文档内容
16.1 二次根式
第 1 课时 二次根式的概念
教学内容 第 1 课时 二次根式的概念 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研
究二次根式的必要性. 体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.
2.会用数学的思维思考现实世界：运用表格或者图式来分类讨论，学习概念，让
核心素养目
学生体会新旧知之间的迁移思想，掌握由“数”到“式”，由“特殊”到“一
标
般”的学习方法.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，发展学生分析问
题、解决实际问题的能力.
1. 理解并掌握二次根式的概念.
知识目标 2. 理解并掌握二次根式的双重非负性.
3 . 根据二次根式的概念，求开方数中字母的取值范围.
教学重点 理解并掌握形如（ ≥0）的式子叫做二次根式的概念.
教学难点 理解并掌握二次根式的双重非负性.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、复习导 一、旧知复习，导入新知
入 教师提问：“平方根、算数平方根有哪些性质 设计意图：让学生在填空
呢？” 过程中，回忆平方根与算
数平方根的性质，用旧知
导入新知，增强新旧知识
之 间 的 联 系 ， 掌 握 由
“数”到“式”，由“特
殊”到“一般”的学习方
法，为后面学习二次根式
的概念做铺垫.
师生活动：教师播放课件，展开思维导图，学生独
立思考，共同回答完成填空.
二、探究新
知
设计意图：让学生在填空
过程中初步感知二次根式
与实际生活的紧密联系，
二、小组合作，探究概念和性质
体会研究二次根式的必要
性.
知识点一：二次根式的概念及有意义的条件
思考 用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么
特点：
(1) 如图①的海报为正方形，
若面积为 3 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m．
(2) 如图②的海报为长方形，若
长是宽的 2 倍，面积为 130
m2，则它的宽为_____m．
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面
所用的时间 t (单位：s) 与开始落下的高
度 h (单位：m) 满足关系 h = 5t2，如果
用含有 h 的式子表示 t ，
那么 t 为_____．
设计意图：为概括二次根
式的概念作铺垫.
师生活动:学生独立完成上述问题，用算术平方根表
示结果，教师进行适当引导和评价.
问题1 这些式子还有什么共同特征？
设计意图：学生回顾旧
师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它 知，自主思考回答问题，
们的共同特征都表示一个非负数(包括字母或式子表 加深学生对二次根式性质
示的非负数)的算术平方根. 的猜想和理解.
预设1：含有“ ”，根指数是 2.
预设2：被开方数(式)大于 0.
问题2 是否存在 -5 ，为什么呢？
设计意图：教师引导学生
师生活动：学生独立思考并作答. 概括二次根式的概念和特
预设：不存在，因为实数范围内，负数没有算术平 征，发挥学生课堂主体的
方根. 作用，加深对二次根式概
念的理解.
提问1：回顾 3 ， S ， 65 ， ， 0 ，
这些数或式有什么共同特征呢？
师生活动：预设：它们都是形如 的式子. a 都
有a≥0.
提问2：那对于形如 的式子我们怎么去定义它
呢？
师生活动：教师提问引发学生思考，学生通过课前
预习作出简单回答.
教师总结二次根式定义和特征：
设计意图：引导学生从概
念出发进行思考，加深学
生对二次根式定义的理解
定义：一般的，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二
与掌握.
次根式. “ ”称为二次根号(注意：a 可以是数，也
可以是式.).
特征：①外在特征：含有“ ”；②内在特征：被
开方数(式) a≥0.
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
设计意图：引导学生从概
念出发进行思考，巩固学
生对二次根式的被开方数
师生活动：引导学生从概念出发进行思考，小组讨论后选代表回答问题，教师总结解题方法. 为非负数的理解.
设计意图：通过对特殊实
例的思考和总结，让自学
自主完成二次根式意义的
例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内
学习，提高学生从“特
有意义?
殊”到“一般”的迁移能
力，培养学生的分类讨论
师生活动：学生从概念出发思考，独立完成作答. 和概括的能力.
知识点二： 二次根式的双重非负性
探究：当 时，a≥0 ，那么当 a≥0 时， 的
大小是怎样的呢？
师生活动：教师引导学生回顾之前思考的过程，
3 ， S ， 65 ， ， 0 ，
分别表示 3，S，65， ，0 的什么呢？
学生回答，表示它们的算数平方根．
教师引导学生根据特殊实例分析a＞0和a = 0时，
的大小和表示的意义，学生独立思考完成表格.
设计意图：在辨析中，加
深学生对二次根式的被开
方数为非负数的理解.
教师进行归纳总结：二次根式的实质是表示一个非
负数 (或式) 的算术平方根. 对于任意一个二次根式
都有：
设计意图：巩固学生对二
次根式概念和意义的理
解，提高解题能力.
这就是二次根式的双重非负性.
问题3 当 x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内
有意义？ x3 呢？
师生活动：学生独立思考，第一问全班共同回答，
第二问选一名学生回答.
三、当堂练
习，巩固所
学例3 若 ， 设计意图：题1、2考察学
求 a - b + c 的值. 生对二次根式概念掌握.
师生活动：学生先独立思考后，教师分析解题思
路，组成算式的三个式子都是非负式，要算式为
0，则每个非负式均为零.学生独立思考并解答，选
一名学生板书.
设计意图：题3、4考察学
教师总结：多个非负式的和为零，则可得每个非负 生运用二次根式的概念，
式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值、偶 求开方数中字母的取值范
次幂及二次根式. 围.
设计意图：考察学生运用
三、当堂练习，巩固所学 二次根式的被开方数为非
负数的概念进行计算的能
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） 力.
2.式子 有意义的条件是 （ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
3. 当 x =____ 时，二次根式 取最小值，
其最小值为______．
4.当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
； ；
； .
5. 已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，b
满足 ，求此三角形的周
长．
二次根式的概念
1. 我们把形如 (a≥0) 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.
板书设计 2. 二次根式 的双重非负性：
二次根式的被开方数或式非负(a≥0)；
二次根式的值非负( ≥0).
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
教学反思
本节课是人教版八年级上册第16章二次根式第一节二次根式第一课时的内容，它是前面学习的数的开方的后继学习，也是学习二次根式的运算的基础，他
在整个初中阶段起着重要的作用，贯穿始终，为后继学习打下夯实的基础.它是学
习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据.
16.1 二次根式
第 2 课时 二次根式的性质
教学内容 第 2 课时 二次根式的性质 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：感知二次根式的性质与实际生活的紧密联系，
体会研究二次根式的必要性. 体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.
2.会用数学的思维思考现实世界：运用表格或者图式来分类讨论，学习概念，让
核心素养目
学生体会新旧知之间的迁移思想，掌握由“数”到“式”，由“特殊”到“一
标
般”的学习方法.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，发展学生分析问
题、解决实际问题的能力.
3. 学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根
式的性质，会用符号表述这一性质.
知识目标
4. 学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简.
3 . 学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念.
教学重点 理解并掌握二次根式的性质.
教学难点 能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、复习导 二、旧知复习，导入新知
入 教师提问：同学们，上节课我们学习了二次根式， 设计意图：让学生在填空
那么二次根式的定义和概念是什么呢？ 过程中，回忆二次根式的
概念，为后面学习二次根
式的性质做铺垫.
师生活动：教师播放课件，展开思维导图，学生独
立思考，共同回答完成填空.
设计意图：培养学生自主
活动 根据算术平方根及平方的意义填空，你发现
探究和观察的学习习惯，
了什么？
提升学生的课堂参与感.为
后面学习二次根式的性质
做准备.
师生活动：学生独立完成填空，教师引导学生观察
二、探究新
并思考，表格1中的非负数与它的算数平方根的平
知
方数之间的关系.
设计意图：通过对实例的
预设：非负数与它算数平方根的平方数相等.
思考和总结，培养学生的
四、小组合作，探究概念和性质
抽象概括能力，掌握由
“数”到“式”观察探索
知识点一： (a≥0)的性质 的学习方法.问题1根据活动直接写出结果
＝_____ ; ＝_____ ;
＝_____ ; ＝_____ .
师生活动：学生独立完成计算，教师引导学生思考
能用字母表示你所发现的规律吗？并说明理由.
预设：部分学生能够独立完成字母表示，部分学生
比较困难.
教师提示上节课用字母a表示数，让学生逐一带
入，发现规律： ( ) 2 = a ，教师总结二次根式
的含义：代表平方等于 a 的非负数.
归纳总结：一般地，( ) 2 = a ( a≥0).
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件.这是使二次根 设计意图：巩固学生对二
式 有意义的前提条件. a 可以是数，也可以是 次根式性质1的理解，并
式. 通过做题，归纳运用二次
根式性质进行计算的解题
方法，感悟学习二次根式
性质的必要性.
例1 计算：
师生活动：教师让学生进行小竞赛，学生独立完成
的计算，看看谁做的又快又准确.请第一位做完且正
确的同学，回答自己的解题方法.
教师展示解题思路分析：
设计意图：巩固学生对二
次根式性质1的理解，不
要忽略 a≥0 这一限制条
件.这是使二次根式 有
意义的前提条件. a 可以
是数，也可以是式.
2. 等式 成立的条件是_____.
师生活动：对于有困难的学生教师可提示，二次根
式的a，可以表示式，学生独立完成计算.
设计意图：根据活动和问
题1，学生已经掌握了本节
课探索学习的方法，具有
知识点二： a 2 的性质 一定的观察和总结能力，
这里希望学生能力独立完
问题2填一填 观察两者有什么关系？ 成总结，进一步巩固学习
方法.
师生活动：学生独立完成填空，教师引导学生观察
并思考，表格1中的非负数与它平方数的算数平方
根之间的关系. 设计意图：巩固学生对二
预设：非负数与它平方数的算数平方根相等. 次根式性质2的理解，并
通过做题，归纳运用二次根式性质进行计算的解题
归纳总结：一般地， = a ( a≥0). 方法，感悟学习二次根式
a2
即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身. 性质的必要性.
例2 化简：
师生活动：学生独立完成的计算，请一名学生表述 设计意图：补充当 a＜0
自己的解题方法. 时， 的结果，让学生
教师展示解题思路分析： 对 a理 2 解更加的清晰.
a2
设计意图：加强学生“任
意一个数的平方的算术平
方根等于它本身的绝对
归纳总结 值”的运用.
设计意图：通过上述实例
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝
的讲解，归纳总结这两个
对值.
式子的特点，注意其中的
区别.
设计意图：学生通过观察
式子的共同特征，形成代
数式的概念，培养学生的
四、当堂练 师生活动：学生小组讨论，然后代表发言，老师完 概括能力.
习，巩固所 善学生的结果.
学
知识点三：代数式的定义 设计意图：进一步巩固学
生对代数式的定义的理
提问 1：如我们学过的：5，a，a2 - b2，ab， 解，让学生掌握由“数”
(a≥0)等.这些式子有哪些共同特征？ 到“式”，由“特殊”到
“一般”的学习方法.
师生活动：学生概括式子的共同特征，得出代数式的概念.
定义总结：用基本运算符号（包括加、减、乘、
除、乘方和开方） _ 数 __ 或 表示数的字母 连接起来
的式子，我们称这样的式子为代数式.
提问2：初中阶段，我们已经学习了哪些种类的代 设计意图：锻炼学生运用
代数式抽象实际问题的能
数式？(可类似数系的分类)
力，巩固学生对代数式的
定义的理解.
师生活动：教师播放课件，展示实数分类导图.并引
导学生根据实数分类导图完成代数式分类导图.
设计意图：题1、2考察学
生对二次根式性质掌握.
例4 一条河的水流速度是 2.5 km/h，船在静水中
的速度是 v km/h，用代数式表示船在这条河中顺水
行驶和逆水行驶时的速度.
设计意图：考察学生运用
二次根式的性质，进行计
师生活动：教师提供分析思路，用文字表示数量关
算的能力.
系，再用数或字母替代文字，写出代数式.
设计意图：考察学生对二
次根式性质理解.
五、当堂练习，巩固所学
1. 化简：
(1) ＝_____ ; (2) ＝_____ ;
设计意图：题5、6考察学
生运用二次根式的性质进
(3) ＝_____ ; (4) ＝_____ .
行化简运算的能力.
2.当 1 < x < 3 时， 的值为 ( )
A. 3 B. -3 C. 1 D. -1
3. 已知 a、b 是实数，且满足 ，
那么 a + b 的值是________.
4.利用 a ＝
( a )
2(a≥0)，把下列非负数分别写成一
个非负数的平方的形式：
(1) 9 ； (2) 2.5 ； (3) 1； (4) 0 .
2
5. 实数 a、b 在数轴上的对应点如图所示，化简：
6. 已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，化简：二次根式的性质
性质1：一般地，( ) 2 = a ( a≥0).
板书设计 性质2：一般地， = a ( a≥0).
a2
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 _ 数 __ 或 表示数的字母
连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概
念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运
用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生
教学反思
初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这
一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的
性质，培养其灵活运用的能力.
16.2 二次根式的乘除
第 1 课时 二次根式的乘法
教学内容 第 1 课时 二次根式的乘法 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：感知二次根式的运算与实际生活的紧密联系，
体会研究二次根式的必要性. 体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.
2.会用数学的思维思考现实世界：运用表格或者图式来分类讨论，学习概念，让
核心素养目
学生体会新旧知之间的迁移思想，掌握由“数”到“式”，由“特殊”到“一
标
般”的学习方法.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，发展学生分析问
题、解决实际问题的能力.
5. 掌握二次根式乘法法则，会进行简单的二次乘法的运算
知识目标 6. 能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简.
教学重点 理解二次根式的乘法法则并能正确应用法则计算和化简.
教学难点 区分二次根式乘法和二次根式的化简.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 三、创设情境，导入新知
入 教师提问：同学们，边长为 的正方形的面积，你 设计意图：用面积的计
们会计算吗？那么长为 ，宽为 的矩形的面 算，引发学生对二次根式
积呢？ 的乘法运算的思考，发现
已有知识无法解决问题，
带着问题学习新课，激发
学生的学习兴趣，让学生
体会几何与代数式之间的
联系.
师生活动：教师提问后，学生直接回答第一个问二、探究新 题，再留时间给学生思考第二个问题.
知
六、小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次根式的乘法
问题1 计算下列各式，观察计算结果有什么关系： 设计意图：培养学生自主
探究和观察的学习习惯，
提升学生的课堂参与感.
师生活动：学生独立完成计算，留时间让学生自己
思考.
教师提问：左边算式的结果，和右边算式的结果有
什么关系？
预设：左右两边算式的计算结果相等.
设计意图：通过对数的计
算实例的思考和总结，培
思考 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等 养学生的抽象概括能力，
式，能用字母表示你所发现的规律吗？ 运用并锻炼由“数”到
“式”观察探索的学习方
法.
师生活动：学生独立思考并尝试归纳.
教师提示：用如a、b两个字母代替每个算式中的
数，你能发现什么规律？
请一名学生板书规律： ，教师提醒
其中： 不能被忽略，并完成总结.
设计意图：与新课导入前
归纳总结：一般地，二次根式的乘法法则是
后呼应，让学生在现学现
用中，巩固二次根式的乘
法法则，解决之前留下的
即二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.
问题，获得成就感.
注意：本章中如果没有特别说明，所有的字母都表
示正数.
师生活动：
教师提问，同学们现在可以计算新课导入中长为 设计意图：让学生熟悉法
，宽为 的矩形的面积吗？ 则并能进行准确计算，规
预设：学生独立完成计算并给出答案. 范学生做题格式.
例1 计算：
设计意图：锻炼学生的计
师生活动：学生独立完成计算并给出答案，教师重 算能力，掌握解题方法.
点强调题 (2) ，能开方的数，计算结果要开方.
练习1. 计算：
师生活动：学生尝试独立完成，教师选完成的学生
说出自己的思路和做法，教师给予纠正.
总结：当三个及三个以上的二次根式相乘，
设计意图：明确法则反向应用的价值，从而培养学
生的逆向思维及运算能力
得出积的算术平方根的性
质.
知识点二：积的算术平方根的性质
问题2一般地： · = ( a≥0， b≥0)，
a b ab
那么反过来 会等于什么呢？
a b ab
师生活动：学生独立思考并回答 = · ，
a b ab
设计意图：学会化简，体
教师补充说明，根据等式的性质 ，要
会化简与二次根式乘法的
注意(a≥0，b≥0)条件不变，这就是积的算术平方
区别，提高学生的运算能
根的性质.
力.
例2 化简：
师生活动：学生试做，教师给予规范，并指出应注
意的问题.如：(2)中 4a2b3 含有像 4，a2，b3，这样
开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.
总结：当二次根式根号内三个或三个以上的数或式
相乘，有 ，注意其中
.
设计意图：锻炼学生综合
运用二次根式的乘法法则
与其逆运算进行计算和化
例3 计算：
简能力，区别化简和计算
时的运算方法.
五、当堂练 师生活动：学生独立做题，教师给予规范，并指出
习，巩固所 应注意的问题.
学 总结：当二次根式根号外的因数不为 1 时，
.
设计意图：考察学生对二
次根式的性质和乘方法则
的掌握.
七、当堂练习，巩固所学
设计意图：考查学生运用
二次根式乘法法则进行计
1.若 ，则 （ ）
算的能力.
A．x ≥ 6 B．x ≥ 0
C．0 ≤ x ≤6 D．x 为一切实数 设计意图：考察学生综合
运用二次根式的乘法法则
2.已知 3 ≈1.732，那么 1 2 ≈________. (结果保 与其逆运算进行计算和化
留小数点后两位) 简能力.
设计意图：考察学生对二
次根式乘法运算的几何意
义的理解.
3. 计算：(1) (2)
(3)
4. 如图，从一个大正方形中截去面积为 15 cm2
和 24 cm2 的小正方形，求留下部分的面积. 设计意图：考查学生运用
二次根式乘法法则进行计
算的能力，培养学生的发
散性思维.5. 比较大小(一题多解)： ;
二次根式的乘法
一般地，二次根式的乘法法则是： .
板书设计
即二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.
注意：本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节研究二次根式的乘法运算和化简二次根式，主要是对二次根式乘法法则
的正反应用问题，掌握运算法则是关键，为了让学生理解运算法则，教材通过
“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发现规律，进
教学反思
而归纳得出二次根式的乘法法则.本节课的学习中，学生在得出乘法法则后，对于
区分正反应用感觉困难.教学中教师要通过典型的例题，让学生体会二次根式计算
与化简的区别.
16.2 二次根式的乘除
第 2 课时 二次根式的除法
教学内容 第 2 课时 二次根式的除法 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：通过设置实际生活中的情境问题，感知二次根
式的运算与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性. 体验数学的应用
价值，提高数学学习兴趣.
核心素养目 2.会用数学的思维思考现实世界：运用表格或者图式来分类讨论，学习概念，让
标 学生体会新旧知之间的迁移思想，掌握由“数”到“式”，由“特殊”到“一
般”的学习方法.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，发展学生分析问
题、解决实际问题的能力.
7. 理解二次根式的除法法则.
知识目标 8. 能灵活正用与逆用二次根式的除法法则.
9. 理解最简二次根式的概念，会把二次根式化成最简二次根式.
教学重点 会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除
法运算．
教学难点 二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图一、新课导 四、创设情境，导入新知
入
新课导入：
设计意图：创设生活情
电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越
境，设置情境问题把学生
远，从而能收看到电视节目的
的注意力吸引到课堂中
区域就越广. 电视塔高 h (单
来，让学生在思考中，发
位：km) 与电视节目信号的传
现已有知识无法解决问
播半径 r (单位：km) 之间存在
题，激发学生探索新知识
近似关系r = ，其中 R
的兴趣．二次根式的乘法
是地球半径，R≈6 400 km. 如
引导学生猜想除法运算的
果两个
r电视 2
塔
Rh
的高分别是 h
1 法则.
km ，h km，那么它们的传播
2
半径之比是 .
你能将这个式子化简吗？ 2Rh
1
2Rh
2
师生活动：教师留时间给学生独立思考，并鼓励学
生大胆猜想计算方法.
二、探究新
知
八、小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次根式的除法
问题1计算下列各式，观察计算结果有什么关系：
设计意图：培养学生自主
探究和观察的学习习惯，
提升学生的课堂参与感.
师生活动：学生独立完成计算，留时间让学生自己
思考.
教师提问：左边算式的结果，和右边算式的结果有
什么关系？
预设：左右两边算式的计算结果相等.
猜测 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等
式，你发现了什么规律？能用字母表示你所发现的
规律吗？
设计意图：通过对数的计
算实例的思考和总结，培
师生活动：学生独立思考并尝试归纳.
养学生的抽象概括能力，
请一名学生板书规律： .
运用并锻炼由“数”到
“式”观察探索的学习方
法.追问1：从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范围
有没有限制呢？
师生活动：学生独立思考，选学生回答问题.
预设1：回顾上节课所讲的二次根式的乘法，
应该满足a≥0， b≥0.
预设2：不是的.应该是 a≥0， b＞0. 若 b = 0
设计意图：让学生独立思
时，等式两边的二次根式就没有意义啦！
考a，b 的取值范围，一方
面回顾二次根式的性质和
二次根式的乘法；一方面
追问2：你们能证明自己猜测的规律吗？ 在试错中，让学生加深对
二次根式除法中a，b 的取
求证： 值范围的记忆.
师生活动：教师提示可根据等式的性质来证明，选
学生板书证明，教师规范书写.
归纳总结：
设计意图：让学生在规范
二次根式的除法法则：
的证明过程中，体会数学
另一种形式： 的严谨性，锻炼数学性质
的应用能力和证明能力.
例1 计算：
师生活动：学生独立完成计算并给出答案，请两名
学生板书，教师规范计算过程，重点强调题 (2) ，
除法化乘法（化为倒数相乘），简便计算.
练习1. 计算：
师生活动：学生独立计算，教师巡视检查.
设计意图：让学生熟悉法
则并能进行准确计算，规
范学生做题格式.
知识点二：商的算术平方根的性质 设计意图：锻炼学生的计
算能力，掌握解题方法.
问题2类比积的算术平方根的性质的由来，
把二次根式的除法法则反过来能得到什么呢？
师生活动：
学生独立思考并回答：
教师补充：这就是商的算术平方根的性质，以及另
一种形式：
例2 化简： 3 75
(1) ； (2) .
100 27
师生活动：学生试做，教师给予规范，并指出应注
意的问题. 设计意图：考察学生的逆
向思维及知识迁移的能力.知识点三： 最简二次根式
问题3同学们，观察上面的几道例题，思考在什么
情况下二次根式需要化简呢？
设计意图：学会综合运用
师生活动：学生思考后，选同学回答自己的看法. 商的算术平方根的性质进
行化简，提高学生的运算
预设1：二次根式的被开方数中有分数或分式.
能力.
预设2：二次根式出现在分母当中.
预设3：还有被开方数中有未开尽的方的因数或因
式.
例3 计算： 3 3 2 8
(1) ；(2) ；(3) .
5 27 2a
师生活动：学生独立思考后，教师分析题(1)，根据
题(1)提供解题方法，方法一：将二次根式的除法转
化为商的算术平方根的形式.方法二：分母有理化(把
分母中的根号化去).学生根据方法，完成题(2)、题
设计意图：归纳需要进行
(3).
化简的二次根式为提出最
简二次根式的概念做铺垫.
归纳总结：
满足如下两个特点：
1）被开方数不含分母；
2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二
次根式.
知识点四：二次根式除法的应用 设计意图：锻炼学生综合
运用二次根式的除法法则
六、当堂练 例4 设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a， 与商的算术平方根的性质
习，巩固所 b. 已知S = ，b = ，求 a 的值. 进行计算和化简能力，归
学 SS2233，，bb1100 纳需要进行化简的二次根
式.
师生活动：教师分析解题思路，提示用代数式表示
a与 b、S的关系，学生独立完成计算.
回顾导入：通过上面的学习，同学们来化简一下新
课导入中的问题吧！
师生活动：学生独立完成计算，教师板书：
九、当堂练习，巩固所学
1.下列根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
18 24 30 36
2. 能使等式 成立的 x 的取值范围 ( 设计意图：锻炼学生综合
) 运用所学知识的能力，体
A. x≠2 B. x≥0 C. x＞2 D. x≥2 会数学知识在实际生活中
的应用.
3. 化简：设计意图：首位呼应，解
4. 计算： 决新课导入的问题，使学
生获得学习解决问题的成
就感.
5. 已知实数 a，b 满足 ，
求 的值.
设计意图：考察学生对最
简二次根式概念的理解.
设计意图：考查学生对二
次根式除法法则中，分
子、分母取值范围的理解.
设计意图：题3、4考察学
生综合运用二次根式的除
法法则与商的算术平方根
的性质进行计算和化简能
力.
设计意图：考查学生综合
运用代数式、二次根式的
除法法则与商的算术平方
根的性质进行计算和化简
能力.
二次根式的除法
二次根式的除法法则：
板书设计
另一种形式：
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课的主要内容是二次根式的乘除运算和二次根式的化简.通过本节课应使
教学反思 学生掌握二次根式的乘除运算法则和化简二次根式的常用方法.学生的计算你能力
有参差，要注意引导学生的计算过程.
16.3 二次根式的加减第 1 课时 二次根式的加减
教学内容 第 1 课时 二次根式的加减 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：通过设置实际生活中的情境问题，感知二次根
式的运算与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性. 体验数学的应用
价值，提高数学学习兴趣.
核心素养目 2.会用数学的思维思考现实世界：运用表格或者图式来分类讨论，学习概念，让
标 学生体会新旧知之间的迁移思想，掌握由“数”到“式”，由“特殊”到“一
般”的学习方法.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，发展学生分析问
题、解决实际问题的能力.
1.了解同类二次根式的概念，会辨别同类二次根式.
2.经历探索二次根式的加法和减法运算法则的过程，理解二次根式的加法和减法
知识目标
算理，进一步发展学生的类比推理能力.
3.能熟练地进行二次根式的加法和减法运算.
教学重点 会辨别同类二次根式，熟练掌握二次根式的加减运算.
教学难点 探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、回顾导 五、回顾旧知，导入新知
入
设计意图：让学生在填空
教师提问：“二次根式化简，怎么样算是化简成功
过程中，回忆最简二次根
了呢？”
式的性质，增强新旧知识
之间的联系，为后面学习
同类二次根式的概念做铺
垫.
师生活动：教师播放课件，展开思维导图，学生独
立思考，共同回答完成填空.
设计意图：回顾并巩固二
1. 化简： 1
(1) 8；(2) 0.5；(3) 12；(4) . 次根式化简的运算，为后
3 面学习同类二次根式的概
师生活动：学生独立完成计算，可以选学生板书.
念做铺垫.
二、探究新
知
十、小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次根式的加减
问题1整式的加减，需要找什么呢？怎么计算呢？ 设计意图：回忆整式加减
的运算方法，用旧知导入
师生活动：学生回答问题，教师播放课件，引导学 新知，增强新旧知识之间
生思考. 的 联 系 ， 锻 炼 学 生 由
“数”到“式”，由“特
预设1：整式的加减需要找同类项，再合并同类项.
殊”到“一般”的学习方
法.教师讲述：不错，例如 2a + a = 3a，
我们在探究学习二次根式时，运用最多的方法就是
由“数”到“式”的类比学习，那么类比
2a + a = 3a，二次根式的加减要如何运算呢？
预设2：需要找出同类二次根式，再合并同类二次
根式.
探究1观察下列二次根式有什么共同特征：
- ...
- ...
师生活动：学生独立观察并尝试总结规律.教师选学
生回答问题. 设计意图：培养学生自主
预设：每组的二次根式的被开方数相同. 探究和观察的学习习惯，
提升学生的课堂参与感.
追问1：下列二次根式又有什么共同特征？
99
((22)) 22 ， ， 88 ， ， 11 8 8 ，， 3 3 22 ， ， 0 0. .55 ，-，......
22
师生活动：教师提示学生把这
些二次根式化简为最简二次根
式再进行观察.请一名学生板
书，
设计意图：加强新旧知识
把简化结果竖写观察.
之间的联系，为后面学习
教师总结：经过化成最简二次
二次根式的加减需要进行
根式后，各根式被开放数相
简化做铺垫.顺势引出同类
同，像这样的几个二次根式被
二次根式的概念.
称为同类二次根式.
追问2同学们可以说出 的三个同类二次根式？
2 3
练习1 与最简二次根式 能合并，则 m
8
=_____.
师生活动：学生直接回答追问，并独立完成计算，
教师选一名学生回答问题.
设计意图：巩固学生对同
追问3 同理，你能通过类比整式的加减，运用同类
类二次根式的概念的理解
二次根式的概念，计算问题1中的 与认识.
吗？
师生活动：教师提醒学生类比整式的加减，运用乘
法分配律的逆运用进行计算.思考 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否
采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别
是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？ 设计意图：锻炼学生由
“数”到“式”，由“特
师生活动：学生独立思考 殊”到“一般”的学习方
后，教师分析解题思路： 法.得出二次根式的加法法
则.
提问 1 我们要判断什么？
是面积够不够，还是边长
够不够？
预设：要判断边长，判断
两个正方形的边长是否小于或等于5 dm.
提问2其次要判断什么？
预设：要判断两个正方形的边长之和是否小于或等 设计意图：通过解决实际
于7.5 dm. 问题，让学生感悟二次根
式的加减在实际生活中的
应用，体会数学在实际生
提问3 两个面积分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方
活中的作用.
形，它们的边长、边长之和分别是多少？
用问题串的方式引导学生
预设： 、 、 .
8
思考解题思路，引出二次
追问 怎么计算 ？
根式加减法法则.
师生活动：教师引导学生类比整式的加减，学生独
立完成计算.
教师总结：基本思想：把二次根式加减问题转化为
整式加减问题．
归纳总结：思考 如何合并同类二次根式？
合并同类二次根式的方法是：
(1) 化——将非最简二次根式的二次根式化简；
设计意图：加深学生对数
(2) 找——找出被开方数相同的二次根式；
与式类比过程的理解，掌
(3) 并——把被开方数相同的二次根式合并.
握由“数”到“式”的类
有简单口诀记忆：“一化简二判断三合并”
比迁移的学习方法.
例1 计算： ； .
师生活动：学生独立完成计算，选1名学生板书题
(1)，教师规范解题思路和步骤，学生独立完成题
(2)，教师巡视检查.
例2 计算： ；
七、当堂练 .
习，巩固所
师生活动：学生独立完成计算，选2名学生板书教
学
师规范解题思路和步骤.重点分析题(2)：有括号先去
括号，然后再“一化简二判断三合并”.练习2
有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求
52，26
其周长.
师生活动：教师分析解题思路：需分两种情况讨论.
同时要满足三角形三边之间的关系.学生独立完成计
算.
十一、当堂练习，巩固所学
设计意图：巩固学生对二
1.二次根式： 中，与 能进行
3 3 次根式加减法法则的理
合并的是 ( 1)2、、18、27
2 解，和对解题步骤的掌握.
3 3
A. 12与 B. 与18
2 2
2.下列运算中错误的是 ( )
C. 12与27 D. 18与27
A .+ = B . =
÷ = 2 (- )2 = 3 设计意图：加强学生对二
C. D.
次根式加减习题的运算能
力，补充解题方法.
3. 如果最简二次根式 与 能够合并那
么 x =_____.
4. 计算：
+
-
设计意图：加强学生对二
+ -
次根式加减习题的运算能
- -
(((444)))555111222(((333888222222777)))===___________________________... 力，培养学生的发散性思
维.
设计意图：考察学生对同
类二次根式概念的理解.
设计意图：考查学生对二
次根式的运算法则(四则运
算、乘方运算)的掌握.
设计意图：考察学生对同
类二次根式概念的掌握.
设计意图：考查对二次根
式加减法法则的理解，及
进行简单运算的能力.
二次根式的加减
合并同类二次根式的方法是：
板书设计 (1) 化——将非最简二次根式的二次根式化简；
(2) 找——找出被开方数相同的二次根式；
(3) 并——把被开方数相同的二次根式合并.
