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第十六章 二次根式
16.1 二次根式（4个知识点+5大题型+15道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 求二次根式的值
考查题型二 求二次根式中的参数
考查题型三 二次根式有意义的条件
考查题型四 利用二次根式的性质化简
考查题型五 复合二次根式的化简
【知识梳理】
知识点一.二次根式的定义
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
知识点二.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须
是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点三.二次根式的性质：
（1） ， （双重非负性）．
（2） （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）
（4） = · （a≥0，b≥0）
（5） = （a≥0，b>0）
知识点四.二次根式的化简：
（1）二次根式化简的步骤：①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2，所得结果为最简二次
根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
考查题型一 求二次根式的值
1．（2023下·辽宁铁岭·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、 的被开方数 ，不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、 ，∵ ，∴ ，是二次根式，故本选项符合题意；
C、 的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；
D、当 时， ，∴ 不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如 的式子叫
二次根式．
2．（2023下·湖北襄阳·八年级统考期末）在式子 中，二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如 的代数式叫做二次根式．【详解】解： 是二次根式，符合题意，
是三次根式，不合题意，
是二次根式，符合题意，
不是二次根式，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
3．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）当 时，二次根式 的值是 ．
【答案】1
【分析】把 代入二次根式求值即可．
【详解】解：当 时， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
4．（2023下·浙江丽水·八年级校联考期中）当 时， 的值为 ．
【答案】4
【分析】直接把x的值代入化简即可．
【详解】解：当 时，
．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次根式的求值，熟记二次根式的性质是解决此题的关键．
5．（2023下·江西宜春·八年级统考期末）若 ， ，求 的值．
【答案】
【分析】由题意对 利用提取公因式法分解因式，并代入利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握利用提取公因式法分解因式以及平方差公式是解题的关键．
考查题型二 求二次根式中的参数
1．（2023下·福建福州·八年级校考期中）已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是（ ）
A．0 B．4 C．5 D．20
【答案】C
【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【详解】解： ，
∵ 是整数，n是一个正整数，
∴n的最小值是5．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
2．（2023下·广东惠州·八年级校考期中）已知： 是整数，则满足条件的最小正整数 为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．20
【答案】C
【分析】将 化简为 ，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答．
【详解】解： ，
是整数，
满足条件的最小正整数 为5，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键．
3．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）若 属于真分数，任意写出一个符合条件的 的值 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】 属于真分数，则 是整数，且不能为 的因数，即可求解．
【详解】∵ 属于真分数，
∴ ，且为整数，
∴可以取 ，即 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次根式的性质，理解真分数的定义是解题的关键．
4．（2023上·广东惠州·九年级惠州市河南岸中学校考开学考试）已知 为正整数，且 也为正整数，
则 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．
【详解】解： ，且开方的结果是正整数，
为某数的平方，
又 ， 是满足题意最小的被开方数，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题
的关键．
5．（2023下·福建福州·七年级统考期中）阅读材料并解决下列问题：
已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣ ﹣a，求a、b的值．
解：∵5﹣ ﹣a
即5﹣∴2b﹣a＝5，﹣a＝
解得：a＝﹣
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式 ﹣1，则a＝ ，b＝ ．
（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+ x+18，求xy的平方根．
【答案】（1）4，1；（2）±
【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可．
（2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和
y，再求xy的平方根．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴b=1，a-b=3，
∴a=4；
（2） ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴xy=21，
∴xy的平方根为± ．
【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．
考查题型三 二次根式有意义的条件
1．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）使式子 有意义的实数 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】A
【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件．直接利用二次根式有意义的条件
以及结合分式有意义的条件得出答案．
【详解】解：使式子 有意义，
则 ，且 ，
解得： ．
故选：A．
2．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）若x，y都是实数，且 ，则
的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】此题考查二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，代入求值，解题关键在于求出x，y
的值．
【详解】解：由题可知 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
