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2023-2024 学年八年级下学期期末考试培优卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：下册全部的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．满足下列条件的 不是直角三角形的是（ ）
A． B． ， ，
C． D． ， ，
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形的判定，常用判定方法有：有一个内角为直角；或勾股定理的逆定理，根
据这种方法一一判断即可．
【详解】解：A．∵ ，
∴设 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 不是直角三角形，故该项符合题意．
B．∵ ， ， ， ，
∴ ，
满足勾股定理的逆定理，
故 是直角三角形，故该项不符合题意．
C．∵ ，
∴设 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴满足勾股定理的逆定理，
∴ 是直角三角形，故该项不符合题意．
D．∵ ， ， ， ，∴ ，
满足勾股定理的逆定理，故 是直角三角形，故该项不符合题意．
故选：A．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根
式的运算法则是解题的关键．
根据二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故A选项错误，不符合题意；
B． ，故B选项错误，不符合题意；
C． ，故C选项错误，不符合题意；
D． ，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
3．为提高学生的运算能力水平，某校开展以计算为主题的活动：“计”高一筹，“算”出风采．某班10
名学生参赛成绩如图所示，则下列结论错误的是
A．众数是90分 B．中位数是90分 C．平均数是91分 D．方差是15
【答案】D
【分析】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键是能从统计图中获
得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差．分别根据众数、中位数、平均数和方差的定义判断即可．
【详解】解：A．90分的人最多，所以众数是90分，此选项不符合题意；B．中位数为 ，此选项不符合题意；
C、平均数是 （分），此选项不符合题意；
D、 ，此选项符合题意．
故选：D
4．估算 的运算结果应在（ ）
A． 与 之间 B． 与 之间 C． 与 之间 D． 与 之间
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运算，估算无理数的大小，先进行二次根式的运算，然后利用夹逼法进行
估算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
【详解】解：
，
，
∵ ，
∴ ，
即 ，
故选： ．
5．如图，四边形 为平行四边形，四边形 为菱形， 与 交于点G， ，
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形和菱形的性质，三角形的内角和定理，掌握菱形的对角线平分一组对角是解
题的关键．
【详解】解：∵四边形 为菱形，
∴ ，
又∵ 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
故选A．
6．如图，在等腰 中， ， ，且 ，以边 ， ， 为直径画半
圆，则所得两个月形图案 和 （图中阴影部分）的面积之和等于（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，求不规则图形面积，先利用勾股定理求出 ，则
，再根据 进行求解即可．
【详解】解：在等腰 中， ， ，且 ，
∴由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴，
故选：D．
7．如图，已知四边形 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当 时，它是菱形 B．当 时，它是菱形
C．当 时，它是正方形 D．当 时，它是矩形
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定等知识点，根据矩形、菱形、正方形的判定
逐个判断即可，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
【详解】A、∵四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．函数 （ 为常数， ）的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A．当 时， B．若点 和点 在直线上，则
C． D．若 的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质结合图象即可得出结论．熟练掌握一次
函数的性质是解题的关键．
【详解】解：A．由图得：当 时， ，则错误，故不符合题意；
B．由图得， 随 的增大而增大，
，
，则错误，故不符合题意；
C．由图得： ，则错误，故不符合题意；
D．由 的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，得： ，