有简单口诀记忆：“一化简二判断三合并”教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
学生已经学习了二次根式的概念及性质等知识，已具备了学习二次根式加减
运算的知识基础和心理基础，本节课主要是采用类比的思想来学习二次根式的加
减运算，难度不大.班级学生课堂上能积极参与、有一定的自学能力，好奇心、求
教学反思
知欲较强；在前面学习的基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能
力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但经
常因为粗心而出错，同时课后复习巩固的效果较差.
16.3 二次根式的加减
第 2 课时 二次根式的混合运算
教学内容 第 2 课时 二次根式的混合运算 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：通过学生已掌握的由“数”到“式”，由“特
殊”到“一般”的学习方法，培养学生自主学习、迁移运用的能力. 体验数学的
应用价值，提高数学学习兴趣.
2.会用数学的思维思考现实世界：通过新问题与旧方法通过比较，让学生把根式
核心素养目
看作一个单项式而转变问题，学会审题，寻求有效的计算方法从而培养学生类比
标
学习的思想.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，通过认识并掌握二
次根式的混合运算与以前学习的整式的运算规则的关系，能进行二次根式的混合
运算，发展学生分析问题、解决实际问题的能力.
1.认识并掌握二次根式加、减、乘、除、乘方混合运算规则。
知识目标 2.正确运用乘法公式进行二次根式的有关运算。
教学重点 明确二次根式混合运算的先后顺序，正确使用混合运算规则进行计算.
明确二次根式运算使用有理数运算的所有运算律，包括整式乘法法则和乘法公式
教学难点
仍然适用.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、回顾导 六、回顾旧知，导入新知
入
问题1二次根式的运算法则有哪些？
师生活动：教师提问学生直接思考并回答.
设计意图：快问快答，巩
预设：二次根式的乘法和二次根式的除法法则.
固学生对二次根式运算法
教师顺势要求学生默写出二次根式的乘法和二次根
则的记忆，增强新旧知识
式的除法法则的字母表示.可以请一名学生板书，教
之间的联系，把学生的注
师巡视.
意力集中在课堂，为后面
学习二次根式的混合运算
做准备.
问题2二次根式的加减法基本思想是什么？
师生活动：教师提问学生直接思考并回答.
预设：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．二、探究新
知
十二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次根式的混合运算及应用
例1 类比计算，说明理由.
设计意图：类比整式运
(1) a(a +3b) ； (1) + ；
算，让学生在计算过程中
(2) (3ab-4b2)÷a (2) + ÷ ；
感悟二次根式混合运算的
(3) (2a +3b)(a -3b)
法则与算理.
师生活动：教师引导学生由“数”到“式”，模仿
运算数的运算律进行计算，选学生板书，教师规范
计算过程.
思考 (1) 在有理数范围内成立的运算律，在实数范
围内能否继续使用？
(2) 二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之
处是什么？
(3) 左边式子中的字母 a，b 可以表示二次根式
设计意图：用问题串的方
吗？
式引导学生思考解题思
(4) 怎样进行二次根式的混合运算？
路，引出二次根式混合运
算的顺序与算理.
师生活动：教师提问学生直接思考并回答问题
(1) 、(2) 、(3) .第四个问题学生小组讨论后，选代
表回答，教师完成总结.
预设1：先要弄清运算种类，再确定运算顺序.
预设2：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内
的.
练习1：计算
设计意图：锻炼学生的计
算能力，掌握解题方法.
师生活动：学生独立计算，教师巡视检查.选四名学
生板书，教师根据板书规范解题步骤.
注意：除号后面有括号的要先算括号里的，不可用
分配律！
知识点二：利用乘法公式进行二次根式的运算问题2整式乘法运算中的乘法公式有哪些?
设计意图：让学生在填空
过程中，回忆和巩固整式
的乘法公式，增强新旧知
识之间的联系，培养学生
类比学习的思想.
师生活动：教师播放课件，展开思维导图，学生独
立思考，共同回答完成填空.教师顺势提问，整式的
乘法公式，适不适用于二次根式呢？
例2 计算：
师生活动：学生独立计算，教师巡视检查.
设计意图：锻炼学生的计
八、当堂练 知识点三：求代数式的值 算能力，加强学生的应用
习，巩固所 和迁移能力，掌握更多解
学 例3 已知 ， ，求x2 - y2 的 题方法.
值：
师生活动：教师分析解题思路，可先把x2 - y2 因式
分解，再带入x和y的值进行计算.学生独立完成计
算.
设计意图：锻炼学生运用
二次根式的运算法则进行
练习3. 已知 ，求 x3y + xy3.
混合运算的能力，掌握更
多解题方法.
师生活动：学生独立计算，选一名学生板书，教师
根据板书规范解题步骤.
设计意图：锻炼学生的计
算能力，巩固解题方法.
十三、当堂练习，巩固所学
1. 下列计算中，正确的是 ( ).
2. 计算：
(1) ； (2) ；
设计意图：考查学生对二
(3) ； (4) .
次根式的运算法则(四则运
算)的掌握.
3. 计算：设计意图：题2、3考查学
生运用二次根式的运算法
(3)xy6x3y(x≥0，y≥0). 则进行混合运算的能力及
是否明确二次根式混合运
算的先后顺序.
4. 已知 的整数部分是a，小数部分是b，求 a2
- b2 的值.
5. (1)已知 ，求 的值；
(2)已知 ，求 的值.
设计意图：题4、5考查运
用二次根式的运算法则，
求代数式的值的计算能
力，以及整体带入思想.
二次根式的混合运算
先乘方，后乘除，最后加减；
板书设计
如有括号，先做括号内的运算，
按小括号、中括号、大括号依次进行.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
二次根式的混合运算是本章所学内容的综合运用，运算过程中用到乘法分配
律，还需用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，教学中要注意让学生体会二次
教学反思
根式的运算与整式运算的联系.二次根式的混合运算，困难在于让学生体会二次根
式的运算与整式运算的联系，在二次根式运算中，法则和乘法公式仍然适用.
17.1 勾股定理
第 1 课时 勾股定理
教学内容 第 1 课时 勾股定理 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：通过古代数学文化的简述，了解我国古代在勾
股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情了解数学
在人类社会的悠久历史. 体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.
核心素养目
2.会用数学的思维思考现实世界：通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过
标
程，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，会用数学的语言表
达发现的规律，发展学生分析问题、解决实际问题的能力.
1．理解勾股定理的内涵，并能用勾股定理进行简单的计算
知识目标 2．通过画图实验，让学生经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体
会数形结合的思想.
教学重点 1.勾股定理的探索.
2.勾股定理的简单计算.
教学难点 利用数形结合的思想验证勾股定理.教学准备 课件、彩色纸、剪刀
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 七、创设情境，导入新知
入
设计意图：通过古代数学
数学文化：《周髀算经》的第一章曾记载了一段对
文化的简述，激发学生的
话，商高对周公姬旦说：“故折矩以为勾广三，股
学习兴趣，进一步的认识
修四，径隅五”.
和理解直角三角形.也可了
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半
解我国古代在勾股定理研
部分称为“勾”，下半部分称为“股”，斜边称为
究方面的成就，激发热爱
“弦”.
祖国，热爱祖国悠久文化
的思想感情.
教师叙述：按照商高的说法，如果勾长为三，股长
为四，弦长必定是五.这就是勾股定理名称的由来.
设计意图：观察会徽的图
案的特点，吸引学生的注
意力，同时也为后文勾股
新课导入：国际数学家大会是最高水平的全球性数 定理的证明方法做铺垫.
学科学学术会议.2002 年在北京召开了第 24 届国
际数学家大会.如图就是大会的会徽的图案.
二、探究新
知
教师提问：你见过这个图案吗？它由哪些基本图形
组成？
十四、小组合作，探究概念和性质
知识点一：勾股定理认识及验证
设计意图：通过古老数学
家的故事，吸引学生的注
教师叙述：我们一起穿越回到 2500 年前，跟随毕
意力，激发学习兴趣.
达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家
让学生独立思考，培养学
用等腰三角形砖铺成的地面（如图）：
生自主学习的习惯，和观
察能力.
问题1 观察右边地面的图形，
猜想毕达哥拉斯发现了什么？
师生活动：学生独立思考并回
答问题.
预设1：两个小正方形的面积之
和等于大正方形的面积.
预设2：校长正方形的边，和大正方形的边构成了
直角三角形.
问题2 如图，在等腰三角形
ABC 中，∠C = 90°，以 AC
为边作正方形 P，以 BC 为边
作正方形 Q，以斜边 AB 为边
作正方形 R.观察图形进行填空. 设计意图：在问题1的基
础上，把情境中的问题抽
正方形 Q 的面积是_____个单 象为几何数学问题，实现
位面积； 由具体到抽象的转变，逐
正方形 P 的面积是_____个单位面积； 渐培养学生的数形结合思正方形 R 中含有_____个小方块，正方形 R 的面 想.
积是_____个单位面积.
师生活动：学生独立完成计算后，选学生汇报答案.
追问1上面三个正方形的面积之间有什么关系？
S + S = S
P Q R
追问2等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什
么关系吗？
S = AC2 S = BC2 SR = AB2
P Q
AC2 + BC2 = AB2
师生活动：学生根据填空的答案，回答追问中的问
题，教师完成总结：以等腰直角三角形两直角边为
边长的小正方形的面积和，等于以斜边为正方形的
面积.
问题3 请你类比上面的方法对一般直角三角形进行
探索 (每个小正方形的面积为单位 1)：
师生活动：学生先独立思
设计意图：在问题2的基
考，然后在小组讨论，再
础上，把对等腰直角三角
选派代表回答问题，并讲
形的探究，推广到对一般
述自己的方法. 教师把学生
直角三角形的探究，实现
运用的方法进行如下总
由“特殊”到“一般”的
结：
转变，发展学生的合情推
理能力，为后面把规律推
方法一：割 广到所有直角三角形的学
分割为四个直角三角形和一个小正方形. 习做准备.
方法二：补
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三
角形的面积.
方法三：拼
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色
（或绿色）可拼成一个小正方形.
追问分析表中数据，你发现了什么？
师生活动：学生根据计算答案完成填空，并观察表
格回答问题.
预设：正方形A的面积加正方形B的面积等于正方
形C的面积.
结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方
形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.问题4 同学们发现的直角三角形三边的规律是否适
用于所有的直角三角形呢？
验证命题：如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2. 两直角边的
平方和等于斜边的平方.
让我们跟着以前的数学家们用多种方法来证明这一
命题.
师生活动：教师播放课件，展示方法，学生根据方
法利用事先准备好的彩纸完成拼图. 设计意图：用具体的验证
让学生感悟数学的严谨
性，体会勾股定理中的数
证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再
形结合思想.
用所拼的图形证明命题吧.
设计意图：这个阶段的学
生自助完成探究性证明式
证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等
非常困难的，通过效仿三
的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关
位著名的数学家的方法，
系后证明吧.
完成验证，既能增强课堂
参与感，体现自主学习的
精神，又能在证明过程
中，体会勾股定理中的数
形结合思想.也可了解我国
古代在勾股定理研究方面
的成就，激发热爱祖国，
热爱祖国悠久文化的思想
感情.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证
法”.
证明：∵S = (a +b)(a +b)
梯形
S = ab + ab + c2
梯形
∴ a2 + b2 = c2.
归纳总结：
勾股定理：如果直角三角形的
两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 +
b2 = c2.
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定
理，或百牛定理.
知识点二：利用勾股定理进行计算
例1 如图，在 Rt△ABC 中，
∠C = 90°.
(1) 若 a = b = 5，求 c；
(2) 若 a = 1，c = 2，求 b.
师生活动：学生独立完成计
算，选一名学生板书，名教师指导规范.【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°.
九、当堂练 (1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a；
习，巩固所 (2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c.
学 设计意图：加深学生对勾
股定理公式的理解，通过
师生活动：教师分析解题思路，可以运用方程思 做题锻炼学生的运用能力
想，设未知数求值，学生独立完成计算. 和计算能力.
【变式题2】 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求
BC的长.
师生活动：学生独立思考后，小组讨论解题方法，
教师巡视总结答案. 设计意图：巩固对勾股定
理公式的运用，拓展方程
解题思想，加强新旧知识
总结：当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜
的练习，培养综合运用能
边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可
力.
能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则
容易漏解.
设计意图：巩固对勾股定
理公式的运用，培养发散
性思维.
三、当堂练习，巩固所学
1.下列说法中，正确的是 （ ）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 =
c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积
为 cm².
3. 在 △ABC 中，∠C = 90°.
(1) 若 a = 15，b = 8，则 c = .
(2) 若 c = 13，b = 12，则 a = .
设计意图：考查学生勾股
定理概念的掌握.
4. 若直角三角形中，有两边长是 5 和 7，则第三
边长的平方为_________.
设计意图：题2、3考查学
生运用勾股定理公式计算
直角三角形边长的和面积
的能力.
设计意图：考查运用勾股
定理结合三角形边长特点
的运用.
板书设计
勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
整节课引导学生经历“观察-探索-猜想-验证-归纳-应用”过程突破本节课难
点，通过简单应用巩固教学重点；其中渗透了割补法求面积，同时体现从特殊到
教学反思 一般、数形结合、分类讨论的思想，达到了教学目标.例题，但应该有所取舍,要
突出重难点。把课堂还给学生，教师更多的负责引导与启发，学生动手操作，在
过程中领悟勾股定理的产生意义.
17.1 勾股定理
第 2 课时 勾股定理在实际生活中的应用
教学内容 第 2 课时 勾股定理在实际生活中的应用 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：通过勾股定理在实际生活中的应用， 体验数学
的应用价值，提高数学学习兴趣.
核心素养目 2.会用数学的思维思考现实世界：通过运用勾股定理判定直角三角形(验证
标 “HL”)、求两点距离，发展合情推理的能力，体会数形结合的思想.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，会用数学的语言表
达发现的规律，发展学生分析问题、解决实际问题的能力.
1．能运用勾股定理决简单的实际问题.
知识目标 2．经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件.
勾股定理及直角三角形的判定条件的应用(在应用中概括出这两者在应用方面的区
教学重点
别，增强这两个定理的区分和应用能力)
教学难点 分析思路，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 八、回顾旧知，导入新知
入 设计意图：加深对学生欧
股定理的记忆，为后面运
教师讲述：上节课我们学习了勾股定理(毕达哥斯拉
用勾股定理解决实际问题
定理)，什么是勾股定理呢？
做铺垫.
直角三角形的两条直角边的平方，等于斜边的平方.
如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长
为 c，那么 a 2 + b 2 = c 2 .
师生活动：教师引导学生，
师生共同回顾勾股定理的概
念和公式.
情境导入：古代笑话一则有一人拿着一根杆子进屋门，横着拿，不能
进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了
问题.请问同学们，这样是真正解决了问题了吗？让
你做的话，你感觉怎么办合适？
设计意图：用趣味的故事
吸引学生的注意力，引发
学生积极思考.
二、探究新
知
十五、小组合作，探究概念和性质
知识点一：勾股定理的简单实际应用
问题1 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式
进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么
启发？
设计意图：由浅入深，引
导学生将实际问题转化为
数学问题，培养数形结合
思想.
师生活动：教师留时间给学生独立思考，引导学生
将实际问题转化为数学问题.
追问1 长竹竿进门，长竹竿可以看作什么？门可以
看作什么？
追问2 长竹竿进门，实际上是要比较什么呢？
例1 一个门框的尺寸如图所
示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的
长方形薄木板能否从门框内通
过?为什么?
师生活动：学生独立思考，小
组讨论，选代表回答问题.
预设1：可以看出木板横着或竖
着都不能从门框通过，只能试 设计意图：层层深入，从
试斜着能否通过. 引出问题到抽象问题到解
预设2：门框对角线 AC 的长度是斜着能通过的最 决问题，逐渐引导学生，
大长度，求出 AC，再与木板的宽比较，就能知道 构建解题思路，培养数形
木板能否通过. 结合思想.
教师总结解题思路：学生独立完成计算，教师巡视.
例2 如图，一架 2.6 m 长的梯子 AB 斜靠在一竖
直的墙 AO 上，这时 AO 为 2.4 m. 如果梯子的顶 设计意图：巩固学生运用
端 A 沿墙下滑 0.5 m，那么梯子底端 B 也外移 勾股定理解决实际问题的
0.5 m 吗? 能力和考察学生对抽象实
际问题的方法的掌握情况.
通过做题进一步总结利用
勾股定理解决实际问题的
一般步骤.
师生活动：学生独立思考后，教师选学生解释他的
解题思路，其他学生补充，师生共同抽象题目中的
数学问题.在选一名学生板书，其他学生独立完成，
教师规范解题思路.
归纳总结：利用勾股定理解决实际问题的一般步
骤：
将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出
图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解
决实际问题的一般思路.
练习1.有一个水池，水面是一个
设计意图：巩固学生运用
边长为10尺的正方形，在水池正
勾股定理解决实际问题的
中央有一根芦苇，它高出水面1
能力，拓展方程思想，培
尺.如果把这根芦苇拉向水池一边
养学生的综合运用能力.
的中点，它的顶端恰好到达池边
的水面.水的深度与这根芦苇的长
度分别是多少？
师生活动：学生独立思考并完成作答，教师巡视.
知识点二：利用勾股定理求两点距离及验证“HL”
例3 如图，在平面直角坐标系中有两点 A(-3，
5)， B(1，2)，求 A，B 两点间的距离.
设计意图：在提升分析问
题能力和完整表达解题过程能力的同时，体会数学
的应用价值和渗透数学思
想给解题带来的便利.
师生活动：教师引导学生，发现数学问题中的直角
三角形，再利用勾股定理解决问题.
预设：求 A，B 两点间的距离就是求线段 AB 的
长，可以构建直角三角形ABC.
学生独立思考后完成作答，选一名学生板书，教师
规范解题思路.
设计意图：培养从“特
问题2 如果知道平面直角坐标系坐标轴上任意两点 殊”到“一般”的学习方
的坐标为 A(x，y)，B(x，y)，你能求这两点之间 法，感受“数形结合”和
1 1 2 2
的距离吗？ “转化”的数学思想，体
会数学的应用价值和渗透
十、当堂练
数学思想给解题带来的便
习，巩固所
利.
学
师生活动：学生独立思考后完成作答，并在教师引
导下完成总结：
两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
A(x，y)，B(x，y)，则AB = .
1 1 2 2
思考 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结
论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形
全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
设计意图：培养学生的数
∠C =∠C′ = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′．
学应用意识，发展合情推
求证：△ABC≌△A′B′C′．
理能力；分析问题、解决
实际问题的能力.体会数学
知识的严谨性和封闭性.
师生活动：教师引导学生分析证明思路.
追问1：我们第一个学习的全等判定方法是什么？
预设：边边边(SSS，或已知三条线段全等).
追问2：△ABC和△A′B′C′两条直角边都相等，那么
它们的斜边会相等吗？证明看看.
三、当堂练习，巩固所学
1.如图(1)从电线杆上离地面 5 m的 C 处向地面拉
一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底
部 B 的距离是( )
A. 24 m B. 12 m C. m D. m
74 2 6(1) (2)
设计意图：题1、2考察学
2.如图(2)，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内
生运用勾股定理解决简单
部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的
问题的能力.
长度可能是（ ）
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm D. 18 cm
3. 已知点(2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为____.
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2
米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到
另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
设计意图：考察学生能否
【能力提升】如图，有一秋千，当它静止时，踏板 利用勾股定理求两点距
离地 1 尺，将它往前推送 10 尺，秋千的踏板就和 离，和对两点之间的距离
人一样高，这个人的身高为 5 尺，如果这时秋千的 公式的掌握.
绳索拉得很直，试问它有多长？
设计意图：考察学生的抽
象思维能力和运用勾股定
理解决实际问题的能力.
设计意图：考察学生的抽
象思维能力和运用勾股定
理解决实际问题的能力.
勾股定理在实际生活中的应用
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
板书设计
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.学生已经学习了勾股定理、直角三角形的判定条件、平面展开图等知识，具
备了应用勾股定理及直角三角形的判定条件的基本能力，但对无理数缺乏“形”
的认识，需要提高勾股定理及直角三角形的判定条件的综合应用的能力，因此，
教学反思
本节课着重培养学生对无理数缺乏“形”的认识，对勾股定理及直角三角形的判
定条件的综合应用的能力.通过本节课的学习，能够对勾股定理及直角三角形的判
定条件进行综合应用.
17.1 勾股定理
第 3 课时 利用勾股定理作图或计算
教学内容 第 3 课时 利用勾股定理作图或计算 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：能从精美的图片中抽象出几何图形，体会数学
美感，在几何图形中抽象出数量关系，体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.
核心素养目 2.会用数学的思维思考现实世界：能够借助几何图形的形象关系来研究数量关
标 系，有助于培养学生的几何直观，发展学生的空间想象能力．
3.会用数学的语言表示现实世界：利用勾股定理解决实际问题可以培养学生的发
散思维和综合解决问题的能力、提高学生分析问题和解决问题能力.
1.能够在数轴上表示出无理数的点.
知识目标 2.会利用勾股定理解决网格中的问题.
教学重点 利用勾股定理在数轴上表示无理数.
教学难点 确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 九、回顾旧知，导入新知
入
设计意图：快问快答，使
提问1.一条有方向的直线，标上刻度，零点后变成
学生快速回忆数轴的知
了一种什么样的数学工具？
识，增强新旧知识之间的
提问2.数轴上的点与实数有什么关系？
联系，把学生的注意力集
提问3.你可以在数轴上表示无理数？
中在课堂，为后面学习运
用勾股定在数轴上表示物
师生活动：教师提问学生直接思考并回答.
理上做准备.
预设：数轴、一一对应．
新课导入：这些都是什么的图片？
设计意图：用漂亮的海螺
图片，吸引学生的注意
力，为后面介绍“海螺
型”图案的第七届国际数
学教育大会的会徽做铺
垫，同时培养学生从实际
生活中，抽象几何图形的能力.
在数学中也有这样一幅美丽
的“海螺型”图案，如第七
届国际数学教育大会的会徽.
这个图是怎样绘制出来的
呢？
二、探究新
知
十六、小组合作，探究概念和性质
知识点一：勾股定理与数轴
设计意图：在之前学习勾
问题1 你能在数轴上画出表示 2的点吗？- 2 股定理时，就是运用等腰
呢？ 直角三角形、正方形的面
师生活动：教师引导学生运用勾股定理解决问题. 积进行探究，这里学生比
预设1：可以想成边长为 1 的正方形的斜边边长. 较容易想到 的表示方
让学生在草稿纸上作图，选一名学生板书. 法.
2
预设2：可以构造直角三角形作出边长为无理数的
斜边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.
追问 你能用同样的方法作
3，4，5，6，7
吗？
设计意图：培养学生举一
反三的思维能力，提高作
图能力，在直观模型中，
体会数形结合的思想.
师生活动：让学生在草稿纸上独立完成作图，选一
名学生板书，教师规范作图步骤(也可以播放准备的
课件，给学生直观展示作图过程).
问题2 长为 的线段能是直角边的长都为正整数
13
的直角三角形的斜边吗？
设计意图：巩固学生对勾
股定理公式的计算方法，
培养数形结合思想，发展
逆向思维，为后面学习勾
股定理逆运用做准备.
师生活动：教师引导学生，采用列举法.猜想一条直
角边长为1时，另一条直角边是不是有理数.如果不
是再画出一条直角边长为2、3的情况.思考 根据上面问题你能在数轴上画出表示 的点
13
吗？
设计意图：把几何图形的
师生活动：学生独立完成作图，教师总结作图步骤.
知识迁移到数轴上，发展
1.在数轴上找到点 A，使 OA = 3；
学生的空间想象能力，提
2.作直线 l⊥OA，在 l 上取一点 B，使 AB = 2； 高作图能力.
3.以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数
轴交于 C 点，则点 C 即为表示 的点.
13
构造直角三角形填一填
设计意图：运用表格让学
生观察讨论，发展学生的
合情推理能力和应用能力.
师生活动：学生独立完成计算并填空，让学生讨论
利用勾股定理表示无理数的方法，教师总结.
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两
个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与
数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，
在原点右边的点表示是正无理数.
例1 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，求 a 的
值.
师生活动：学生独立完成作图，教师选可能出错的 设计意图：巩固对利用勾
同学板书，帮助试错，规范作图步骤. 股定理表示无理数的方法
易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原 的学习，锻炼作图技巧.
点起，则所表示的数不是斜边长.
知识点二：勾股定理与网格
画一画 在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形
的边长都为 1，请在给定网格中以 A 出发分别画出
长度为 、 、 的线段 AB．师生活动：教师选三位同学板书作图，学生独立完 设计意图：把数轴上的作
成作图，教师巡视. 图发展到网格上，发展学
生的合情推理能力和应用
能力，锻炼作图能力.
例2 在如图所示的 6×8 的网格中，每个小正方形
的边长都为 1，写出格点 △ABC 各顶点的坐标，
并求出此三角形的周长．
y
A
x
o
B
C 设计意图：结合新旧知
识，解决几何问题，加强
新旧知识之间的联系.培养
师生活动：教师帮助分析解题思路，可利用前面学
数形结合的思想.
习的两点之间的距离公式面积算三角形三条边的长
度.学生独立完成计算.
归纳：勾股定理与网格的综合求线段长时，通常是
把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股
定理求其长度.
例3 如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的田字
格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多可以
作出多少条长度为 的线段？
十一、当堂
练习，巩固
所学 师生活动：学生独立完成作图后，小组讨论，派代
表回答，教师总结汇报结果.
易错点拨：一个点一个点的找，不要漏解.
设计意图：培养数形结合
的思想，锻炼作图能力，
例4 如图，在 2×2 的方格中，小正方形的边长是 发展发散性思维.
1，点 A、B、C 都在格点上，求 AB 边上的高.
A
B
C
师生活动：教师帮助分析解题思路，直接作图求高
是非常困难的，可以利用面积法求高，求三角形的
面积怎么求呢？
预设：用割补法求.
追问：AB 边可以求出吗？
预设：用勾股定理求，学生独立完成计算.
设计意图：培养数形结合
总结：此类网格中求格点三角形的高的题，常用的
的思想，用引导的方法，
方法是利用网格求面积，再用面积法求高.
增强学生的解题能力.三、当堂练习，巩固所学
1.如图，在边长为 1 个单位长
度的小正方形组成的网格中， A
点A、B都是格点，则线段 AB
的长度为（ ）
A.5 B.6
C.7 D.25 B
2.如图(2)，小明学了利用勾股定理在数轴上作一个
无理数后，在数轴上的 2 个单位长度的位置找一个
点 D，然后过点 D 作一条垂直于数轴的线段
CD，CD 为 3 个单位长度，以原点为圆心，原点
到点 C 的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该
点位置大致在数轴上 ( )
A. 2 和 3 之间
B. 3 和 4 之间 C
设计意图：考查对利用勾
C. 4 和 5 之间
股定理，求网格中长度的
D. 5 和 6 之间
解题技巧的掌握.
D
3. 如图，网格中的小正方形边长均为 1，△ABC 的
–3 –2 –1 0 1 2 3 4
三个顶点均在格点上，则 AB 边上的高为_______.
A
B C
设计意图：考查对利用勾
股定理，在数轴上表示无
理数作图的掌握.
设计意图：考查对结合面
积法和勾股定理，求网格
中长度的解题技巧的掌握.
利用勾股定理作图或计算
板书设计
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.勾股定理的应用分为实际生活应用和数学问题应用，本课时重在解决勾股定
理在数学问题应用中的应用．借助几何图形的形象关系来研究数量关系，有助于
教学反思 培养学生的几何直观，发展学生的空间想象能力．因此，利用勾股定理解决实际
问题可以培养学生的发散思维和综合解决问题的能力．也是提高学生分析问题和
解决问题能力的途径之一．
17.2 勾股定理的逆定理
第 1 课时 勾股定理的逆定理
教学内容 第 1 课时 勾股定理的逆定理 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：能从直观的数据中，发现数学问题得出猜想，
培养观察能力，发展合情推理能力，体验数学的应用价值，提高数学学习兴趣.
核心素养目 2.会用数学的思维思考现实世界：能够运用原命题、逆命题、逆定理的概念培养
标 学生的逻辑思维能力，举一反三的合情推理能力.
3.会用数学的语言表示现实世界：利用勾股定理的逆定理解决实际问题可以培养
学生的发散思维和综合解决问题的能力、提高学生分析问题和解决问题能力.
1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理.
知识目标 2.探究勾股定理的逆定理的证明方法.
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系.
教学重点 掌握勾股定理的逆定理的证明及运用.
教学难点 勾股定理的逆定理的证明.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 十、回顾旧知，导入新知
入
问题1前面我们学习了勾股定理，同学们能说出它
的题设和结论吗？
设计意图：巩固学生对巩
师生活动：学生共同背出勾股
固定理概念及公式的记
定理概念及公式，教师播放课
忆，为后面学习勾股定理
件或板书.
逆定理做准备.
教师叙述：如果把公式写出命
题的形式，可以得到
题设(条件)：直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边为 c.
结论：a2 + b2 = c2.
问题2反过来，如果一个三角形的三边长 a，b，
c，满足 a2 + b2 = c2. 那么这个三角形的题设和结 设计意图：把勾股定理表
论是怎样的？ 示成命题的形式，方便学
生理解和探究勾股定理的
题设(条件)：三角形的三边长 a，b，c， 满足a2 + 逆定理的概念.
b2 = c2. 让学生带着问题思考，如结论：这个三角形是直角三角形. 果反过来结论能成立吗？
结论能成立吗？ 激发学生的学习兴趣.
二、探究新
知
十七、小组合作，探究概念和性质
知识点一：勾股定理的逆定理
据说，古埃及人用如图的方法画直角：把一根长
绳打上等等距的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 设计意图：用古埃及人的
巧思，引导出直角三角形
个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成
的判定方法，让学生意识
一个三角形，其中一个角便是直角.
到数学来源于生活.
提问 这种做法真能得到
一个直角三角形吗？
师生活动：学生独立思
考，遇到困惑时教师顺
势追问：这个三角形三
边有什么关系吗？通过
计算发现 32 + 42 = 52.
画一画
设计意图：通过故事引入
(1) 下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的
和提问，让学生形成大致
平方，分别以这些数为边长 (单位：cm) 画三角
的猜想；通过亲自画图测
形：① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5.
量和小组讨论，让学生从
(2) 量一量：用量角器分别测量上述各三角形的度
直观的数据中总结猜想.培
数.
养学生观察发现、猜想和
(3) 想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想. 总结的能力.
师生活动：学生按照课件展示的步骤，完成作图和
测量，得出测量结果后小组讨论.
教师追问：你们能得出什么猜想吗？
预设：用一组含有两个数的平方和等于第三个数的
平方的数据，绘出的三角形是直角三角形.
教师总结猜想： 如果三角形的三边长 a，b，c 满
足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
证一证：
已知：如图，△ABC的三边长 a，
b，c ，满足a2 + b2 = c2． 设计意图：用完整的证明
求证：△ABC 是直角三角形． 让学生感悟数学的严谨
性，锻炼学生的综合应用
师生活动：学生独立思考，教师提 能力.
示，可以利用全等证明.构造
Rt△A′B′C′，选取合适的对应条件，再证明
△ABC≌△A′B′C′学生独立完成证明过程.
追问：你会选择什么对应条件呢？
预设1：两直角边分别为a，b 的
预设2：一条直角边为a，斜边为c.学生独立完成证明，选一名学生板书.
勾股定理的逆定理：
设计意图：勾股定理体现
如果三角形的三边长 a，b，c
由“形”到“数”的判定
满足 a2 + b2 = c2，那么这个
方法，而其逆定理体现由
三角形是直角三角形.
“数”到“形”的判定方
法，加强学生数形结合的
思维能力.
例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角
设计意图：学以致用，巩
三角形：
固学生对勾股定理逆定理
(1) a = 15，b = 8，c = 17；
的理解，培养学生的应用
(2) a = 13，b = 14，c = 15.
