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第十六章 二次根式(A 卷·知识通关练)
核心知识1二次根式的定义
1．(2021秋•古县期末)下列各式中，是二次根式的是( )
A．√n2 B．√-4 C．√38 D．√3-π
【分析】根据形如√a(a≥0)的式子是二次根式，可得答案．
【解答】解：A、被开方数n2≥0，故A是二次根式；
B、D被开方数小于0，无意义，故B、D不是二次根式；
C、是三次根式，故C不是二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，注意二次根式的被开方数是非负数，根指数是2．
2．(2022秋•射洪市期中)下列式子是二次根式的有( )个
√3
√a； ；√3 52；√-3；√x2-2xy+ y2；√-4×(-3)
2
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】直接根据二次根式的定义解答即可．
【解答】解：√-4×(-3)=√12，√x2-2xy+ y2=√(x- y) 2，
√3
所以 和√-4×(-3)，√x2-2xy+ y2是二次根式．
2
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式是解题的
关键．
3．(2022秋•诏安县期中)给出下列各式：①√32；②6；③√-12；④√-m(m≤0)；⑤√a2+1；⑥√35．
其中二次根式的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．
【解答】解：①∵3＞0，∴√32是二次根式；
②6不是二次根式；②∵﹣12＜0，∴√-12不是二次根式；
④∵m≤0，∴﹣m≥0，∴√-m是二次根式；
⑤∵a2+1＞0，∴√a2+1是二次根式；
⑥√35是三次根式，不是二次根式．
所以二次根式有3个．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次
根式．
核心知识2二次根式有意义的条件
1．(2022•浉河区校级模拟)若代数式√3x-1有意义，则实数x的取值范围是 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：3x﹣1≥0，
1
解得：x≥ ，
3
1
故答案为：x≥ ．
3
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
√x
2．(2022秋•江北区期中)代数式 有意义的条件是( )
x-1
A．x≠1 B．x≥0 C．x≥0 且 x≠1 D．0≤x≤1
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意得，x≥0且x﹣1≠0，
即x≥0且x≠1．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解题的关键．
√3x+9
3．(2022秋•顺庆区月考)要使式子 有意义，x的取值范围是( )
x-2
A．x≥﹣3 B．x≥﹣3且x≠2 C．x＞﹣3且x≠2 D．x≤﹣3且x≠2
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
{3x+9≥0
【解答】解：由题意得， ，
x-2≠0解得x≥﹣3且x≠2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解题的关键．
3
4．(2022•阳信县模拟)代数式 有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
√1-x
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：根据题意知，1﹣x＞0，解得x＜1，
x的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件等知识点，正确得出x的取值范围是
解题关键．
(x-1) 0
5．(2021秋•惠民县期末)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
√x+1
【分析】根据分式、二次根式有意义的条件以及零指数幂的意义即可求出答案．
{x-1≠0
【解答】解： ，
x+1＞0
解得：x＞﹣1且x≠1．
故答案为：x＞﹣1且x≠1．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
1
6．(2022春•灵宝市月考)若式子√-a+ 有意义，则点P(a，b)在( )
√b
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据二次根式有意义的条件求出a，b的取值范围，进而可得出结论．
【解答】解：由题意得，﹣a≥0，b＞0，
∴a＜0，∴点P(a，b)在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
核心知识3二次根式的性质与化简
1．(2021秋•遂宁期末)下列等式正确的是( )
√ 9 3 √ 7 1 √ 1 2 1
A． =± B． -1 =1 C．√3 -27=3 D． (- ) =
16 4 9 3 3 3
【分析】直接利用二次根式的性质、立方根的性质分别化简，进而得出答案．
√ 9 3
【解答】解：A． = ，故此选项不合题意；
16 4
√ 7
B． -1 ，二次根式无意义，故此选项不合题意；
9
C．√3 -27=-3，故此选项不合题意；
√ 1 1
D． (- ) 2= ，故此选项符合题意；
3 3
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及立方根，正确化简各数是解题关键．
2．(2022秋•莲湖区校级月考)计算下列各式：
√ 7 √ 9
(1) 2 ； (2)√0.81-√0.04； (3)√412-402； (4) 1- ．
9 25
【分析】(1)根据二次根式的性质，进行计算即可解答；
(2)根据二次根式的性质，进行计算即可解答；
(3)根据二次根式的性质，进行计算即可解答；
(4)根据二次根式的性质，进行计算即可解答．
√ 7
【解答】解：(1) 2
9
√25
=
9
5
= ；
3
(2)√0.81-√0.04
＝0.9﹣0.2
＝0.7；(3)√412-402
=√(41+40)×(41-40)
=√81
＝9；
√ 9
(4) 1-
25
√16
=
25
4
= ．
5
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．(2022秋•偃师市月考)化简|a﹣3|+(√1-a)2的结果为 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件确定a的范围，根据绝对值的性质、二次根式的乘方法则计算即可．