故选C．3．（2023上·河北承德·八年级校考期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
由题意知， ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
解得， ，
故答案为： ．
4．（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）若 有意义，则n的取值范围是 ，若
是整数，则整数n的值是 ．
【答案】 或 ．
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，算术平方根的含义，先根据被开方数为非负数建立不等式
求解n的范围即可，再结合算术平方根的含义可得 或 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，即 ，
解得： ；
∵ 是整数， 是整数，
∴ 或 ，
解得： 或 ；
故答案为： ， 或 ．
5．（2023下·七年级课时练习）已知x，y满足y＝ ，求xy的平方根．
【答案】±6【详解】由题意，得x＝3，y＝12，xy＝36，± ＝±6，
所以xy的平方根是±6
考查题型四 利用二次根式的性质化简
1．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图 在数轴上的位置，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了数轴，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，根据数轴，得到 ，再判断出
的正负情况，利用算术平方根的非负性，绝对值的非负性化简即可．
【详解】解：由题意得： ，
，
，
故选：D．
2．（2024·全国·八年级假期作业）先化简再求值：当 时，求 的值，甲乙两人的解答如
下：
甲的解答为：原式 ；
乙的解答为：原式 ，在两人的解法中（ ）
A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查二次根式运算，先判断 的正负，再根据 化简 ，最后将 代入计
算即可．
【详解】当 时， ，，
∴乙计算正确．
观察甲的解答可知，甲在化简二次根式时出现错误，结果不正确，
故选B．
3．（2023上·四川达州·八年级校考期中）若 ，那么 的结果是
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的性质，根据字母的取值范围，得到式子的符号，根据二次根式的非负性，进
行化简计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
4．（2023上·重庆·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）已知： ，化简：
．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意化简二次根式，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．（2023上·福建福州·九年级统考期中）先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的化简，根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然
后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
【详解】解：
．
∴当 时，原式
考查题型五 复合二次根式的化简
1．（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习）下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
因为 ，①
，②
所以 .③
所以 .④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据算术平方根的非负性即可判断．
【详解】解：第②步中 是负数，而 是一个正数，二者并不相等，
∴第②步推导错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键．2．（2023上·上海宝山·八年级统考期中）下列各式中，与化简 所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵ 有意义，
∴
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关
键．
3．（2023上·广东佛山·八年级佛山市实验学校校考阶段练习）形如 的根式叫做复合二次根式，
把 变成 叫做复合二次根式的化简，请将复合二次
根式 化简为 ．
【答案】 /
【分析】先把10拆成 与 的平方和，则 可写成完全平方式，然后利用二次根式的性质化简即
可．
【详解】解：
；
故答案为： ．【点睛】本题考查了二次根式的性质： ．也考查了完全平方公式的运用．
4．（2023下·湖北恩施·八年级统考期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数 ， 使 且
，这样 ，那么我们就称 为
“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：
，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根
式” ．
【答案】 /
【分析】仿照题意进行求解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了化简复合二次根式，正确理解题意是解题的关键．
5．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．
善于思考的小李同学进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 ．∴ ，
．
这样小李同学就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：
______， ______；
(2)若 且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简： ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式将 展开即可求解；
（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；
（3） ，据此即可求解．
【详解】（1）解：
∵
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：∵
∴ ，
由（1）中结论可知： ，
∴ ，
∵m、n均为正整数，
∴ 或 ，
当 时， ；当 时， ；
∴a的值为 或 ．
（3）解： ，
∴ ．
【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．
1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）函数 中，自变量x的取值范围为（ ）．
A． B． C． 且 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件、分式
有意义的条件列不等式组求解即可；掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数、分式有意义的条件
是分母不为零成为解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得： ．
故选A．
2．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）若x，y均为实数，且 ，则化简：
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的性质．
先由二次根式有意义的条件求出x的值，从而得到y的范围，再根据二次根式的性质即可化简．【详解】∵式子 有意义，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
当 ， 时，
．
故选：D
3．（2023上·河北保定·八年级校联考期中）下列运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式运算法则验证算式的正误即可，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