能力和解题能力.
师生活动：教师提问：三边长 a，b，c 满足什么条
件的三角形是直角三角形？
预设：a2 + b2 = c2.
追问：怎么判断题(1)、(2)的条件能否构成直角三角
形呢？
预设：计算题(1)、(2)中的 a，b，c 的值是否满足
a2 + b2 = c2.
学生独立完成计算，选两位同学板书，教师巡视.
练习2.一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则
这个三角形最长边上的高是 ( )
A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 设计意图：学以致用，巩
固学生对勾股定理逆定理
的理解，培养学生的应用
知识点二：勾股数
能力和解题能力.
教师叙述：如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 设计意图：勾股数的定义
不难理解，这里只做直叙.
性质：一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整
数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
知识点三：互逆命题与互逆定理教师叙述：前面我们学习了两个命题，分别为：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，
b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2.
命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足
a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
设计意图：回顾命题知识
点，加强新旧知识联系.
问题3观察两个命题的题设和结论，它们有何联
系？
师生活动：预设：它们是题设和结论正好相反的两
个命题.
归纳总结：
互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，
那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫
做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
互为逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正
十二、当堂 确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互
练习，巩固 为逆定理. 设计意图：教师直叙，再
所学
通过问题串的方式，引导
追问1我们学习了哪些互为逆定理的定理吗？ 学生进行猜想和判断，加
深对互逆命题和互为逆定
预设：勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.
理的理解.
追问2命题全是真命题吗？
预设：存在假命题.
追问3请同学们举出一些互逆命题，并思考：原命
题正确，它的逆命题是否也正确呢？
师生活动：学生分组讨论合作交流，然后举手发
言，教师适时记下一些互逆命题.(如：①对顶角相等
和相等的角是对顶角②两直线平行，内错角相等和
内错角相等，两直线平行③全等三角形的对应角相
等和对应角相等的三角形是全等三角形.)
教师总结：
(1) 命题有真有假，而定理都是真命题；
(2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有
逆定理；
(3) 原命题的真假与其逆命题的真假没有关系.
三、当堂练习，巩固所学
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7 B.5，12，13
C.1.5，2，2.5 D.1，3，5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形 设计意图：考查学生勾股
数概念的掌握.
3.在△ABC 中，∠A， ∠B，∠C 的对边分别为
a，b，c.
①若∠C - ∠B = ∠A，则△ABC 是直角三角形；
②若 c2 - b2 = a2，则△ABC是直角三角形，且∠C 设计意图：考查对勾股数
= 90°； 的概念和性质的掌握.
③若 (c + a)(c - a) = b2，则△ABC 是直角三角
形；
④若∠A∶∠B∶∠C = 5∶2∶3，则△ABC是直角
三角形.
以上命题中的假命题有 （ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 设计意图：考查运用勾股
定理的逆定理和勾股数概
念的掌握.
4. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 +
50 = 6a + 8b + 10c. 试判断△ABC 的形状.
设计意图：考查学生结合
新旧知识（整式的乘法）
解决问题的能力，以及对
简单勾股数的掌握.
勾股定理的逆定理：
板书设计 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
勾股定理的逆定理的证明是先作一个合适的直角三角形，再证明有已知条件
教学反思 的三角形和直角三角形全等等，这种证法学生不容易想到，难以理解，在教学时
应该注意启发引导.17.2 勾股定理的逆定理
第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用
教学内容 第 2 课时 勾股定理的逆定理的应用 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：能从实际生活中的问题抽象出几何模型，利用
数学中的建模思想构造直角三角形，在几何图形中抽象出数量关系，体验数学的
应用价值，提高数学学习兴趣.
核心素养目
2.会用数学的思维思考现实世界：能够借助几何图形的形象关系来研究数量关
标
系，有助于培养学生的几何直观，发展学生的空间想象能力．
3.会用数学的语言表示现实世界：利用勾股定理解决实际问题可以培养学生的发
散思维和综合解决问题的能力、提高学生分析问题和解决问题能力.
1.进一步理解勾股定理的逆定理.
知识目标 2.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题.
3.进一步加深性质定理与判定定理之间的关系的认识.
学会探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际
教学重点
问题.
教学难点 灵活应用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 十一、回顾旧知，导入新知
入 设计意图：旨在通过复习
勾股定理的逆定理来引入
教师叙述:回顾所学，并完成下列框图.
本课时的学习任务即应用
勾股定理及逆定理解决有
关实际问题.
师生活动：教师播放课件，展开思维导图，学生独
立思考，共同回答完成填空. 设计意图：让学生体会勾
股定理的逆定理在航海中
情境导入： 的应用，从而进一步体会
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需 数学的实用价值，激发学
要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定 习本节课的兴趣.
理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧.
二、探究新
知
设计意图：通过勾股定理
十八、小组合作，探究概念和性质 的逆定理在航海中的应用
的例题，激发学生的探索
欲望，
知识点一：勾股定理的逆定理的应用
例1 如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上.
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿
一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n
mile，“海天”号每小时航行 12 n mile. 它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距
30 n mile. 如果知道“远航”号沿东北方向航行，
能知道“海天”号
沿哪个方向航行吗？
设计意图：通过图表，引
导学生分析解题思路，体
会数形结合思想，实现由
例题分析：画图对学生来说，会有一定的难度； 这 具体到抽象的转变，培养
里将直接给出配图，如果学生能准确的画出也可利 解题能力.
用学生画的图进行进一步的分析（画图也是本节课
的难点）.
师生活动：教师播放课件，利用图表引导学生分析
解析思路，学生独立思考，共同回答完成填空.
再根据填空，独立完成解题.
设计意图：巩固勾股定理
逆定理，锻炼学生从实际
问题中抽象出数学问题的
能力，培养学生运用勾股
定理逆定理解题的能力.
练习1. A、B、C 三地的两两距离如图所示，A 地
设计意图：巩固勾股定理
在 B 地的正东方向，C 在 B 地的什么方向？
逆定理，锻炼学生从实际
问题中抽象出数学问题的
能力，加深学生对勾股定
理逆定理的理解.
师生活动：教师引导学生分析解析思路.学生独立完
成作答.学一名学生板书，教师巡视.
练习2.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标
准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝
DC＝8 m，AD ＝ BC ＝6 m，AC ＝9 m，请你运
用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？
设计意图：锻炼学生添加
师生活动：教师引导学生分析解析思路.学生独立完 合适辅助线的能力，培养
学生运用勾股定理逆定理
成作答.
解题的能力.
提问1要得出什么条件才算是挖的是否合格呢（判
定它是长方形）？
预设：∠D或∠B为直角.知识点二：勾股定理及其逆定理的综合应用
例2 如图，四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝
3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形 ABCD 的
面积. 设计意图：锻炼学生会利
用勾股定理解决网格中的
作图问题，提高学生运用
勾股定理逆定理解题的能
力.
师生活动：教师引导学生分析解析思路.添加合适的
辅助线，学生独立完成作答.
十三、当堂 教师：不规则四边形怎么计算面积？
练习，巩固 预设：用割补法，拆成三角形.
所学
设计意图：题1、2考查学
练习3. 如图，在网格图中，每个小正方形的边长都 生灵活应用勾股定理的逆
为 1，△ABC 的顶点均位于格点上. 定理解决几何问题的能
(1) 判断∠C 是否为直角，并求出△ABC 的面积； 力、锻炼几何想象力.
(2) 请在网格图中分别画出顶点均在格点上的三角
形，使其分别满足以下要求：
①画一个直角边为 3，面积为 6 的直角三角形
②画一个面积为 5 的等腰三角形. 设计意图：考查学生灵活
应用勾股定理及其逆定理
师生活动：学生独立完成题(1)，选 解决实际问题的能力.
一名学生板书.独立思考后小组讨
论，师生共同完成题(2).
三、当堂练习，巩固所学
1. 在△ABC 中，三边长分别为 3，4，5，那么最长
边上的高为_______.
2. 若一个三角形的三边长之比为 3∶4∶5，且周长为
60 ，则它的面积为____________.
设计意图：考查学生添加
辅助线作图以及灵活应用
3.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消 勾股定理及其逆定理解题
息，在海面上有疑似漂浮目标 A、B．于是，一艘 的能力.
搜救艇以16 海里/时的速度离开港口 O（如图）沿
北偏东 40° 的方向向目标 A 的前进，同时，另一
艘搜救艇也从港口 O 出发，以 12 海里/时的速度
向着目标 B 出发，1.5小时后，他们同时分别到达
目标 A、B．此时，他们相距 30 海里，请问第二
艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？
北
A
D
B
O
4. 如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AB = 3
cm，AD = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四
边形 ABCD 的面积.勾股定理逆定理的应用
板书设计
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
勾股定理及其逆定理是直角三角形的非常重要的性质，认真审题，画出符合
题意的图形，熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题.本节课希望学生能熟练掌
教学反思
握直角三角形的边、角之间所存在的关系，还要能灵活应用直角三角形的勾股定
理和逆定理来解决问题.
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角特征
教学内容 第1课时 平行四边形的边、角特征 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界： 用实际生活中的图片让学生感受到平行四边形
在生活中无处不在，体会数学的应用价值，提高学习兴趣.
2.会用数学的思维思考现实世界：使学生经历充分地观察、猜想、验证、推理、
核心素养目
交流、应用等数学活动后获得结论，这对于培养学生的观察能力、推理能力、图
标
形处理能力、探索及解决问题的能力.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，会用数学的语言表
达发现的规律，发展学生分析问题、解决实际问题的能力.
1.理解平行四边形的定义及有关概念.
知识目标
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质.3.了解平行四边形在实际生活中的应用,能根据平行四边形的性质进行简单的计算
和证明.
教学重点 平行四边形的概念和性质.
教学难点 平行四边形性质的探究与证明.平行四边形性质证明过程中的基本思想方法.
教学准备 课件、直尺、量角器、剪刀
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 十二、创设情境，导入新知
入
设计意图：用可爱趣味的
教师叙述：小学我们就学过平行四边形，通过下面
视频讲解，吸引学生的注
的视频，你还能找到类似的例子吗？
意力，由图形的直观认识
引发学生的思考，让学生
能够描述出平行四边形的
特征，弄清四边形与平行
四边形的从属关系，明确
四边形与平行四边形的异
同点，为概念的形成做好
铺垫.
设计意图：用实际生活中
观察下图，平行四边形在生活中无处不在. 的图片让学生感受到平行
四边形在生活中无处不
在，体会数学的应用价值.
二、探究新
知
设计意图：突出概念本
十九、小组合作，探究概念和性质 质，深化对定义的理解.将
对边、对角等概念由媒体
形象生动的展示，可使枯
知识点一：平行四边形的定义
燥的概念更加灵动，让学
生自觉地进入到对定义的
问题1通过上述的实际例子，什么样的图形叫做平 深入探究中来.
行四边形呢？
平行四边形的定义：
两组对边分别平行的
四边形叫做平行四边形.
几何语言表述：
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
设计意图：突出概念本
质，深化对定义的理解.将
师生活动：学生之际额回答平行四边形的定义，点
对边、对角等概念由媒体
同学回答几何语言描述，教师板书.
形象生动的展示，可使枯
燥的概念更加灵动，让学
生自觉地进入到对定义的
思考1：组成平行四边形的基本元素有哪些？ 深入探究中来.符号：
记作： ABCD 设计意图：突出概念本
读作：平行四边形ABCD. 质，深化对定义的理解.在
问答中培养学生的逻辑思
维能力.
师生活动：多媒体演示，学习平行四边形的表示
法、读法及对边、对角、邻边、邻角等概念.
思考2：平行四边形和四边形的联系是什么？
师生活动：教师引导学生梳理四边形与平行四边形
的包含关系.四边形一定是平行四边形吗？
设计意图：通过测量自己
预设：不一定是.一个“四边形”必须具备“两组对
绘画的平行四边形，用直
边分别平行”才是平行四边形；反之，平行四边形
观的数据引发学生猜想，
一定是“两组对边分别平行”的“四边形”.
并用拼图的活动启发学生
知识点二：平行四边形的边、角的特征 得到平行四边形的对边、
对角之间的相等关系，联
教师叙述：通过上述的学习，我们知道平行四边形 想到将平行四边形问题转
两组对边分别平行. 除此之外，平行四边形还有什 化为三角形问题解决的方
么性质呢？ 法.
探究：根据定义，请画一个平行四边形 ABCD.
活动1 请用尺子等工具度量你手中平行四边形的
四条边，并记录下数据，你能发现 AB 与 DC，
AD 与 BC 之间的数量关系吗?
活动2 请用量角器等工具度量你手中平行四边形
的四个角，并记录下数据，你能发现∠A 与∠C，
∠B 与∠D 之间的数量关系吗?
活动3 请用剪刀，沿 AC 将平行四边形剪成两个
三角形，你能发现这两个三角形有什么样的关系吗?
师生活动：教师播放课件，展开活动步骤，学生按
照步骤独立完成绘图，并在完成每一个活动后，进 设计意图：注重直观操作
行小组讨论，选派代表回答问题. 与逻辑推理的有机结合，
通过证明，验证了猜想的
正确性，让学生感受到数
学结论的确定性和证明的
追问 平行四边形的两组对边，两组对角有什么数 必要性.
量关系？
预设：两组对边及两组对角分别相等.证一证
已知：四边形 ABCD 是平 设计意图：注重加强新旧
行四边形. 知识之间的联系，通过证
求证：AD = BC，AB = 明加深对平行四边形性质
CD， 的理解，培养综合运用能
∠BAD = ∠BCD，∠ABC = ∠ADC. 力.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
完成证明，选一名学生板书.
提问1：证明线段相等、角相等，一般用什么方
法？
预设：一般利用全等的方法证明.
提问2：图形中没有三角形，只有四边形，你会证
明添加辅助线呢？
预设：构造平行四边形的对角线.
设计意图：注重加强新旧
知识之间的联系，通过证
思考3：不添加辅助线，你能否直接运用平行四边 明加深对平行四边形性质
的理解，培养综合运用能
形的定义，证明其对角相等？
力.
师生活动：学生独立思考并证明，有遇到困难的学
生可以提示运用平行线的性质证明.
平行四边形的性质：
平行四边形的对边相
等．
平行四边形的对角相等.
几何语言表述： 设计意图：用简单问题引
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 导学生总结平行四边形的
∴ AB = CD，AD = BC， 性质，和延伸条件.为后面
∠A =∠C，∠B = ∠D 思考平行线的距离做铺垫.
例1 如图，在 ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD，
垂足分别是 E，F．
求证：AE = CF．
设计意图：新旧知识结
合，培养学生分析问题、
归纳问题的能力.
师生活动：学生独立思考并证明，有遇到困难的学
生可以提示运用平行线的性质证明.
设计意图：巩固平行线之
间距离的定义，培养发散
知识点三：平行线间的距离性思维.
追问1 如图 a∥b，c∥d ，我们能得出 AD = BC
？
十四、当堂
练习，巩固
所学
设计意图：考查学生对平
总结：两条平行线之间
行四边形的定义和性质的
的平行线段相等.
掌握.
追问2 如图，直线 a∥b，D，C 为直线 a 上任意
两点，点 D 到直线 b 的距离和点 C 到直线 a 的
距离相等吗？
总结：如果有两条直线平行，那么一条直线上所有
的点到另一条直线的距离都相等.
设计意图：考查学生对平
行线间的距离性质的掌握.
思考4：两条平行线之间的距离和点与点之间的距
离、点到直线的距离有何联系与区别？
总结：任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯
设计意图：考查学生灵活
一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段长度.
运用平行四边形的性质和
三角形全等证明的方法解
决问题的能力.
练习3. 在同一平面上，直线 a，b，c 是三条平行
直线. 如果直线 a 和 b 的距离为 6，直线 b 和
c 的距离为 3，那么直线 a 和 c 的距离为
设计意图：考查学生灵活
.
运用平行四边形的性质进
行计算的能力.
三、当堂练习，巩固所学
1. 判断题 (对的在括号内填“ √ ”，错的填
“×”)：
(1) 平行四边形两组对边分别平行且相等. ( )
(2) 平行四边形的四个内角都相等. ( )
(3) 平行四边形的相邻两个内角的和等于
180°. ( )
(4) 如果平行四边形相邻两边长分别是 2 cm 和 3
cm，那么周长是10 cm. ( )
(5) 在平行四边形 ABCD 中，如果∠A = 42°，
那么∠B = 48°. ( )
2. 如图(1)，直线 AE∥BD，点 C 在 BD 上， 若
AE = 5，BD = 8，△ABD 的面积为 16，则△ACE
的面积为 .
A M D
(1) (2)
B C3. 如图(2)，在 ABCD 中，AD = 2AB，CM 平分
∠BCD，交边 AD 于点 M，AM = 4，
则 AD = ________.
4. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 EDF 部
分打碎了，现在只测得 AE = 60 cm，BC = 80 cm，
∠B = 60°，且 AE∥BC，AB∥CF，你能根据测得的
数据计算出 DE 的长度和∠D 的度数吗？
A E
D
F
B
C
平行四边形的性质
∵AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
板书设计
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB = CD，AD = BC，
∠A =∠C，∠B = ∠D
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
学生对平行四边形概念的理解，需要建立在对概念的内涵定义法的理解之上，而
学生在小学学习平行四边形时，只停留在对图形的识别上，缺乏这方面的训练.因
教学反思 此，学生极易把平行四边形的概念当作已知，而忽视平行四边形与四边形概念的
内涵包容、共性与个性以及它们的从属关系，容易造成只知道平行四边形的特
性，而不知它是四边形的现象.
18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线的特征
教学内容 第2课时 平行四边形的对角线的特征 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界： 用实际生活中的情境让学生感受到平行四边形
在生活中广泛用途，体会数学的应用价值，提高学习兴趣.
2.会用数学的思维思考现实世界：使学生经历充分地观察、猜想、验证、推理、
核心素养目
交流、应用等数学活动后获得结论，这对于培养学生的观察能力、推理能力、图
标
形处理能力、探索及解决问题的能力.
3.会用数学的语言表示现实世界：培养学生的数学应用意识，会用数学的语言表
达发现的规律，发展学生分析问题、解决实际问题的能力.1.理解平行四边形对角线互相平分的性质.
知识目标 2.会利用平行四边形的性质解决问题.
教学重点 理解平行四边形对角线互相平分的性质.
教学难点 利用平行四边形的性质解决问题.
教学准备 课件、剪刀
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 十三、创设情境，导入新知
入
设计意图：此处创设趣味
教师叙述：一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛
生动的故事情境，激发学
勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边
生学习兴趣，引出本节课
形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给
探索的内容.
他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地
少，同学们，你认为老人这样分合理吗?为什么?
设计意图：复习巩固，加
深对平行四边形的边和角
性质的记忆，为后面学习
复习引入：上节课我们研究了平行四边形的边和角 平行四边形的对角线的性
这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线 质做铺垫.
又具有怎样的性质呢?
二、探究新
知
二十、小组合作，探究概念和性质
设计意图：引导学生回忆
以往探究几何性质的方
知识点一：平行四边形的对角线互相平分
法，培养学生自主学习的
能力.
探究 如图，在 ABCD 中，连接 AC，BD，并设
它们相交于点 O，OA 与 OC，OB 与 OD 有什么
关系？
师生活动：教师引导学生思考探究步骤.先观察再猜
测，从实验到证明.
教师提问：从图形观察，你们认为OA 与 OC，OB
与 OD 有什么关系？ 设计意图：通过小组试
预设：OA = OC，OB = OD 验，用直观的数据引发学
生猜想，并用拼图的活动
启发学生得到平行四边形
的用构造三角形全等的方
法，证明试验结果.
测一测
师生活动：教师引导学生回忆思考试验方法：度量
设计意图：注重直观操作
法、剪拼法.学生独立完成测量剪拼后，小组讨论，
与逻辑推理的有机结合，派代表回答试验结果. 通过证明，验证了猜想的
正确性，让学生感受到数
学结论的确定性和证明的
必要性.
证一证
已知：如图， ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点
O.求证：OA = OC，OB = OD.
师生活动：教师引导学生
分析解题思路，学生独立
完成证明，选一名学生板
书，教师规范书写.
归纳总结
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线 设计意图：综合运用平行
互相平分． 四边形的对角线的性质和
几何语言表述： 三角形全等的判定进行证
∵ 四边形 ABCD 是 明，证明加深对平行四边
平行四边形， 形的对角线的性质的理
∴ OA = OC，OB = OD. 解，培养综合运用能力.
例1 如图， ABCD 的对角线 AC，BD 交于点
O. 过点 O 作直线 EF，分别交 AB，CD 于点 E，
F. 求证：OE = OF. 设计意图：培养观察和归
纳的能力，对于观察能力
不够强的学生，多经历几
次证明也能够得出结论.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
完成证明，选一名学生板书，教师规范书写.
思考1 改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立
吗?
议一议
1. 请判断下列图中，OE = OF 还成立么？
设计意图：巩固对平行四
边形的对角线的性质的理
解，锻炼做题能力，提高
解题技巧.
师生活动：教师引导学生得出判断，对于困难的学
生可以提示根据例1再完成一次证明.
预设：成立，因为改变EF，不改变判定
△DOF≌△BOE 全等的条件.总结 过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边
形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总
相等.
练习1. 已知 ABCD 的周长为 60 cm，对角线
AC、BD相交于点 O，△AOB的周长比△DOA 的
周长长 5 cm，求这个平行四边形各边的长. 设计意图：巩固对平行四
边形的对角线的性质的理
解，锻炼做题能力，提高
解题技巧.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
完成计算.
总结 平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻
两个三角形的周长之差的绝对值等于邻边边长之差
的绝对值．
设计意图：首尾呼应，解
决导入中的问题，让学生
再学以致用中获得成就
感，加深对平行四边形对
知识点二：平行四边形的面积
角线性质的理解.
例2 如图，在 ABCD 中，AB = 10，AD = 8，
AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA 的长，以及 ABCD
的面积.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
完成计算.
设计意图：变式训练，引
导学生发现规律，锻炼解
题能力.
回顾导入
你能利用平行四边形的性质判定老人这样分地合理
吗?
设计意图：通过变式，引
导学生发现规律，锻炼学
师生活动：教师播放课件，师生共同分析总结. 生观察发现和总结的能
力，提高解题技巧.
总结 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 4
个面积相等的小三角形.
议一议
2. 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四
边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等
吗？
十五、当堂练习，巩固
所学
设计意图：考查学生对平
行四边形对角线性质的掌
师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
握.
完成计算.
思考2 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，
平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积
相等吗？ 设计意图：考查学生灵活
运用平行四边形对角线性
质的解题的能力.
师生活动：教师引导学生得出判断，对于困难的学
生可以让他们课后证明.
总结 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分 设计意图：考查学生的抽
成面积相等的两部分. 象概括能力和对平行四边
形对角线性质的掌握.
三、当堂练习，巩固所学
1. 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错
误的是 ( )
A．∠ABO =∠CDO
B．∠BAD =∠BCD
C．AO = CO
D．AC⊥BD
2. 在 ABCD 中，AC = 24，BD = 38，AB = m，
则 m 的取值范围是 ( )
A.24＜m＜39
B. 14＜m＜62
C. 7＜m＜31
D. 7＜m＜12
3. 如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水
井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井修小
路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学
们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？
平行四边形的性质
板书设计
平行四边形的对角线互相平分．
几何语言表述：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
课后小结
平行四边形是在学生掌握了平行线、三角形及简单图形的平移等几何知识的基础
上进一步认识学习更复杂的平面几何图形.平行四边形及其性质是本节的重点，又
教学反思 是全章的重点.学习它不仅是对已学平行线、三角形等知识的综合应用和深化，提
升推理探究能力，又是下一步学习矩形、菱形、正方形及梯形等特殊四边形的基
础，起着承上启下的作用.
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定 1
教学内容 第1课时 平行四边形的判定 1 课时 1
1.通过探究平行四边形的判定定理，培养学生发现、猜想、验证的学习方法，发
展质疑问难的批判性思维.
核心素养目 2.通过理解平行四边形的判定定理，让学生感悟判定定理与性质的互逆关系，发
标 展类比归纳和创新能力.
3.通过学习综合运用平行四边形的性质与判定解决问题，培养数学应用意识，一
题进行多解，便于思维发散.
1.掌握平行四边形的三种判定定理；
知识目标 2.综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．
教学重点 掌握平行四边形的判定定理.
教学难点 综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、复习导 一、复习回顾，导入新知
入
教师提问：根据以往几何学习的经验，接下来我们
设计意图：复习回顾，加
应该研究什么呢
强新旧知识的联系，引导
学生主动思考，培养学生
师生活动：学生独立思考并作答，教师播放对应的 独立自主学习的能力，掌
课件内容. 握正确的学习方法，形成
预设：学习集合，研究几何的定义(概念)、性质、 有条理的思维模式.
判定，现在要学习判定.设计意图：培养学生的类
比归纳能力，发展推理意
识.
教师叙述：根据定义，可以判定一个四边形是不是
平行四边形.除了平行四边形的定义，我们如何寻找
其他的判定方法呢？
类比勾股定理，你能发现什么吗？
设计意图：设问层层递
进，培养学生自主学习，
独立思考的习惯.
师生活动：学生独立思考并回答问题
预设：勾股定理的性质定理的逆定理也成立.
师生活动：教师顺势提问，平行四边形性质的逆命
题也会成立吗？
学生独立思考，教师引导学生先回复平行四边形的
性质，再根据性质写出其逆命题.
选几名学生回答自己写的逆命题，教师播放课件.
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：两组对边分别相等的四边形是平行四边
形
设计意图：引导学生回
顾，培养自主学习的能
证明猜想1 力，加强新旧方法间的练
习.
教师叙述：同学们，拿出一张白纸，在纸上画出一
个如图的平行四边形，然后写出已知和求证的条
件，想一想怎么去证明？
设计意图：锻炼学生的证
师生活动：教师提问，我们在学习平行四边形的性 明、推理能力，学习规
质时，是如何证明的？学生独立思考，共同回答是 范、正确的证明过程，培
将四边形的判定证明，转化成三角形全等的证明. 养有条理的思维模式.
证一证
四边形 ABCD 中，AB = DC， AD = BC.求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
师生活动：学生独立思考，在教师的引导下作辅助
线，选一位学生板书，教师巡视，并规范证明过程.
设计意图：巩固对平行四
平行四边形的判定定理
边形的判定定理 1 的理
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
解，锻炼学生的应用意识
和证明能力.
几何语言描述：
∵ 在四边形 ABCD 中，
AB = CD，AD = CB，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
练习1. 如图，AD⊥AC，BC⊥AC，且 AB = CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
设计意图：培养学生的发
散性思维和综合应用能
师生活动：学生独立做题，选一位学生板书，教师
力，不陷入思维定势；能
巡视，并规范证明过程.
够应用新旧知识解决问题.
知识点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边
形
证明猜想2
已知：四边形ABCD中，∠A = ∠C，∠D = ∠B.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
师生活动：教师引导学生思考证明思路——该题型
不需要通过全等证明，利用平行线判定更为简便.学
生独立完成证明.
平行四边形的判定定理
两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 设计意图：巩固对平行四
边形的判定定理 2 的理几何语言描述： 解，培养发散性思维.
∵ 在四边形 ABCD 中，
∠A =∠C，∠B =∠D，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
练习2. 判断下列四边形是否为平行四边形：
设计意图：巩固对平行四
边形的判定定理 2 的理
解，锻炼学生的应用意识
3. 能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件：
和证明能力.
∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的值为 ( )
A. 1∶2∶3∶4 B. 1∶4∶2∶3
C. 1∶2∶2∶1 D. 3∶2∶3∶2
师生活动：学生独立思考后共同回答题2.选一位同
学回答题3，其他同学判断正误.
知识点三：对角线互相平分的四边形是平行四边形 设计意图：通过问题串的
方式帮助学生理清解题思
证明猜想3 路，调动学生的主观能动
性，养成有逻辑的解题思
已知：四边形 ABCD 中，AC，BD 相交点 O， 维.
OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
思考下列问题：
问题1：上述问题，实际证明什么？
预设：证明 AD∥BC，AB∥CD
问题2：证明 AD∥BC，AB∥CD，根据平行的判
定，利用角的关系进行证明，如何找角的关系？
预设：运用三角形全等证明，找到角的关系.
设计意图：巩固对平行四
边形的判定定理 3 的理
解，锻炼学生的应用意识
和证明能力.
平行四边形的判定定理
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言描述：∵ 在四边形 ABCD 中，
AO = CO，DO = BO，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
十六、当堂
练习，巩固 例1 如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点
所学
O，E，F 是 AC 上的两点，并且 AE = CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
设计意图：考查学生对平
行四边形的判定定理的掌
握.
师生活动：学生独立做题，选一位学生板书，教师
巡视，并规范证明过程.
设计意图：考查综合运用
平行四边形的判定定理进
行解题的能力.
三、当堂练习，巩固所学
1. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列
哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（
）
A．OA = OC，OB = OD
B．AB = CD，AO = CO
C．AB = CD，AD = BC 设计意图：考查学生对平
D．∠BAD =∠BCD，AB∥CD 行四边形的判定定理的掌
握以及作图能力.
2. 如图，在四边形 ABCD 中，
(1) 如果 AB∥CD，AD∥BC，那么四边形 ABCD
是___________.
(2) 如果∠A∶∠B∶∠ C∶∠D = a∶b∶a∶b(
a，b 为正数)，那么四边形 ABCD 是
_____________.
(3) 如果 AD = 6 cm，AB = 4 cm，
那么当 BC =____cm，CD =____cm 时，
四边形 ABCD 为平行四边形.
3. 昨天小明同学在生物实验室做实验时，不小心碰
碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片，
只剩下如图所示部分，他想买一块玻璃赔给学校，
带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原
来的平行四边形重新在纸上画出来? 然后带上图纸
去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢(
A，B，C 为三顶点，即找出第四个顶点 D )？第1课时 平行四边形的判定
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
∵ 在四边形 ABCD 中，
AB = CD，AD = CB，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
板书设计
几何语言描述：
∵ 在四边形 ABCD 中，
AB = CD，AD = CB，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
∵ 在四边形 ABCD 中，
AO = CO，DO = BO，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课是平行四边形的判定的第一课时，其探究的主要内容是“两组对边分别相
等的四边形是平行四边形”，以及“对角线互相平行的四边形是平行四边形”这
教学反思
两种判定方法。它是在学习了三角形的相关知识、平行四边形的定义、性质的基
础上进行学习的，在教学内容上起着承上启下的作用。
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定 2
教学内容 第2课时 平行四边形的判定 2 课时 1
核心素养目 1.通过探究“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法，培养学
标 生的类比归纳能力，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.2.通过学习平行四边形性质与判定的综合运用，锻炼学生的应用能力，更好地进
行知识建构，实现良性循环.
3.通过学习综合运用平行四边形的性质与判定解决问题，培养数学应用意识，一
题进行多解，便于思维发散.
1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；
知识目标 2．平行四边形性质与判定的综合运用．
教学重点 掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；
教学难点 平行四边形性质与判定的综合运用．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境，导入新知
入
设计意图：通过实际生活
教师叙述：数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国
中的情境导入新课，提高
新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨
学生的学习兴趣，感受到
互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的
数学知识在生活中无处不
呢？
在；培养学生的抽象能力
和自主学习精神，发展推
理能力.
想一想：1.为了确保铁轨之间互相平行，工人在铁
轨之间加入了什么样的枕木？
师生活动：教师播放课件展示下图，引导学生把该
问题转化成几何问题，学生独立思考并作答.
预设：在边AB、CD满足什么条件时，有AC∥BD.
设计意图：培养学生的抽
想一想：2.如果只考虑四边形的一组对边，它们满 象推理能力，为后面的探
足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 究指明方向.
师生活动：学生独立思考并作答，教师选几名学生
回答.
预设1：一组对边相等.
预设2：一组对边平行.
