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第十六章 二次根式
16.1 二次根式（4个知识点+5大题型+15道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 求二次根式的值
考查题型二 求二次根式中的参数
考查题型三 二次根式有意义的条件
考查题型四 利用二次根式的性质化简
考查题型五 复合二次根式的化简
【知识梳理】
知识点一.二次根式的定义
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
知识点二.二次根式有无意义的条件：
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须
是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
知识点三.二次根式的性质：
（1） ， （双重非负性）．
（2） （任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：
（3）
（4） = · （a≥0，b≥0）
（5） = （a≥0，b>0）
知识点四.二次根式的化简：
（1）二次根式化简的步骤：①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数 2，所得结果为最简二次
根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
考查题型一 求二次根式的值
1．（2023下·辽宁铁岭·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·湖北襄阳·八年级统考期末）在式子 中，二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）当 时，二次根式 的值是 ．
4．（2023下·浙江丽水·八年级校联考期中）当 时， 的值为 ．
5．（2023下·江西宜春·八年级统考期末）若 ， ，求 的值．
考查题型二 求二次根式中的参数
1．（2023下·福建福州·八年级校考期中）已知n是一个正整数， 是整数，则n的最小值是（ ）
A．0 B．4 C．5 D．20
2．（2023下·广东惠州·八年级校考期中）已知： 是整数，则满足条件的最小正整数 为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．203．（2023·河南周口·淮阳第一高级中学校考模拟预测）若 属于真分数，任意写出一个符合条件的 的
值 ．
4．（2023上·广东惠州·九年级惠州市河南岸中学校考开学考试）已知 为正整数，且 也为正整数，
则 的最小值为 ．
5．（2023下·福建福州·七年级统考期中）阅读材料并解决下列问题：
已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣ ﹣a，求a、b的值．
解：∵5﹣ ﹣a
即5﹣
∴2b﹣a＝5，﹣a＝
解得：a＝﹣
（1）已知a、b是有理数，并且满足等式 ﹣1，则a＝ ，b＝ ．
（2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+ x+18，求xy的平方根．
考查题型三 二次根式有意义的条件
1．（2023上·福建泉州·八年级校考阶段练习）使式子 有意义的实数 的取值范围是（ ）
A． B． 且 C． D． 且
2．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）若x，y都是实数，且 ，则
的值是（ ）
A． B． C．2 D．3．（2023上·河北承德·八年级校考期末）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是
．
4．（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）若 有意义，则n的取值范围是 ，若
是整数，则整数n的值是 ．
5．（2023下·七年级课时练习）已知x，y满足y＝ ，求xy的平方根．
考查题型四 利用二次根式的性质化简
1．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图 在数轴上的位置，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．5
2．（2024·全国·八年级假期作业）先化简再求值：当 时，求 的值，甲乙两人的解答如
下：
甲的解答为：原式 ；
乙的解答为：原式 ，在两人的解法中（ ）
A．甲正确 B．乙正确 C．都不正确 D．无法确定
3．（2023上·四川达州·八年级校考期中）若 ，那么 的结果是
4．（2023上·重庆·八年级重庆市凤鸣山中学校考期中）已知： ，化简：
．
5．（2023上·福建福州·九年级统考期中）先化简，再求值： ，其中 ．考查题型五 复合二次根式的化简
1．（2023下·河北石家庄·八年级统考阶段练习）下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
因为 ，①
，②
所以 .③
所以 .④
A．① B．② C．③ D．④
2．（2023上·上海宝山·八年级统考期中）下列各式中，与化简 所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·广东佛山·八年级佛山市实验学校校考阶段练习）形如 的根式叫做复合二次根式，
把 变成 叫做复合二次根式的化简，请将复合二次
根式 化简为 ．
4．（2023下·湖北恩施·八年级统考期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数 ， 使 且
，这样 ，那么我们就称 为
“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如：
，根据阅读材料解决下列问题：化简“和谐二次根
式” ．
5．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）阅读材料：小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．
善于思考的小李同学进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 ．∴ ，
．
这样小李同学就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：
______， ______；
(2)若 且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简： ．
1．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）函数 中，自变量x的取值范围为（ ）．
A． B． C． 且 D．
2．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）若x，y均为实数，且 ，则化简：（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河北保定·八年级校联考期中）下列运算，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河南新乡·九年级校考阶段练习）已知 ； ，且
，则a的值是（ ）
A． B．5 C． D．8
5．（2023上·重庆·八年级校联考期中）若 （ 为正整数），则下列说法正确的个数是
（ ）
① ， ， ；② ；③ ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）已知 ， 在数轴上的位置如图所示，则 的
化简的结果为 ．
7．（2023上·陕西西安·八年级西安市航天中学校考阶段练习）已知 ，则 的平方
根等于 ．
8．（2023上·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）函数 的自变量x的取值范围是
．
9．（2023上·河北石家庄·八年级校考期中）（1）已知 ，则 的值是
．
（2）若 ，则 的平方根是 ．10．（2023上·北京昌平·八年级校联考期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进
行如下操作：当 时，移项得 ，两边平方得 ，所以 ，即得到
整系数方程： ．
仿照上述操作方法，完成下面的问题：当 时，
①得到的整系数方程为 ；
②计算 ．
11．（2023上·宁夏中卫·九年级校考阶段练习）计算：
12．（2023上·四川成都·八年级校联考期中）计算：
(1)计算： ．
(2)计算：
13．（2023上·辽宁锦州·八年级统考期中）（1）如图，已知在数轴上的两个点表示为实数a，b．
化简： ______；（2）若 是 的整数部分， 是它的小数部分，求 的值．
14．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）像 ， ……这样的根式叫做复合二次根
式．有一些复合二次根式可以借助构造两数和（差）的平方公式进行化简：
如： ；
再如： ．
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)请你尝试化简： ；
(2)若 ，且 ， ， 均为正整数，则 的值为______．
15．（2017·四川·八年级阶段练习）我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数
都可以看作是一个数的平方，如 ， ， ， ，那么，我们可以利用这种思想
方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： ， 的算术平方根是 ．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
(1)(2)
(3) ．
