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第五章 平面向量、复数
第一节 平面向量的概念及线性运算
核心素养立意下的命题导向
1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．
2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
既有大小又有方向的量；向量的大小 平面向量是自由向量，可在平面
向量
叫做向量的长度(或称模) 内自由平移
零向量 长度为的向量 记作0，其方向是任意的
单位向量 长度等于个单位的向量 非零向量a的单位向量为±
方向相同或相反的非零向量(又叫做
平行向量 0与任一向量平行或共线
共线向量)
两向量只有相等或不相等，不能
相等向量 长度相等且方向相同的向量
比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0
2．向量的线性运算
向量
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：a＋b＝b
＋a；
加法 求两个向量和的运算
(2)结合律：(a＋b)＋
c＝a＋(b＋c)求a与b的相反向量
减法 －b的和的运算叫做 a－b＝a＋(－b)
a与b的差
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa
的方向与a的方向相同； λ(μa)＝(λμ)a；
求实数λ与向量a的
数乘 当λ<0时，λa的方向与a (λ＋μ)a＝λa＋μa；
积的运算
的方向相反；当λ＝0时， λ(a＋b)＝λa＋λb
λa＝0
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(向量的有关概念)下列说法正确的是( )
A．方向相同的向量叫做相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度等于0
D．AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线
解析：选C 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非
零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当
AB∥CD时，AB所在的直线与CD所在的直线可能重合，故D不正确．
2．(多选·向量线性运算)下列各式中结果为零向量的为( )
A．AB＋BC＋CA
B．AB＋MB＋BO＋OM
C．OA＋OB＋BO＋CO
D．AB－AC＋BD－CD
答案：AD
3．(共线向量定理)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋xb与－(b－2a)共线，则x＝
________.
答案：－
二、易错点练清
1．(多选·忽视零向量)下列命题中，正确的是( )
A．向量AB的长度与向量BA的长度相等B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同
D．零向量与任意数的乘积都为零
答案：AC
2．(忽视向量相等的条件)若四边形ABCD满足AD∥BC且|AB|＝|DC|，则四边形ABCD的形状是
______________．
解析：当|AD|＝|BC|时，四边形ABCD是平行四边形；
当|AD|≠|BC|时，四边形ABCD是等腰梯形．
答案：平行四边形或等腰梯形考点一 平面向量的基本概念
[典例] (1)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝0 B．a⊥b
C．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb
(2)下列说法中，正确的是( )
A．a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
[解析] (1)∵a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，∴向量a与b的方向相同，即存在正实
数λ，使a＝λb，故选D.
(2)A错，当b＝0时，由a与b共线，b与c共线推不出a与c共线；B错，任意两个相等的非零
向量的始点与终点也可以在一条直线上；C正确，当a与b中有零向量时，它们一定共线；D
错，有相同起点的两个非零向量也可以平行，即可以共线．故选C.
[答案] (1)D (2)C
[方法技巧] 解决向量问题的关键点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．
(3)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必
是相等向量．
(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的平移
混为一谈．
(5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量，因此单位向量与a方向相同．
(6)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能．但向量的模是非负实数，可以比较大小．
(7)在解决向量的概念问题时，要注意两点：①不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；
②考虑零向量是否也满足条件．
[针对训练]
1．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是( )
A．a＝2b B．a∥b
C．a＝－b D．a⊥b
解析：选C 由＋＝0得＝－≠0，即a＝－·|a|≠0，则a与b共线且方向相反，因此当向量a
与向量b共线且方向相反时，能使＋＝0成立．对照各个选项可知，选项A中a与b的方向相
同；选项B中a与b共线，方向相同或相反；选项C中a与b的方向相反；选项D中a与b互
相垂直．2．设a 为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a；②若a与a 平行，
0 0 0
则a＝|a|a；③若a与a 平行且|a|＝1，则a＝a，假命题的个数是( )
0 0 0
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a 的模相同，但方向不一定相同，故①是
0
假命题；若a与a 平行，则a与a 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|
0 0
a，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.
