文档内容
专题 16.1 二次根式的定义及性质之六大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 二次根式的定义】............................................................................................................................1
【考点二 二次根式有意义的条件】................................................................................................................3
【考点三 求二次根式的值】............................................................................................................................4
【考点四 求二次根式中的参数】....................................................................................................................5
【考点五 利用二次根式的性质化简】............................................................................................................6
【考点六 复合二次根式的化简】....................................................................................................................8
【过关检测】............................................................................................................................................................11
【典型例题】
【考点一 二次根式的定义】
例题：（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1， ， ， ，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式训练】
1．（2023下·八年级单元测试）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·广西南宁·八年级统考期中）下列式子不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·全国·八年级专题练习）下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
【考点二 二次根式有意义的条件】
例题：（2023·广东汕尾·统考二模）若式子 有意义，则 的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（2023上·四川巴中·九年级校考期中）若二次根式 有意义，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．（2023下·湖南永州·八年级校考期末）若 有意义，则实数 的取值范围是 ．
3．（2023上·山东枣庄·八年级统考期末）若代数式 有意义，则x应满足的条件为 ．
【考点三 求二次根式的值】
例题：（2023下·浙江湖州·八年级统考期中）当 时，二次根式 的值是 ．
【变式训练】
1．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）当 时，二次根式 的值是 ．
2．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）当 时，二次根式 的值是 ．
【考点四 求二次根式中的参数】
例题：（2023下·河南安阳·八年级校考期中）若 是整数，则正整数 的最小值是 ．
【变式训练】
1．（2023上·广东惠州·九年级惠州市河南岸中学校考开学考试）已知 为正整数，且 也为正整数，
则 的最小值为 ．
2．（2023下·广东深圳·八年级统考开学考试）若 是一个整数，则最小正整数 的值是 ．【考点五 利用二次根式的性质化简】
例题：（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）化简二次根式 的结果等于 ．
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级专题练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 的
结果是 ．
2．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示．
(1)判断正负，用“ ”“ ”填空： ______0， ______0．
(2)化简： ．
【考点六 复合二次根式的化简】
例题：（2023上·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 ．经过思考
①，
②，
③，
④，在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
①
②
【变式训练】
1．（2023上·四川眉山·九年级校考阶段练习）有这样一类题目，例如：
．
请仿照上例化简下列各式：
(1) ；
(2) ．
2．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．
善于思考的小李同学进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 ．∴ ，．
这样小李同学就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：
______， ______；
(2)若 且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简： ．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）下列代数式，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·四川眉山·九年级校考期末）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·山东枣庄·八年级统考期末）化简 得（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·四川达州·九年级校考阶段练习）若 则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）若x，y都是实数，且 ，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
6．（2023下·新疆阿克苏·八年级期末） 在实数范围内有意义，则a的取值范围是
7．（2023上·湖南衡阳·九年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）若 ，则 的取值范围是
．
8．（2023上·四川达州·八年级校考期中）若 ，那么 的结果是
9．（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）若 有意义，则n的取值范围是 ，若
是整数，则整数n的值是 ．
10．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：
．
三、解答题
11．（2023下·七年级课时练习）已知x，y满足y＝ ，求xy的平方根．
12．（2023上·全国·八年级专题练习）当x分别取下列值时，求二次根式 的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．(3)x＝﹣ ．
13．（2023下·浙江·八年级专题练习）要使下列式子有意义，x的取值必须满足什么条件？
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
14．（2023上·广东揭阳·八年级统考期中）阅读材料：
规定 表示一对数对，给出如下定义： ， ．将 与 称为数对
的一对“对称数对”．例如：数对 的一对“对称数对”为 与 ．
(1)数对 的一对“对称数对”是________与________；
(2)若数对 的一对“对称数对”相同，则 的值是多少？
(3)若数对 一个“对称数对”是 ，求 、 的值．15．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）若 ，化简 ，某同学的解答过程如图．
解：原式 第一步
第二步
第三步
(1)该同学的解答从第______步开始出现错误，错误的原因是用错了性质：
当 时， ______；当 时， ______；
(2)写出原题正确的解答过程；
(3)若实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
16．（2023上·北京延庆·八年级统考期中）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．
这样就可以将 进行化简，
即： ．
善于思考的小明进行了以下探索：
对于 ，若能找到两个数m和n，使 且 ，则 可
变为 ，即变成 ，从而使得 ．
（其中a，b，m，n均为正整数）例如：∵ ，
∴ ．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简 ；
(2)化简 ；
(3)若 ，求a的值．