预设3：一组对边平行且相等.
二、探究新
知
设计意图：对猜想逐一进
行验证，培养学生形成有
条理的思维方式.
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形猜想一：一组对边相等的四边形是平行四边形.
师生活动：学生独立思考并作答，教师选学生回答.
预设：可提出如下多种反例，故猜想不成立.
猜想二：一组对边平行的四边形是平行四边形.
师生活动：学生独立思考并作答，共同回答.
预设：可提出如下多种反例，故猜想不成立.
设计意图：对猜想逐一进
行验证，培养学生形成有
条理的思维方式.
猜想三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边
形.
教师提问：同学们，拿出一张
白纸，在纸上画出一个平行四
边形，然后写出已知和求证的
条件，想一想怎么去证明？
设计意图：锻炼学生的证
已知：四边形ABCD中， 明、推理能力，学习规
AB = DC，AB∥DC. 范、正确的证明过程，培
求证： 四边形 ABCD 是 养有条理的思维模式.
平行四边形.
师生活动：教师引导学生分
析解题思路，作辅助线，运用三角形全等进行证
明；学生独立完成证明，选一名学生板书，教师规
范证明过程.
设计意图：巩固“一组对
边平行且相等的四边形是
平行四边形”的判定方法
平行四边形的判定定理
的理解和运用，锻炼学生
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
的应用意识和证明能力.
几何语言描述：
∵在四边形 ABCD 中，
AB∥CD，AB = CD， 设计意图：考差学生对目
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 前所有几种平行四边形判
定方法的掌握.例1 如图 ，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别
是 AB，CD 的中点.
求证：四边形 EBFD 是平行四边形.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
完成证明，选一名学生板书，教师规范证明过程.
设计意图：帮助学生梳理
练习 1.已知四边形 ABCD 中有四个条件：
平行四边形判定方法的组
AB∥CD，AB = CD，BC∥AD，BC = AD，从中任
成，培养归纳总结能力，
选两个，不能使四边形ABCD 成为平行四边形的选
便于学生理解和记忆.
法是 （ ）
A．AB∥CD，AB = CD
B．AB∥CD，BC∥AD
C．AB∥CD，BC = AD
D．AB = CD，BC = AD
归纳总结
现在你学会了几种平行四边形的判定方法?
设计意图：锻炼综合运用
平行四边形的判定方法的
进行解题的能力.
师生活动：学生根据表格完成填空，回忆平行四边
形的判定方法.
知识点二：平行四边形的性质与判定的综合运用
例 2 如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，
设计意图：考查对平行四
DF∥BC，EF∥AC，试问 BF 与 CE 相等吗？为什
边形的判定方法的掌握，
么？
以及锻炼解题的能力.
十七、当堂
练习，巩固 师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
所学 完成证明，选一名学生板书，教师规范证明过程.
设计意图：考查学生对平
行四边形的判定定理的掌
练习2. 四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交 握.
于点 O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝
BC；③OA＝OC；④OB＝OD. 从中任选两个条
件，能使四边形ABCD 为平行四边形的选法有(
l
) D E C
A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．6 种
3. 如图，将▱ABCD 沿过点 A 的 A 直线 D l ′ 折叠 B ，使 设计意图：考查综合运用点D 落到 AB 边上的点 D′处，折痕 l 交 CD 边 平行四边形的判定定理进
于点 E，连接 BE．求证：四边形 BCED′是平行 行证明的能力.
四边形.
三、当堂练习，巩固所学
1.在▱ABCD 中，E、F 分别在 BC、AD 上，若想
要使四边形 AFCE 为平行四边形，需添加一个条 设计意图：考查学生对平
行四边形的判定定理的掌
件，这个条件不可以是
握以及作图能力.
（ ）
A．AF = CE A F D
B．AE = CF
C．∠BAE = ∠FCD
D．∠BEA = ∠FCE
2. 如图，点 E，C 在线段 BBF 上，BEE = CF，C∠B
=∠DEF，∠ACB =∠F，求证：四边形 ABED 为平
行四边形．
A D
P
B E C F
3. 如图，△ABC 中，AB = AC = 10，D 是 BC
边上的任意一点，分别作 DF∥AB 交 AC 于 F，
DE∥AC交 AB 于 E，求 DE + DF 的值．
A
F
E
B D C
第2课时 平行四边形的判定 2
平行四边形的判定定理
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
板书设计
几何语言描述：
∵在四边形 ABCD 中，
AB∥CD，AB = CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.本节课除了需要讲授平行四边形“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”
的判定方法，还要从中培养学生的抽象能力，能够将实际问题转化成几何问题，
教学反思
发展几何直观；更要让学生学会综合平行四边形的性质进行解题，发展综合应用
的能力.
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第3课时 三角形的中位线
教学内容 第3课时 三角形的中位线 课时 1
1.通过探究“中位线的定义及中位线定理，经历观察、猜想、思考、验证，培养
学生的抽象和能力和推理能力.
核心素养目 2.在推理证明的过程中，感悟中位线定理与平行四边形的判定之间的联系，形成
标 转化、化归的数学思想.
3.通过利用三角形的中位线定理解决数学问题，培养数学应用能力、创新思维，
提高分析和解决问题的能力.
1．掌握中位线的定义及中位线定理；
知识目标 2．灵活添加辅助线，利用三角形的中位线定理解决数学问题．
教学重点 掌握中位线的定义及中位线定理；
教学难点 灵活添加辅助线，利用三角形的中位线定理解决数学问题．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境，导入新知
入
设计意图：通过实际生活
思考 如图，有一块三角形蛋糕，准备平分给四个小
中的情境导入新课，提高
朋友，要求四人所分的形状大小相同，该怎样分
学生的学习兴趣，感受到
呢？
数学知识在生活中无处不
在；培养学生的抽象能力
和自主学习精神，发展推
理能力.
师生活动：学生独立思考后，教师引导学生把该问
题转化成几何问题，
即：如图，如何做辅助线，将 △ABC 分成 4 块面
积相等的部分？
学生独立思考，教师顺势引出本课的学习方向.
设计意图：通过类比平行
四边形的作辅助线方法；
想一想：是否可以作辅助线构造▱ABCD.
引导学生学习本节课作辅
助线的思考方向，培养学
生的自主学习精神，发展
逆向思维.二、探究新
知
设计意图：中位线的知识
浅显易懂，这里只做平铺
直叙；采用设问的方式，
让学生理解中位线定理的
二、小组合作，探究概念和性质
条件与结论之间的互逆关
系，发展学生的逆向思维.
知识点一：三角形的中位线定理
教师叙述：如图，在△ABC 中，D、E 分别是
AB、AC 的中点，连接 DE，像 DE 这样，连接三
角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如果已知DE 为△ABC 的中位线，那么D、E 分别
是 AB、AC 的什么点呢？ 设计意图：让学生动手操
作，自主探究；发展学生
师生活动：学生独立思考并作答. 的自主学习能力及合作交
预设：D、E 分别是 AB、AC 的中点. 流的能力.
问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中
画出它所有的中位线吗？
.
设计意图：培养学生总结
归纳的能力，不混淆中位
线和中线的知识点.
师生活动：学生独立思考并作图，小组讨论后选派
代表回答问题.
预设：有三条.如图，△ABC 的中位线是 DE、
DF、EF.
问题2 三角形的中位线与中线一样吗？
师生活动：学生思考后共同回答：不一样.在教师的
引导下，分析中位线与中线的异同点.
设计意图：用问题串的方
式，引导学生思考；培养
学生有条理有逻辑的思维
相同点：都是与中点有关的线段.
方式.
不同点：中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线
段.问题3：如图，DE 是△ABC 的中位线，
DE 与 BC 有怎样的关系？
师生活动： 设计意图：在动手试验
追问1 两条线段之间，存在哪些关系？ 中，总结发现的猜想和规
预设：位置关系和数量关系. 律，培养学生的动手能力
和归纳总结能力.
追问2 你觉得DE 与 BC 存在什么样的位置关系和
数量关系呢？
学生独立思考，并在教师的引导下提出猜想：
预设1：DE 与 BC 可能存在平行，即DE∥BC.
预设2：BC 的长可能是BC 长的2倍.
问题4：度量一下你手中的三角形，看看是否有同
设计意图：用问题串的方
样的结论？并用文字表述这一结论．
式，引导学生思考证明方
法，为后面的证明做准备.
师生活动：学生使用直和三角尺，比对手中三角形
中位线及其底边的位置关系，并用刻度尺度量中位
线及其底边的长度，小组讨论后，师生共同总结.
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等
于第三边的一半．
问题5：如何证明你的猜想？
设计意图：锻炼学生的证
明、推理能力，学习规
师生活动：
范、正确的证明过程，培
追问1 证明线段平行，我们学过哪些方法？
养有条理的思维模式.
预设：证明角相等或证明线段所在的四边形为平行
四边形.
追问2 证明线段相等，我们学过哪些方法？
预设：证明线段所在的三角形全等、证明线段所在
的四边形为平行四边形.
.
证一证
1. 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC
边的中点. 求证： =
11
DDEE∥∥BBCC，，DDEEBBCC..
22
师生活动：教师引导学生分析解题思路，作辅助
线，运用三角形全等进行证明；学生独立完成证
明，选一名学生板书，教师规范证明过程.
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三
设计意图：巩固三角形中
边的一半.
位线定理的理解和运用，
锻炼学生的应用意识和证
几何语言描述：
明能力.
△ABC 中，若 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
1
2则 DE∥BC，DE = BC．
问题6 根据三角形的三条中位线能得到什么结论？
师生活动：学生在教师的引导下，写出由中位线定
理可判定出的平行四边形，再根据平行四边形的性
设计意图：培养学生的应
质，总结发现的规律.
用意识和作图能力，加强
前后知识的联系.
思考 如图，如何做辅助线，将 △ABC 分成 4 块
面积相等的部分？
设计意图：帮助学生加强
三角形中位线定理的理
解，培养应用能力，提高
解题技巧.
师生活动：学生独立思考并作图，选一名学生板
书，再选一名有不同答案的学生板书.
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，E 为 AB 的中
点，在 AB 的延长线上取一点 D，使 BD＝AB，求
证：CD＝2CE.
设计意图：锻炼运用三角
形中位线定理的进行解题
的能力.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，作出辅助
线.学生独立完成证明，选一名学生板书，教师规范
证明过程.
练习1. 如图，△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC
中点．
设计意图：加强四边形与
(1) 若 DE = 5，则 BC = ．
三角形之间的联系，锻炼
(2) 若 ∠B = 65°，则∠ADE = °． 学生善于运用添加辅助线
(3) 若 DE + BC = 12，则 BC = ． 进行转化解题的能力.C
E
A D B
师生活动：学生独立思考完成填空，教师选学生作
答.
知识点二：三角形的中位线与平行四边形的综合运
十八、当堂 用
练习，巩固
所学 例 2 如图，在四边形 ABCD
D
中，E、F、G、H分别是 AB、
H
BC、CD、DA 中点． A
G
求证：四边形 EFGH 是平行四
E
设计意图：考查学生对三
边形.
B C 角形中位线定理的掌握.
F
师生活动：教师引导学生分析解题思路，把四边形
内的问题转化成三角形的问题；学生独立完成证
明，选一名学生板书，教师规范证明过程.
设计意图：考查运用三角
形中位线定理进行计算的
能力.
总结：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边
形是平行四边形.
设计意图：考查运用三角
三、当堂练习，巩固所学
形中位线定理进行推理和
计算的能力.
1. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在 A，B 外选一
点 C，连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC
的中点 M，N，如果测得 MN = 20 m，那么 A，B
两点间的距离为______m．
2. 如图，点 D、E、F 分别是 △ABC 的三边
AB、BC、AC 的中点.
(1) 若∠ADF = 50°，则∠B= °；
(2) 已知三边 AB、BC、AC 分别为 12、10、8，
则△ DEF 的周长为 .3. 如图，在△ABC 中，AB = 6 cm，AC = 10
cm，AD 平分∠BAC，BD⊥AD 于点 D，BD 的延
长线交 AC 于点 F，E 为 BC 的中点，求 DE 的
长．
第3课时 三角形的中位线
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.
板书设计
几何语言描述：
△ABC 中，若 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，
则 DE∥BC，DE =
1
BC．
2
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
三角形中位线是三角形中重要的线段，其性质是三角形的一个重要结论，它是前
面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称等知识内容的应用和深
教学反思
化，对进一步学习相关几何知识非常重要，尤其是在识别两条直线平行和验证线
段倍、分关系时经常用到.
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第1课时 矩形的性质
教学内容 第1课时 矩形的性质 课时 1
1.通过实际生活中的例子，引进矩形的性质和概念，培养学生的抽象概括能力，
感受到数学在现实生活中的广泛应用.
核心素养目 2.通过理解并掌握矩形的性质定理及推论，感悟平行四边形与矩形之间的从属关
标 系和内在联系，渗透一般到特殊的类比思想.
3.通过综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算，
发展数学应用意识和实践能力.
1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；
知识目标 2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；
3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．教学重点 理解并掌握矩形的性质定理及推论，用矩形的性质定理及推论进行推导证明；
教学难点 会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．
教学准备 课件、平行四边形木框
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境，导入新知
入
设计意图：通过实际问题
教师叙述：根据四边形的不稳定性，观察在平行四
及动手操作导入新课，提
边形的变化过程中，当有一个角是直角时，会产生
高学生的学习兴趣；培养
什么特殊的平行四边形？
学生的抽象能力和自主学
习精神，发展推理能力.
师生活动：学生独立思考后，动手拨动事先准备的
平行四边形木框，直到一个角等于90°.
预设：会得到矩形.
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质
设计意图：培养学生的总
结归纳能力，提升课堂参
知识点一：矩形的性质
与感.
教师叙述：同学们，能给这个图形下个定义吗？.
师生活动：学生独立思考并作答，教师总结定义.
矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， 设计意图：让学生感知到
也就是长方形. 矩形在生活中无处不在，
体会矩形在实际生活中的
运用以及本节课学习的意
问题1 矩形也是常见的图形，能否举出生活中矩形 义.
形象的例子？
设计意图：让学生回顾已
学知识，自主探究；培养
师生活动：学生积极回答，教师播放课件展示相应
学生的总结归纳能力，初
图片.
步发展从属关系和包含关系的思想.
问题2 四边形、平行四边形和矩形之间有什么关系
呢？
师生活动：学生思考后在教师的引导下，总结平行
四边形和矩形的定义.
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
归纳总结
设计意图：归纳矩形含有
一般平行四边形的性质；
同时引导学生类比平行四
边形的探究角度，探究矩
形的特有性质.
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边
形的所有性质，由于它有一个角为直角，它是否具
有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
设计意图：在动手操作
中，培养自主学习的习
问题3：能否类比平行四边形，从边，角，对角线
惯，并通过观察直观数
的角度研究矩形的特殊性质.
据，培养归纳总结的能力.
活动：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒
等.
(1) 请同学们以小组为单位，测量身边的矩形 (如书
本，课桌，铅笔盒等) 的四条边的长度、四个角的
度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
(2) 根据测量的结果,你有什么猜想？
师生活动： 设计意图：在证明中，加
学生小组为单位进行小组活动，并根据测量结果填 深对矩形性质的理解，感
写表格；小组讨论吼选派代表总结猜想. 受数学的严谨性.
预设1：矩形的四个角都是直角.
预设2：矩形的对角线相等.
证一证
(1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.
求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
设计意图：锻炼学生的证
明能力，培养应用意识.
师生活动：学生独立完成证明.(2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，
∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求
证：AC = DB.
师生活动：教师分析解题思路，运用全等证明，学
生独立完成证明过程，选一名学生板书.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°，
在 △ABC 和 △DCB 中，
∵ AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴ AC = DB.
归纳总结
矩形的性质：
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分.
角：矩形的四个角都是直角.
对角线；矩形的对角线相等.
设计意图：锻炼学生的证
明、推理能力，和应用能
几何语言描述： 力.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠ABC =∠BCD =∠DCA = ∠DAB = 90°，
AC = BD.
练习1. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的
点，AE = AD，
DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC.
设计意图：巩固学生对矩
形的对角线性质的掌握.
师生活动：学生独立思考完成证明，教师巡视.
2. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于
设计意图：培养学生的抽
点 O，下列说法错误的是（ ）
象能力和推理能力.
A．AB∥DC B．AC = BD
C．AC⊥BD D．OA = OB
知识点二：直角三角形斜边上的中线的性质
活动：如图，一张矩形纸片，画出两条对角线，沿
着对角线 AC 剪去一半.设计意图：培养学生推理
能力和应用意识，提高解
题技巧.
问题 Rt△ABC 中，BO 是一条怎样的线段？
它的长度与斜边 AC 有什么关系？
师生活动：教师引导学生思考矩形的对角线性质并 设计意图：帮助学生巩固
得出猜想. 直角三角形斜边上的中线
的性质，培养应用能力.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的
证一证
十九、当堂 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BO 是 AC
练习，巩固 上的中线. 求证：BO = 1 AC.
所学 2
设计意图：考查学生矩形
的性质的掌握.
师生活动：学生独立思考并完成证明，对于有困难
的学生，可提示作辅助线把直角三角形补成矩形.
设计意图：考查运用勾股
练习3. 如图，在△ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是 定理和直角三角形斜边上
斜边 AC 上的中线. 的中线的性质进行计算的
(1)若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm； 能力.
(2)若∠C = 30°，AB = 5 cm，则 AC =_____cm，
BD = _____cm.
设计意图：考查运用矩形
师生活动：学生独立思考并完成填空. 的性质进行计算的能力.
三、当堂练习，巩固所学
设计意图：考查综合运用
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 矩形和直角三角形斜边上
( ) 的中线的性质进行证明和
A. 对角线相等 B. 对边相等 计算的能力.
C. 对角相等 D. 对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜
边上的中线长为 ( )
A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条
对角线相交的锐角是 ( )
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
4. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD
相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E.
(1) 求证：BD = BE；
(2) 若∠DBC = 30°， BO = 4，求四边形 ABED
的面积.第1课时 矩形的性质
矩形的性质：
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分.
角：矩形的四个角都是直角.
对角线；矩形的对角线相等.
板书设计
几何语言描述：
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠ABC =∠BCD =∠DCA = ∠DAB = 90°，
AC = BD.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本课要研究的是矩形的概念及性质.是在学生已经掌握三角形有关知识，平
行四边形的概念及性质和判定基础上进行的，是这一章的重点内容.因为矩形是特
教学反思
殊的平行四边形，而后继课要学的正方形又是特殊的矩形，所以它既是前面所学
知识的应用，又是后面学习正方形的基础，具有承上启下的作用.
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
教学内容 第2课时 矩形的判定 课时 1
1.通过类比探索、观察猜测、验证结论的探究过程，使学生获得成就感，形成对
数学的好奇心，发展推理能力.
核心素养目 2.通过掌握矩形的判定方法，感悟矩形的判定定理与性质定理之间的互逆关系，
标 体会数学思维思考方法.
3.通过运用矩形的性质和判定解决实际问题，培养学生的数学应用意识和抽象能
力.
1．掌握矩形的判定方法；
知识目标 2．能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．
教学重点 理解并掌握矩形的判定方法；
教学难点 能够运用矩形的性质和判定解决实际问题．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情景导 一、创设情境，导入新知入
教师提问：矩形的定义和性质是什么呢？
设计意图：回顾矩形的定
矩形 ：有一个角是直角的平行
义和性质，为后面学习矩
四边形叫做矩形.
形的判定做准备，加强新
旧知识之间的联系.
设计意图：通过实际问题
及动手操作导入新课，提
高学生的学习兴趣；培养
想一想 工人师傅在做门窗时，为了确保所做的门窗
学生的抽象能力和自主学
是矩形，需要测量哪些数据呢？
习精神，发展推理能力.
设计意图：培养学生的总
结归纳能力，提升课堂参
师生活动：教师引导学生把实际问题抽象为数学问 与感.
题，即 怎样判断四边形 ABCD 是矩形？
学生独立思考并作答
预设：可以用定义判定是不是矩形.
二、探究新
知
追问：根据定义，可以判定一个四边形是不是矩形.
除了矩形的定义，还有其他的判定方法吗？
设计意图：学生经过长时
间学习性质和判定，已经
基本掌握一定的探究方
二、小组合作，探究概念和性质 法，能理解性质可以用于
判定；矩形的性质用于判
定较为复杂，让学生在举
知识点一：矩形的判定
反例、试错的过程中，加
深对判定条件的理解，培
问题1 上节课我们已经知道“矩形的对角线相 养自主探究习惯.
等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩
形，你觉得对吗？
师生活动：学生独立思考，选几名学生作答，教师
总结猜想.
预设1：不对，等腰梯形的对角线也相等.
预设2：不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它
的对角线不仅相等且平分. 设计意图：引导学生分析
证明思路，培养转化推理
猜想 对角线相等的平行四边形是矩形 的划归思想，锻炼证明能
力.
追问 画出一个如图平行四边形，然后写出已知和求证的条件，想一想怎么去证明？
证一证
已知：如图，在▱ABCD 中，AC， DB 是它的两条
对角线，AC = DB.
求证：▱ABCD 是矩形.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，要证明
▱ABCD 是矩形，就要证明▱ABCD 其中一个角是
90°，学生独立思考完成证明，教师巡视.
归纳总结
矩形的判定定理1 设计意图：培养学生的推
对角线相等的平行四边形是矩形. 理证明能力，发展逆向思
维，掌握结论倒推的证明
几何语言描述： 方法；在证明过程中巩固
在▱ABCD 中，∵ AC = BD， 对矩形的判定定理1的理
∴▱ABCD 是矩形. 解.
例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于
点 O，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO
上的一点，且 AE = BF = CG = DH.
求证：四边形 EFGH 是矩形.
设计意图：考查学生对矩
形的判定定理1的掌握与
应用.
师生活动：教师引导学生分析解题思路，要证明四
边形EFGH 是矩形，就要证明四边形EFGH 的对
角线互相平分且相等，学生独立思考完成证明，选
一名学生板书，教师巡视.
练习1. 如图，在▱ABCD 中，AC 和 BD 相交于点
O，则下面条件能判定 ▱ABCD 是矩形的是( )
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
设计意图：发展学生的推
理意识和推理能力，巩固
对命题、逆命题概念的理
解与掌握.
师生活动：学生独立思考并作答.
知识点二：有三个角是直角的四边形是矩形
问题2 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都
是直角.它的逆命题成立吗? 即四个角都是直角的四边形是矩形吗? 进一步，至少有几个角是直角的四 设计意图：锻炼学生的推
边形是矩形? 理能力，培养动手实践的
意识.
师生活动：学生独立写出逆命题，选一名学生作
答，其他同学判断正误.
预设：该命题的逆命题为四个角是直角的四边形是
矩形，成立.
想一想
至少有一个角是直角的四边形是矩形吗？
(1) 有一个角是直角的四边形是矩形吗？
设计意图：在证明中，加
(2) 有两个角是直角的四边形是矩形吗？
深对矩形性质的理解，感
(3) 有三个角是直角的四边形是矩形吗？
受数学的严谨性.
师生活动：学生画出相应图形，小组讨论是否存在
反例并判断正误.
证一证
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C
= 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
师生活动：学生独立思考并完成证明.
归纳总结
设计意图：锻炼学生的证
明和应用能力，培养综合
矩形的判定定理2
思考能力，结合新旧知
有三个角是直角的四边形是矩形.
是，提高解题技巧.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
例2 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD
= 90°，AB = 5，BC = 12，AC = 13． 设计意图：巩固学生对矩
求证：四边形 ABCD 是矩形． 形的判定定理2的掌握，
提高综合解题能力.
师生活动：学生独立思考并完成证明，对于有困难
的学生，教师可提示运用勾股定理的逆定理进行证
明.
二十、当堂
练习2. 如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF、MN 于
练习，巩固
A、C 两点，AB、CB、CD、AD 分别是∠EAC、
所学∠MCA、∠ ACN、∠CAF 的平分线，则四边形
ABCD 是 ( )
A. 梯形 B. 平行四边形 设计意图：考查学生矩形
C. 矩形 D. 不能确定 的判定定理的掌握.
设计意图：考查学生矩形
的判定定理1的掌握和运
三、当堂练习，巩固所学
用矩形的判定定理1进行
证明的能力.
1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？
(1) 对角线相等的四边形是矩形；
(2) 对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
(3) 有一个角是直角的四边形是矩形；
(4) 有三个角都相等的四边形是矩形；
(5) 有三个角是直角的四边形是矩形；
(6) 四个角都相等的四边形是矩形；
(7) 对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩
形；
(8) 一组对角互补的平行四边形是矩形.
2. 如图，平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD
相交于点 O，延长 OA 到 N，使 ON＝OB，再延
长 OC 至 M，使 CM＝AN. 求证：四边形 NDMB
为矩形．
第2课时 矩形的判定
矩形的判定定理1
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在▱ABCD 中，∵ AC = BD，
∴▱ABCD 是矩形.
板书设计
矩形的判定定理2
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.在矩形这一节中安排两个课时，第一是矩形的性质第二是矩形的判定，从内容上
是按照矩形的概念、性质、判定及应用解决问题的形式呈现的，对于矩形，有了
一个完成的知识体系.为此矩形的判定是平行四边形研究的重要内容，是对一般平
教学反思
行四边形研究的继承与发展，在得到矩形的判定的同时发现判定与矩形的性质是
互逆命题.此节从内容上对后继学习菱形的判定起着示范和指导意义，也为以后学
习正方形和圆等知识做了基础.
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 菱形
第1课时 菱形的性质
教学内容 第1课时 菱形的性质 课时 1
1.类比探索矩形的性质的方法，探究并掌握的定义和性质，渗透一般到特殊、类
比迁移的数学思想.
核心素养目 2.通过利用掌握的定义和性质解决菱形面积的求法，体会菱形性质学习的意义和
标 作用，感悟数学语言表达交流的优越性.
3.通过灵活运用菱形的性质解决问题，锻炼学生的数学应用能力，增强不断创新
和努力学习数学知识的信心.
1．掌握的定义和性质及菱形面积的求法；
知识目标 2．灵活运用菱形的性质解决问题．
教学重点 掌握的定义和性质及菱形面积的求法；
教学难点 灵活运用菱形的性质解决问题．
教学准备 课件、剪刀、草稿纸
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情景导 一、创设情境，导入新知
入
设计意图：回顾矩形的定
教师叙述：前面我们学习了平行四边形和矩形，知
义和性质，为后面学习菱
道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行
形的性质做准备，加强新
四边形有一个角是直角时，就变成矩形.
旧知识之间的联系，培养
自主探究精神.
提问 那么当平行四边形边发生变化时，会得到什么
特殊平行四边形呢？师生活动：教师引导学生从边的角度，思考学习过
的特殊四边形.
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：菱形的性质
设计意图：回顾已学知
思考1 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内 识，提升课堂参与感.
角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相
等，这个特殊的平行四边形叫什么呢?
师生活动：学生独立思考，选一名学生作答.
预设：这个特殊的平行四边形叫做菱形. 设计意图：培养学生的总
结归纳能力，发展推理意
识.
追问1 同学们，能给这个图形下个定义吗？
师生活动：学生独立思考并作答，教师总结定义.
菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 设计意图：发展推理意
识，进一步认识菱形与平
行四边形的关系.
追问2 菱形是一种特殊的平行四边形，那么平行四
边形一定是菱形吗？
师生活动：学生独立思考并作答.
预设：平行四边形不一定是菱形.
设计意图：让学生感知到
提问 菱形也是常见的图形，能否举出生活中菱形形 菱形在生活中无处不在，
象的例子？ 体会矩形在实际生活中的
运用以及本节课学习的意
义.
设计意图：培养学生的总
师生活动：学生独立思考，选几名学生作答. 结归纳以及运用图表整合
信息的能力，初步发展从
属关系和包含关系的思想.
归纳总结设计意图：归纳菱形含有
一般平行四边形的性质；
同时引导学生类比平行四
边形的探究角度，探究菱
形的特有性质.
思考2 因为菱形是平行四边形，所以它具有平行
四边形的所有性质，由于它有一组邻边相等，它是
设计意图：让学生结合之
否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
前探究矩形的性质的方向
进行思考，培养学生的自
主学习能力和习惯.
设计意图：在动手操作
追问1从哪些方面考虑它的特殊性质呢？
中，培养自主学习的习
惯，并通过观察直观数
师生活动：(1) 分小组讨论； (2) 然后发表看法.
据，培养归纳总结的能力.
预设1：可以从菱形的边进行探究.
预设2：可以从菱形的对角线进行探究.
活动：
准备素材：直尺、量角器、课本等.
(1) 请同学们以小组为单位，测量书本中菱形的四
条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角
度数，并记录测量结果.
(2) 根据测量的结果,你有什么猜想？
师生活动：
学生小组为单位进行小组活动，并根据测量结果填
写表格；小组讨论吼选派代表总结猜想.
预设1：菱形的四条边都相等. 设计意图：在证明中，加
预设2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条 深对矩形性质的理解，感
受数学的严谨性.
对角线平分一组对角.
追问2你能证明这些猜想吗？
证一证
设计意图：锻炼学生的证
已知：如图，在平行四边形
明能力，提高综合运能能
ABCD 中，AB = AD，对角
力，培养应用意识和证明
线 AC 与 BD 相交于点 O.
技巧.求证：(1) AB = BC = CD = AD；
师生活动：学生独立完成证明.
求证：(2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC，
∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB，
∠ABD =∠CBD.
(2) ∵AB = AD，
∴△ABD 是等腰三角形.
又∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形 ABD 中，OB = OD，
∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD，
即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC.
同理可证∠DCA =∠BCA，
∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
师生活动：教师分析解题思路，运用等腰三角形三
线合一的性质证明，学生独立完成证明过程，选一
名学生板书.
归纳总结
菱形的性质
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分.
边：菱形的四条边都相等.
对角线；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条
对角线平分一组对角.
几何语言描述：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥BD，
设计意图：进一步学习菱
∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA，
形的性质和特征，培养学
∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
生的动手能力和观察总结
能力.
思考3 请同学们拿出剪好的菱形纸片，折一折，
观察并思考. 菱形是不是轴对称图形? 如果是，那
么对称轴有几条?
菱形的性质：
对称性： 图形，
对称轴： 条，
是________所在的直线. 设计意图：在练习中进一
步巩固对菱形的性质的理
师生活动：学生独立思考完成填空，选一名学生作 解，提高综合解题能力.
答.追问 还能得出菱形的什么结论？
师生活动：独立思考后小组讨论并选代表回答.
预设：菱形被分割为四个全等的直角三角形.
例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相
交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长. 设计意图：发展学生的应
用意识和推理能力，巩固
平行四边形面积的计算方
法.
师生活动：学生独立思考完成计算，对于有困难的
学生教师可提示是用勾股定理完成计算.
知识点二：菱形的面积
问题1 菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平
行四边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积呢?
设计意图：锻炼学生的推
理应用能力，发展运算能
师生活动：学生独立思考并作答，可以利用平行四 力和解题技巧.
边形的面积公式计算菱形 ABCD 的面积.
思考 前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，
那么能否利用对角线来计算菱形 ABCD 的面积呢?
问题2 如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，
BD 交于点 O，试用对角线表示出菱形 ABCD 的
面积.
设计意图：培养学生的发
现总结能力，学习简便计
算菱形面积的方法，体会
师生活动：教师引导学生把菱形看作两个三角形进 本节课的作用.
行计算，学生独立完成计算，选一名学生板书.
追问 你有什么发现？
师生活动：独立思考之间作答：
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 设计意图：巩固运用菱形
的对角线计算菱形面积的
方法；通过解决实际问
归纳总结 题，感受学习本节课的作
用.
菱形的面积计算有如下方法：
(1) 一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2) 四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三
角形面积的 4 倍)；
(3) 两条对角线长度乘积的一半．例2 如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，
二十一、当 ∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路
堂练习，巩 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积(结果分
固所学 别精确到 0.01 m 和 0.1 m2 ).