【解答】解：由题意得：1﹣a≥0，
则a≤1，
∴a﹣3＜0，
∴原式＝3﹣a+1﹣a＝4﹣2a，
故答案为：4﹣2a．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件、绝对值的性质，根据二次根式有意
义的条件确定a的范围是解题的关键．
4．(2022秋•崇川区校级月考)若2、5、n为三角形的三边长，则化简√(3-n) 2+√(8-n) 2的结果为( )
A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5
【分析】根据三角形的三边关系可求出n的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简即
可求出答案．
【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7，
∴3﹣n＜0，8﹣n＞1，
原式＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝﹣(3﹣n)+(8﹣n)
＝﹣3+n+8﹣n＝5，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
5．(2022秋•金水区校级期中)当a＝2022时，求a+√a2-2a+1的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(3)当a＞3时，求√a2-6a+9-|1﹣a|的值．
【分析】(1)根据二次根式的性质化简即可求出答案．
(2)根据二次根式的性质化简即可求出答案．
(3)根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案．
【解答】解：(1)故答案为：小亮．
(2)故答案为：√a2=|a|．
(3)∵a＞3，
∴a﹣3＞0，1﹣a＜0，
∴原式=√(a-3) 2-|1﹣a|，
＝|a﹣3|﹣|1﹣a|
＝a﹣3+(1﹣a)
＝a﹣3+1﹣a
＝﹣2．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．6．(2022 秋•农安县期中 )已知，如图所示，实数 a、b、c 在数轴上的位置．化简：
√a2-|a-b|+√(c-a) 2+|b+c|．
【分析】先根据数轴判断a，b，c的正负数，再根据绝对值的意义化简求解．
【解答】解：根据数轴可得：c＜b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，c﹣a＜0，b+c＜0，
∴√a2-|a-b|+√(c-a) 2+|b+c|
＝a﹣(a﹣b)﹣(c﹣a)﹣(b+c)
＝a﹣a+b﹣c+a﹣b﹣c
＝a﹣2c．
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，绝对值的化简是解题的关键．
7．(2022秋•唐河县月考)阅读下列解题过程：
例：若代数式√(a-1) 2+√(a-3) 2的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝(1﹣a)+(3﹣a)＝4﹣2a＝2，解得a＝1(舍去)．
当1≤a≤3时，原式＝(a﹣1)+(3﹣a)＝2，符合条件．
当a＞3时，原式＝(a﹣1)+(a﹣3)＝2a﹣4＝2，解得a＝3(舍去)．
综上所述，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题．
(1)当2≤a≤5时，化简：√(a-2) 2+√(a-5) 2= ；
(2)若等式√(3-a) 2+√(a-7) 2=4成立，求a的取值范围．
【分析】(1)根据二次根式的性质即可求出答案；
(2)先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案．
【解答】解：(1)∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣(a﹣5)
＝3；
(2)由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣(a﹣7)＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣(3﹣a)﹣(a﹣7)＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣(3﹣a)+(a﹣7)＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质．
核心知识4 最简二次根式
1．(2022秋•静安区校级期中)下列二次根式中，最简二次根式是( )
√ 1
A．√a2b4 B． C．√a2+b2 D．√20a
2a
【分析】根据最简二次根式的意义，逐个进行判断即可．
【解答】解：A、√a2b4=|ab2|，因此√a2b4不是最简二次根式，不符合题意；
√ 1 √2a √ 1
B、 = ，因此 不是最简二次根式，不符合题意；
2a 2a 2a
C、√a2+b2是最简二次根式，符合题意；
D、√20a=2√5a，因此√20a不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确解答的关键．√a
2．(2022秋•虹口区校级月考)在√0.2，√12，√5， ，√a2b中，最简二次根式有 个．
2
【分析】根据二次根式的定义即可得出答案．
【解答】解：最简二次根式有√5，共1个．
故答案为：1．
【点评】此题考查了最简二次根式，最简根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；
②被开方数的因式的指数必须小于根指数．
3．(2022春•莱西市期中)将√4.5化为最简二次根式为 ．
√a √a
【分析】把小数化成分数，根据 = (a≥0，b＞0)化简，再分母有理化即可得出答案．
b √b
√9
【解答】解：原式=
2
3
=
√2
3
= √2．
2
3
故答案为： √2．
2
√a √a
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握 = (a≥0，b＞0)是解题的关键．
b √b
√ 5
4．(2022秋•临汾期中) 化为最简二次根式是 ．
16
【分析】根据二次根式的性质计算即可．
√ 5 √5 √5
【解答】解： = = ，
16 √16 4
√5
故答案为： ．
4
【点评】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，熟记二次根式的性质是解题的关键．
√1
5．(2022秋•晋江市校级期中)6 化简为最简二次根式的结果是 ．
3
【分析】根据二次根式的性质计算即可．√1 √ 1
【解答】解：6 = 36× =√12=2√3．
3 3
故答案为：2√3．