解得： ，则正确，故符合题意；
故选：D．
9．如图①，在矩形 中，动点 从点 出发，沿着 方向运动至点 处停止．设点
运动的路程为 ， 的面积为 ，如果 关于 的函数图象如图②所示，那么下列说法不正确的是（
）
A．当 时， B．当 时，
C．y的最大值是10 D．矩形 的周长是18【答案】B
【分析】此题主要考查的是动点问题的函数图象，根据图②求出矩形的长和宽是解题的关键．根据图②可
知： ， ，然后根据三角形的周长和面积公式求解即可．
【详解】解：由图象可知，四边形 的边长， ， ，
A、当 时，点 在线段 上， ，此选项正确，不符合题意；
B、当 时，点 在线段 或 上， 或 ，此选项答案不全，符合题意；
C、 的最大值是10，此选项正确，不符合题意；
D、矩形 的周长是 ，此选项正确，不符合题意；
故选：B
10．如图，菱形 的对角线 相交于O点，E，F分别是 边上的中点，连接 ．
若 ， ，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①四边形 是平行四边形；②菱形 的周长为 ；
③ 与 互相垂直平分；④ 的面积是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解决问题的
关键．根据菱形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形的性质进行一一判断即可．
【详解】解：① 四边形 是菱形，
∴
∵E，F分别是 边上的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
四边形 是平行四边形，
故①正确；
② ， 分别是 ， 边上的中点， ，
，
四边形 是菱形，
， ， ，
，
菱形 的周长为 ．
故②正确；
③如图，连接 ，
四边形 是菱形，
∴ ，
在 中， 为斜边上的中线，
∴ ，
在 中， 为斜边上的中线，
∴ ，
∴ ，
四边形 是菱形，
与 互相垂直平分，
故③正确；④∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
故④正确，
故选：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若式子 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据被开方数为非负数，据此即可作答．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
12．已知点 ， 在 的图象上， 且 ，则k的值可以是 （写出一
个即可）．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，正确掌握一次函数的增减性是解题的关键．由 时， ，
根据一次函数的增减性，得到 ，即可得到答案．
【详解】解：∵点 ， 在一次函数 的图象上，且 ，
∴y随着x的增大而减小，∴ ，
∴k可以是 （答案不唯一），
故答案为： （答案不唯一）．
13．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索
尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂
后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺 ）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时
绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设绳索长为 尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】设绳索长为 尺，
可列方程为： ，
故答案为： ．
14．如图，直线 交两坐标轴于A，B两点，点P为直线 上一点，则线段 的最小值是
．
【答案】
【分析】根据点到直线的最小距离 ，再根据一次函数与坐标轴的交点坐标得到 ， ，
利用勾股定理得到 ，然后利用等面积法即可解答．【详解】解：如图所示，过点O作 ，
当 时， 的值最小，
∴ 为最小值，
∵直线 交两坐标轴于 两点，
令 ，得 ，令 ，得
解得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了点到直线的最小距离，一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理，直角三角形的面积，
学会求一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
15．如图，正方形 边长为6，点 为 边的中点，连接 ，将 沿 翻折得到 ，延长
交 于点 ，则 长为 ．【答案】
【分析】此题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；先判定
，即可得出 ，设 为 ，则 ， ， ，由勾股
定理得： ，解方程得出 的值，即可得到 的长．
【详解】解：如图，连接 ，
由折叠可得， ， ， ，
，
是 的中点，
，
，
又 ，
，
，
设 为 ，则 ， ， ，
由勾股定理得： ，
即 ，解得 ．
，
．
故答案为： ．
16．将长方形形纸片 （如图1， ）沿过点 所在的直线折叠，使得点 落在 边上 处，
折痕为 （如图2）再沿过点 的直线折叠，使得点 落在 边上的 处，点 落在 边上的 处，
折痕为 （如图3），如果第二次折叠后，点 正好在 的平分线上， ， ．
【答案】