设计意图：考查学生对菱
形的性质的掌握，和运用
菱形的性质进行有关计算
师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
的能力.
完成计算.
三、当堂练习，巩固所学
1. 根据下图填一填：
（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，
那么它的边长是 ____cm.
（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，
则∠BAC＝_____°.
（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 设计意图：考查对菱形的
和 8 cm，则菱形的边长是______cm. 性质的掌握，锻炼学生的
（4）菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的 综合运用能力，提高证明
对角线长为 11 cm，菱形的周长为______cm. 能力.
（5）菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为
1∶2，那么菱形最短的那条对角线长为_____cm.
2. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一
点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD =∠CBE．
第1课时 菱形的性质
几何语言描述：
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
板书设计
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥BD，
∠DAC =∠BAC，∠DCA =∠BCA，
∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.通过测量计算等活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，
少数需要教师加以引导，但是学生得到的结论，有一些是他们的猜想，是否正确
教学反思
还需要证明，因此问题就上升到证明这个环节.在整个新知生成过程中，探究活动
起了重要的作用.
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 菱形
第2课时 菱形的判定
教学内容 第2课时 菱形的判定 课时 1
1.类比矩形的性质与判定间的关系，用菱形性质的逆定理探究菱形的判定方法，
发展学生的推理能力和类比归纳的思想.
核心素养目 2.通过探究菱形的判定条件的过程，激发学生学习的自信心和好奇心，主动参与
标 探究活动，发展创新意识.
3.通过合理利用菱形的判定定理进行论证和计算，感受学习它的作用和意义，培
养应用能力和数学语言表达能力.
1．掌握菱形的判定方法；
知识目标 2．探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．
教学重点 掌握菱形的判定方法；
教学难点 探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．
教学准备 课件、活动木架、橡皮筋
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情景导 一、创设情境，导入新知
入
设计意图：回顾菱形的定
教师叙述：问题 上节课我们已经知道“菱形的对角
义和性质，为后面学习菱
线相互垂直”，反过来，小明猜想对角线垂直的四
形的判定定理做准备，让
边形是矩形，你觉得对吗？
学生在探究和试错中，加
深对菱形判定定理的理解.
师生活动：学生独立思考后小组讨论，选代表回答.
预设1：不对，菱形是特殊的平行四边形，所以它
的对角线不仅垂直且平分.
预设2：不对，如图所示.
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质设计意图：通过活动操
知识点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
作，提升课堂参与感，激
发学生的学习兴趣，培养
思考1 我们用一长一短两根细木条，在它们的中点 观察、总结的能力.
处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周
围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转
动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此
你有什么猜想？
师生活动：学生转动木条，观察橡皮筋和木架构成
菱形时，两根木条的位置关系.独立思考后选几名学
生作答.
预设1：两根木条此时互相垂直.
预设2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
设计意图：通过证明猜
追问你能证明这个猜想吗？ 想，培养学生的证明能
力，感受数学思维探索的
严谨性.
证一证
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线
AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.
求证：▱ABCD 是菱形.
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
设计意图：发展推理意
∴ ▱ABCD 是菱形（菱形的定义）.
识，进一步认识菱形与平
行四边形的关系.
师生活动：学生独立思考，完成证明，选一名学生
板书.
归纳总结
菱形的判定定理1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
设计意图：锻炼学生的推
几何语言描述：
理、证明能力，在证明过
在 ▱ABCD 中，∵ AC⊥BD，
程中进一步掌握菱形的判
∴ ▱ABCD 是菱形. 定定理1.
例1 如图，▱ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交
于点 O，AB = 5，AO = 4，BO = 3.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
设计意图：考查学生对菱师生活动：学生在教师的引导下，理清证明思路 形的判定定理1的掌握.
——证明四边形 ABCD 是菱形，即证明AC⊥BD；
学生独立完成证明.
练习1. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互
相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱
形，则这个条件可以是 ( )
A．∠ABC = 90°
B．AC⊥BD
C．AB = CD
D．AB∥CD
师生活动：学生独立思考并作答.
设计意图：通过思考作图
方法，让学生自主探索菱
形的判定方法，培养学生
自主学习的习惯，提高作
知识点二：四条边相等的四边形是菱形
图能力.
思考2 已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一
个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线
吗？
师生活动：学生独立思考并小组讨论，选派代表回
答作图方案，教师播放课件，总结作图方法：
分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作
弧，两条弧分别相交于点
B，D，依次连接 A、B、 设计意图：培养学生的归
C、D 四点. 纳总结能力和证明能力，
在证明过程中，进一步理
学生根据方法完成作图.
解菱形的第2种判定方法.
追问1 根据小刚的作法你有什么猜想？
师生活动：学生独立思考并作答，教师总结猜想
——四条边相等的四边形是菱形.
设计意图：通过简单证
明，增强自信，提高学习
追问2 你能验证小刚的作法对吗？
兴趣.
证一证
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD
= AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
师生活动：学生独立思考并完成证明.
归纳总结
菱形的判定定理2
四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言描述：在四边形 ABCD 中，
∵ AB = BC = CD = AD，
∴四边形 ABCD 是菱形. 设计意图：在证明过程中
进一步掌握菱形的判定定
理2.
例2 如图，在△ABC 中， AD 是角平分线，点
E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF =
ED.
求证：四边形 CDEF 是菱形.
设计意图：锻炼学生的证
明能力，巩固对菱形的性
质及其判定定理的掌握，
师生活动：学生独立完成计算，选一名学生板书，
提高综合运用能力，培养
教师规范证明过程.
应用意识和证明技巧.
知识点三：菱形的性质与判定的综合运用
例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC
的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝
BE，连接 CF.
(1)求证：四边形 BCFE 是菱形；
(2) 若 CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面
积．
A
E F
D
B C
二十二、当
堂练习，巩 师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
固所学 完成计算，教师巡视指点，完成总结.
总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活
选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出 设计意图：题1、2考查学
菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂 生对菱形的判定定理的掌
直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 握，和运用菱形的性质进
行有关计算的能力.
三、当堂练习，巩固所学
1. 判断下列说法是否正确
(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； 设计意图：考查对菱形的
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是 判定定理的掌握，锻炼学
菱形； 生的综合运用能力，提高
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四 证明能力.
边形是菱形．
2.一边长为13 cm 的平行四边形的两条对角线的长
分别为 24 cm 和10 cm，则平行四边形的面积是.
3. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB
于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点
E，连接 AE、CD. 求证：四边形 ADCE 是菱形.
第2课时 菱形的判定
菱形的判定定理1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
几何语言描述：
在 ▱ABCD 中，∵ AC⊥BD，
∴ ▱ABCD 是菱形.
板书设计
菱形的判定定理2
四条边都相等的四边形是菱形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵ AB = BC = CD = AD，
∴四边形 ABCD 是菱形.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
学生在此前已经学习了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定、菱形的定
义和性质，掌握了菱形性质的简单应用，学生在此基础上探究菱形的判定方法。
教学反思 由于八年级的学生对事物的感性认识丰富，正在向抽象思维转型，所以本节课本
节课让学生在丰富的实践活动中，利用菱形的判定方法解决问题，促使学生从感
性认识向理性思维发展，从形象思维向抽象思维转型。
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形
教学内容 18.2.3 正方形 课时 1
核心素养目 1.通过类比矩形、菱形的性质定理及判定定理，学习并掌握掌握正方形的概念、
标 性质及判定方法，渗透一般到特殊的类比思想.2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，培养学生的类比归纳能
力、推理能力和数学语言表达能力.
3.通过熟练运用正方形的性质进行有关的证明和计算，培养学生有意识的用数学
方法分析解决问题的习惯.
1．掌握正方形的性质及其判定定理，并会用它们进行有关的论证和计算；
知识目标 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．
教学重点 掌握正方形的性质及其判定定理，并会用它们进行有关的论证和计算；
教学难点 理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、复习导 一、复习回顾，导入新知
入
设计意图：回顾矩形和菱
教师叙述：前面我们已经学过了，平行四边形、矩
形的探究过程，为后面学
形、菱形.
习正方形的性质做准备，
加强新旧知识之间的联
想一想，矩形是由什么图形怎样变化而来？ 系，培养自主探究的能
力，发展从属关系和推理
意识.
菱形是由什么图形怎样变化而来？
师生活动：教师引导学生回顾矩形和菱形的探究过
程，发现矩形和菱形都是由平行四边形变化来的，
二、探究新 是两种特殊的平行四边形.
知
二、小组合作，探究概念和性质
设计意图：回顾已学知
识，提升课堂参与感，通
知识点一：正方形的性质
过探究矩形和菱形变形成
正方形的过程，感受矩
问题1 矩形怎样变化后就成了正方形呢? 形、菱形与正方形的从属
你有什么发现？ 关系，为后面用矩形、菱
形的性质和判定方法探究
正方形做铺垫.
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?
你有什么发现？设计意图：培养学生的观
察能力、总结归纳能力，
发展推理意识.
师生活动：教师播放课件，学生观察矩形、菱形变
形成正方形的过程，并思考问题1、2；师生共同作
答，并在教师引导下完成总结.
预设1：矩形的邻边相等，就变成了正方形.
设计意图：发展推理意
预设2：菱形的一个内角变为90°，就变成了正方形.
识，进一步认识正方形与
平行四边形、矩形、菱形
的关系.
归纳总结
设计意图：渗透从属关系
和包含思想，发展推理意
识和能力.
正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形
是正方形.
追问1 正方形是矩形吗？正方形是菱形吗？
设计意图：培养学生的总
结归纳以及运用图表整合
师生活动：学生独立思考并作答，正方形是一种特
信息的能力，进一步认识
殊的矩形，也是一种特殊的菱形.
正方形与与平行四边形、
矩形、菱形的从属关系和
包含关系.
追问2平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关
系是什么样的？请画出他们的韦恩图：
设计意图：通过回顾平行
四边形、矩形、正方形的
性质进行正方形性质的探
究，培养学生自主学习、
探究的习惯，培养总结归
总结 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩
纳的能力；渗透一般到特
形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，
殊的思想，加深对正方形
正方形都有.
性质的理解.
追问3 回顾平行四边形、矩形、正方形的性质，你
能归纳出正方形的性质吗？
师生活动：学生在教师的引导下，列出平行四边
形、矩形、菱形的性质，并进行归纳，师生共同完
成总结.
正方形的性质 设计意图：在判断练习
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分边：正方形的四个边都是相等. 种，回顾平行四边形、矩
角：正方形的四个角都是直角. 形、正方形的性质；加深
对角线：正方形的对角线垂直且相等. 对正方形性质的理解与掌
握.
判一判
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打
“√”.
设计意图：通过简单证
明，锻炼学生的证明能
力，提高学习自信，培养
应用意识；在证明练习
中，提高解题能力.
师生活动：学生独立思考后，共同作答，教师播放
课件展示正确答案.
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方
形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线
AC、BD 相交于点 O.
求证： △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等
的等腰直角三角形.
设计意图：通过练习，帮
助学生理解矩形、菱形和
正方形性质的异同，进一
步巩固正方形的性质.
师生活动：教师引导学生分析证明思路——
要判断一个三角形是等腰直角三角形的条件是什
么？判定两个三角形全等的条件又是什么？
学生独立完成证明.
练习1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 (
)
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
设计意图：通过回顾平行
2. 正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
四边形、矩形、正方形的
A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分
判定定理，进行正方形判
C.对角线平分一组对角 D.对角线相等
定方法的探究，锻炼学生
自主学习、探究的能力，
师生活动：学生独立思考，选两名学生作答，其他 渗透一般到特殊的思想.
学生判断正误.
知识点二：正方形的判定
设计意图：培养通过图表
问题 你是如何判定矩形、菱形的？ 整合信息的能力，学会应
用正方形与与平行四边
形、矩形、菱形的包含关
系，锻炼整理归纳能力.师生活动：学生独立思考，在教师的引导下共同完
成流程图.
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？ 设计意图：在证明中，加
深对矩形性质的理解，感
师生活动：学生根据观察流程图，独立思考后小组 受数学的严谨性.
讨论，师生共同总结正方形的判定方法.
正方形判定的几条途径：
设计意图：锻炼学生的证
明能力，提高综合运能能
力，培养应用意识和证明
技巧.
猜想 对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图，在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的
两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
猜想 对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
设计意图：在练习中进一
步巩固对正方形判定定理
的掌握，提高综合解题能
力.
师生活动：学生独立思考完成证明，教师巡视；教
师安排学生在课后完成剩余猜想的证明.
归纳总结
二十三、当
堂练习，巩 常用的正方形判定方法：
固所学设计意图：考查学生对平
行四边形、矩形、菱形、
正方形的掌握.
设计意图：考查正方形的
例2 在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别 掌握，和运用正方形的性
在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：四边 质计算面积的能力.
形 EFMN 是正方形．
A N D
设计意图：考查正方形的
掌握，和运用正方形的性
E
质计算各角度的能力.
M
B F C
师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
完成证明过程.
设计意图：考查学生的综
合运用正方形的性质和判
三、当堂练习，巩固所学 定定理，进行有关计算的
能力.
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是
（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是
（ ）
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8
cm2
3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，
∠DAC = °， ∠BOC = °.
4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，
且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 .
5. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对
角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长．18.2.3 正方形
正方形的性质
对边平行相等；对角相等；对角线相互平分
板书设计
边：正方形的四个边都是相等.
角：正方形的四个角都是直角.
对角线：正方形的对角线垂直且相等.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此正方形具有一般矩形和菱形的全
部性质.作为一种特殊的矩形和菱形，正方形还具有一般矩形不具有的特殊性质、
教学反思 一般菱形不具有的特殊性质.正方形的研究突出体现了从一般到特殊的思想，它可
以引导学生类比矩形和菱形的定义，得出正方形的定义，帮助学生理清正方形、
菱形、矩形、平行四边形之间的关系.
19.1 函数
19.1.1 变量与函数
第1课时 常量与变量
教学内容 第1课时 常量与变量 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界： 借助简单实例，体会从生活实例抽象出数学知
识的方法，经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.
2.会用数学的思维思考现实世界：感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学
核心素养目
研究从最简单的情形入手，让学生主动地充实观察、操作、交流、归纳等探索活
标
动，形成自己对数学知识的理解.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过常量与变量的概念，初步形成学生利用函
数的观点认识和表达现实世界的意识和能力.
1.了解常量、变量的意义，并能在具体实例中分清常量、变量.
知识目标 2.会用含有一个变量的式子表示另一个变量.
教学重点 了解常量、变量的意义，并能在具体实例中分清常量、变量.
教学难点 会用含有一个变量的式子表示另一个变量.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 十四、创设情境，导入新知
入
设计意图：用熟悉的寓言教师叙述：乌鸦喝水是我们小学就熟知的寓言故 故事引出变量与常量的概
事，故事里的乌鸦乌鸦通过改变什么而喝到了水 念，吸引学生的注意力，
呢？ 引导学生经历从具体实例
中抽象出常量、变量与函
数的过程，为后面的学习
做铺垫．
师生活动：教师引导学生发现故事里没什么量没
变、什么量改变，引出“常量”与“变量”的概念.
预设：水面高度和石子数量.石子数量改变使得水面
高度改变，而水量固定不变.
二、探究新
知
设计意图：让学生从生活
中身边熟悉的事例开始思
考，感受随着时间的变化
行驶的路程在逐渐增加.行
二十一、小组合作，探究概念和性质
程问题是学生在学习过程
中经常遇到、耳熟能详的
知识点一：常量与变量 实例，速度不变，时间变
化了，路程就跟着变化，
问题1汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 这个问题的呈现形式是填
为 s km，行驶时间为 t h，填下面的表： 空求值，以及写解析式，
可以从数量关系的角度启
发学生还有大量的实例可
以表示两个变量之间的关
系，进一步感受一个量变
了，另一个量也跟着变化.
师生活动：学生独立完成做题，选一名学生回答他
填写的依据是什么？再共同回答，完成下列填空.
预设：路程 = 速度×时间
追问 观察这三个量的变化情况，你发现了什么？
预设1：发现速度没有变化.
预设2：发现路程随着时间的变化而变化. 设计意图：通过计算过
程，让学生感受到随着售
出票数变化，收入也在随
填一填
着变化，每确定一场票数
1．在以上这个过程中，变化的量是_______
x，就能确定一个唯一票数
_________．不变化的量是 ．
x与收入y对应，学生可以
2．试用含 t 的式子表示 s． s =_______．
体会票数与收入这两个量
之间的关系，一个量变
这个过程反映出路程___随时间___的变化过程. 了，另一个量也跟着变
化，同时也能感受到这两
个量之间的唯一对应关系，为下文变量及函数意
义的表述作准备.
问题2电影票的售价为 10 元/张 ，第一场售出150
张，第二场售出 205 张，第三场售出 310 张，三
场电影票的票房收入各多少元？设一场电影售出票
x 张，票房收入为 y 元，每场的票房收入是多少
呢？
师生活动：学生独立完成做题，教师巡视，选一名 设计意图：通过问题1、问
学生回答他列式的依据是什么？再共同回答，完成 题2，学生已经对变量常量
下列填空. 的概念，有了一定的理
预设：票房收入 = 售价×售票张数 解，并掌握了寻找某个变
量随另一个变量变化的方
填一填 法，在问题3、问题4计算
1．在以上这个过程中，变化的量是 过程中，巩固自己的理解
________________________．不变化的量是 和方法.
_________．
2．试用含 x 的式子表示 y，y =_________ .
这个过程反映出收入___随数量___的变化过程.
问题3如图所示，圆形水波慢慢地扩大，在这一过
程中，当圆的半径 r 分别为 10 cm，20 cm，30 cm
时，圆的面积 S 分别为多少？怎样用半径 r 来表
示面积 S ?
这个过程反映出______随______的变化过程.
设计意图：通过让学生计
算实际生活中的数学问
题，促进学生对变量和常
问题4用 10 m 长的绳子围一个矩形.当矩形的一边
量的理解，培养学生的总
长 x 分别为 3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻
结归纳能力.
边长 y 分别为多少?
y 的值随 x 的值的变化而变化吗?
这个过程反映出______随______的变化过程.
师生活动：学生独立完成做题，教师巡视，选两名
名学生回答他列式的依据是什么？再共同回答，完
成填空.
设计意图：通过做题巩固
学生对常量与变量的概念
的掌握.
总结归纳
上面这些问题中涉及到的量，你会怎样分类呢?
常量与变量：
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量. 设计意图：让学生交流合
作，培养学生的表达能力
和沟通能力，发展自主学
习和交流合作的精神，在
例1 指出下列事件过程中的常量与变量 合作学习中，加深判断常
量和变量的方法的理解和
(1)某水果店橘子的单价为 5 元／千克，买 a 千橘 记忆.
子的总价为 m 元，其中常量是 ，变量
是 ；
(2)周长 C 与圆的半径 r 之间的关系式是 C＝
2πr，其中常量是 ，变量是
；
(3)三角形的一边长 5 cm，它的面积 S (cm2) 与这 设计意图：巩固学生对常
边上的高 h (cm) 的关系式 S≤ 中，其中常量是 量和变量概念的理解，锻
炼学生确定两个变量之间
，变量是 ；
的关系式的能力.
合作交流
你知道如何判断常量和变量吗？
师生活动：学生独立思考后，小组讨论，派代表回
答问题，教师总结方法.
判断常量和变量的方法：
(1) 看它是否在同一个变化过程中；
(2) 看它在这个变化过程中的取值是否改变.
二十四、当
指出一个变化过程中的常量时，应连同它前面的符
堂练习，巩
号.
固所学
设计意图：考查学生对常
量和变量概念的掌握.
知识点二：确定两个变量之间的关系式
设计意图：考查学生对常
例2 一名老师带领 x 名学生到动物园参观，已知 量和变量概念的掌握和确
成人票每张 30 元，学生票每张 10 元，设门票的 定两个变量之间的关系式
总费用为 y 元，则 y 与 x 之间的关系式为 的能力.
_____________.
练习 如果弹簧原长为 12 cm，每 1 kg 重物使弹
设计意图：考查学生确定
簧压缩 0.5 cm，则用含重物质量 m (kg) 的式子表
两个变量之间的关系式的
示受力后的弹簧长度 L(cm) 为 .
能力.
师生活动：学生独立思考后，小组讨论，派代表回
答问题，教师总结方法.三、当堂练习，巩固所学
1.计划购买 50 元的乒乓球，所能购买的总数 n
(个)与单价 a (元) 的关系式是 ，其中变量
是 ，常量是 .
2. 汽车开始行驶时油箱内有油 40 升，如果每小时
耗油 5 升，则油箱内余油量 Q (升) 与行驶时间 t
(小时) 的关系是 ，其中的常量
是 ，变量是 .
3. 表格列出了一项实验的统计数据，表示小球从高
度 x (单位：m) 落下时弹跳高度 y (单位：m)与下
落高的关系，据表可以写出的一个关系式是
．
常量与变量
板书设计
常量与变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不
变的量为常量.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中.“变量与函数”
较为抽象，学生初次接触函数的概念，难以理解指出一个变化过程中的常量时，
应连同它前面的符号.另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量
教学反思 的关系等生活实例．在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领
学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，
借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什
么？”，初步理解函数的概念．
19.1 函数
19.1.1 变量与函数
第2课时 函数
教学内容 第2课时 函数 课时 1
核心素养目 1.会用数学的眼光观察现实世界： 借助简单实例，体会从生活实例抽象出数学知
标 识的方法，经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.2.会用数学的思维思考现实世界：感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学
研究从最简单的情形入手，让学生主动地充实观察、操作、交流、归纳等探索活
动，形成自己对数学知识的理解.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过函数的定义，能判断两个变量是否具有函
数关系，初步形成学生利用函数的观点认识和表达现实世界的意识和能力.
1.通过常量、变量了解自变量和函数的意义.
知识目标 2.初步理解函数的定义，能判断两个变量是否具有函数关系.
教学重点 通过常量、变量了解自变量和函数的意义.
教学难点 认识一一对应关系，能判断两个变量是否具有函数关系，不混淆自变量和函数.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、回顾导 十五、旧知回顾，导入新知
入
设计意图：回顾上节课的
教师叙述：通过上节课的学习，这些量中，哪些是
内容，引导学生通过思考
常量哪些是变量？这些变量之间有什么关系呢？
常量、变量了解函数的意
义，为后面学习函数的概
念做铺垫．
师生活动：学生思考后直接回答.
预设：石子数量变多后，水面高度也变高了，所以
式子数量，和水面高度是变量.水面高度随着石子数
量的增加而增加.
思考一 1. 昨天问题 1 ~ 4 中是否各有两个变量?
2. 同一个问题中的变量之间有什么联系?
师生活动：学生独立思考后小组讨论，带着问题学
二、探究新
习新课.
知
设计意图：让学生熟悉的
二十二、小组合作，探究概念和性质
情境问题开始思考，用新
知推动旧知，通过回顾变
知识点一：函数的相关概念 量以及思考变量之间的关
系，引出自变量和因变量
问题1汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 的概念，为后面学习函数
为 s km，行驶时间为 t h，填下面的表： 的概念做准备.
1.这个问题中有几个变量？
2.
__________随着 的变化而变化，
当 确定一个值时， 就随之确定
一个值.师生活动：学生独立完成计算，并共同回答问题.在
教师的引导下完成下列填空.
预设1：两个.
设计意图：重复思考熟悉
情境中的相同问题，让学
预设2： 生不觉中发现共同点，总
行驶路程 s 随着 行驶时间 t 的变化而变化， 结规律.同时蹭蹭递进，发
当 行驶时间 t 确定一个值时， 行驶路程 s 就随之确 现两个变量之间存在的意
定一个值. 义对应的关系.
问题2电影票的售价为 10 元/张 ，第一场售出150
张，第二场售出 205 张，第三场售出 310 张，三
场电影票的票房收入各多少元？设一场电影售出票
x 张，票房收入为 y 元，每场的票房收入是多少
呢？
1.这个问题中有几个变量?
2.当 x 取定一个值时，y 有几个值与之对应?
师生活动：学生独立思考问题后共同回答题1，教
设计意图：通过问题1、问
师选一名学生回答题2，并让其他学生回答该同学
题2，学生已经发现上节课
的答案是否正确.
的问题中，都存在两个变
量，且都存在取值一一对
预设1：两个. 应的关系；在对问题3、问
题4的思考中，巩固发现
的规律.
预设2：一个.
问题3在圆的面积 S 和半径 r 中，r 每取一个
值，S 都有唯一值与它对应吗?
设计意图：通过问题1、问
师生活动：教师引导学生先列出圆的面积公式，学
题2，学生已经发现上节课
生独立思考选一名学生回答.
的问题中，都存在两个变
量，且都存在取值一一对
预设：根据圆的面积计算公式 S = πr2，由于 π 为 应的关系；在对问题3、问
常量，所以 r 每取一个值，S 都有唯一值与它对应. 题4的思考中，巩固自己
的发现规律.
问题4在上节课的 问题4 中边长 x 每取一个值，邻
边长 y 是不是也都有唯一值与它对应呢？
思考二 上面的四个问题中，各变量之间有什么共同
特点？
① 行驶路程 s 、行驶时间 t；
② 票房收入 y、售出票 x；
③ 圆的面积 S 、半径 r.
④ 矩形的边长 x 、邻边长 y.
师生活动：教师引导学生先列出四个问题中的变
量，学生独立思考后共同回答，教师完成总结.总结归纳
上面的每个问题中的两个变量互相联系，当其中一
个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的
值与其对应. 设计意图：通过实际生后
中的例子，引领学生认识
变量和函数的存在和意
义，体会变量之间的互相
函数的概念
依存关系和变化规律，感
悟学习本节课的意义.
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量 x 与
y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确
定的值与它对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是
x 的函数.
如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的
设计意图：通过做题理清
值为 a 时的函数值.
自变量和函数的概念.加深
函数与自变量一一对应的
理解.
说一说
下图是体检时的心电图，图上点的横坐标 x 表示
时间，纵坐标 y 表示心脏部位的生物电流，它们是
两个变量.在心电图中，对于 x 的每一个确定的
设计意图：通过计算加深
值，y 都有唯一确定的值与其对应吗？
对自变量和函数的概念.的
理解，锻炼计算能力.
例1 下列关于变量 x ，y 的关系式：① y = 2x +
3； ② y = x2 + 3；③ y = 2| x |；④ y2 - 3x =
设计意图：锻炼学生列出
10 ， 其 中 表 y 是 x 的 函 数 关 系 的 是
表示函数关系含自变量的
．
式子的能力，加深对函数
关系的理解.
师生活动：学生独立思考后，教师一一选学生提问
回答四个选项，并让其他同学思考是否正确.
例2 已知函数 .
(1) 求当 x = 2 ，3，-3 时，函数的值；
(2) 求当 x 取什么值时，函数的值为 0.
设计意图：让学生对函数
的自变量取值进行思考，
师生活动：教师分析解题思路，学生独立完成计
顺势引出自变量取值范围.
算，选一名学生板书.
知识点二：确定自变量的取值范围
问题5请用含自变量的式子表示下列问题中的函数 设计意图：加深学生对自关系： 变量取值范围的理解，提
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间 升解题能力.
为 t (单位：h)，行驶的路程为 s (单位：km)；
(2) 多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
问题 (1) 中，t 取 -2 有实际意义吗？
问题 (2) 中，n 取 2 有意义吗？
师生活动：学生独立列出式子后，思考问题 (1)、
问题 (2)，教师选学生回答问题，并让其说明理由.
追问 根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可
以取任意值吗？
二十五、当 师生活动：学生独立思考后，小组讨论派代表回
堂练习，巩 答，教师总结：
固所学 在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有
限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超 设计意图：考查学生对函
出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变 数概念的掌握.
量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
例3 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，
设计意图：考查学生对函
那么油箱中的油量 y（单位：L）随行驶里程 x（单
数概念的掌握.
位：km）的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km.
(1)写出表示 y 与 x 的函数关系的式子.
(2) 指出自变量 x 的取值范围；
(3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？
师生活动：学生独立思考后并作答，选一名学生板 设计意图：巩固学生对常
书，教师规范解题过程并总结： 量、变量的理解，考查学
生对函数概念的掌握.
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析
设计意图：考查学生正确
式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
列出函数关系式和求自变
量函数取值范围的能力.
三、当堂练习，巩固所学
1. 下列说法中，不正确的是 ( )
A. 函数不是数，而是一种关系
B. 多边形的内角和是边数的函数
C. 一天中时间是温度的函数
D. 一天中温度是时间的函数
2.下列各表达式不是表示 y 是 x 的函数的是( )
A. B.
C. D.
3.设路程为 s，时间为 t，速度为 v，当 v = 60
时，路程和时间的关系式为 ，这个关系式中，
是常量， 是变量，
是 的函数.
4.油箱中有油 30 kg，油从管道中匀速流出，1 h 流
完，则油箱中剩余油量 Q (kg) 与流出时间 t (min)
之间的函数关系式是 ，自变量 t 的取值
范围是 .
函数
板书设计
如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例．在本节教
学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生认识变量和函数的存在和
教学反思
意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一
个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么？”，初步理解函数的概念．
19.1 函数
19.1.2 函数的图象
第1课时 函数的图象
教学内容 第1课时 函数的图象 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界： 借助实际生活中的例子，让学生感受从图象中
获得变量之间的关系的有关信息，并预测变化趋势，进行科学决策，应用于社会
生活.
核心素养目 2.会用数学的思维思考现实世界：经历画函数图像的过程，体会函数图像建立数
标 形联系的关键是分别用点的横纵坐标表示自变量和对应的函数值， 体会数形结
合思想，并利用它解决问题,提高解决问题能力.
3.会用数学的语言表示现实世界：了解函数图象的意义，初步学会用列表、描
点、连线画函数图象，学会观察、分析函数图象信息.
1.了解函数图象的意义，会用列表、描点、连线画函数图象
知识目标 2.能够观察、分析函数图象信息.
1.函数图象的画法.
教学重点
2.观察分析函数图象信息.
教学难点 分析并概括函数图象信息.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 十六、创设情境，导入新知入
设计意图：利用实例引入
“乌鸦喝水”的故事前面我们都知道了，乌鸦衔
课题，使学生经历从现实
来一些小石子放入瓶中(如图)，瓶中水面的高度随
生活中抽象出数学问题的
石子的增多而上升，乌鸦喝到了水.但是还没解渴，
过程，激发学生的好奇心
瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度,乌鸦只好再去
和求知欲.
衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了
水，愉快地飞走了.
提问：你能画图表示上面的故事情节吗？ 设计意图：有些问题中的
函数很难用函数解析式来
表示，但是可以用图象来
直观地反映它们的变化情
心电图记录的是心脏本身的生物电流在每一心动 况.用心电图让学生体会到
周期中发生的电变化情况. 函数图象在实际生活中的
作用.
二、探究新
知
二十三、小组合作，探究概念和性质
设计意图：以教材例题为
知识点一：函数的图象
素材，使学生抓住重点知
识.用问题串的形式，让学
问题1请画出下面问题中能直观地反映函数变化规 生独立思考，做到教师引
律的图形： 导，学生主体；学生在亲
正方形面积 S 与边长 x 之间的函数解析式为 自动手画图中提高学生对
S = x2. 知识的应用能力.
师生活动：学生独立思考后，教师通过追问，帮助
学生理清解题思路.
追问1：这个函数的自变量取值范围是什么?
预设：x＞0.
追问2：怎样获得组成图象的点?
预设：先确定点的坐标
追问3：怎样确定满足函数关系的点的坐标?
预设：取一些自变量的值，计算出相应的函数值.
追问4：自变量 x 的一个确定的值与它所对应的唯
一的函数值 S，是否确定了一个点 ( x，S ) 呢?
预设：确定. 因为每个点都代表 x 的值与 S 的值
的一种对应.
例如：点 (2，4) 表示当 x = 2 时，S = 4.
教师总结画图方法：填表：计算并填写下表：
描点：画出上面表格中各对数值
所对应的点.