【点评】本题考查的是最简二次根式，二次根式的化简，熟记二次根式的性质是解题的关键．
√a2b3
6．(2022秋•虹口区校级月考)将 (a＞0，b＞0)化为最简二次根式： ．
4
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，
√a2b3 ab√b
∴ = ．
4 2
ab√b
故答案为： ．
2
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念与化简，掌握二次根式的性质：√a2=|a|是解题的关键．
核心知识5 二次根式的乘除
1．(2022春•新洲区校级月考)计算：√18= ，(2√7) 2= ，
√4
= ．
3
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则分别计算得出答案．
√4 √4 2√3
【解答】解：√18=3√2，(2√7) 2=28， = = ．
3 √3 3
2√3
故答案为：3√2，28， ．
3
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．
√12
2．(2022秋•南关区校级月考)计算：2√2× ÷√6= ．
4
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
1
【解答】解：原式＝2× ×√2×12÷6
4
1
= ×2
2
＝1．故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
3．(2022秋•闵行区校级期中)如果√4x2-1=√2x+1•√2x-1成立，那么x的取值范围是 ．
【分析】直接利用二次根式的性质结合不等式组的解法，分析得出答案．
【解答】解：∵√4x2-1=√2x+1•√2x-1成立，
{2x+1≥0
∴ ，
2x-1≥0
1
解得：x≥ ．
2
1
故答案为：x≥ ．
2
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件、一元一次不等式组的解法，正确
得出不等式组是解题关键．
4 √3 2√12
4．(2022秋•青浦区校级期中)计算： ÷ = ．
3 5 3 5
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．
4 3√3 5
【解答】解：原式= × ×
3 2 5 12
√1
＝2
4
1
＝2×
2
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除，正确掌握相关运算法则是解题关键．
√a √a √a √b
5．(2022秋•蒲江县校级期中)如果a＜0，b＜0，那么下列各式，① = ；② × =1；③
b √b b a
√a
√ab÷ =-b，④(√ab) 2=-ab，正确的有 ．
b
【分析】根据二次根式的性质逐一进行化简即可．
【解答】解：∵a＜0，b＜0，∴√a，√b没有意义，
故①选项不符合题意；
√a √b
② × =1，
b a
故②选项符合题意；
√a
③√ab÷
b
√ b
= ab×
a
=√b2
＝﹣b，
故③选项符合题意；
④(√ab)2＝ab，
故④选项不符合题意，
综上所述，符合题意的有②③，
故答案为：②③．
【点评】本题考查了二次根式的性质，分母有理化，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
√ 1
6．(2022春•朔州月考)把(1﹣a) - 根号外的因式移入根号内，化简后的结果是 ．
1-a
【分析】根据二次根式的意义可知1﹣a＜0，只能根号外的正因式移入根号内，要注意符号的变化．
【解答】解：由根式可知，1﹣a＜0；
√ 1
故原式=- (a-1) 2 ⋅(- )
1-a
=-√a-1．
【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．本题需要注意的是 a﹣1的
符号．
7．(2022•迁安市二模)已知√2×√12=√2×a√3=a√b，则a＝ ；b＝ ．
【分析】先化简二次根式，根据单项式乘单项式的法则计算即可．
【解答】解：√2×√12
=√2×2√3
＝2√6，
∴a＝2，b＝6．故答案为：2；6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，掌握√a•√b=√ab(a≥0，b≥0)是解题的关键．
8．计算：
√ 2 √5
(1)2√14×3√7 (2) 1 ÷
3 6
√9 √54 √3 3 1√b
(3) ÷ × (4)√ab3 ⋅(- √a3b)÷( )．
√12 12 6 2 3 a
【分析】(1)利用二次根式的运算法则：乘法法则√a⋅√b=√ab，运算即可；
(2)利用二次根式的除法运算法则运算即可；
(3)利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算即可；
(4)利用二次根式的乘除法混合运算顺序运算，注意系数与系数相乘除作系数．
【解答】解：(1)2√14×3√7=6√72×2=42√2；
√ 2 √5 √5 √5 √5 6
(2) 1 ÷ = ÷ = × =√2；
3 6 3 6 3 5
√9 √54 √3 √ 9 54 3 √ 1 √3
(3) ÷ × = ÷ × = = ；
√12 12 6 12 12 6 12 6
3 1√b 9√ a 9
(4)√ab3 ⋅(- √a3b)÷( )=- ab3 ⋅a3b⋅ =- a2|b|√ab．
2 3 a 2 b 2
【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法运算法则，熟练掌握法则及其逆运算是解答此题的关键．
核心知识6 同类二次根式
1．(2022秋•沙坪坝区校级月考)下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是( )
√3
A．√12 B．√16 C．√18 D．
2
【分析】同类二次根式是指根指数相同，被开方数也相同，由此即可求解．
【解答】解：A、√12=2√3，根指数是2，被开方数是3，与√3是同类二次根式，符号题意；
B、√16=4，是有理数，不符合题意；
C、√18=3√2，根指数是2，被开方数是2，与√3不是同类二次根式，不符号题意；
√3 √6
D、 = ，根指数是2，被开方数是6，与√3不是同类二次根式，不符号题意．
2 2故选：A．
【点评】本题主要考查同类二次根式的判定，二次根式的化简，掌握二次根式的化简，同类二次根式概
念的理解是解题的关键．
2．(2022秋•静安区校级期中)下列二次根式中，不能与√2合并的是( )
√1
A． B．√2a2 (a≠0) C．√18 D．√0.2
2
【分析】原式各项化简，找出与√2不是同类项的即可．
√1 √2
【解答】解：A、 = 能与√2合并，故本选项不符合题意；
2 2
B、√2a2=|a|√2能与√2合并，故本选项不符合题意；
