点，延长DE至F，使EF＝DE，则四边形
ADCF一定是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形
B．菱形
C．正方形
D．矩形
【分析】先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC＝DF即可．
【解答】解：∵E是AC中点，
∴AE＝EC，
∵DE＝EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵D，E分别为边BC，AC的中点，
∴DE＝ AB，
∴DF＝AB，
∵AB＝AC，
∴AC＝DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角
线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．
9．平行四边形ABCD中，若∠A与∠B小40°，则∠C的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．110°
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A＝∠C，AC∥BD，
∴∠A+∠B＝180°，
又∵∠B﹣∠A＝40°，∴∠B＝110°，∠A＝70°，
∴∠C＝∠A＝70°．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角之和为 180°，难度一
般．
10．如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E在CD上，OE∥AD，若AB＝8，OE＝3，则OC
的长等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【分析】由矩形的性质得CD＝AB＝8，∠BCD＝∠ADC＝90°，再根据“角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半”证明OC＝OD＝ BD，而∠OEC＝∠ADC＝90°，则CE＝DE＝ CD＝4，即可根据勾股定理求得
OC＝5．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝8，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴O是BD的中点，
∴OC＝OD＝ BD，
∵OE∥AD，OE＝3，
∴∠OEC＝∠ADC＝90°，
∴OE⊥CD，
∴CE＝DE＝ CD＝4，
∴OC＝ ＝ ＝5，
故选：C．
【点评】此题重点考查矩形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的“三线合
一”、勾股定理等知识，证明∠OEC＝90°并且求得CE＝4是解题的关键．二．填空题（共8小题，每题3分，满分24分）
11．计算： ＝ 2 ．
【分析】根据平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（ ）2﹣1
＝3﹣1
＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运
算，然后进行二次根式的加减运算．
12．计算（ ﹣2）×（ +2）的结果是 ﹣ 1 ．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝（ ）2﹣22
＝3﹣4
＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运
算，然后合并同类二次根式．
13．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2 ，则它的面积为 4 ．
【分析】根据平行四边的性质，可得对角线互相平分，根据勾股定理的逆定理，可得对角线互相垂直，根
据菱形的判定，可得菱形，根据菱形的面积公式，可得答案．
【解答】解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和 ，
∵22+（ ）2＝32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴S＝ 4×2 ＝4 ．故答案为：4 ．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角
线乘积的一半．
14．已知1＜x＜4，化简： +|x﹣4|＝ 3 ．
【分析】根据二次根式的非负性和绝对值的化简法则，结合所给 x的取值范围，将原式化简并合并，可得
答案．
【解答】解：∵1＜x＜4
∴ +|x﹣4|＝x﹣1+4﹣x＝3
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简和绝对值的化简，明确相关运算法则，是解题的关键．
15．如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F，已知∠BDC＝62°，则
∠DFE的度数为 56 ° ．
【分析】根据四边形ABCD是矩形，可得∠ADC＝90°，AD∥BC，再根据翻折可得∠FBD＝∠DBC＝
∠FDB＝28°，进而根据三角形外角定义即可求出∠DFE的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°﹣62°＝28°，
由翻折可知：
∠FBD＝∠DBC＝28°，
∴∠DFE＝∠FDB+∠FBD＝56°．
故答案为：56°．
【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
16．如图，正方形ABCD的面积为25，△ABE为等边三角形，点E在正方形ABCD内，若P是对角线AC
上的一动点，则PD+PE的最小值是 5 ．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE＝BE最小，而
BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为25，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：设BE与AC交于点P'，连接BD．
∵点B与D关于AC对称，
∴P'D＝P'B，
∴P'D+P'E＝P'B+P'E＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为25，
∴AB＝5，
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是正方形的性质和轴对称﹣最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题
的关键．
17．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形
A、B、C、E的面积分别为2，5，1，10．则正方形D的面积是 2 ．
【分析】分别设中间两个正方形和正方形D的面积为x，y，z，由勾股定理即可得到结论．
【解答】解：设中间两个正方形的面积分别为x、y，正方形D的面积为z，则由勾股定理得：
x＝2+5＝7；
y＝1+z；7+y＝7+1+z＝10；
即正方形D的面积为：z＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方是解答此题的关键．
18．如图， ABCD的顶点B在矩形AEFC的边EF上，点B与点E、F不重合，若△ACD的面积为3，则
图中阴影部分▱两个三角形的面积和为 3 ．
【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，DC＝AB，证△ADC≌△CBA，推出△ABC的面积是3，求
出AC×AE＝6，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，DC＝AB，
∵在△ADC和△CBA中
，
∴△ADC≌△CBA，
∵△ACD的面积为3，
∴△ABC的面积是3，
即 AC×AE＝3，
AC×AE＝6，
∴阴影部分的面积是6﹣3＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形性质，平行四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用面
积公式进行计算的能力，题型较好，难度适中．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．计算（1） ；
（2）先化简，再求值 ，当 时，求该式的值．
【分析】（1）先计算乘方、算术平方根、零指数幂和二次根式的乘法，再计算加减即可；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：（1）
＝1+3﹣1+2
＝5；
（2）
＝
＝ ，
当a＝ +1时，
原式＝
＝1+ ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值及实数的运算，解题的关键是掌握分式和实数的混合运算顺序和运
算法则．
20．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定
理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，最后根据四边形ABCD的面积＝直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接AC，
∵∠B＝90°，
∴△ABC为直角三角形，
∵AB＝4，BC＝3，
根据勾股定理得：AC＝ ＝ ＝5，
又∵AD＝13，CD＝12，