0
考点二 平面向量的线性运算
考法(一) 平面向量的线性运算
[例1] (1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)若D为△ABC的边AB的中点，则CB＝( )
A．2CD－CA B．2CA－CD
C．2CD＋CA D．2CA＋CD
(2)如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN＝NC，BN与CM
相交于点E，设AB＝a，AC＝b，则AE等于( )
A.a＋b B．a＋b
C.a＋b D．a＋b
[解析] (1)∵D为△ABC的边AB的中点，
∴CD＝(CA＋CB)，∴CB＝2CD－CA，故选A.
(2)由题意得AN＝AC＝b，AM＝AB＝a，
由N，E，B三点共线可知，存在实数m，满足
AE＝mAN＋(1－m)AB＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线可知，存在实数n，满足
AE＝nAM＋(1－n)AC＝na＋(1－n)b，
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b.
因为a，b为基底，所以解得
所以AE＝a＋b，故选A.
[答案] (1)A (2)A
[方法技巧]
向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，
求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三
角形中求解．
(3)用基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或
多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
考法(二) 利用向量的线性运算求参数[例2] 如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交
于E，F两点，且交其对角线AC于K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，
则λ的值为( )
A. B．
C. D．
[解析] ∵AE＝AB，AF＝AD，
∴AB＝AE，AD＝2AF.
∵AC＝AB＋AD，∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD)＝λ＝λAE＋2λAF.由E，F，K三点共线可得，λ＋2λ＝1，
解得λ＝，故选A.
[答案] A
[方法技巧]
利用向量的线性运算求参数的方法
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量线性运算的三角形法则进
行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数．
[针对训练]
1．(2021·菏泽模拟)设M是△ABC所在平面上的一点，MB＋MA＋MC＝0，D是AC的中点，tMB
＝DM，则实数t的值为( )
A. B．
C．2 D．1
解析：选B 因为D是AC的中点，所以MA＋MC＝2MD，又因为MB＋MA＋MC＝0，所以MB＋(MA＋
MC)＝MB＋MD＝0，所以MB＝DM，因为tMB＝DM，所以t＝.
2.(多选)如图所示，在△ABC中，D是AB的中点，下列关于向量CD表示不
正确的是( )
A．CD＝CA＋DB B．CD＝BC＋DA
C．CD＝AB＋AC D．CD＝CA＋CB
解析：选BC 对于A，因为D是AB的中点，所以AD＝DB，
因为CD＝CA＋AD，所以CD＝CA＋DB，所以A正确；
对于B，由三角形法则得，CD＝CB＋BD＝CB＋DA＝－BC＋DA，所以B不正确；
对于C，CD＝CA＋AD＝AB－AC，所以C不正确；
对于D，因为D是AB的中点，所以CD＝CA＋CB，
所以D正确．
3．在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P，若AP＝xAB＋yAF，则x＋y＝
________.
解析：如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，易证四
边形OBCD为菱形且P恰为其中心．
∴FP＝FO＝AB，∴AP＝AF＋FP＝AF＋AB，
∵AP＝xAB＋yAF，∴x＝，y＝1，∴x＋y＝.
答案：
考点三 共线向量定理的应用
[典例] (1)已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，
则λ，μ的关系一定成立的是( )
A．λμ＝1 B．λμ＝－1
C．λ－μ＝－1 D．λ＋μ＝2
(2)(2021·石家庄模拟)设e 与e 是两个不共线向量，AB＝3e ＋2e ，CB＝ke ＋e ，CD＝3e －
1 2 1 2 1 2 1
2ke，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
2
[解析] (1)∵AB与AC有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使AB＝tAC，即λa
＋b＝ta＋μtb，则消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，AB＝a＋b，此时存在实数使AB＝AC，
故AB和AC共线．∵AB与AC有公共点A，∴A，B，C三点共线．故选A.
(2)由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB＝λBD.
又AB＝3e＋2e，CB＝ke＋e，CD＝3e－2ke，
1 2 1 2 1 2
所以BD＝CD－CB＝3e－2ke－(ke＋e)
1 2 1 2
＝(3－k)e－(2k＋1)e，
1 2
所以3e＋2e＝λ(3－k)e－λ(2k＋1)e，
1 2 1 2
又e 与e 不共线，
1 2
所以解得k＝－.