C、√18=3√2能与√2合并，故本选项不符合题意；
√5
D、√0.2= 不能与√2合并，故本选项符合题意．
5
故选：D．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
3．(2022秋•萧县期中)若最简二次根式√a+2与√2a-3是可以合并的二次根式，则a的值为( )
1 3
A．5 B． C．﹣2 D．
3 2
【分析】根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二
次根式叫做同类二次根式列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意得：a+2＝2a﹣3，
解得：a＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了同类二次根式，正确理解同类二次根式的定义是解题关键．
4．(2022秋•杨浦区期中)下列各组二次根式中，不是同类二次根式的组是( )
√a √5
A． 与√ab3 B． 与√20a3b2
b a
√ 4c √9a
C．√4ab与√8ab3 D． 与
a3b bc
【分析】由同类二次根式的概念即可判断．√a √ab
【解答】解：A、 = ，√ab3=b√ab，故A不符合题意；
b b
√5 √5a
B、 = ，√20a3b2=2ab√5a，故B不符合题意；
a a
C、√4ab=2√ab，√8ab3=2b√2ab，故C符合题意；
√ 4c 2√abc √9a 3√abc
D、 = ， = ，，故D不符合题意，
a3b a2b bc bc
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的概念，关键是掌握：判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它
们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
5．(2022秋•射洪市期中)若二次根式a+ √b 4b与最简二次根式√3a+b是同类二次根式，则a、b的值分别为(
)
A．a＝0，b＝2 B．a＝1，b＝1 C．a＝0，b＝﹣2 D．a＝2，b＝0
【分析】根据同类二次根式的定义列出关于a，b的方程组，求出a，b的值即可．
【解答】解：∵a+ √b 4b是二次根式，
∴a+ √b 4b=2a+ √b b，
{ a+b=2
由题意得 ，
3a+b=b
{a=0
解得 ．
b=2
故选：A．
【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的
被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
核心知识7 二次根式的加减
√1
1．(2022秋•南岗区校级期中)计算6 -√27的结果是 ．
3
【分析】直接化简二次根式，再合并得出答案．
√3
【解答】解：原式＝6× -3√3
3＝2√3-3√3
=-√3．
故答案为：-√3．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
√1
2．(2022秋•铁西区期中)计算：√24+6 = ．
6
【分析】直接化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案．
√6
【解答】解：原式＝2√6+6×
6
＝2√6+√6
＝3√6．
故答案为：3√6．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
√1
3．(2022•阿城区模拟)计算：√12-(√27+ )= ．
3
【分析】先化为最简二次根式，去括号，再合并同类二次根式即可．
√3
【解答】解：原式＝2√3-3√3-
3
4√3
=- ．
3
4√3
故答案为：- ．
3
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握化为最简二次根式和合并同类二次根式的方法．
4．计算下列各式：
√2 √9 √1 √1
(1)√5-√6-√20+ + (2)√12-√0.5-2 - +√18
3 5 3 8
√3 √a 1 2 √ y √ x √1
(3)√27a-a +3 + √75a3 (4) x√9x+6x + y -x2 ．
a 3 2a 3 x y x
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
√6 3√5
【解答】解：(1)原式=√5-√6-2√5+ +
3 5
2√5 2√6
=- - ；
5 3
√2 2√3 √2
(2)原式＝2√3- - - +3√2
2 3 44√3 9√2
= + ；
3 4
5
(3)原式＝3√3a-√3a+√3a+ √3a
2
11√3a
= ；
2
(4)原式＝2x√x+6√xy+√xy-x√x
＝x√x+7√xy．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合
并．
5．计算下列各题：
√1 √2 √1
(1)(√32+√12)-( +√27)； (2)(√24-√0.5+3 )﹣( -√6)．
2 3 8
【分析】(1)直接化简二次根式进而合并得出答案；
(2)直接化简二次根式进而合并得出答案．
√2
【解答】解：(1)原式=4√2+2√3- -3√3
2
7
= √2-√3；
2
√2 √2
(2)原式=2√6- +√6- +√6
2 4
3
=4√6- √2．
4
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
核心知识8 二次根式的混合运算
1．(2022秋•桐柏县期中)下列计算正确的是( )
A．√2+√3=√5 B．(2√3) 2=6 C．√(-2) 2=-2 D．√32÷√2=4
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案
【解答】解：A．√2+√3无法合并，故此选项不合题意；
B．(2√3)2＝12，故此选项不合题意；
C．√(-2) 2=2，故此选项不合题意；D．√32÷√2=4，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
2．(2021秋•洪洞县期末)计算：(√13+√2)(√13-√2)的结果是 ．
【分析】用平方差公式计算即可．
【解答】解：原式＝(√13)2﹣(√2)2
＝13﹣2
＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式．
3．(2021秋•武宣县期末)(√32+√2)÷√8= ．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝(4√2+√2)÷2√2
＝5√2÷2√2
5
= ．
2
5
故答案为： ．
2