连线：用光滑曲线去连接画出的
点.
例1 画出函数的图象：y = 2x +
1.
师生活动：教师引导学生分析解题思路：先确定取
值范围 x 的取值范围，再列表取值，最后描点画
图.学生独立完成每一步，选一名学生板书.
设计意图：通过绘制图象
图象进一步认识和理解函
第一步：列表
数的意义.体会图象的直观
性、优越性.提高对图象的
观察、分析能力、认识水
平.
第二步：根据表中数值描点(x，y)；
第三步：用平滑曲线连接这些点.
追问：观察函数图象，你能可以看出当 x 由小变大
时，y 的变化趋势吗？
预设：从函数图象可以看出，直线从左向右上升，
即当 x 由小变大时，y = 2x + 1 随之增大.
归纳总结
画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
知识点二：实际问题中的函数图象
思考 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京
的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．
你从图象中得到了哪些信息？师生活动：学生独立思考后，完成下列填空，根据 设计意图：通过填空的方
填空回答问题. 式，让学生在思考中掌握
图表的信息，解答问题.培
养学生的阅读能力和归纳
(1)从这个函数图象可知：这一天中 时气温最
总结信息的能力.
低（ ）， 气温最高（ ）；
(2)从_____至 气温呈下降状态，从4时至 14
时气温呈上升状态，从 至 气温
又呈下降状态.
例2 下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接
二十六、当
着去图书馆读报，然后回家．其中 x 表示时间，y
堂练习，巩
表示小明离家的距离，小明家、食堂、图书馆在同
固所学
一直线上．
(1) 食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少
时间？
(2) 小明在食堂吃早餐用了多少时间？
(3) 食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了
多少时间？
(4) 小明读报用了多长时间？
师生活动：引导学生分析图象、寻找图象信息,特别
是图象中有两段平行于x轴的线段的意义. 设计意图：进一步提高识
学生在教师引导下，积极思考、大胆参与、可小组 图能力.按要求从图象中挖
讨论探求答案. 掘所需信息，规范学生的
解题思路.
让学生了解到，函数图象
会使函数关系更为清晰，
能够直观地展示自变量与
函数之间的关系.
三、当堂练习，巩固所学
1. (沙坪坝区校级月考) 一天，张阿姨从家匀速步行
去超市买菜，到了超市她花了一段时间购买好了所
需菜品，在支付钱的时候接到朋友来家拜访她的电
话，且朋友正在家门口等张阿姨，于是她用快于来
时的速度匀速回到了家.则张阿姨离家的距离 y (单
位：m)与时间 x (单位：min)之间的关系大致图象
是( )
A. B.
C. D.
设计意图：考查学生根据
文字信息描绘函数图象的
能力.
2.右图是某市某一天内的气温变化图，根据图象，
下列说法中错误的是( )
A. 这一天中最高气温是 24℃
B. 这一天中最高气温与最低气温的差为 16℃
C.这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高D.这一天中只有14时至 24时之间的气温在逐渐降
低
设计意图：考察学生的阅
读能力，即能否根据图象
获取正确的信息.
函数的图象
板书设计
画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
教师引导学生讨论问题，在学生充分发表自己的意见后，师生再共同归纳得出
结论，要鼓励学生积极探究.培养学生自主参与和合作交流的意识，提高学生观
教学反思
察、分析、概括、抽象和想象的能力.教学活动中教师要给学生提供充分的时间与
空间，让其进行自主探索和与同伴交流，经历、体验数学活动的整个过程.
19.1 函数
19.1.2 函数的图象
第2课时 函数的表示方法
教学内容 第2课时 函数的表示方法 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界： 通过运用函数的表达方法解决实际生活中的问
题，培养学生的抽象概括能力，感悟数学眼光在观察生活变化中的优越性.
核心素养目 2.会用数学的思维思考现实世界：通过学习函数的表达方法，建立独立的数学思
标 维，发展运算能力和合情推理能力，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过学习函数的表达方法，学生学会有意识的
用数学语言表达现实生活中事物发展的性质、关系和规律.感悟数据的价值.
1.掌握函数图象的基本作图步骤.
知识目标 2.知道函数的三种表示方法，掌握它们的优缺点.
3.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
掌握函数图象的基本作图步骤.
教学重点
2.知道函数的三种表示方法，掌握它们的优缺点.
教学难点 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图一、新课导 十七、创设情境，导入新知
入
设计意图：利用活动设
动手操作
计，让学生再动手操作时
在计算器上按照下面的程序进行操作：
参与到课堂学习中来；培
养学生的自主学习习惯、
观察能力和动手能力.
回顾函数解析式的概念等
知识点，为后面学习函数
的表达做准备.
填表：
显示的数 y 是输入的数 x 的函数吗？为什么?
如果是，写出它的解析式.
师生活动：学生在教师的引导下，独立完成每步操
作，再选一名学生回答问题，并说明理由.
二、探究新
知
二十四、小组合作，探究概念和性质
知识点：函数的三种表示方法
问题 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程
设计意图：通过作图，回
为 s km，行驶时间为 t h.
顾求函数解析式的方法和
列表表示s 与 t的对应关
系的方法，加深新旧知识
之间的练习，为后面绘制
函数图像最准备.
(1) 请你写出 s 与 t 之间的函数解析式吗？
(2) 当 t 的值为 1，2，3，4，5 时，请列表表示变
量之间的对应关系；
(3) 能画出函数图象吗？
师生活动：学生独立思考，共同回答题 (1)、(2)，
再独立完成绘图，选一名学生板书，教师规范作图
方法.
顺势完成总结：函数有三种表达方式.
答案：
(1) s = 60t （解析式法）
(2) （列表法）(3) （图象法）
追问1 这三种表示函数的方法各有什么优缺点?
设计意图：让学生独立思
师生活动：学生独立思考后小组讨论，选派代表回
考，小组讨论，培养自主
答问题.教师完成总结.
学习能力和交流沟通能
力；通过列表展示，让学
生直观地学习掌握三种表
达方式的优缺点，能用适
当的函数表示法刻画简单
实际问题中变量之间的关
系.
设计意图：通过列表展示
追问2 请从全面性、直观性、准确性及形象性四个 关键词，让学生在判断
中，更精确地学习掌握三
方面来总结归纳函数三种表示方法的优缺点，填写
种表达方式的性质特点，
下表：
能用适当的函数表示法刻
画简单实际问题中变量之
师生活动：学生独立思考在草稿纸上写下答案，教
间的关系.
师巡视，选三名学生回答问题，让其他同学回答是
否正确.
设计意图：锻炼学生通过
文字和列表，观察发现里
例1 一水库的水位在最近 5 h 内持续上涨，下表记
面的函数变化、求函数解
录了这 5 h 内 6 个时间点的水位高度，其中 t 表
析式以及画函数图像的能
示时间，y 表示水位高度．
力；通过填空的方式解答
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，
问题，帮助学生理清解题
这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有 思路，掌握这类题型的解
什么规律？ 答方法.
（2）水位高度 y 是否为时间 t 的函数？如果是，
试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出函
数图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？
(3) 据估计这种上涨规律还会持续 2 h，预测再过 2
h 水位高度将达到多少 m．二十七、当
堂练习，巩
固所学
师生活动：学生独立思考制作函数图象，教师巡
视，再共同回答问题.
解：
（1）可以看出，这 6 个点 ，且每小时
水位 . 由此猜想，在这个时间段中水
位可能是以同一速度均匀上升的.
（2）由于水位在最近 5 小时内持续上涨，对于时
间 t的每一个确定的值，水位高度 y 都有
的值与其对应，所以，y t 的函数.
函数解析式为： .
自变量的取值范围是： . 它表示在这
小时内，水位匀速上升的速度为 ，这个
函数可以近似地表示水位的变化规律.
(3) 如果水位的变化规律不变，按上述函数预测，
再持续 2 小时，水位的高度： .
此时函数图象 (线段AB) 向 延伸到对应的位
置，这时水位高度约为 m.
三、当堂练习，巩固所学
1.向最大容量为 60 升的热水器内注水，每分钟注
水 10 升，注水 2 分钟后停止注水 1 分钟，然后
继续注水，直至注满.则能反映注水量与注水时间之
间的函数关系的图象是 ( )
设计意图：考查学生根据
文字信息描绘函数图象的
能力.
2.某工厂投入生产一种机器，每台成本 y（万
元/台）与生产数量 x（台）之间是函数关系，函数
y 与自变量 x 的部分对应值如下表：
则 y 与 x 之间的解析式是（ ）A. y = 80 - 2x B. y = 40 + 2x 设计意图：考察学生的根
据列表中的点求解析式的
C. y = 65 - D. y = 60 -
1 1 能力.
x x
2 2
3. 用解析式法与图象法表示等边三角形的周长 l 关
于边长 a 的函数关系.
设计意图：考察学生用列
表法求解析式的能力.
函数的表示方法
板书设计 函数有三种表达方式：解析式法、列表法、图象法.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
这节课的难点在于针对不同的问题如何选择这三种方法进行表示.针对这个问
题，可通过引导学生对例子比较来解决.这样学生通过对不同例子的比较就能很好
教学反思
的区分这三种方法的特点，并能选择合适的方法.这节课的另一个目标是让学生了
解分段函数，通过两个例子的介绍，能理解分段函数并按要求进行求值.
19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
第1课时 正比例函数的概念
教学内容 第1课时 正比例函数的概念 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界： 通过运用正比例函数解决实际生活中的问题，
培养学生的抽象概括能力，感悟数学眼光在观察生活变化中的优越性.
核心素养目 2.会用数学的思维思考现实世界：通过学习正比例函数，建立独立的数学思维，
标 发展运算能力和合情推理能力，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过学习正比例函数，学生学会有意识的用数
学语言表达现实生活中事物发展的性质、关系和规律.感悟数据的价值.
1.理解正比例函数的概念并会判断.
知识目标 2.会列实际问题中的函数关系式，解决实际问题和数学问题.
教学重点 掌握正比例函数的概念并会判断.
教学难点 根据正比例函数的概念求字母的取值.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 十八、创设情境，导入新知
入
设计意图：用耳熟能详的教师叙述：如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤 趣味歌谣导入，吸引学生
蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你 的注意力；通过解答简单
能列出相应的函数解析式吗？ 的求解析式的问题，回顾
函数解析式的概念，为后
面学习正比例函数做铺垫.
师生活动：学生独立思考，写出解析式，请一名学
生回答问题.
二、探究新
知
二十五、小组合作，探究概念和性质
知识点一：正比例函数的概念
问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数
关系吗？如果是，请写出函数解析式：
设计意图：通过指出常
数、自变量、自变量的函
(1) 圆的周长 l 随半径 r 的变
数，对函数的概念进行回
化而变化．( )
顾，从而为后续环节找正
比例函数的共同点建立生
长点. 通过对实际问题讨
(2) 铁的密度为 7.9 g/cm3，铁
论，使学生体验从具体到
块的质量 m (单位：g) 随它的
抽象的认识过程.
体积 V (单位：cm3) 的变化而
变化．
( )
(3)每个练习本的厚度为 0.5 cm，
一些练习本摞在一起的总厚度 h
(单位：cm) 随练习本的本数 n 的
变化而变化．( )
(3) 冷冻一个 0 ℃ 的物体，使它
每分钟下降 2℃，物体温度 T
(单位：℃) 随冷冻时间 t (单位：
min)的变化而变化．( )师生活动：学生独立思考并求出相应的解析式，请
四名学生板书，教师巡视.
设计意图：通过将前四个
函数进行比较，学生通过
比较、观察、分析、概括
问题2 认真观察以上出现的四个函数解析式，分别 出正比例函数的共同特
说出哪些是函数、常量和自变量． 点，使学生明白正比例函
数的特征，从而归纳出正
比例函数的概念.培养学生
的观察、分析、归纳、概
括等思维能力.
师生活动：学生思考后，共同回答问题2，教师播
放课件填写表格.
追问1 这些函数解析式有什么共同点？
师生活动：学生思考后，选一名学生回答.教师顺势
总结定义.
预设：这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的
形式！
正比例函数的概念
一般地，形如 y = kx ( k 是常数，k ≠ 0)的函数，
叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数．
设计意图：通过问答的形
式帮助学生整体正比例函
数的概念，使学生掌握正
追问2为什么强调 k≠0？
比例函数的特征，以及正
比例函数 y = kx 的自变
师生活动：学生讨论交流，互相补充.
量 x 的取值范围，提高解
题技巧.
合作交流
1. 这个函数解析式在形式上具有怎样的结构特征
呢？
预设：等号右边是一次单项式，一次项系数不为
0，次数为1.
2. 正比例函数 y = kx 的自变量 x 的取值范围是什
设计意图：在判断的过程
么? 这与 问题1 中的函数自变量的取值范围有何不同? 中，巩固对正比例函数概
念的理解.
预设：自变量 x 的取值范围是全体实数，
注意实际问题：要符合实际情境.
师生活动：快问快答，学生独立思考后，选两名学
生回答问题.
设计意图：使学生结合实
例深入理解概念的内涵，
做到具体问题具体分析.并
且规范解题过程.
练习1. 判断下列函数解析式是否是正比例函数？如
果是，指出其比例系数是多少？
= = +1；
= - =
= =
练习2. 回答下列问题：
(1)若 y = (m - 1)x 是正比例函数，m 取值范围是
；
(2)当 n 时，y = 2xn 是正比例函数； 设计意图：通过解答运用
列表法求函数解析式的例
(3)当 k 时，y = 3x + k 是正比例函数. 题，巩固求函数解析式的
方法，辨析是否是正比例
函数.
师生活动：学生独立解答，教师根据学生反馈情
况，引导学生根据“常数×自变量”归纳辨别正比例
函数要注意的问题.
二十八、当
设计意图：通过例题引导
堂练习，巩
学生根据概念辨析正比例
固所学
函数，能够从实际问题中
根据已知条件抽象出函数
知识点二：求正比例函数的解析式 模型并解决实际问题．
问题3根据下表写出 y 与 x 之间的函数解析式：
y 与 x 之间的函数解析式为__________，由此断定
y 是 x 的 __________函数.
例2 已知某种小汽车的耗油量是每 100 km 耗油
15 L.所使用的汽油为 5 元/ L.
设计意图：题1、2考查学
(1)写出汽车行驶途中所耗油费 y (元) 与行程 x
生对正比例函数概念的掌
(km) 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函 握.
数；
(2)计算该汽车行驶 220 km 所需油费是多少？三、当堂练习，巩固所学
设计意图：考查学生运用
1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（
正比例函数概念的求函数
）
关系式的能力.
A. 圆的面积 S 与它的半径 r
B. 行驶速度不变时，行驶路程 s 与时间 t
C. 正方形的面积 S 与边长 a 设计意图：考查学生求正
D. 工作总量（看作“1” ）一定，工作效率 w 与工 比例函数关系式、解决实
作时间 t 际问题的能力.
2.下列说法正确的打“√”，错误的打“×”.
(1)若y = kx，则y是x的正比例函数 （ ）
(2)若y = 2x2，则y是x的正比例函数 （ ）
(3)若 y = 2(x - 1) + 2，则 y 是 x 的正比例函数
（ ）
(4)若y = (2 + k2)x，则y是x的正比例函数 （ ）
3.已知 y - 3 与 x 成正比例，并且 x = 4 时，y =
7，求 y 与 x 之间的函数关系式.
4. 有一块 10 公顷的成熟麦田，用一台收割速度为
0.5 公顷/时的小麦收割机来收割.
(1) 求收割的面积 y (单位：公顷) 与收割时间 x
(单位：时)之间的函数关系式；
(2) 求收割完这块麦田需用的时间.
正比例函数的概念
板书设计 一般地，形如 y = kx ( k 是常数，k ≠ 0)的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫
做比例系数．
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学
教学反思 生的思维能力为重点的教学思想.以探究任务引导学生，营造思维的空间，在知识
经历的发现过程中，培养学生分类、探究、合作、归纳的能力.
19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
第2课时 正比例函数的图象与性质
教学内容 第2课时 正比例函数的图象与性质 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界： 通过运用正比例函数解决实际生活中的问题，
培养学生的抽象概括能力，感悟数学眼光在观察生活变化中的优越性.
核心素养目
2.会用数学的思维思考现实世界：通过学习正比例函数的图象与性质，发展运算
标
能力和数形结合的思想能力，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过学习正比例函数的图象与性质，学生学会有意识的用数学语言表达现实生活中事物发展的性质、关系和规律.
1. 会画正比例函数的图象，进一步熟悉函数图象作图步骤。并会用两点法快速画
知识目标 出正比例函数的图象；
2.能根据正比例函数图象观察、发现归纳出它的性质，并会简单运用.
教学重点 学会画正比例函数图象，并通过图象掌握正比例函数的性质.
教学难点 能够通过图象掌握正比例函数的性质，利用性质解决相关问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、问题回顾，导入新知
入
问题1：下列函数哪些是正比例函数？
设计意图：适合学生的学
（1）y = －3x ； （2）y = x + 3；
习习惯，让学生在温习旧
（3）y = 4x； （4）y = x2. 知识的过程中体验会旧知
与新知之间的联系，活动
思维，为后面的学习做准
问题2：描点法画函数图象的三个步骤是 备.
_______、_______、_______.
师生活动：学生独立思考后，共同回答问题.
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质
设计意图：锻炼学生的作
知识点一：正比例函数的图象
图能力，通过学生自主作
图，提升课堂参与感，让
例1 画出下列正比例函数的图象： 学生直观的感受到正比例
函数图象的特征，培养自
（1）y = 2x，y = 1 x ；
y x 主学习和观察能力.
（2）y = -1.5x，y3 = -4x.
师生活动：学生在教师的引导下，经历列表、描
点，独立思考完成作图.
教师顺势提问，你能发现这这些图象有什么共同
点，不同点吗？
观察发现：
（1）这两个图象都是经过原点的 直线 ．
而且都经过第 一、三 象限；
（2）这两个图象都是经过原点的 直线 ．
而且都经过第 二、四 象限；
归纳总结；
设计意图：锻炼学生的作
图能力，在动手操作中，感受到两点法作正比例函
数图象的优越性，体会学
习本课的作用.
另外：函数 y = kx 的图象我们也称作直线 y = kx
.
设计意图：通过做题巩固
追问 经过原点与点 (1，k) (k 是常数，k ≠0)的直线 正比例函数图象的性质的
是哪个函数的图象? 画正比例函数的图象时，怎样 理解和应用.
画最简单? 为什么?
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
(1) y = -3x； (2) y = 3 x .
y x.
2
师生活动：
总结：由于两点确定一条直线，画正比例函数图象
时我们只需描点 (0，0) 和点 (1，k)，连线即可.
设计意图：通过思考解决
问题的方法，巩固正比例
函数的运算和作图；让学
生自主探究，培养自主学
例2 已知正比例函数 y = (k + 1)x.
习、独立思考的习惯，加
(1) 若函数图象经过第一、三象限，则 k 的取值
深对正比例函数的性质的
范围是________. 理解，培养数形结合思想.
(2) 若函数图象经过点 (2，4)，则 k_____.
师生活动：学生独立思考并完成作答，对于有困难
的学生，教师引导帮助分析解题思路.
知识点二：正比例函数的性质
问题：在函数 y = x ， y = 3x， y =1 - x和 y =
-4x 中，随着 x 的增大，y 的值分别如2 何变化?
师生活动：学生独立思考后小组讨论解题思路，在
选派代表回答它们的方法.
预设1：选则两个值x、x 带入到函数中，其中x＜
1 2 1
x，比较对应的y的大小.
2
如：对于函数 y = x，当 x = -1 时，y =
；当 x = 1 时，y = ；当 x = 2 时，y =
设计意图：考察学生的掌
；不难发现 y 的值随 x 的增大而 .
握情况，加深对正比例函
数的性质的理解.
预设2：把四个函数的图象画出来，用图象观察.
如：观察图象可以发现：直线 y = x，y = 3x 向右
逐渐 ，即 y 的值随 x 的增大而增大；直线
y = - 1 x，y = -4x 向右逐渐 ，即 y 的值随
2x的增大而减小.
设计意图：考察学生的掌
握情况，加深对正比例函
数的性质的理解，培养逆
向思维.
设计意图：考察学生的观
察能力，培养数形结合思
想.
练习
1.已知正比例函数 y = 2x 的图象上有两点
（3，y），（5，y），则 y y.
1 2 1 2
2.已知正比例函数 y = kx (k < 0) 的图象上有两点
（-3，y），（1，y），则 y y.
1 2 1 2
二十九、当
堂练习，巩 师生活动：学生独立思考并作答.
固所学
设计意图：考查学生对正
比例函数图象的性质的掌
例3 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点（m，
握.
4），且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的
值.
师生活动：学生独立思考并作答，选一名学生板书.
教师巡视. 设计意图：考查学生对正
比例函数的性质的掌握.
议一议 设计意图：考查学生对正
比例函数的图象和性质的
（1）正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值 掌握.
的增大 y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？
你能说明其中的道理吗？
设计意图：题4、5考查学
（2）正比例函数 y = x 和 y = -4x 中，随着 x
值的增大 y 的值都减小- 了1 ，其中哪一个减小得更 生对正比例函数的图象和
快？你是如何判断的？ 2 性质的掌握，以及利用正
比例函数的性质盘点系数
大小和求未知数取值范围
师生活动：学生根据图象共同思考做出判断.
的能力.
归纳：| k | 越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴.
三、当堂练习，巩固所学
1.下列图象哪个可能是函数 y = - x 的图象
（ ）A. B. C. D.
2.对于正比例函数 y = (k - 2)x，当 x 增大时，y
随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围 （ ）
A．k＜2 B．k≤2
C．k＞2 D．k≥2
3.函数 y = -7x 的图象经过第_________象限，经
过点_______与点 ，y 随 x 的增大而
_______.
4.已知正比例函数 y = (2m + 4)x.
（1）当 m 时，函数图象经过第一、三象
限；
（2）当 m 时，y 随 x 的增大而减小；
（3）当 m 时，函数图象经过点（2，10）.
5. 如图分别是函数 y = k x ，y = k x ，y = k
1 2 3
x ，
y = k x的图象.
4
（1）k k，k k(填“>”或“<”或“=”)；
1 2 3 4
（2）用不等号将 k， k， k， k 及 0 依次连接
1 2 3 4
起来．
正比例函数的图象与性质
在正比例函数 y = kx 中：
板书设计
当 k > 0时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
当 k < 0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课前，学生已学习平面坐标系的基本知识，在“变量之间的关系”的学习中
已经接触了大量“图象”，为描点画图象打下了良好的基础，通过前两节的学习
教学反思
了解了函数及函数的表示方法及正比例函数的概念等知识，在数学学习中养成了
一定的自主探究、小组合作学习习惯.
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
第1课时 一次函数的概念
教学内容 第1课时 一次函数的概念 课时 1
核心素养目 1.会用数学的眼光观察现实世界： 通过实际生活中的情境，感受一次函数在实际生活中的应用，学会发现生活中的数学，体会数学在生产实际中的作用.
2.会用数学的思维思考现实世界：通过经历一次函数概念的抽象概括过程，发展
学生的抽象思维能力，培养学生数学建模思想和解决问题能力.
标
3.会用数学的语言表示现实世界：使学生结合具体情境体会一次函数的意义，理
解一次函数和正比例函数的概念，能根据所给的条件写出简单的一次函数的解析
式，能用一次函数解决简单的实际问题.
1．结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际 问题中的数量关系写出一次
知识目标 函数的解析式；
2．能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系；
教学重点 理解并掌握一次函数的概念．
教学难点 会求一次函数解析式．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 十九、创设情境，导入新知
入 设计意图：运用登雪山的
教师叙述：某登山队大本 实际生活场景，吸引学生
营所在地的气温为 5 ℃， 的学习兴趣；回顾函数解
海拔每升高 1 km 气温下 析式的求解，层层递进用
降 6 ℃. 登山队员由大本 旧知带动新知，引出一次
营向上登高 x km 时，他 函数的概念.
们所在位置的气温是 y ℃.
提问 你能用函数解析式表示 y 与 x 的关系吗？
(1) 试用函数解析式表示 y 与 x 的关系；
(2) 它是正比例函数吗？
师生活动：学生独立思考求出函数解析式，并共同
回答问题(2).
追问：它与正比例函数有什么不同？这种形式的函
数你见过吗？
二、探究新
知
二十六、小组合作，探究概念和性质
设计意图：从实际问题中
知识点一：一次函数的概念 求出函数解析式，锻炼学
生的思维能力和抽象概括
问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数 能力；为后面观察思考一
次函数的概念做准备.
关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）有人发现，在 20 ℃～25 ℃ 时蟋蟀每分鸣叫
次数c 与温度 t（单位：℃）有关，且 c 的值约是
t 的 7 倍与 35 的差； ( )
（2）一种计算成年人标准体重 G（单位：kg）的
方法是，以 cm 为单位量出身高值 h ，再减常数
105，所得差是G 的值； ( )
（3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）
包括月租费 22 元和拨打电话 x min 的计时费（按0.1元/min收取）； ( )
（4）把一个长 10 cm，宽 5 cm的矩形的长减少 x
cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随 x的值
而变化． ( )
设计意图：培养学生的观
师生活动：学生独立思考求出四个函数的解析式， 察能力和总结概括能力.
选四名学生板书，教师巡视.
问题2 观察以上出现的四个函数解析式，很显然
它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征
呢？
师生活动：教师播放课件把四个函数解析式进行对
比，学生独立观察后给出答案.教师总结概念.
预设：它们都是“常数×未知数＋常数”的形式.
设计意图：培养学生的观
察能力和总结概括能力；
加深第一次函数概念的理
解.
一次函数的概念
一般地，形如 y = kx + b （k， b 是常数，k ≠
0）的函数，叫做一次函数.
追问1你能总结一次函数有什么特点吗？ 设计意图：培养学生的观
察能力和总结概括能力；
师生活动：学生独立思考后在教师的引导下根据填 自主学习掌握正比例函数
空总结一次函数的特点： 与一次函数的关系，提高
解题技巧.
（1）解析式中自变量 x 的次数是 次；
（2）比例系数 ；
（3）常数项：通常不为 0，但也可以等于 0.
追问2 一次函数与正比例函数有什么关系？
师生活动：学生独立思考后选两名学生回答问题.教
师播放课件，让学生完成表格进行总结.
预设1：当 b = 0 时，y = kx + b 即 y = kx
(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
设计意图：通过做题加深
学生对一次函数概念的理
解.预设2：正比例函数是一
种特殊的一次函数.
设计意图：通过做题加深
学生对一次函数概念的理
解与掌握.
练习1.下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例
函数？
(1) y = - 8x； (2) ； (3) y = 5x2 +
6；
x
y 1；
(4) y = - 0.5x - 1； (5) y = +1；
2
(6) y = -13 ； (7) y = 2(x - 4)； (8) .
师生活动：学生独立思考共同给出判断.请部分学生
讲述自己的理由.
例1 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2.
（1）当 m 为何值时，这个函数是一次函数?
设计意图：锻炼学生运用
一次函数概念解决实际问
题的能力.
（2）当 m 为何值时，这个函数是正比例函数?
师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独立
设计意图：利用跨学科背
完成计算.
景的习题练习，锻炼学生
的解题能力，培养学生的
应用意识，感悟数学学习
的作用.
知识点二： 一次函数的简单应用
例2 汽车油箱中原有油 50 升，如果汽车每行驶
50 千米耗油 9 升， 求油箱中剩余的油量 y (单
位：升)随行驶路程 x (单位：千米) 变化的函数关
系式，并写出自变量的取值范围，y 是 x 的一次函
数吗？
三十、当堂
师生活动：学生独立思考完成计算，选一名学生板
练习，巩固
书，教师巡视.
所学
设计意图：考查学生对一做一做 次函数的概念、与正比例
一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其 函数的关系的掌握.
速度每秒增加 2 m/s．
(1) 求小球速度v (单位：m/s)关于时间 t (单位：s)
的函数解析式；
设计意图：考查学生对一
(2)求第 2.5 s 时小球的速度；
次函数的概念的掌握.
(3)时间每增加 1 s，速度增加多少，速度增加量是
否随着时间的变化而变化？
设计意图：考查学生对一
次函数的概念的掌握，和
利用函数解析式求值的能
力.
师生活动：学生先独立思考，教师适时点播分析.
三、当堂练习，巩固所学
1.下列说法正确的是（ ）
A. 一次函数是正比例函数
B. 正比例函数不是一次函数
C. 不是正比例函数就不是一次函数
D. 正比例函数是一次函数
2. 要使 y = (m - 2)xn-1 + n 是关于 x 的一次函数，
n，m 应满足 ， .
3.如果长方形的周长是 30 cm，长是 x cm，宽是 y
cm.
(1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式，它是一次函数
吗？
(2) 若长是宽的 2 倍，求长方形的面积.
一次函数的概念
板书设计
一般地，形如 y = kx + b （k， b 是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
根据八年级学生的年龄和他们的心理特征，已经具备了一定的归纳、总结、表达
的能力.所以本节课一开始四个问题情景引入，希望能够激发学生的学习兴趣和求
教学反思
知欲.针对八年级学生的年龄特征，教师要努力调动他们的学习积极性，及时给予
鼓励性的评价和引导.19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
第2课时 一次函数的图象与性质
教学内容 第2课时 一次函数的图象与性质 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界： 通过运用一次函数解决实际生活中的问题，培
养学生的抽象概括能力，感悟数学眼光在观察生活变化中的优越性.
核心素养目 2.会用数学的思维思考现实世界：通过学习一次函数的图象与性质，发展运算能
标 力和数形结合的思想能力，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过学习一次函数的图象与性质，学生学会有
意识的用数学语言表达现实生活中事物发展的性质、关系和规律.
1.让学生会画一次函数的图象，理解一次函数的图象和性质以及与正比例图象之
知识目标 间的关系.
2.灵活运用一次函数的性质解诀实际问题.
会用两点法画出正比例函数和一次函数的图象，并能结合图象说出正比例函数和
教学重点
一次函数的性质.
教学难点 能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、问题回顾，导入新知
入
设计意图：思考正比例函
教师叙述：从解析式上看，正比例函数与一次函数
数和一次函数的解析式进
相差什么?如果体现在图象和性质上，正比例函数与
行对比，让学生回顾正比
一次函数又会有怎样的关系呢?
例函数的探究方法，从而
培养自主学习探究的能力.
师生活动：学上生在教师的引导下，回顾学习正比
例函数时的探究方向.
正比例函数 一次函数
二、探究新
知
针对函数 y = kx + b，要研究什么？怎样研究？
设计意图：锻炼学生的作
二、小组合作，探究概念和性质
图能力，提升课堂参与感.
知识点一：一次函数的图象
探究1 画出函数 y = 2x - 3 与 y = 2x 的图象，
并比较两个函数的相同点与不同点.(1) 画一次函数 y = 2x - 3 的图象．
(2) 画正比例函数 y = 2x 的图
象．
师生活动：学生独立完成画
图，对于画一次函数又困难的 设计意图：通过完成填空
同学，提示依旧用列表、描 类的问题，帮助学生梳理
点、连线的方式. 一次函数和正比例函数的
异同；培养学生的观察能
力和总结能力.
观察与思考
（一）比较上面两个函数的图象回答下列问题：
（1）这两个函数的图象形状都是 ，并且
倾斜程度 .
（2）函数 y= 2x 的图象经过 ，函数
1
y= 2x - 3 的图象与 y 轴交于点( )，即它
2
可以看作由直线 y= 2x向 平移 个单
1
位长度而得到.
师生活动：学生独立思考，答题并
完成填空.题（2）中的问题可以选学
生回答.
（二）比较函数 y = 2x - 3 与 y =
2x 的解析式.
师生活动：提示学生观察y的差
值，选一名学生回答他的发现.教
师完成总结.
总结发现：
反映在图象上：不论横坐标是几，这两个函数图象
的纵坐标总差同一个值 -3，即一个函数的图象总比 设计意图：通过练习，巩
另一个函数图象低出同一高度. 固一次函数作图方法和对
图象性质的理解.