【分析】由矩形的性质得 ， ，由折叠得 ，
，则 ，因为 ， ，所以
，而 ， ，即可证明 ，得 ，所以
，则 ，于是得到问题的答案．
【详解】 四边形 是矩形，
， ，
由折叠得 ， ，
，
， ，
，
点 在 的平分线上，
，
在 和 中，，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与
性质、勾股定理等知识，证明△ ，且 是解题的关键．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
17．计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
（1）先根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
18．已知：一次函数 ， 是常数， 的图象过 ， 两点．
(1)求该函数的表达式；
(2)试判断点 是否在直线 上？并说明理由．
【答案】(1)该函数的表达式为
(2)点 在直线 上，理由见详解．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征．
（1）把 ， 分别代入 ，用待定系数法即可求出该函数的表达式；
（2）通过计算自变量为 所对应的函数值可判断点 是否在直线 上．
【详解】（1）解：把 ， 分别代入
得∶ ，
解得 ，
该函数的表达式为 ；
（2）点 在直线 上．
理由如下：
当 时， ，
点 在直线 上．
19．如图，在 中，D是 的中点， 交 于点E，且 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程
思想在这类问题中的应用．
（1）连接 ，由线段垂直平分线的性质可求得 ，再结合 可求得
，可证得结论；
（2）设 ，则 ，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】（1）解：连接 ，
∵D是 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵D是 的中点， ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴设 ，则 ，
在 中
∴ ，
解得：
∴ ．
20．如图，在平行四边形 中，对角线 、 相交于点 ， ， 、 、 分别是 、
、 的中点．
(1)求证 ；
(2)连接 ，求证：四边形 是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 ，结合体已知条件得出 ，进而根据三
线合一即可得证；
（2）根据（1）的结论得出 ，根据中位线的性质得出 ，根据菱形的判定定理
即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ；
（2）证明：如图所示，连接 ，
∵ ， 是 的中点，
∴ ，
∵ ， 分别是 ， 的中点
∴ ， ，
又∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，综合运用以上知识是解题的关键．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．我校团委12月份举办七，八年级“我做守法好公民”为主题的知识竞赛，七，八年级参赛人数相等，
比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如图不完整的统
计图表．
七年级成绩统计表
分数（分） 人数（人）70 7
80 n
90 1
100 8
(1)七年级成绩统计表中 的值为______；图①中，“100分”所在自形的圆心角度数为______；
(2)八年级成绩的中位数为______分；七年级成绩的平均分为______分；
(3)经计算知 ， ，请你根据这两个数据，对七、八年级成绩作出合理评价．
【答案】(1)4，
(2)90，85
(3)八年级20同名同学的成绩比较整齐．
【分析】此题考查中位数、平均数的概念和方差的意义，条形统计图、扇形统计图的意义，理解各个概念
的内涵和外延是正确解答的前提．
（1）用八年级“70分”的人数除以所占的百分比求出总人数，然后减去七年级“70分”“90分”“100
分”的人数即可求出n的值；然后用 乘以“100分”的人数所占的百分比即可求得答案；
（2）根据中位数和平均数的概念求解即可；
（3）根据方差的意义即可做出评价．
【详解】（1）参赛的人数为 （人）
七年级成绩统计表中 （人）
图①中，“100分”所在自形的圆心角度数为 ；
故答案为：4， ；（2）∵一共有20人参赛，第10个数90，第11个数90，
∴八年级成绩的中位数为 ；
七年级成绩的平均分为 ；
故答案为：90，85；
（3）∵ ， ，
∴
∴八年级20同名同学的成绩比较整齐．
22．观察下列一组等式，然后解答问题：
，
，
，
……
(1)观察以上规律，请写出第 个等式：___________（ 为正整数）；
(2)利用上面的规律，计算： ；
(3)请利用上面的规律，比较 与 的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题干，观察规律，即可得到第 个等式；
（2）先将各项分母有理化，在进行有理数计算即可得到答案；
（3）根据平方差公式，可化成分子相同的数，根据相同的分子，分母越大的数越小进行比较，即可得到答案．
【详解】（1）解：通过观察可知， ，
故答案为： ；
（2）解：原式
，
；
（3）解： ，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算和大小比较，主要运用分母有理化和分子有理化，熟练掌握相关的