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
√1
4．(2022秋•新华区校级期中)计算√48+6 -(√3+2)(√3-2)＝( )
3
A．2√3+1 B．2√3-1 C．6√3+1 D．6√3-1
【分析】先将二次根式化为最简二次根式，原式中的(√3+2)(√3-2)用平方差公式可简便计算，最后合并
同类二次根式即可解答．
√1
【解答】解：√48+6 -(√3+2)(√3-2)
3
√3
=4√3+6× -(3-4)
3
=4√3+2√3+1
=6√3+1．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
5．(2022秋•北碚区校级月考)计算：(1)(√48+√20)-(√12-√5)； (2)√20+√5(2+√5)；
√1
(3)√48÷√3-2 ×√30+(2√2+√3) 2； (4)(2-√3) 2017 (2+√3) 2018-|-√3|-(-√2) 0．
5
【分析】(1)先化简各个根式，再进行二次根式的加减运算即可；
(2)利用二次根式的性质以及二次根式的乘法和加法运算法则求解即可；
(3)利用二次根式的性质和二次根式的混合运算法则求解即可；
(4)利用积的乘方的逆运算、平方差公式、绝对值、零指数幂、有理数的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：(1)(√48+√20)-(√12-√5)
=4√3+2√5-2√3+√5
=2√3+3√5；
(2)√20+√5(2+√5)
=2√5+2√5+√5×√5
=4√5+5；
√1
(3)√48÷√3-2 ×√30+(2√2+√3) 2
5
√1
=√48÷3-2 ×30+(2√2) 2+2×2√2×√3+(√3) 2
5
=√16-2√6+8+4√6+3
=15+2√6；
(4)(2-√3) 2017 (2+√3) 2018-|-√3|-(-√2) 0
=[(2-√3)(2+√3)] 2017 (2+√3)-√3-1
=(4-3) 2017 (2+√3)-√3-1
＝1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，还涉及二次根式的性质、绝对值、零指数幂、积的乘方的
逆运算、平方差公式等知识，熟练掌握相关计算的运算法则并正确计算是解答的关键．
6．(2022秋•北碚区校级月考)计算：
(1)(1-√2) 0+|2-√5|+(-1) 2022× 1 ×√45； (2)2√2×3√10+√45+ √ 1 1 - 1 ；
3 4 2-√5
(3)(√3-1) 2- 4 -√3(√3- √3 )； (4) √ (1-√2) 2- 1 -(√48-√24)+√6．
√3-1 3 2-√3【分析】(1)直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、有理数的乘方运算法则、二次根式的性质分别
化简，进而得出答案；
(2)直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案；
(3)直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案；
(4)直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案．
1
【解答】解：(1)(1-√2) 0+|2-√5|+(-1) 2022× ×√45
3
1
＝1+√5-2+1× ×3√5
3
＝1+√5-2+√5
＝2√5-1；
√ 1 1
(2)2√2×3√10+√45+ 1 -
4 2-√5
√5
＝12√5+3√5+ +2+√5
2
33√5
= +2；
2
4 √3
(3)(√3-1) 2- -√3(√3- )
√3-1 3
＝3﹣2√3+1﹣2(√3+1)﹣(3﹣1)
＝3﹣2√3+1﹣2√3-2﹣2
＝﹣4√3；
1
(4) √ (1-√2) 2- -(√48-√24)+√6
2-√3
=√2-1﹣(2+√3)﹣(4√3-2√6)+√6
=√2-1﹣2-√3-4√3+2√6+√6
=√2-1﹣5√3+3√6．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
核心知识9二次根式的化简求值
1．(2022秋•长泰县期中)先化简，再求值：(a-√3)(a+√3)-a(a-4)，其中：a=√3+1．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【解答】解：(a-√3)(a+√3)-a(a-4)
＝a2﹣3﹣a2+4a
＝4a﹣3，
当a=√3+1时，原式＝4×(√3+1)﹣3＝4√3+4﹣3＝4√3+1．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
x- y x-2√xy+ y 1
2．(2022秋•浦东新区校级月考)先化简，再求值 + ，其中x＝5，y= ．
√x+√y √x-√y 5
【分析】利用二次根式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
x- y x-2√xy+ y
【解答】解： +
√x+√y √x-√y
(√x+√y)(√x-√y) (√x-√y) 2
= +
√x+√y √x-√y
=√x-√y+√x-√y
＝2√x-2√y，
1
当x＝5，y= 时，
5
√1
原式＝2√5-2
5
2√5
＝2√5-
5
8√5
= ．
5
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3．(2022春•灵宝市月考)若a=√5+1，b=√5-1，求下列代数式的值．
(1)a2b+ab2；
(2)a2﹣ab+b2．
【分析】(1)根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出ab，a+b，再根据平方差公式计算；
(2)根据完全平方公式计算．
【解答】解：∵a=√5+1，b=√5-1，
∴ab＝(√5+1)(√5-1)＝4，
a+b＝(√5+1)+(√5-1)＝2√5，
(1)a2b+ab2
＝ab(a+b)＝4×2√5
＝8√5；
(2)a2﹣ab+b2
＝(a+b)2﹣3ab
＝(2√5)2﹣12
＝20﹣12
＝8．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．
1
4．(2022秋•静安区校级期中)先化简，再求值，如果a＝2-√3，b = ，求√a2-2ab+b2的值．
2-√3
【分析】直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．
1 2+√3
【解答】解：∵b = = = 2+√3，a＝2-√3，
2-√3 (2-√3)(2+√3)
∴a﹣b＝2-√3-(2+√3)＝2-√3-2-√3=-2√3＜0，