【详解】解：A． ，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C． ，故符合题意；
D． ，故不符合题意；
故选：C．
4．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）已知 ； ，且
，则a的值是（ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【分析】先根据m和n的值得出 和 的值，从而得出 和 的值，然后利用整
体代入求出a的值．
【详解】解：由 ，得 ，两边平方，得 ，
即 ，故 ，
同理，得 ，
代入 ，
得
解得 ，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的灵活运用，直接将m、n的值代入，运算比较冗繁，解题关键是求出部分
代数式的值再整体代入．
5．（2023上·重庆·八年级校联考期中）若 （ 为正整数），则下列说法正确的个数是
（ ）
① ， ， ；② ；③ ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题考查了算术平方根和规律型的题目，分别计算当 为1，2，3，4时 的值，可得规律
，即可得出答案，找出数字的规律是解题的关键．
【详解】解： 为正整数），
，
，，故①正确；
，故②正确；
，
，
，
，
所以可知 ，
，故③正确．
故选：D．
6．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）已知 ， 在数轴上的位置如图所示，则 的
化简的结果为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查数轴上点表示的数以及大小关系、二次根式的性质与化简，根据数轴上点表示的数
的大小关系，得 ， ，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、二次根式的性质是解题的关
键．
【详解】根据数轴可知： ， ，则原式 ，
，
，
，
故答案为： ．
7．（2023上·陕西西安·八年级西安市航天中学校考阶段练习）已知 ，则 的平方
根等于 ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式组，解不等式组，求出x的值，从而求出y值，再代
入根据平方根的定义解答即可．
【详解】解：由题意，得 ，
解得： ，
∴
∴ 的平方根
故答案为： ．
8．（2023上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）函数 的自变量x的取值范围是
．
【答案】 且
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件．根据二次根式和分式有意义的条件得到 且
，解不等式即可求解．
【详解】解：由题意可得： 且 ，
解得 且 ．
∴自变量x的取值范围是 且 ．
故答案为： 且9．（2023上·河北石家庄·八年级校考期中）（1）已知 ，则 的值是
．
（2）若 ，则 的平方根是 ．
【答案】 19
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，求出 ， ，然后代入求值即可；
（2）根据非负数的性质求出 ， ，然后代入求值即可．
【详解】解：（1）∵ 有意义，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴
；
故答案为：19；
（2）∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，
16的平方根为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的非负性，绝对值的非负性，代数式求值，
解题的关键是熟练掌握相关的性质．
10．（2023上·北京昌平·八年级校联考期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：当 时，移项得 ，两边平方得 ，所以 ，即得到
整系数方程： ．
仿照上述操作方法，完成下面的问题：当 时，
①得到的整系数方程为 ；
②计算 ．
【答案】 2014
【分析】①根据题干中给定的方法，转化为整系数方程即可；②根据①中得到的结论，将代数式进行转化
后，即可得出结果．
【详解】解：① ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
整理得： ，即： ；
故答案为： ；
②∵ ，
∴ ，
∴
；
故答案为：2014．
【点睛】本题考查无理数的转化．理解并掌握题目中给出的解题方法，是解题的关键．11．（2023上·宁夏中卫·九年级校考阶段练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，利用负整指数幂公式，零指数幂公式，二次根式及绝对值的性质先化简，
再进行加减运算即可得到结果，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式 ，
，
．
12．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）计算：
(1)计算： ．
(2)计算：
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，
（1）先算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减；
（2）先化简二次根式和利用平方差公式去括号，再计算加减；
熟练掌握各个运算法则和平方差公式是解题的关键．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
13．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期中）（1）如图，已知在数轴上的两个点表示为实数a，b．化简： ______；
（2）若 是 的整数部分， 是它的小数部分，求 的值．
【答案】（1） ；（2）10
【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，无理数的整数部分和小数部分：
（1）根据数轴得出 ， ，进而判断 和 的正负，利用二次根式的性质化简，再进行
整式的加减运算即可；
（2）先根据 求出a和b的值， 再代入求值．
【详解】解：（1）由数轴知 ， ，
， ，
，
故答案为： ；
（2） ，
，即 ，
的整数部分为7，小数部分为 ，
， ，．
14．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）像 ， ……这样的根式叫做复合二次根
式．有一些复合二次根式可以借助构造两数和（差）的平方公式进行化简：
如： ；
再如： ．
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简： ；
(2)若 ，且 ， ， 均为正整数，则 的值为______．
【答案】(1)
(2)6或9
【分析】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
（1）将被开方数写成完全平方式，再化简；
（2）变形已知等式得 ，建立 ， ， 的方程组求解．
【详解】（1）解：
；
（2）∵ ，
即： ，∴ ，
∵ ， ， 均为正整数，
∴ 或 ，
∴当 时， ；
当 时， ；
故答案为：6或9．
15．（2017·四川·八年级阶段练习）我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数
都可以看作是一个数的平方，如 ， ， ， ，那么，我们可以利用这种思想
方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： ， 的算术平方根是 ．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
(1)
(2)
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式；
（1）将 变形为完全平方式的形式 ，然后开平方即可；
（2）先化简 ，再化简原式即可得出答案；
（3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：
．