运算法则是解题的关键．
23．某商场购进A，B两种商品共 件进行销售，其中A商品的件数不超过B商品件数的2倍，不少于B
商品件数的一半，A，B两种商品的进价、售价如表：
A B
进价（元/件）
售价（元/件）
请利用所学知识解决下列问题：(1)设商场购进A商品的件数为x件，购进A，B两种商品全部售出后获得利润为y元，求y与x之间的函数
关系式及x的取值范围：
(2)在（1）的条件下，商场购进A商品多少件时，商场获得利润最大？最大利润是多少元？
(3)在（1）的条件下，商场决定在销售活动中每售出一件A商品，就从一件A商品的利润中拿出m元
捐给慈善基金，则商场购进A商品多少件时，可获得最大利润？
【答案】(1)
(2)商场购进A商品 件时，商场获得利润最大，最大利润是 元
(3)商场购进A商品 件时，可获得最大利润
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质等知识．熟练掌
握一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）依题意得， ，则y与x之间的函数关系式是
，依题意得， ，计算求解，然后作答即可；
（2）由一次函数的增减性求解作答即可；
（3）设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则 ，由 ，可得
，则w随x的增大而减小，然后作答即可．
【详解】（1）解：依题意得， ，
∴y与x之间的函数关系式是 ；
依题意得， ，
解得， ，
∴x的取值范围 ；
（2）解： ，∵ ，
∴当 时，y取最大值，为 ，
∴商场购进A商品 件时，商场获得利润最大，最大利润是 元；
（3）解：设A，B商品全部售出后获得利润为w元，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴w随x的增大而减小，
∴当 时，w取最大值，
∴商场购进A商品 件时，可获得最大利润．
五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
24．如图，在平面直角坐标系 中，矩形 顶点 分别在y轴和x轴上，已知 ，
．
(1)求直线 的解析式；
(2)若射线 上有一点 ， 面积为S，求S与x的函数关系式，并求 时，点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在x轴上找一点Q，使 最小，求出最小值和点Q的坐标．
【答案】(1)
(2) 关于 的函数关系式为 ．当 时，点 的坐标为
(3) 最小值为 ，【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质，解决本题的关键是掌握待定系数法．
（1）根据矩形性质求出 长，可得 点坐标，即可求直线 的解析式；
（2）根据（1）中直线解析式即可得三角形的面积与 的关系式，进而求得点 坐标．
（3）作出点B关于x轴的对称点D，连接 交x轴于点Q，连接 ，此时 最小，据此求解即可．
【详解】（1） 四边形 是矩形，
， ， ，
根据勾股定理，得 ，
，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得 ，
∴直线 的解析式为 ．
（2） ，
当 时， ，
∴ 关于 的函数关系式为 ，当 时，点 的坐标为 ．
（3）如图，作出点B关于x轴的对称点D，连接 交x轴于点Q，连接 ，此时 最小，
可得 ， ，∴ ，
∴ 最小值为 ，
设直线 函数关系式为： ，
可得 ，解得： ，
∴直线 函数关系式为： ，
令 得 ，
解得： ，
∴ ．
25．（1）【问题情景】如图1，已知在正方形 中，点E、F分别是边 、 上的一动点，连接
、 ，且 ，如图，延长 至G，使 ，通过证明 和 可
得 ，即： ．
（2）【尝试探究】如图2，当点E、F分别在射线 、 上运动， 时，探究 、 、
之间的数量关系，请说明理由；
（3）【模型建立】如图3，若将直角三角形 沿斜边翻折得到 ，且 ，点E、F分别
在边 、 上运动，且 ，试猜想（1）中的结论还成立吗？请加以说明；
（4）【拓展应用】如图4，已知 是边长为5的等边三角形，点D是 外一点，连接 、 ，
且 ， ，以D为顶点作一个 角，使其角的两边分别交边 、 于点E、F，连接
，求 的周长．【答案】（2）见详解 （3）成立，见详解 （4）
【分析】（2）由“ ”可证 ，可得 ，由“ ”可证
，可得 ，即可求解；
（3）由旋转的性质可得 ，由“ ”可证 ，可得 ，即可
求解；
（4）把 绕点 顺时针旋转 至 , 可使 与 重合, 证出 ，进而得到
，即可得 的周长．
【详解】（2） ，理由如下:
如图 ，在 上截取 ，连接
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
，
，即 ；
（3）结论仍然成立，理由如下：
如图 ，把 绕点 逆时针旋转 ，使 与 重合，得到 ，
，
，
，
∴点 三点共线，
，
又∵ ，
，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
(4)∵ 是边长为 的等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，把 绕点 顺时针旋转 至 ，可使 与 重合，由旋转得: ， ， ，
同理得：点 在同一条直线上，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形
的周长，等边三角形的性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