∴√a2-2ab+b2=√(a-b) 2=2√3．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
√a √b
5．(2022秋•虹口区校级期中)已知a+b＝﹣4，ab＝1，求：a +b 的值．
b a
【分析】根据题意确定a、b的符号，根据二次根式的性质、完全平方公式把原式变形，代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣4，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
√ab √ab
则原式＝﹣a• -b•
b a
a b
=-√ab•( + )
b a
a2+b2
=-√ab•
ab
(a+b) 2-2ab
=-√ab•
ab
(-4) 2-2
＝﹣1×
1
＝﹣14．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题的关键．6．(2022秋•锦江区校级月考)已知x＝2-√3，y＝2+√3．
(1)求xy2﹣x2y的值；
(2)若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax+by的值．
【分析】(1)利用提公因式法，进行计算即可解答；
(2)先估算出2-√3与2+√3的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：(1)∵x＝2-√3，y＝2+√3，
∴xy＝(2-√3)(2+√3)＝4﹣3＝1，
y﹣x＝2+√3-(2-√3)＝2+√3-2+√3=2√3，
∴xy2﹣x2y
＝xy(y﹣x)
＝1×2√3
＝2√3；
(2)∵1＜3＜4，
∴1＜√3＜2，
∴3＜2+√3＜4，
∴2+√3的整数部分是3，
∴b＝3，
∵1＜√3＜2，
∴﹣2＜-√3＜-1，
∴0＜2-√3＜1，
∴2-√3的整数部分是0，小数部分＝2-√3-0＝2-√3，
∴a＝2-√3，
∴ax+by
＝(2-√3)(2-√3)+3(2+√3)
＝7﹣4√3+6+3√3
＝13-√3，
∴ax+by的值为13-√3．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，因式分解﹣提公因式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
核心知识10二次根式的实际应用
1．(2022春•临淄区期末)已知一个矩形面积是√24，一边长是√2，则另一边长是( )A．12 B．2√3 C．√6 D．3√2
【分析】根据矩形的面积求解即可．
【解答】解：√24÷√2=√24÷2=√12=2√3，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则，矩形的面积公式是解题的关键．
2．(2022秋•郸城县月考)若等腰三角形的两边长分别为√12和√50，则这个三角形的周长为( )
A．2√3+10√2 B．4√3+5√2
C．4√3+10√2 D．4√3+5√2或2√3+10√2
【分析】分腰长为√12和√50两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求
得其周长．
【解答】解：当腰长为√12时，则三角形的三边长分别为√12，√12，√50，不满足三角形的三边关系；
当腰长为√50时，则三角形的三边长分别为√12，√50，√50，满足三角形的三边关系，此时周长为2
√3+10√2．
综上可知，三角形的周长为2√3+10√2．
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的应用和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键
注意利用三角形的三边关系进行验证．
3．(2022春•孝义市期末)如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴
影部分的面积为( )
A．6√10cm2 B．21cm2 C．2√15cm2 D．4√6cm2
【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积＝大正方形的面
积﹣两个小正方形的面积即可得出答案．
【解答】解：∵两个小正方形的面积为15和6，
∴两个小正方形的边长为√15，√6，
∵大正方形的边长为：√15+√6，∴阴影部分的面积＝(√15+√6)2﹣6﹣15
＝15+2×√15×√6+6﹣6﹣15
＝6√10(cm2)，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的应用，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题
的关键．
4．(2022秋•新蔡县校级月考)如图，有一张面积为50cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作
一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为√2cm．
(1)求长方体盒子的容积；
(2)求这个长方体盒子的侧面积．
【分析】(1)结合题意可知该长方体盒子的长、宽都为5√2-2√2=3√2cm，高为√2cm，而长方体的容积
为长×宽×高，即可得答案；
(2)该长方体盒子的侧面为长方形，长为3√2cm，宽为√2cm，共4个面，即可得答案．
【解答】解：(1)由题意可知：长方体盒子的容积为：(5√2-2√2) 2×√2=18√2(cm3)，
答：长方体盒子的容积为18√2cm3；
(2)长方体盒子的侧面积为：(5√2-2√2)×√2×4=24(cm2)，
答：这个长方体盒子的侧面积为24cm2．
【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解．
5．(2022秋•南岸区校级期中)某居民小区有一块形状为长方形 ABCD的绿地，长方形绿地的长 BC为
√162m，宽AB为√128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的
长为(√13+1)m，宽为(√13-1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？(结果化为最简二次根式)
(2)除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为 50元每平方米的地砖，若铺完整
个通道，则购买地砖需要花费多少元？【分析】(1)长方形ABCD的周长是2(√162+√128)(m)；
(2)先求出空白部分的面积，再根据通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖列式计算即可．