∴AD2＝132＝169，CD2+AC2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD2+AC2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD ＝S△ABC +S△ACD ＝ AB•BC+ AC•CD＝ ×3×4+ ×12×5＝36，
答：四边形ABCD的面积36．
【点评】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
21．已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE＝DF．求证：四边形BECF是平行四
边形．
【分析】由四边形 ABCD是平行四边形，得到 AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质得到∠BAD＝
∠CDA，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，∠AEB＝∠CFD，证得BE∥CF，即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝∠CDA，
在△ABE与△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠BED＝∠CFE，
∴BE∥CF，
∴四边形BECF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和
性质定理是解题的关键．
22．如图，AB＝CD，E，F分别为AB、CD上的点，连接BC，分别与AF、ED相交于点G，H．∠B＝
∠C，BH＝CG．
（1）求证：AG＝DH；
（2）求证：四边形AFDE是平行四边形．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵BH＝CG，
∴BH+HG＝CG+HG，
∴BG＝CH，
在△ABG与△CDH中 ，
∴△ABG≌△CDH（SAS），
∴AG＝DH；
（2）∵△ABG≌△CDH，
∴∠AGB＝∠CHD，
∴AF∥DE，∵∠B＝∠C，
∴AB∥CD，
∴四边形AFDE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定
理是解题的关键．
23．如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四▱边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得 BFDE是平
行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA＝∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF＝∠DFA，根
据角平分线的判定，可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝ ＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性
质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF＝∠DFA是解题关键．
24．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如 3+2 ＝（1+ ）2.善
于思考的小明进行了以下探索：设a+b ＝（m+n ）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b ＝
m2+2n2+2mn ．故a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b ＝（m+n ）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝
m 2 +3 n 2 ，b＝ 2 m n ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： 2 8 + 1 6 ＝（ 4 + 2 ）2；
（3）若a+4 ＝（m+n ）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【分析】（1）先根据完全平方公式展开，再得出a、b的值即可；
（2）设 a+ ＝（m+ ）2，根据完全平方公式求出（m+ ）2＝m2+3+2m ，得出 2m＝1，a＝
m2+3，再求出答案即可；
（3）根据完全平方公式求出（m+n ）2＝m2+3n2+2mn ，求出2mn＝4，a＝m2+3n2，求出mn＝2，根
据m、n为正整数得出m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，再求出a即可．
【解答】解：（1）∵（m+n ）2＝m2+3n2+2mn ，
又∵a+b ＝（m+n ）2，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
故答案为：m2+3n2，2mn；（2）设a+b ＝（m+n ）2，
∵（m+n ）2＝m2+3n2+2mn ，
∴2mn＝b，a＝m2+3n2，
取n＝2，m＝4，则b＝16，a＝16+12＝28，
故答案为：28，16，4，2；
（3）（m+n ）2＝m2+3n2+2mn ，
∵a+4 ＝（m+n ）2，
∴2mn＝4，a＝m2+3n2，
∴mn＝2，
∵m、n都为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝4+3＝7；
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝1+12＝13，
所以a的值是7或13．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，能根据完全平方公式展开是解此题的关键．
25．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C 的直线 MN∥AB，D 为 AB 边上一点，过点 D 作
DE⊥BC，垂足为点F，交直线MN于点E，连接CD，BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由：
（3）在（2）的条件下，当∠A＝45°时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．
【分析】（1）先利用平行四边形的判定证得四边形ADEC为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求
证结论．
（2）求出四边形BDCE为平行四边形，再根据对角线DE⊥CB即可求解．（3）由（2）中的性质，求出∠ABC＝∠CBE＝45°，根据正方形的判定即可求解．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD；
（2）解：结论：四边形BECD是菱形．
理由：∵点D为AB中点，
∴AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴BD＝CE，
∴BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，点D为AB中点，
∴CD＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
由（2）可知，四边形BECD是菱形，
∴∠ABC＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是正方形．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的判定、平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、
直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质，正方形的判定是解题的关键．
26．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE：∠BCE＝2：3，求证：四边形ABCD是正方形．【分析】（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC可得
∠ADE＝∠CBD，易得∠CDB＝∠CBD，可得BC＝CD，易得AD＝BC，利用平行线的判定定理可得四边
形ABCD为平行四边形，由AD＝CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）由BE＝BC可得△BEC为等腰三角形，可得∠BCE＝∠BEC，利用三角形的内角和定理可得∠CBE＝
180× ＝45°，易得∠ABE＝45°，可得∠ABC＝90°，由正方形的判定定理可得四边形ABCD是正方形．
【解答】证明：（1）在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∵AD＝CD，
∴BC＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵BE＝BC
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠CBE：∠BCE＝2：3，
∴∠CBE＝180× ＝45°，∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°，
∴∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题主要考查了正方形与菱形的判定及性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
