文档内容
21.3 特殊的平行四边形
21.3.1 矩形
第2课时 矩形的判定
1.掌握运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形的方法.
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理论证的能
力.
3.使学生能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计
算题，进一步培养学生的分析能力.
重点：矩形判定定理的理解与应用.
难点：矩形的判定定理与性质定理的区别和联系.
知识链接：上节课我们学习了矩形的性质，回顾一下相关知识.
创设情境——见配套课件
探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形
问题1：类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，
那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法.除了定义以外，判定矩形
的方法还有没有呢？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
问题2：（教材P70思考）我们知道，矩形是对角线相等的平行四边
形.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
我们一起来验证一下：
已知：如图，在 ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC＝DB.
▱
求证： ABCD是矩形.
▱证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.
又BC＝CB，AC＝DB，
∴△ABC≌△DCB（SSS）.∴∠ABC＝∠DCB.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°.∴∠ABC＝90°.
∴ ABCD是矩形（矩形的定义）.
▱
归纳总结：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD，∴四边形
ABCD是矩形.
问题3：工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是
矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的
两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
【对应训练】教材P71练习第2题.
探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形
问题4：（教材P70思考）我们知道，矩形是四个角都是直角的四边
形.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一
步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
我们一起来验证一下：
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.求证：四
边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.
又∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形.
归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形.【对应训练】教材P71练习第1题.
（教材P71例2）如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交
▱
于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
1 1 1
∴∠DAF＋∠ADF＝ ∠BAD＋ ∠ADC＝ （∠BAD＋∠ADC）＝
2 2 2
90°.∴∠F＝90°.
同理∠H＝∠AEB＝90°，∴∠FEH＝∠AEB＝90°.∴四边形
EFGH是矩形.
【对应训练】教材P71练习第3题.
1.如图，要使
▱
ABCD成为矩形，需添加的条件是（ C ）
A.AB＝BC B.AC⊥BD C.∠ABC＝90° D.∠ABD＝∠CBD
第1题图 第3题图
2.下列命题是真命题的是（ C ）
A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.一组对边平行且相等的四边
形是矩形
C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直平
分的四边形是矩形
3.如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求
（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，
这种做法的根据是 对角线相等的平行四边形为矩形 .
4.[教材变式]如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且OA＝
OB＝OC＝OD，则该四边形是 矩形 .若∠AOB＝60°，则
AB∶AC＝ 1 ∶ 2 .
5.如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
（1）求证：△DCA≌△EAC；
（2）只需添加一个条件，即 AD ＝ BC ，可使四边形ABCD为矩
形，请说明理由.
{DC＝EA，
（1）证明：在△DCA和△EAC中， AD＝CE，
AC＝CA，
∴△DCA≌△EAC（SSS）.
（2）解：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵CE⊥AE，∴∠E＝90°.∵△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°.
∴四边形ABCD为矩形（此题答案不唯一）.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