【解答】解：(1)长方形ABCD的周长＝2(√162+√128)＝2(9√2+8√2)＝34√2(m)，
答：长方形ABCD的周长是34√2(m)；
(2)购买地砖需要花费＝50×[9√2×8√2-(√13+1)(√13-1)]
＝50×(144﹣12)
＝50×132
＝6600(元)；
答：购买地砖需要花费6600元．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及
其性质．
核心知识11 新定义运算问题
1．(2022 春•交城县期中)用“•”表示一种新运算：对于任意正实数 a•b=√a2+b，例如 10•21
=√102+21=11，那么√13⋅(√7⋅2)的运算结果为( )
A．13 B．7 C．4 D．5
【分析】直接利用新定义，进而代入计算得出答案．
【解答】解：原式=√13•√(√7) 2+2
=√(√13) 2+3
=√16
＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确运用新定义是解题关键．2．(2022秋•海曙区校级期中)对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a
＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{√30，a}＝a，min{√30，b}=√30，且a
和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据a，b的范围，然后再代入求出2a﹣b的值即可．
【解答】解：∵min{√30，a}＝a，min{√30，b}=√30．
∴a＜√30，b＞√30．
∵a，b是两个连续的正整数．
∴a＝5，b＝6．
∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．
2
3．规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[ ]＝0，[3.14]＝3，[√3]＝1，并且规定一个实数减去
3
它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
(1)[√8(√5-√2)]＝ ，√8(√5-√2)的小数部分为 ；
(2)已知a，b分别是5-√5的整数部分和小数部分，求4ab﹣b2的值．
【分析】(1)根据二次根式的混合运算化简，再估算出无理数的范围，从而得到无理数的整数部分和小数
部分；
(2)估算出无理数的范围，得到无理数的整数部分和小数部分，代入求值即可．
【解答】解：(1)√8(√5-√2)
=√8×√5-√8×√2
=√40-4，
∵36＜40＜49，
∴6＜√40＜7，
∴2＜√40-4＜3，
∴原式的整数部分是2，小数部分为√40-4﹣2＝2√10-6，
故答案为：2，2√10-6；
(2)∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴﹣3＜-√5＜-2，∴2＜5-√5＜3，
∴a＝2，b＝5-√5-2＝3-√5，
∴4ab﹣b2
＝4×2×(3-√5)﹣(3-√5)2
＝8(3-√5)﹣(9﹣6√5+5)
＝24﹣8√5-9+6√5-5
＝10﹣2√5．
【点评】本题考查了无理数的估算，代数式求值，二次根式的混合运算，无理数估算常用夹逼法，用有
理数夹逼无理数是解题的关键．
4．(2021春•江都区期末)用※定义一种新运算：对于任意实数 m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：
1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．
(1)求(﹣2)※√3；
(2)若3※m＜﹣6，化简√(2-m) 2+(√-m-2) 2．
【分析】(1)根据新运算得出(﹣2)※√3=(﹣2)2×√3-(﹣2)×√3-3×√3，再求出答案即可；
(2)先求出3※m＝3m，求出3m＜﹣6，求出m＜﹣2，再根据二次根式的性质进行计算即可．
【解答】解：(1)(﹣2)※√3
＝(﹣2)2×√3-(﹣2)×√3-3×√3
＝4√3+2√3-3√3
=3√3；
(2)3※m＝32×m﹣3m﹣3m＝3m，
∵3※m＜﹣6，
∴3m＜﹣6，
∴m＜﹣2，
∴√(2-m) 2+(√-m-2) 2
＝2﹣m﹣m﹣2
＝﹣2m．
【点评】本题考查了二次根式的性质和运算法则，解一元一次不等式，实数的混合运算等知识点，能正
确根据二次根式的性质和运算法则进行计算是解此题的关键．5．(2022春•铜梁区校级期中)阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个
式子的平方．
例如：3+2√2=(1+√2)2．善于思考的小敏进行了以下探索：
当a、b、m、n均为整数时，若a+b√2=(m+n√2)2，则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2．
a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小敏就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为整数时，若a+b√5=(m+n√5)2，用含m、n的式子分别表示a、b，
则：a＝ ，b＝ ；
(2)若a+6√7=(m+n√7)2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)直接写出式子√49+20√6化简的结果．
【分析】(1)将式子a+b√5=(m+n√5)2展开，然后根据对应关系，即可含m、n的式子分别表示a、b；
(2)根据a+6√7=(m+n√7)2，且a、m、n均为正整数，可以求得m、n的值；
(3)将式子√49+20√6化为完全平方公式，即可解答本题．
【解答】解：(1)∵a+b√5=(m+n√5)2，
∴a+b√5=m2+5n2+2mn√5，
∴a＝m2+5n2，b＝2mn，
故答案为：m2+5n2，2mn；
(2)∵a+6√7=(m+n√7)2，
∴a+6√7=m2+7n2+2mn√7，
{a=m2+7n2
∴ ，
6=2mn
∵a、m、n均为正整数，
{m=1 {m=3
∴ 或 ，
n=3 n=1
∴当m＝1，n＝3时，a＝12+7×32＝64，
当m＝3，n＝1时，a＝32+7×12＝16，
由上可得a的值为64或16；
(3)√49+20√6
=√25+2√600+24
=√(√25+√24) 2=√25+√24
＝5+2√6．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公
式解答．
核心知识12探究规律性问题
1．观察下列各式子，并回答下面的问题：
第一个：√12-1 第二个：√22-2 第三个：√32-3 第四个：√42-4
…
(1)试写出第n个式子(用含n的表达式表示)，这个式子一定是二次根式吗？为什么？