即直线 y = 2x 向下平移 3 个单位长度就得到 y =
2x - 3 的图象，因此，函数 y = 2x - 3 的图象是
一条直线，并且倾斜程度相同.
练习1.
(1) 在同一直角坐标系画一次函数 y = - 6x 与
y = - 6x + 5 的图象．
(2) 一次函数 y = - 6x + 5 的图象与 y 轴交于点
，可以看作由直线y = - 6x 向 平移 个
单位长度而得到．(3) 在同一直角坐标系中，直线 y = - 6x + 5 与 y
= - 6x 的位置关系是 .
师生活动：师生共同完成作图后，学生独立完成练
习，请两位学生汇报答案，其他同学判断正误.
总结归纳： 设计意图：锻炼学生的应
你知道一次函数 y = kx＋b (k ≠ 0) 的图象是什么 用能力和总结能跟你，体
形状了吗?它与正比例函数的图象有什么关系? 会一次函数图象性质在解
题中的作用.
① 一次函数 y = kx＋b (k ≠ 0) 的图象是一条直
线，我们称它为直线 y = kx＋b (k ≠ 0).
②直线 y = kx y = kx＋b
(注：b＞0 时，向上平移；b＜0 时，向下平移.)
探究2 怎么画一次函数的图象更简便呢? 设计意图：巩固一次函数
函数的作图；让学生自主
探究，培养自主学习、独
师生活动：教师适时提示一次函数图象也是直线，
立思考的习惯，培养学生
也可以使用两点法作图.再让学生思考取哪两点比较
的观察总结能力和数形结
简便.教师完成总结：
合思想.
对于一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)来说，必定与 x
轴和 y 轴形成交点，所以一般采用：一次函数图象
与坐标轴的交点.
知识点二：一次函数的性质
合作探究
画出下列一次函数的图象：
（1）y = x + 1； （2）y = 3x + 1；
（3）y = -x + 1； （4）y = -3x + 1．
设计意图：培养自主学
思考1：仿照正比例函数的做法，你能看出当 k 的 习、独立思考的习惯，培
符号变化时，函数的增减性怎样变化吗？ 养学生的观察总结能力和
数形结合思想.
师生活动：学生独立思考完成作图并观察直线的变
化趋势. 教师选两名同学答题，顺势完成总结：
k＞0 时，直线从左向右
上升，y 随 x 的增大而
增大；
k＜0 时，直线从左向右
下降，y 随 x 的增大而
减小．
思考2：根据一次函数的图象判断 k，b 的正负，并
说出直线经过的象限：
三十一、当
堂练习，巩
固所学设计意图：考查学生对一
次函数图象的性质的掌握.
师生活动：学生独立思考后共同回答.
设计意图：考查学生对一
次函数的性质的掌握.
总结归纳
当 k＞0 时，直线 y = kx＋b 由左到右逐渐上升，
y 随 x 的增大而增大.
① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限.
当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 由左到右逐渐下降，
设计意图：考查学生对一
y 随 x 的增大而减小.
次函数的图象和性质的掌
① b＞0 时，直线经过第 一、二、四象限； 握.
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
设计意图：题4、5考查学
三、当堂练习，巩固所学 生对一次函数的图象和性
质的掌握，以及利用一次
1. 一次函数 y = x - 2 的大致图象为( ) 函数的性质求未知数取值
的能力.
A. B. C. D.
2.下列函数中，y 的值随 x 值的增大而增大的函数
是 ( )
A. y = - 2x B. y = - 2x + 1
C. y = x - 2 D. y = - x - 2
3.直线 y = 2x - 3 与 x 轴交点的坐标为
________；与y轴交点的坐标为_______；图象经过
第__________象限，y 随 x 的增大而________．
4. 若直线y = kx + 2与y = 3x - 1平行，则k =
.
5.点 A(-1，y)，B(3，y) 是直线 y = kx + b(k＜0)
1 2
上的两点，则 y - y 0(填“＞”或“＜”).
1 2
一次函数的图象与性质
在一次函数 y = kx + b 中，
板书设计
当 k > 0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
当 k < 0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课，学生活动设计了三个方面：一是通过画函数图象理解一次函数图象的形
教学反思
状；二是两点法画一次函数的图象；三是探究一次函数的图象与k、b符号的关系.在学生活动中，如何调动学生的积极性、互动性，给学生明确的目的和要求，
而且提供操作性很强的程序和题目.
19.2 一次函数
19.2.2 一次函数
第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式
教学内容 第3课时 用待定系数法求一次函数的解析式 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：通过运用一次函数表达式解决有关现实问题，
培养学生的抽象概括能力，感悟数学眼光在观察生活变化中的优越性.
核心素养目 2.会用数学的思维思考现实世界：通过学习用待定系数求法一次函数表达式，发
标 展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过运用一次函数表达式解决有关现实问题，
学生可以简约、精确地描述自然现象和日常生活中的数量关系和空间形式.
1.能够理解并掌握待定系数法；
知识目标 2.能用待定系数法求一次函数，用一次函数表达式解决有关现实问题.
教学重点 掌握用待定系数法求一次函数的解析式.
教学难点 用待定系数法求一次函数的解析式，解决与实际相关的问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、问题回顾，导入新知
入
设计意图：复习一次函数
提问1 前面，我们学习了一次函数及其图象和性
的图象和解析式的关系，
质，你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何
为本节内容铺垫；让学生
画出它的图象？
带着问题学习，激发学习
积极性.
例如求 y = 2x - 3
师生活动：学生独立作图.选一名学生回答作法.
预设：两点法——两点确定一条直线
提问2 反过来，如果知道一条直线经过两个已知
点，能否确定这条直线的解析式呢?
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质
设计意图：学生独立思
知识点一：用待定系数法求一次函数的解析式 考，培养自主学习习惯，
在猜想、验证中加深对待
如图，已知一次函数的 定系数法求一次函数的解
图象经过 P (0，-1)， 析式的理解.
Q (1，1) 两点. 怎样确
定这个一次函数的解析
式呢？
师生活动：学生独立思
考，在教师的引导下提
出猜想.选同学回答问题.
预设：可以联系一次函数的一般形式 y = kx + b 设计意图：培养自主学习来求解. 习惯，在猜想、验证中加
深对待定系数法求一次函
数的解析式的理解，体会
数形结合思想.
教师分析：
因为一次函数的一般形式是 y = kx + b (k，b为常
数，k ≠ 0)，要求出一次函数的解析式，关键是要
确定 k 和 b 的值(即待定系数).
师生活动：学生在教师的引导下分析解题思路，独
立完成计算，选一名学生板书，教师规范解题步骤.
方法归纳
待定系数法
像这样，通过先设定函数解析式（确定函数模
设计意图：在思考、解答
型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而
问题中，应用和锻炼数形
求出函数解析式的方法称为待定系数法.
结合思想.加深对用待定系
数法求一次函数解析式的
理解.
提问3 给两点可以确定一次函数的解析式，一点可
以吗?更多点呢? 设计意图：学以致用，在
练习中巩固用待定系数法
求一次函数解析式的方
师生活动：学生独立思考，选学生回答问题.
法，总结一般步骤.
预设1：从几何角度来看： 一点不够， 因为两点
确定一条直线.两个及以上都可以，但是两点足够.
预设2：从代数角度来看：一次函数的解析式中含
有 k，b 两个待定系数，因此需要两个点的坐标，
列两个方程，即得二元一次方程组.
练习1. 已知一次函数的图象过点 (3，5) 与 (-4，-
9)，求这个一次函数的解析式．
设计意图：锻炼用待定系
数法求一次函数解析式，
师生活动：学生独立思考，选一名好学生板书做题.
培养从题干获取信息的能
力.
归纳总结
求一次函数解析式的步骤：
（1）设：设一次函数的一般形式 y = kx + b ( k ≠
0)； （2）列：把图象上的点 (x，y)，(x，y) 代
1 1 2 2入一次函数的解析式，组成 二元一次 方程组；
（3）解：解二元一次方程组得 k，b；
（4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的解析式.
设计意图：锻炼用学生培
养从题干获取信息的能
力，介绍分段函数，提高
例1 若一次函数的图象经过点 A(2，0)，且与直线 解题技巧.
y = - x + 3 平行，求其解析式.
师生活动：教师分析解题思路——一次函数与直线
平行，则系数k相等；学生独立完成解题.
知识点二：一次函数与实际问题
例2 “黄金1号”玉米种子的价格为 5 元/kg，如
果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg 部分的种
设计意图：锻炼运用一次
子的价格打 8 折.
函数的图象和解析式解决
(1) 填写下表：
实际问题的能力，引导分
类讨论，培养发散性思维.
(2) 写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画
设计意图：锻炼运用一次
出函数图象.
函数的图象和解析式解决
实际问题的能力，引导分
师生活动：学生独立解答题(1)，并在教师的引导下
类讨论，培养发散性思维.
分析题(2)的解题思路.
教师讲述：该类型函数叫做分段函数.
注意：1.它是一个函数；
2.要写明自变量取值范围
思考：你能由上面的函数解析式或函数图象解决以
下问题吗？
三十二、当 (1) 一次购买 1.5 kg 种子，需付款多少元？
堂练习，巩 (2) 30 元最多能购买多少种子？
固所学
师生活动：学生根据图象，独立完成计算. 设计意图：考查学生对一
次函数图象与解析式的联
系的掌握.
练习2. 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，
每户每月用水不超过 8 立方米，每立方米收取 1
元外加 0.3 元的污水处理费；超过时，超过部分每
立方米收取 1.5 元外加 1.2 元污水处理费，现设一
户每月用水 x 立方米，应缴水费 y 元. 设计意图：考查运用一次
函数解决实际问题的能力.
(1)求出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 该市一户某月若用水 x = 10 立方米时，求应缴
水费；
(3) 该市一户某月缴水费 26.6 元，求该户这月用水
量.师生活动：学生根据图象，独立完成计算.
设计意图：考查学生用待
定系数法求一次函数解析
式的能力.
三、当堂练习，巩固所学
1.一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象如图，则下
列结论正确的是 （ ）
A．k = 2 B．k = 3
C．b = 2 D．b = 3
2.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储
蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数 y (元)与存
钱月数 x (月) 之间的关系如图所示，根据下图回答
下列问题：
（1）求出 y 关于 x 的函
数解析式.
（2）根据关系式计算，小
明经过几个月才能存够
200 元？
3. 已知直线 l 与直线 y =
-2x 平行，且与 y 轴交于
点(0，2)，求直线 l 的解析式.
用待定系数法求一次函数的解析式
板书设计
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
数学思想的教学一般要经过渗透、领悟、应用、巩固四个阶段.在探究用待定系数
教学反思 法求一次函数解析式时，让学生领悟到类比思想、数形结合思想，并运用这些数
学思想去猜想、验证、归纳、概括求一次函数解析式的方法.
19.2 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
教学内容 19.2.3一次函数与方程、不等式 课时 11.会用数学的眼光观察现实世界：根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等
式、二元一次方程组的求解问题，培养抽象能力和应用能力.
核心素养目 2.会用数学的思维思考现实世界：通过学习理解一次函数与方程、不等式的关
标 系，发展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.
3.会用数学的语言表示现实世界：通过运用一次函数与方程、不等式的关系解决
有关现实问题，学生会运用数据形成合理判断或决策，感悟数据的价值.
1.理解一次函数与方程、不等式的关系.
知识目标 2.会根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问
题.
教学重点 理解一次函数与方程、不等式的关系.
教学难点 根据一次函数的图象解决一元一次方程、不等式、二元一次方程组的求解问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、问题回顾，导入新知
入
设计意图：用趣味的游戏
教师叙述：今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成
思考，把学生的注意力吸
员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y =
引至课堂，让学生带着问
5”.
题学习本课，激发学生的
探索欲望.
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质 设计意图：耐心提示，把
课堂交给学生自主发现，
知识点一：一次函数与一元一次方程 培养学生的自主学习能力
和观察能力.
问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数
的角度对解这三个方程进行解释吗？
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
师生活动：学生独立思考，发现三个方程的等式左
设计意图：通过对比，实
边都相同.教师提示，把等式右边看作 y ，则三个
现由方程到一次函数的过
等式可以表示同一个函数.
渡.
学生观察力不够时，教师可以提示从函数值、函数
图象两个分享理解，学生独立思考，小组讨论并作
答，教师完成总结.
从函数值看：
解这 3 个方程 ⟺ 一
次函数 y = 2x + 1，
当 y 分别为 3，0，-1
时，求自变量 x 的值.
从函数图象看：当直线 y = 2x + 1上，取纵坐标分别为 3，0，-1
的点，它们的横坐标的取值. 设计意图：通过学生思考
填空，梳理一次函数与一
元一次方程的关系，加深
学生的理解.
总结：
师生活动：学生独立思考，共同作答填空完成总结.
一般地，一元一次方程 ax + b = c (a、b、c为常
数，a ≠ 0)的解就是当函数__________的函数值为
_____时的自变量_____的值.
归纳总结
我们知道任何一元一次方程都可以转化 kx + b = 0
的形式，你能用函数的观点解释这个方程吗?
设计意图：通过做题巩固
对一次函数与一元一次方
程的关系的理解，提高学
生的应用能力.
练习
1. 直线 y＝2x + 20 与 x 轴交点坐标为( ， 设计意图：通过做题巩固
)，这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____. 对一次函数与一元一次方
程的关系的理解，培养发
散性思维和应用能力.
2. 若方程 kx＋2＝0 的解是 x＝5，则直线 y＝kx＋
2 与 x 轴交点坐标为( ， ).
师生活动：学生独立思考，完成练习，教师巡视，
选两名学生作答.
例1 一个物体现在的速度是 5 米/秒，其速度每秒
增加 2 米/秒，再过几秒它的速度为 17 米/秒？(从 设计意图：学生通过对问
方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答) 题1的探究，已经掌握了
一定方法，这里要求学生
学以致用，培养自主探究
师生活动：学生独立思考，完成练习，教师巡视，
能力.
选三名学生板书，教师规范解题思路.
知识点二：一次函数与一元一次不等式
问题2 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函
数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得
到的结论推广到一般情形吗？(1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2
＜-1．
师生活动：学生独立思考，小组讨论，选代表回答
问题.师生共同完成总结.
从函数值的角度看：
解这 3 个不等式 ⟺ 在一次函数 y = 3x + 2的
函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量 x
的取值范围.
从函数图象的角度看：
解这 3 个不等式 ⟺
在直线y = 3x + 2 上取
纵坐标分别满足大于
2、小于 0、小于 -1的
设计意图：通过做题巩固
点，看它们的横坐标分
对一次函数与一元一次不
别满足什么条件.
等式的关系的理解，培养
学生的应用能力.
归纳总结
一次函数与一元一次不等式的关系
设计意图：锻炼学生应用
一次函数与一元一次不等
式的关系及图象进行解题
的能力，体会方法的简便
与优越.
例2 画出函数 y = -3x + 6
的图象，结合图象求：
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x
设计意图：用显示情境问
+ 6 < 0 的解集；
题，激发学生的探究兴
(2) 当 x 取何值时，y < 3 ?
趣，体会本节课内容在实
际生活中的作用.
师生活动：教师分析解题思
路，学生独立思考并作答，选
两名学生板书，教师规范解题
步骤.
练习3. 如图，已知直线 y = kx + b 与 x 轴交于
点(-4，0)，则当 y > 0 时，x 的取值范围是( )
设计意图：学生独立思
A. x > -4 考，锻炼前面学习的探究
B. x > 0 方法.
C. x < -4
D. x < 0知识点三：一次函数与二元一次方程组
问题3 1号探测气球从海拔 5 m 处出发，以 1
m/min 的速度上升．与此同时，2 号探测气球从海
拔 15 m 处出发，以 0.5 m/min 的速度上升．两个
气球都上升了 1 h．
(1)请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔 y
(m) 与气球上升时间 x (min) 的函数关系．
设计意图：学生独立思
考，锻炼前面学习的探究
师生活动：学生独立思考写出
方法.
两个函数解析式.
思考1：一次函数与二元一次方
程有什么关系？
师生活动：教师提问：以一次
方程 y =0.5 x + 15 举例，可以从几个方向思考关
系？
预设：从方程观点和函数观点看，他们可以互相转
化.
三十三、当
堂练习，巩 思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程
固所学 有什么关系？
在同一坐标内，(1) 画出 y = 0.5x + 15 的图象；
(2)画出以方程 y - 0.5x = 15 的 5 个解为坐标的 设计意图：考查学生能否
点.你有什么发现？ 根据一次函数的图象解决
一元一次方程的求解问题.
设计意图：学生独
立思考，完成计
算，教师巡视；再
小组讨论观察的结
论，选代表回答. 设计意图：考查对一次函
数与二元一次方程组的关
系的掌握.
教师播放课件总结.
设计意图：考查学生能否
根据一次函数的图象解决
一元一次不等式的求解问
题.
总结：一般地，任何一个二元一次方程都可以转化
为一次函数 y = kx + b (k、b 为常数，且k ≠ 0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函
数，也对应一条直线．
三、当堂练习，巩固所学
1．一次函数 y = kx + 3 的图象如图所示，则方程
kx + 3 = 0 的解为 .
2．若方程组 �� 2 x - y = - 1 ，的解为 �� x = 2 ，则一次函
� �
数 y = 2x + 1
�� 3
与
x- y
y
=
=
1
，3x - 1 的图
��
象
y=
交 5，点坐标为
______.
3.一次函数 y= 4x + 5 与 y = 3x + 10 的图象如
1 2
图所示，则 4x + 5 > 3x + 10 的解集是
（ ）
A. x < 5
B. x > 5
C. x > -5
D. x > 25
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 ⟺ 对应一次函数
板书设计
解一元一次不等式 ⟺ 对应一次函
解二元一次方程组 ⟺ 求对应
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
通过前面的学习，学生已经掌握了从数的角度认识一次方程和一次不等式，从
形的角度认识了一次函数和数轴表示不等式的解集.而本节课通过函数图像动态的
教学反思 变化和点的对应来探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.但
学生对函数的理解还停留在直观的解析式或者图象上，学生很难想到利用函数的
观点来看待方程和不等式的问题，从函数的对应关系来辩证的理解三个数学模型.
19.3 课题学习 选择方案
教学内容 19.3 课题学习选择方案 课时 1
1.会用数学的眼光观察现实世界：通过运用一次函数表达式解决有关现实问题，
核心素养目 培养学生的抽象概括能力，感悟数学眼光在观察生活变化中的优越性.
标 2.会用数学的思维思考现实世界：通过学习用待定系数求法一次函数表达式，发
展运算能力和推理应用意识，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.3.会用数学的语言表示现实世界：通过运用一次函数表达式解决有关现实问题，
学生可以简约、精确地描述自然现象和日常生活中的数量关系和空间形式.
1.进一步了解一次函数的解析式和图象在解决实际问题中的应用.
知识目标 2.理解同一问题有不同的解决方案；掌握用一次函数选择最佳方案的方法.
了解一次函数的解析式和图象在解决实际问题中的应用，能运用一次函数选择最
教学重点
佳方案.
教学难点 用一次函数的解析式和图象法解决实际问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、问题回顾，导入新知
入
设计意图：让学生积极分
教师叙述：做一件事情，有时有不同的实施方案.比
享自己生活中的经验，踊
较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是
跃参与，提高课堂参与感
非常必要的.应用数学的知识和方法对各种方案进行
和活跃度，让学生意识到
比较分析，可以帮助我们清晰地认识各种方案，作
本节课在实际生活中的作
出理性的决策.
用.
你能说说生活中需要选择方案的例子吗？
师生活动：学生思考后积极分享自己在生活中选择
方案的情况，教师适时引导进数学问题中.
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质
设计意图：用问题串的方
知识点：选择方案 式，逐步引导学生探索解
题步骤，层层递进，培养
问题1 怎样选取上网收费方式？ 学生自主学习的能力.
下表给出 A，B，C 三种上宽带网的收费方式.
1.哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？
2.方案 C 上网费是多少钱?
设计意图：进一步加深对
3.方式 A、B 中，上网费由哪些部分组成？ 分段函数的理解，感受分
段函数在解决实际问题的
作用.
4.设月上网时间为 x 小时，方案 A 的网费为 y
1
元，方案 B 网费为 y 元. 怎样选择才能最省钱？
2 设计意图：回顾函数解析
式的求法，通过绘图，锻
5. 在方式 A 中，超时费一定会产生吗？什么情况 炼学生的作图技巧，感受
下才会有超时费？ 图标分析函数解析式的简
便，培养数形结合思想.
6.类比方式A，你能自己写出方式 B ，C 的上网费
y，y 关于上网时间 x 之间的函数解析式吗?
2 3当上网时间__________时，选择方式 A 最省钱.
当上网时间__________时，选择方式 B 最省钱.
设计意图：锻炼学生运用
一次函数的图像及性质，
当上网时间_________时，选择方式 C 最省钱. 解决选择方案问题的能
力，考察对方法的掌握.
师生活动：学生独立思考1-3和第5题，并共同作
答；第4题独立思考后小组讨论，并选代表回答；
第6题学生思考写出解析式并绘图，选两名学生板
书，教师巡视；学生观察图表，然后小组讨论交
流，选三位学生完成填空，其他同学判断正误.
练习 1. 某移动公司对于移动话费推出两种收费方
式：
A 方案：每月收取基本月租费 15 元，另收通话费
为 0.2 元/分；
B 方案： 零月租费，通话费为 0.3 元/分.
（1）试写出 A，B 两种方案所付话费 y (元) 与通
话时间 t (分钟) 之间的函数关系式；
设计意图：学生独立思考
后，对问题解决有了一个
（2）在同一坐标系画出这两个函数的图象，并指出 大致的方案，但还不够明
哪种付费方式合算？ 确. 用问题串的方式，逐
步引导学生梳理解题方
法，培养学生有条理、有
师生活动：学生独立思考完成题（1）、（2），求
逻辑的思维方式.
出函数解析式并作图，选一名学生板书.随后学生共
同观察函数图像，直接回答哪种付费方式合算.
问题2 怎样租车？
某学校计划在总费用 2300 元的限额内，租用汽车
送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动，每辆汽
车上至少有 1 名教师．现有甲、乙两种大客车，它
们的载客量和租金如表所示：（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案．
设计意图：梳理解题思
师生活动：学生独立思考后，根据教师的追问逐步
路，线列举所有方案，再
解答.
根据条件进行排除.
追问1：租车的方案有哪几种？
追问2：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车
设计意图：由浅入深，调
呢？ 动学生的课堂积极性和注
意力，鼓励学生主动思考.
追问3：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范
围吗？
师生活动：学生独立思考并计算后，直接作答.
追问4：要使 6 名教师至少在每辆车上有一名，你
能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？
师生活动：学生独立思考后，选一名学生作答，其
他同学判断正误.
追问5：在 追问3 中，合租甲、乙两种车的时候，
又有很多种情况，面对这样的问题，我们怎样处理
呢？
师生活动：学生独立思考后小组讨论，选派代表回
答.
预设1：分类讨论——分 3 种情况，然后在对比优
劣；
预设2：追问1的三个方案，合适的两个方案都有甲
种车，设租甲种车 x 辆，确定 x 的范围.
教师说明第二种方案更简便，鼓励并引导学生求出
x 的取值范围.学生遇到困难时，可做出如下提示：
(1)要确保 240 名师生有车坐，
(2)要确保租车费用不超过 2300元.
分别求出取值范围.学生独立思考并完成计算后，小
组讨论，师生共同总结答案.
三十四、当
堂练习，巩
固所学
归纳总结：
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之 设计意图：考查学生应用
间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值 一次函数的解析式和图象
的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以 解决实际问题的能力.
反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模
型.设计意图：考查学生应用
一次函数的解析式和图象
解决实际问题的能力以及
发散性思维.
三、当堂练习，巩固所学
1.某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中
的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，
个体车主收费y 元，国营出租车公司收费为y 元，
1 2
观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较
合算．
2. 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外
地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基
本相同，到此地旅游的价格都是每人 100 元.经联
系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙
旅行社表示单位先交 1000 元后，给予每位游客六
折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅
游总费用较少？
板书设计 课题学习 选择方案
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
教学时，突出重点把握难点．能够让学生经历数学知识的应用过程，关注对问题
的分析过程，让学生自己利用已经具备的知识分析实例．发展学生的应用意识和
教学反思
决策能力，体会到数学在实际生活中的意义.同时，在解决问题的过程中，要充分
利用函数的图象，渗透数形结合的思想．
20.1 数据的集中趋势
20.1.1 平均数第1课时 平均数和加权平均数
教学内容 第1课时 平均数和加权平均数 课时 1
1.通过实际生活中的例子，让学生在学习平均数和加权平均数的概念的同时，体
会到二者不同的现实意义，培养抽象能力.
核心素养目 2.掌握求解一组数据的算术平均数和加权平均数的方法，培养学生的应用能力和
标 数学语言表达能力.
3.通过理解“权”的差异对平均数的影响，利用它们解决实际问题，体验多方面
分析解决问题的必要性，培养创新精神.
1．知道算术平均数和加权平均数的意义，会算术平均数和加权平均数；
知识目标 2．理解“权”的差异对平均数的影响，算术平均数与加权平均数的联系与区
别，并能利用它们解决实际问题．
教学重点 知道算术平均数和加权平均数的意义，会求算术平均数和加权平均数；
教学难点 理解“权”的差异对平均数的影响，并能利用加权平均数解决实际问题．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、问题回顾，导入新知
入
重庆7月中旬一周的最高气温如下：
设计意图：回顾旧知，在
做题的过程中回顾算数平
均数的概念，为学习加权
平均数做铺垫，加强新旧
1. 你能快速计算这一周的平均最高气温吗？
知识之间的练习，牵动学
2. 你还能回忆、归纳出算术平均数的概念吗？
生的课堂注意力.
师生活动：学生独立思考完成问题1的计算，教师
巡视；教师点几位学生回答算数平均数的概念，师
生共同总结.
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：平均数与加权平均数 设计意图：用实际问题导
入，吸引学生的注意力，
意识到学习本节课在实际
问题：一家公司打算招聘一名英文翻译，对甲、乙
生活中的意义.
两位应试者进行了听、说、读、写的英语水平测
试，他们的各项成绩
(百分制) 如表所示：
(1) 如果公司想招一名
综合能力较强的翻
译，请计算两名应试者的平均成绩，应该录用谁？
师生活动：学生独立完成计算，选一名学生板书. 设计意图：通过问题背景
（条件）的变换，发现已
有知识难以解决问题，激
发学生的探索与和好奇心.
追问：这家公司用什么样的办法才能招聘一名写作
能力较强的英文翻译呢？
A. 随便选一个
B. 换个方法算平均分，让写作分的比重更大
师生活动：学生很容易领悟到，应该选用方案B，
设计意图：通过图表展教师顺势引发思考：那么这比重应该怎么加，加在 示，在设问中，让学生理
哪呢？ 解“权”的概念，在问答
中，激发学生主动思考，
而不是灌输填鸭.
教师活动：教师播放课件，展示表格（也可提前让
学生在草稿纸上画出表格，共同作笔记），让学生
观察.学生遇到困难时，可作出提示；
提示：实际上这四个数有各自的比重
提问1：你能看出，计算算数平均数时，四个数的
比重时是多少吗？
预设1：都是比重都是1.
预设2：把总体看作 4 份，每个数都占 1 份.
教师总结权的含义.
提问2：现在听说读写的权完全一样，不分主次，
而要多体现写作能力的特点，需要单增加写作的权.
你觉得可以怎么增加写作的权呢？
预设1：把写作的比重改成2，占比变成 .
预设2：不对，写作的比重改成2，总体要看作 5 设计意图：巩固学生对加
份，写作的占比变成 . 权平均数的认识，锻炼学
生运用加权平均数做题的
能力，体会到比重在计算
学生在教师的引导下，计算加权后的平均数. 平均成绩中的重要性.
教师总结：加权不止可以加一项的权，也可以加入
多项的权.
设计意图：培养学生由数
(2) 如果公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、 到式的迁移推理思想，和
说、读、写的成绩按照 2:1:3:4 的比确定，计算两 归纳总结能力.
名应试者的平均成绩(百分制) . 从他们的成绩看，
应该录取谁？
师生活动：教师分析解题思路，学生独立完成计算.
思考1：能把这种加权平均数的计算方法推广到一
般吗？xw+xw++xw
11 22 nn 设计意图：培养学生的观
w+w++w
察总结能力，感受加权平
1 2 n
师生活动：教师引导学生用字母代替数字，学生加 均数在生活中的作用.
权平均数的一般表达式.
总结：一般地，若 n 个数 x，x，…，x 的权分
1 2 n
别是 w，w，…，w，则 设计意图：认识到权的表
1 2 n
xw+xw++xw达方式可以是百分数，提
叫做这 n 个数的加权平均数．11 22 nn
w+w++w 高解题技巧.
1 2 n
思考2：如果公司想招一名口语能力较强的翻译，
听、说、读、写的成绩按照 3:3:2:2 的比确定，那
么甲、乙两人谁将被录取？与上述问题中的 (1)
(2) 相比较，你体会到权的作用吗？
师生活动：学生独立完成计算，师生共同总结：权
表示数据的重要程度.
例1 一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲
能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均
按百分制，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占
40%，演讲效果占10%的比例，计算选手的综合成 设计意图：加强新旧知识
绩(百分制).进入决赛的前两名选手的单项成绩如下 之间的练习，加深对加权
表所示： 平均数的认识与掌握；能
区分加权平均数和算术平
均数，并在适当的问题中
运用；培养对从属关系的
认识，发展数据观念.
请决出两人的名次.
师生活动：教师分析解题思路（权的占比），学生
独立完成计算，教师巡视.
归纳总结：
权的意义： 设计意图：进一步加深学
反映各个数据在该组数据中所占有的重要程度. 生对权、平均数与加权平
均数关系的认识，提高解
题技巧.
加权平均数的意义：
按各个数据的权重来反映该组数据的总体平均大小
情况.
算术平均数与加权平均数的关系：
算术平均数是加权平均数的一种特殊情况.
设计意图：通过做题巩固
用加权平均数计算算数平
算术平均数与加权平均数的区别：
均数的方法.
(1) 算术平均数中各数据都是同等重要，没有相互间差异；
(2) 加权平均数中各数据都有各自不同的权重地位.
知识点二：加权平均数的其他形式
想一想：哪组数据的 2 所占的比重更大呢？
2的权: 1
2的权: 10
总结：碰到重复的数据时，可以用加权的办法来计
算平均数.
例2 某跳水队为了解运动员的年龄情况，做了一次
年龄调查，结果如下表. 求这个跳水队运动员的平
均年龄(结果取整数).
三十五、当
堂练习，巩
固所学 设计意图：考查学生对加
权平均数概念的掌握.
师生活动：学生根据数据完成表格，教师分析解题
思路： ，可以用
设计意图：考查学生计算
加权的办法来计算平均数. 学生独立完成计算.
算数平均数的能力.
设计意图：考查学生综合
运用算术平均数和加权平
归纳总结
均数进行计算的能力；进
一步体会加权平均数再生
在求 n 个数的平均数时，如果 x 1 出现 f 1 次，x 2 出 活中的意义.
现 f 次，…，x 出现 f 次(这里 f + f +…+ f =
2 k k 1 2 k
n)，那么这 n 个数的算术平均数
= x x f f x x f f + .. ... .+ x x f f
x x 1 1 1 1 2 2 2 2 k k k k
nn
也叫做 x，x，…，x 这 k 个数的加权平均数，其
1 2 k
中f，f，…，f 分别叫做 x1，x，…，x 的权.
1 2 k 2 k
三、当堂练习，巩固所学
1. 已知一组数据 4，13，24 的权数分别是 1 1 1
，，，
则这组数据的加权平均数是________ . 6 3 2
2. 一组数据为 10，8，8，13，13，10，8，则这组
数据的平均数是_________.