(2)你估计第16个式子的值应在哪两个连续整数之间？试说明理由．
【分析】(1)根据形如√a(a≥0)是二次根式，可得答案；
(2)利用二次根式的性质化简得出√225＜√240＜√16×16进而得出答案．
【解答】解：(1)∵第一个：√12-1 第二个：√22-2 第三个：√32-3 第四个：√42-4
…
∴第n个式子(用含n的表达式表示)为：√n2-n，
∵n≥1，
∴n2﹣n＝n(n﹣1)≥0，
∴这个式子一定是二次根式；
(2)第16个式子的值为：√162-16=√16(16-1)=√16×15=√240，
∵√225＜√240＜√16×16，
∴15＜√240＜16，
∴第16个式子的值应在15，16之间．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
2．观察下列等式：
√52 −42 =1×3 √172 −82 =3×5 √372 −122 =5×7
① ＝1×3；② ；③5×7 ；
…根据上述规律解决下列问题：
√652 −162
(1)完成第④个等式： ＝ × ；
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明其正确性．
【分析】根据规律化简即可．
【解答】解：(1)∵①√52-42＝√(5-4)×(5+4)＝1×3；
②√172-82＝√(17-8)×(17+8)＝3×5；
③√372-122＝√(37-12)×(37+12)＝5×7；
…
∴√652-162＝√(65-16)×(65+16)＝7×9；
故答案为：7，9；
(2)由(1)知，第n个等式√(4n2+1) 2-16n2＝(2n﹣1)(2n+1)，证明如下：
√(4n2+1) 2-16n2=√(4n2-4n+1)(4n2+4n+1) =√(2n-1) 2 (2n+1) 2=(2n-1)(2n+1)． 3 ．
(2021秋•平阴县期末)阅读下面问题：
1 1×(√2-1)
= =√2-1；
√2+1 (√2+1)(√2-1)
1 1×(√3-√2)
= =√3-√2；
√3+√2 (√3+√2)(√3-√2)
1 1×(√4-√3)
= =√4-√3．
√4+√3 (√4+√3)(√4-√3)
1
试求：(1)求 = ；
√7+√6
1
(2)当n为正整数时 = ；
√n+1+√n
1 1 1 1 1
(3) + + +⋯+ + 的值．
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
【分析】(1)根据题目中的例子，可以将所求式子化简；(2)根据题目中的例子，可以将所求式子化简；
(3)先将所求式子变形，然后计算即可．
1 √7-√6
【解答】解：(1) = =√7-√6，
√7+√6 (√7+√6)(√7-√6)
故答案为：√7-√6；
1 √n+1-√n
(2) = =√n+1-√n，
√n+1+√n (√n+1+√n)(√n+1-√n)
故答案为：√n+1-√n；
1 1 1 1 1
(3) + + +....+ +
1+√2 √2+√3 √3+√4 √98+√99 √99+√100
=√2-1+√3-√2+√4-√3+⋯+√99-√98+√100-√99
=√100-1
＝10﹣1
＝9．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确它们各自的
计算方法．
4．(2022秋•福田区期中)观察下列二次根式的化简
√ 1 1 1 1
S = 1+ + =1+ - ，
1 12 22 1 2
√ 1 1 √ 1 1 1 1 1 1
S = 1+ + + 1+ + =(1+ - )+(1+ - )，
2 12 22 22 32 1 2 2 3
√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 1 1 1 1 1 1 S
S = 1+ + + 1+ + + 1+ + =(1+ - )+(1+ - )+(1+ - )，则 2022 =( )
3 12 22 22 32 32 42 1 2 2 3 3 4 2022
2022 2024 1 1
A． B． C． D．
2021 2023 2022 2024
【分析】根据题意可归纳出S 的表达式，从而求出S 的值．
n 2017
1 1 1
【解答】解：由题意可知：S ＝1+ - =2- ，
1 1 2 2
1 1 1 1 1 1 1
S ＝(1+ - )+(1+ - )＝1+1+ - =3- ，
2 1 2 2 3 1 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
S ＝(1+ - )+(1+ - )+(1+ - )＝1+1+1+ - =4- ，
3 1 2 2 3 3 4 1 4 41 n(n+2)
由此可知：S ＝(n+1)- = ，
n n+1 n+1
S n+2
∴ n= =，
n n+1
S 2024
∴ 2022 = ．
2022 2023
故选：B．
【点评】本题考查数字规律问题，解题的关键是根据题意求出S 的表达式，本题属于中等题型．
n
1
5．(2022春•东莞市期中)小芳在解决问题：已知a = ，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：
2+√3
1 2-√3
a= = =2-√3，∴a＝2-√3，
2+√3 (2+√3)(2-√3)
∴(a﹣2)2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
1 1 1 1
(1)计算： + + +⋯+ ．
√2+1 √3+√2 √4+√3 √100+√99
1
(2)若a = ．
√2-1
①化简a，求4a2﹣8a﹣1的值；
②求a3﹣3a2+a+1的值．
【分析】(1)根据平方差公式可以求出所求式子的值；
(2)①根据平方差公式可以化简a，然后即将a变形，即可得到a2﹣2a的值，再整体代入化简后的式子计
算即可；
②根据①中a2﹣2a的值，将所求式子变形，再整体代入计算即可．
1 1 1 1
【解答】解：(1) + + +⋯+
√2+1 √3+√2 √4+√3 √100+√99
=√2-1+√3-√2+√4-√3+⋯+√100-√99
＝﹣1+√100
＝﹣1+10
＝9；
1 √2+1 √2+1
(2)①a= = = =√2+1，
√2-1 (√2-1)(√2+1) 2-1
∴a=√2+1，∴(a﹣1)2＝(√2)2＝2，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴4a2﹣8a﹣1
＝4(a2﹣2a)﹣1
＝4×1﹣1
＝4﹣1
＝3；
②由①知a2﹣2a＝1，
∴a3﹣3a2+a+1
＝a(a2﹣2a)﹣(a2﹣2a)﹣a+1
＝a×1﹣1﹣a+1
＝a﹣1﹣a+1
＝0．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式和平方差公式
解答．