3.某次歌唱比赛，两名选手的成绩如下：
(1)若按三项平均值取第一名，则______是第一名.(2) 若三项测试得分按 3:6:1 的比例确定个人的测
试成绩，此时第一名是谁？
第1课时 平均数和加权平均数
板书设计
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
通过权对结果的影响，使学生初步对“扬长避短”有所理解，体会数学与人类社
教学反思 会的密切联系，了解数学的价值，逐步养成用数学角度观察世界的意识与习惯，
发展好奇心、想象力和创新意识.
20.1 数据的集中趋势
20.1.1 平均数
第2课时 用样本平均数估计总体平均数
教学内容 第2课时 用样本平均数估计总体平均数 课时 1
1.通过实际生活中的例子，掌握用样本平均数去估计总体平均数的统计方法，建
立数学与现实世界之间的逻辑联系，培养抽象能力.
核心素养目 2.通过学习用样本平均数去估计总体平均数的统计方法，锻炼学生的应用能力和
标 运算能力.
3.在实际情景中会用样本平均数去估计总体平均数、体会样本代表性的重要意
义，培养数学模型观念，增强对数学的应用意识.
1．掌握用样本平均数去估计总体平均数的统计方法；
知识目标 2．在实际情景中会用样本平均数去估计总体平均数、体会样本代表性的重要意
义.
教学重点 掌握用样本平均数去估计总体平均数的统计方法.
教学难点 能根据不同特点的频数分布直方图采取相应的处理方法.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、问题回顾，导入新知
入
设计意图：在做题过程中
1.若 n 个数 x，x，…，x 的权分别是w，
1 2 n 1 回忆加权平均数的概念和
w，…，w，则__________________叫做这 n 个数
2 n 权的概念，加强新旧知识
的加权平均数.
之间的练习，为后面的学
习做准备.
2.在求一组数据的平均数时，某个数据出现的次数
看作是这个数的______.师生活动：学生独立思考后，师生共同作答.
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质
设计意图：通过实际生活
中的例子，引出本课知识
知识点一：组中值与平均数
点一——组中值的概念；
让学生意识到已有知识无
问题1：为了解 5 路公共汽车的运营情况，公交部 法解决问题，激发对本课
门统计了某天 5 路公共汽车每个运行班次的载客 的好奇心；在实际问题
量，得到下表，这天 5 路公共汽车平均每班的载客 中，体会样本估算的重要
量是多少？ 性.
想一想：没有具体的数据怎么算公共汽车平均每班
的载客量呢？
设计意图：教师引导，学
生解答，加深对组中值概
念的理解.
师生活动：教师分析解题思路：在每组中找一个
数，然后把组中的每个数都近似看做它.
学生独立计算每组数据的组中值（选一名学生板
书），并根据组中值计算汽车平均每班的载客量.
设计意图：掌握运用计算
器计算加权平均数的技巧
对于遇到困难的同学，教师可提示频数即权，可利 方法，感受计算器在实际
用加权平均数进行计算，顺势提出计算器的使用. 生活中的便捷.
使用计算器说明：
1.不同品牌的计算器的操作步骤有所
不同，操作时需要参阅计算器的使
用说明书.
2.通常需要先按动有关键，使计算器
进入统计状态；然后依次输入数据
x，x，…，x ，以及它们的权f， f，…，f ；
1 2 n 1 2 n
最后按动求平均数的功能键（例如 键）， 设计意图：巩固运用组中
值求阶段数据平均数的方计算器便会求出平均数 法，培养运算能力.
的值.
师生活动：学生根据教师的，独立用计算器完成一
组平均数的计算，教师巡视.
练习 1.某班学生期中测试数学成绩各分数段人数统
计表如下：
设计意图：通过实际生活
问班级平均分约是多少？ 中的例子体会样本估算的
重要性.
师生活动：学生独立完成计算，选一名学生作答.
知识点二：用样本平均数估计总体平均数
探究
某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，用全面调查
的方法考察这批灯泡的平均寿命，合适吗？
设计意图：通过实际生活
中的例子，掌握用样本平
师生活动：学生独立思考并共同回答，教师引导学 均数去估计总体平均数的
生说明什么样的统计需要进行样本估计. 统计方法.
教师总结：实际生活中经常用样本的平均数来估计
总体的平均数.
例1 某灯泡厂为了测量一批灯泡的使用寿命，从中
随机抽查了 50 只灯泡，它们的使用寿命如下表所
示．这批灯泡的平均使用寿命是多少？
设计意图：巩固运用样本
平均数去估计总体平均数
的能力，培养识图能力，
师生活动： 发展数形结合思想.
教师分析解题思路：抽出 50 只灯泡的使用寿命组
成一个样本，可以利用样本的平均使用寿命来估计
这批灯泡的平均使用寿命.
学生独立完成计算，选一名学生板书.
练习 2.种菜能手李大叔种植了一批新品种的黄瓜，
三十六、当 为了考察这种黄瓜的生长情况，李大叔抽查了部分
堂练习，巩 黄瓜株上长出的黄瓜根数，得到右面的条形图，请
固所学 估计这个新品种黄瓜平均每株结多少根黄瓜.
设计意图：考查学生对加
权平均数的概念的掌握.设计意图：考查学生的识
图能力和运用样本平均数
去估计总体平均数能力.
师生活动：学生独立思考，完成计算.
三、当堂练习，巩固所学
1. 某班级男生平均身高为 170 厘米，女生平均身
设计意图：巩固运用样本
高为 160 厘米，下列各组条件中不能算出全班学生
平均数去估计总体平均数
平均身高的是( ).
的统计方法，发展等比数
A. 这个班共有男生 30 人，女生 20 人 感.
B. 这个班男生人数与女生人数一样
C. 这个班的男生人数与女生人数的比是 2 : 3
D. 这个班共有 50 人
2.某班 40 名学生身高情况如下图，请计算该班学
生平均身高.
3. 某养鱼户搞池塘养鱼，头一年放养鱼 20 000
条，其成活率约为 70%，在秋季捕捞时，捞出 10
条鱼，称得每条鱼的重量如下：(单位：千克)
0.8；0.9；1.2；1.3；0.8；0.9；1.1；1.0；1.2；0.8.
根据样本平均数估计这塘鱼的产量是多少千克？
第2课时 用样本平均数估计总体平均数
板书设计
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
上一课时的教学主要是对加权平均数的概念和求法以及内涵进行了探讨.但在实际
教学反思 生活中，还需要注意根据统计图求加权平均数的情况.所以本课时第一个内容是如
何对一般条形统计图和频数分布表、频数分布直方图进行数据分析，求出加权平均数.
20.1 数据的集中趋势
20.1.2 中位数和众数
第1课时 中位数和众数
教学内容 第1课时 中位数和众数 课时 1
1.通过实际生活中的例子，掌握求一组数据的中位数和众数的方法，培养抽象能
力，养成用数学眼光观察生活的习惯.
核心素养目 2.在求解实际问题数据的中位数和众数时，锻炼学生的运算能力，使学生能够理
标 解数学和现实世界之间的联系.
3.会在实际问题中求中位数和众数，并分析数据信息做出决策，培养数学数据观
念，发展对应用意识和实践能力.
1．会求一组数据的中位数和众数；
知识目标 2．会在实际问题中求中位数和众数，并分析数据信息做出决策．
教学重点 会求一组数据的中位数和众数.
教学难点 会在实际问题中求中位数和众数，并分析数据信息做出决策．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境，导入新知
入
设计意图：通过实际生活
某次数学考试，婷婷得了 78 分. 全班共 30 人，
中的例子，引起学生的学
其他同学的成绩为 1 个 100 分，4 个 90 分， 12
习兴趣，在思考问题中，
个 80 分，10个76分，以及一个 42 分和一个 56
激发好奇心和探索欲，体
分. 婷婷计算出全班的平均分为 78.53 分，所以婷
会学本节课的意义.
婷告诉妈妈说，自己这次成绩在班上处于“中上水
平”.
婷婷形容自己的成绩准确吗？她是怎么计算的
？
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：中位数 设计意图：层层递进，回
顾平均数的运算，在问题
思考中，引发对中位数意
义的理解.
(1) 计算这个公司员工月收入的平均数；
(2) 如果用 (1) 算得的平均数反映公司全体员工月
收入水平，你认为合适吗？
师生活动：学生独立计算问题(1)，随后独立思考问
题(2)，选学生回答问题. 设计意图：引导学生分析
“中等水平”的意义，为
理解中位数的概念做准备.
问题1 该公司员工的中等收入水平大概是多少元？
你是怎样确定的？
师生活动：学生独立思考后，教师引导分析思路：师生共同完成解题.
设计意图：引导学生分析
“中等水平”的意义，为
理解中位数的概念做准备.
问题2 “平均数”和“中等水平”谁更合理地反映
了该公司绝大部分员工的月工资水平？这个问题
中，中等水平的含义是什么？
师生活动：
学生共同回答1小问，
预设：“中等水平”更加合理.
设计意图：使学生体会中
位数在实际生活中的作
在教师的引导下，共同总结2小问.
用，感悟本课时的意义.
预设：“中等水平”的含义是一半人月工资高于该
数值，另一半人月工资低于该数值.
总结：有些情况下，“中等水平”更好地反映了一
组数据得集中趋势.
归纳总结
中位数的定义
将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排
列：
如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为
这组数据的中位数； 设计意图：体会适用中位
如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均 数反映该组数据的整体水
数为这组数据的中位数． 平的数据特征.
问题3 上述问题中公司员工收入的平均数为什么会
比中位数高？ 设计意图：考查学生对加
权平均数的概念的掌握.
学生回答：主要受到极端值的影响.
设计意图：巩固中位数概
总结：如果一组数据中有极端数据，中位数能比平 念的理解，会求偶数数据
均数更合理地反映该组数据的整体水平. 的中位数；考察对中位数
意义的掌握，会利用中位
数的意义读取数据表达的
例1 在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选 信息.
手所用的时间 (单位：min) 如下：
136 140 129 180 124 154
146 145 158 175 165 148
(1) 样本数据 ( 12 名选手的成绩) 的中位数是多
设计意图：前后呼应，通
少？
过解决导入中的问题，让
(2) 一名选手的成绩是142 min，他的成绩如何？
学生获得成就感，培养自
主学习的习惯，发展创新
意识.
回顾导入
婷婷成绩 78 分，处于“中上水平”吗？
师生活动：学生在教师的提示下，根据婷婷的描述
制作班级成绩表,随后独立计算改成绩数据的中位数，教师巡视，选
学生回答问题.
归纳总结
中位数的特征及意义：
1. 中位数是一个位置代表值（中间数），它是唯一
的.
2. 如果一组数据中有极端数据，中位数能比平均数
更合理地反映该组数据的整体水平． 设计意图：通过实际生活
3. 如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小 中的例子，引起学生的学
于或大于这个中位数的数据各占一半，反映一组数 习兴趣，不自觉领悟众数
据的中间水平． 的意义.
知识点二：众数
思考：如果小张是该公司的一名普通员工，那么你
认为他的月工资最有可能是多少元？
如果小李想到该公司应聘一名普通员工岗位，他最
关注的是什么信息？
设计意图：众数概念比较
简单，这里只作直叙.
学生回答：
预设：应该关注工资金额数据出现最多的数值.
知识总结：
众数：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数
据的众数. 设计意图：在练习中巩固
注意： 对众数概念及特征的理
(1) 一组数据的众数一定出现在这组数据中. 解，并感悟众数的实际意
(2) 一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2， 义.
3，3，5 中众数是 1 和 3.
(3) 众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是
数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是
1 而不是 3.
例2 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30
双，各种尺码鞋的销售量如表所示. 你能根据表中
的数据为这家鞋店提供进货建议吗？
三十七、当
堂练习，巩 设计意图：考查学生对中
固所学 学生回答： 位数、众数算法的掌握.
预设1：23.5是这组数据的众数.
预设2：23.5厘米的鞋销量最大，因此可以建议鞋 设计意图：考查学生对平
店多进23.5厘米的鞋. 均数、中位数、众数意义
的掌握.
总结：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中趋势.
设计意图：考查学生运用
中位数的算法解题的能
三、当堂练习，巩固所学 力，培养逆向思维.
1．数据 1，2， 8，5，3，9，5，4，5，4 的众
数、中位数分别为( ) 设计意图：考查学生解读
A．4.5、5 B．5、4.5 C．5、4 D．5、5 图表获取信息的能力，核
对平均数、中位数、众数
2．要调查多数同学们喜欢看的电视节目，应关注的 的掌握.
是哪个数据的代表 ( )
A．平均数 B．中位数 C．众
数
3. 一组数据 18，22，15，13，x，7，它的中位数
是 16，则 x 的值是_______.
4.为了了解开展“孝敬父母，从家务事做起”活动
的实施情况，某校抽取八年级某班 50 名学生，调
查他们一周做家务所用时间，得到一组数据，并绘
制成下表，请根据下表完成各题：
(1) 填写图表格中未完成的部分；
(2) 该班学生每周做家务的平均时间是 .
(3) 这组数据的中位数是 ，众数是 .
第1课时 中位数和众数
中位数的意义：如果已知一组数据的中位数，那么可以知道，小于或大于这个中
板书设计 位数的数据各占一半，反映一组数据的中间水平.
众数的意义：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中趋
势.
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
教学过程中注重双基，一定要使学生能够很好的掌握中位数和众数的求法，求中
位数的步骤：⑴将数据由小到大（或由大到小）排列，⑵数清数据个数是奇数还
教学反思 是偶数，如果数据个数为奇数则取中间的数，如果数据个数为偶数，则取中间位
置两数的平均值作为中位数.求众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数
据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据.
20.1 数据的集中趋势
20.1.2 中位数和众数
第2课时 平均数、中位数和众数的应用教学内容 第2课时 平均数、中位数和众数的应用 课时 1
1.在解决实际问题中，进一步认识平均数、众数、中位数，知道平均数、中位数
和众数在描述数据时的差异，培养类比归纳能力，发展创新意识.
核心素养目 2.在应用平均数、众数、中位数解决实际问题时，锻炼学生的运算能力和综合应
标 用能力.
3.在实际问题中能灵活应用这三种数据，发展初步的统计意识和数据观念，形成
合理的判断或决策.
1．进一步认识平均数、众数、中位数；
知识目标 2．知道平均数、中位数和众数在描述数据时的差异；
3．能灵活应用这三个数据代表解决实际问题．
进一步认识平均数、众数、中位数；知道平均数、中位数和众数在描述数据时的
教学重点
差异.
教学难点 能灵活应用这三个数据代表解决实际问题．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境，导入新知
入
设计意图：通过开放性思
思考： 有 6 户家庭的年收入分别为(单位：万
考问题，鼓励学生学生自
元)：
觉回顾平均数、中位数和
4，5，5，6，7，50．你认为这 6 户家庭的年收入
众数的实际意义，为后面
水平大概是多少？
的学习做铺垫；并在计算
中巩固平均数、中位数和
师生活动：教师提示，有多种方法表示年收入水平. 众数的运算方法；最后通
学生独立思考后小组讨论，选派代表回答，教师总 过追问，吸引学生的课堂
结. 注意力，激发学习兴趣.
追问：如果把数据 50 改成 9，结果又会怎样？
二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质
设计意图：通过开放性思
知识点一：平均数、中位数和众数的应用 考问题，鼓励学生自觉回
顾平均数、中位数和众数
问题1：八年级某班的教室里，三位同学正在为谁 的实际意义，为后面的学
的数学成绩好而争论，他们的五次数学成绩分别 习做铺垫；并在计算中巩
是： 固平均数、中位数和众数
小华 62 94 95 98 98 的运算方法；最后通过追
问，吸引学生的课堂注意
小明 62 62 98 99 100
力，激发学习兴趣.
小丽 40 62 85 99 99
他们都认为自己的数学成绩比其他两位同学好， 他
们的依据是什么？
师生活动：教师引导学生先算出三位同学的平均
数、中位数和众数，再思考问题.选几名学生回答，
特意挑选有不同答案的.预设1：小华的平均数最大，故认为自己成绩最好.
预设2：小明的中位数最大，故认为自己成绩最好.
预设3：小丽的众数最大，所以认为自己成绩最好.
例1 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定
实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行
适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商
场服装部统计了每个营业员在某月的销售额(单位：
万元)，数据如下：
17 18 16 13 24 15 28 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 14 15 26
15 32 23 17 15 15 28 28 16 19
设计意图：培养学生学会
问题如下： 运用图表整理和观察数
(1) 月销售额在哪个值的人数最多？中间的月销售 据，培养数形结合思想和
额是多少？平均的月销售额是多少？ 自主学习能力，感受图表
(2) 如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销 的直观在读取数据信息的
售额定为多少合适？说明理由． 作用.
(3) 如果想让一半左右的营业员都能达到销售目
标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由．
师生活动：对于有困难的学生，教师可以提示把数
据制作成表格（或播放课件，让学生补充下表），
再根据表格制作条形统计图，最后根据图表作答.
设计意图：通过实际应用
的例题，巩固学生对中位
数和众数实际意义的掌
握，感受所学在实际生活
中的作用.
解：(1) 样本数据的众数是 1 5 ，中位数是_18__，
利用计算器求得这组数据的平均数是_20.3_.
可以推测，这个服装部营业员的月销售额为_15__万
元的人数最多，中间的月销售额是 18 万元，平均
月销售额大约是 20. 3 万元.
(2) 这个目标可以定为每月 20. 3 万元(平均数). 因为
从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均
数最 大 .可以估计，月销售额定为每月 20.3 万元
是一个较高的目标，大约会有 三分之一 的营业员
获得奖励.
(3) 月销售额可以定为每月 18 万元(中位数). 因为
从样本情况看，月销售额在 18 万元以上(含18万
元)的有16人，占总人数的一半左右.可以估计，如
设计意图：锻炼学生根据
果月销售额定为 18 万元，将有一半左右的营业员
图表读取信息的能力，发
获得奖励.
展数形结合思想，巩固学
生对中位数和众数实际意
义的掌握.
练习 1. 甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别
绘制成下列两个统计图：三十八、当
堂练习，巩
根据以上信息，整理分析数据如下：
固所学
设计意图：考查学生对中
位数和众数实际意义的掌
握.
(1) 写出表格中 a，b 的值；
(2) 分别运用表中的三个统计量，简要分析这两名
队员的射击成绩，若选派其中一名参赛，你认为应
选哪名队员？
设计意图：考查学生对平
均数、中位数和众数的计
算方法和意义的掌握.
三、当堂练习，巩固所学
1. 校有 25 名同学参加某比赛，预赛成绩各不相
同，取前 13 名参加决赛，其中一名同学已经知道
自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这 25
名同学成绩的( )
A．最高分 B．中位数 C．众数 D．平均数
设计意图：考查学生对平
2.公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群 均数、中位数和众数计算
方法的掌握，以及运用平
游客的年龄如下：（单位：岁）
均数、中位数和众数的实
甲群：13、13、14、15、15、15、16、17、17.
际意义解决问题的能力.
乙群：3、4、4、5、5、6、6、54、57.
（1）甲群游客的平均年龄是 岁，中位数是
岁，众数是 岁，其中能较好反映甲群游客年龄
特征的是 .
（2）乙群游客的平均年龄是 岁，中位数是
岁，众数是 岁.其中能较好反映乙群
游客年龄特征的是 .
3．某餐厅共有10名员工，所有员工工资的情况如
下表：
请解答下列问题：
(1) 餐厅所有员工的平均工资是多少？
(2) 所有员工工资的中位数是多少？
(3)用平均数还是中位数描述该餐厅员工工资的一般
水平比较恰当？
(4)去掉经理和厨师甲的工资后，其他员工的平均工
资是多少？它是否能反映餐厅员工工资的一般水
平？
第2课时 平均数、中位数和众数的应用
板书设计
无
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.通过这节课的学习，学生的参与性很强，乐于与同伴交流、探索知识．需要强调
教学反思 的是：学生有自己的看法和意见，教师不可一味的否定学生．教师要关注学生思
考问题的过程，千万不要代替学生思考，更不可强加给学生固定的思维模式．
20.2 数据的波动程度
第1课时 方差
教学内容 第1课时 方差 课时 1
1.通过解决实际问题，掌握方差的定义和计算公式，培养抽象能力、发展创新意
识，感受用数学眼光观察现实世界的优越.
核心素养目 2.会用方差公式进行计算，会比较数据的波动大小，提高运算能力，积累统计经
标 验.
3.在用方差公式解决实际问题时，发展数据意识和数据观念，养成讲道理、有条
理的理性思维.
1．掌握方差的定义和计算公式；
知识目标 2．会用方差公式进行计算，会比较数据的波动大小．
教学重点 掌握方差的定义和计算公式.
教学难点 会用方差公式进行计算，会比较数据的波动大小．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导 一、创设情境，导入新知
入
设计意图：解决射击比赛
甲，乙两名射击选手的测试成绩统计如下：
的实际问题，吸引学生的
课堂注意力，提高学习兴
趣，并发现现有知识无法
解决问题，激发学生的探
索欲望；带着问题学习下
面的内容，培养学生自主
学习的精神.
现要从甲，乙两名射击选手中
挑选一名射击选手参加比赛.若
你是教练，你认为挑选哪一位
比较合适？
师生活动：教师提问，应该求
两位选手的测试成绩的什么值
来判断成绩优劣？
预设：应该求两位选手的测试成绩平均数.
学生独立计算，发现两位选手的测试成绩平均数相
等，教师顺势引出本课内容.二、探究新
知
二、小组合作，探究概念和性质
设计意图：引导学生自主
知识点：方差
探索解决问题的方法，激
发学习兴趣；在探索中感
问题1：农科院计划为某地选择合适的甜玉米种 悟本课在实际生活中的意
子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是 义.
农科院所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种
子的相关情况，农科院各用10 块自然条件相同的
试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单
位：t）如下表：
根据这些数据估计，农科院应该选择哪种甜玉米种
子呢？
（1）甜玉米的产量可用什么量来描述？请计算后说
明．
师生活动：学回答应该算出两种种子每公顷的产量
的平均数，学生独立完成计算后，教师提问结果.
预设1：结果说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米
的平均产量相差不大.
预设2：可估计这个地区种植这两种甜玉米的平均
产量相差不大．
（2）如何考察一种甜玉米产量的稳定性呢？
设计意图：培养学生学会
①请设计统计图直观地反映出甜玉米产量的分布情 选择合适的图表整理和观
况． 察数据，培养数形结合思
想和决策能力，感受图表
师生活动：教师提问应该设计什么类型的统计图， 的直观在读取数据信息的
学生独立思考后，小组讨论并选代表作答； 作用.
教师引导学生选择折线统计图，最能观察数据波动
趋势，学生独立制图，并根据图标回答发现的结果.
归纳总结
1.方差的概念：
设有 n 个数据x，x，…，x，各数据与它们的平
1 2 n
均数 的差的平方分别是：
x
，
（我 x 们-用 x）这 2，些（值 x 的-平 x）均 2，数，，（即 x-x）2
1 2 n
1
[（x-x）2+（x-x）2++（x-x）2]
n1 2 n来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据 设计意图：在计算中巩固
的方差，记作s2．
对方差公式的记忆和对方
差的意义的理解.
2. 方差的意义：
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离
平均数的大小).
方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
②请利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米的波动程 设计意图：再联系中巩固
度． 方差的求解步骤和方法，
感悟方差的实际意义.
师生活动：学生依照方差公式独立完成计算，选一
名学生板书，教师巡视；学生独立思考，运用方差
的意义解释计算结果的含义.
例1 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都
设计意图：首位呼应，让
表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员的身高
学生解答最初的问题，在
（单位：cm）如下图所示：
做题过程中获得成就感，
培养创新意识.
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
师生活动：教师提问，可以用哪个数据作为判断依
据？学生共同回答使用方差，独立完成计算作答.
设计意图：培养学生总结
归纳的能力和推理能力，
提高解题技巧.
回顾导入
若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适？
师生活动：学生独立完成方差计算，并共同回答问
题.
知识拓展
若数据 x
1
、x
2
、…、x
n
的平均数为 x，方差为 s2，
则
(1) 数据 x - 3，x - 3，x - 3，…，x - 3，平均
1 2 3 n
数为 ，方差为 .
(2) 数据 x + 3，x + 3，x + 3，…，x + 3，平
1 2 3 n
均数为 ，方差为 .
(3) 数据 3x ，3x ，3x ，…，3x ，平均数为
1 2 3 n
，方差为 .
(4) 数据 2x - 3，2x - 3，2x - 3 ，…，2x -
1 2 3 n
3，
设计意图：巩固对方差运
平均数为 ，方差为 .
算规律的运用.师生活动：学生独立完成方差计算，每做完一题师
生共同总结规律.
三十九、当
堂练习，巩
固所学
练习 1. 若已知一组数据x 、x 、…、x 的平均数
1 2 n
为 ，方差为 s2，那么，另一组数据 3x－2，3x－
x 1 2
2，…，3x －2 的平均数为 ，方差为
n
.
师生活动：学生独立完成方差计算.
设计意图：题1、2考查学
生对方差实际意义的掌握.
三、当堂练习，巩固所学
设计意图：题3、4考查学
1. 样本方差的作用是（ ） 生对方差计算公式及其规
A. 表示总体的平均水平 律的掌握.
B. 表示样本的平均水平
C. 准确表示总体的波动大小
D. 表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
2.人数相同的八年级 (1)、(2) 两班学生在同一次数
设计意图：考查运用方差
学单元测试中，班级平均分和方差如下：
进行计算的能力和对方差
= = 80，s2 = 24 ，s2 = 18 ，则成绩较为
实际意义的掌握.
稳定的班级是( )
A. 甲班 B. 乙班
C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定
3. 在样本方差的计算公式
s2 = [(x - 20)2 + (x - 20)2 +...+ (x - 20)2]
s2
1
(x
1
20)
2
(x2
1
0)
2
...(x20)
2n
中，1数0字 1 10 表示__ 2 ____，数字 n 20 表示 ______.
4. 已知样本 x、x、…、x 的方差是 1，那么样本
1 2 n
2x + 3，2x + 3，2x + 3 ，…，2x + 3的方差
1 2 3 n
是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 甲、乙两台机床生产同种零件，10天出的次品个
数分别是：
甲：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4乙：2，3，1，2，0，2，1，1，2，1
分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计
算判断哪台机床的性能较好？
第1课时 方差
方差的意义
板书设计
方差用来衡量一组数据的波动大小(即这组数据偏离平均数的大小).
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
通过这节课的教学，让我深刻的体会到只要我们充分相信学生，给学生以最大的
自主探索空间，让学生经历数学知识的探究过程，这样既能让学生自主获取数学
教学反思 知识与技能，而且还能让学生到达对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在
探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精
神和创新思维．
20.2 数据的波动程度
第2课时 根据方差做决策
教学内容 第2课时 根据方差做决策 课时 1
1.通过解决实际生活情境问题，让学生感悟数据的意义与价值，学会用数学的眼
光观察世界.
核心素养目 2.通过应用方差做决策实际问题，进一步掌握方差的计算方法，发展数学的表达
标 交流能力、应用意识和实践能力.
3.在综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题时，感受数学基本方法
之间的联系，发展推理应用能力.
1．应用方差做决策问题；
知识目标 2．综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题．
教学重点 应用方差做决策问题；
教学难点 综合运用平均数、众数、中位数和方差解决实际问题．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、复习导 一、复习回顾，导入新知
入
设计意图：复习回顾，引
方差的计算公式，请举例说明方差的意义．
导学生回忆方差的计算公
1
s2=[（x-x）2+（x-x）2++（x-x）2]式和实际意义，加强新旧
n1 2 n 知识的联系，为后面的应
方差越大，数据的波动越大； 用学习做准备.
方差越小，数据的波动越小．
方差的适用条件：
当两组数据的平均数相等或相近时，才利用方差来
判断它们的波动情况．二、探究新
知 二、小组合作，探究概念和性质
知识点：根据方差做决策
设计意图：通过解决实际
问题，培养学生的应用能
问题1：某快餐公司的香辣鸡腿很受消费者欢迎． 力，考查学生对平均数、
现有甲、乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡 中位数、众数和方差的实
腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．快餐公司决 际意义的掌握，发展决策
定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿． 能力.
(1) 可通过哪些统计量来关注鸡腿的质量？
(2) 如何获取数据？
师生活动：学生独立思考并小组讨论，在教师的引
导下，准确回答问题.
设计意图：培养学生有目
的有条理的思维方式，引
导学生掌握正确的解题步
例1 在问题1中，检查人员从两家的鸡腿中各随机
骤，加深对方差实际意义
抽取15 个，记录它们的质量（单位：g）如下表所 的理解.
示．根据表中的数据，你认为快餐公司应该选购哪
家加工厂的鸡腿？
师生活动：教师提问，应该先比较表中数据的什么
值？学生独立计算两组数据的平均数，得出结论两 设计意图：在计算中巩固
组数据平均值相近，再计算两组数据的方差. 运用方差解决实际问题的
方法步骤.
练习 1. 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平
均成绩(环)及方差统计如表，现要根据这些数据，
从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选
择是( )
A. 甲 B. 乙 C.丙 D.丁
设计意图：用问答的方
师生活动：学生独立思考并完成计算，教师巡视，
式，引导学生主动思考梳
选一名学生作答，其他同学判断正误.
理方差的实际意义和运用
方差解决实际问题的一般
步骤，加深学生的理解.
议一议
(1) 在解决实际问题时，方差的作用是什么？
设计意图：巩固方差的计
(2) 运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样？
算公式，区分方差和平均
数的实际意义.
师生活动：学生独立思考后，在教师的引导下共同
回答问题.
例2 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛．在最近 10 次选拔赛中，他们
的成绩 (单位：cm) 如下：
甲：585 596 610 598 612 597 604 600
613 601
乙：613 618 580 574 618 593 585 590
598 624
(1) 这两名运动员的运动成绩各有何特点？
(2) 历届比赛表明，成绩达到 5.96 m就很可能夺
冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历
设计意图：巩固对方差运
届比赛成绩表明，成绩达到 6.10 m就能打破纪
算规律的运用.
录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比
赛．
师生活动：学生独立思考并完成计算，选两名学生
板书，教师巡视.
练习2. 甲、乙两班各有 8 名学生参加数学竞赛，
成绩如下表：
四十、当堂
练习，巩固
所学
请比较两班学生成绩的优劣. 设计意图：考查学生对方
差实际意义的掌握.
师生活动：学生独立思考并完成计算后，共同作答.
三、当堂练习，巩固所学
1. 学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名
同学代表学校参加市里举办的“汉字听写”大赛，
四名同学平时成绩的平均数 （_ 单位：分）及方差
s2 如下表所示： x 设计意图：考查学生对方
差计算公式和对方差实际
意义的掌握
如果要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，那
么应该选择的同学是 .
2.某篮球队对运动员进行 3 分球投篮成绩测试，
每人每天投 3 分球 10 次，对甲、乙两名队员在
五天中进球的个数统计结果如下：
设计意图：考查运用方差
经过计算，甲进球的平均数为 x=8，方差为 进行计算的能力和对方差
s 2 = 23.3.2 ．
甲 实际意义的掌握.
(1甲) 求乙进球的平均数和方差；
(2) 现在需要根据以上结果，从甲、乙两名队员中
选出一人去参加 3 分球投篮大赛，你认为应该选哪
名队员去？为什么？3.在学校，小明本学期五次测验的数学成绩和英语
成绩分别如下（单位：分）：
通过对小明的两科成绩进行分析，你有何看法？对
小明的学习你有什么建议？
第2课时 根据方差做决策
板书设计
先计算样本数据平均数，当两组数据的平均数相等或相近时，
再利用样本方差来估计总体数据的波动情况．
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
这节课的目的，是希望学生经历数学知识的应用过程，感受数学在实际生活中的
教学反思 作用，增强对数学的学习兴趣，更主要的是能让学生在应用过程中发展决策能
力，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维．
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