[答案] (1)A (2)－
[方法技巧] 平面向量共线定理的3个应用
证明向
若存在实数λ，使a＝λb，则a与非零向量b共线
量共线
证明三
若存在实数λ，使AB＝λAC，AB与AC有公共点A，则A，B，C三点共线
点共线
求参数
利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值
的值
[针对训练]
1．(2021·南京、盐城模拟)已知向量a＝(1,3)，b＝(m,6)，若a∥b，则m＝________.
解析：因为a∥b，所以3×m＝6×1，解得m＝2.
答案：2
2．设两个非零向量a与b不共线．
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．解：(1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，
∴AB，BD共线，又它们有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量，
∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.
一、创新思维角度——融会贯通学妙法
结论“OP＝mOA＋nOB (m，n∈R)，m＋n＝1⇔A，P，B三点共线”的妙用．
1.如图，在△ABC中，AN＝AC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实
数m的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 注意到N，P，B三点共线，
因此AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，
从而m＋＝1，所以m＝.
2．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC＝
λOA＋μOB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，] D．(－1,0)
解析：选B 设OC＝mOD，则m>1，
因为OC＝λOA＋μOB，
所以mOD＝λOA＋μOB，
即OD＝OA＋OB.
又知A，B，D三点共线，
所以＋＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1，故选B.
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．已知平面上点O与线段AB，若线段AB上有n(n＞1)个异于端点A，B的互异动点P ，
1
P，…，P ，且满足OPK＝λ OA＋μ OB，λ ，μ ∈R,1≤K≤n，K∈Z，则(λλ…λ )·(μμ…μ )的取值
2 n K K K K 1 2 n 1 2 n
范围是( )
A．(0，) B．(0，)
C．(0，] D．[，＋∞)解析：选B 因为()2－ab＝＝≥0，
所以ab≤()2对任意a，b∈R均成立，并且当且仅当a＝b时等号成立．
由于P ，A，B共线，所以λ ＋μ ＝1，
K K K
由于P 在线段AB上且异于端点A，B，结合OPK＝λ OA＋μ OB以及平行四边形法则可知λ ＞
K K K K
0，μ ＞0.若λ ＝μ ＝，此时P 为线段AB的中点，仅有1点，但n＞1，所以0＜(λλ…λ )
K K K K 1 2 n
(μμ…μ )＝(λμ)·(λμ)……(λ μ )＜()2·()2·…·()2＝，故选B.
1 2 n 1 1 2 2 n n
2.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算
经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得
到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．
类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中
间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，则( )
A．AD＝AC＋AB B．AD＝AC＋AB
C．AD＝AC＋AB D．AD＝AC＋AB
解析：选C 由题意知AD＝3AF，CF＝3CE，BE＝3BD，
则AD＝3AF＝3(AC＋CF)＝3AC＋9CE＝3AC＋9CB＋9BE
＝3AC＋9(AB－AC)＋27BD
＝－6AC＋9AB＋27(AD－AB)
＝－6AC－18AB＋27AD，
所以AD＝AC＋AB.
3.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借
景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗
的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．如图，在平面
直角坐标系xOy中，O为正八边形PP…P 的中心，PP⊥x轴，现用
1 2 8 1 8
如下方法等可能地确定点 M：点 M 满足 2OM＋OPi＋OPj＝0(其中
1≤i，j≤8且i，j∈N*，i≠j)，则点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选D 由题意可知OPi＋OPj所有可能结果有：
OP1＋OP2，OP1＋OP3，OP1＋OP4，OP1＋OP5，OP1＋OP6，OP1＋OP7，OP1＋OP8，OP2＋OP3，OP2＋
OP4，OP2＋OP5，OP2＋OP6，OP2＋OP7，OP2＋OP8，OP3＋OP4，OP3＋OP5，OP3＋OP6，OP3＋OP7，
OP3＋OP8，OP4＋OP5，OP4＋OP6，OP4＋OP7，OP4＋OP8，OP5＋OP6，OP5＋OP7，OP5＋OP8，OP6＋
OP7，OP6＋OP8，OP7＋OP8，共有28种．
点M(异于点O)落在坐标轴上的结果有：OP1＋OP4，OP1＋OP8，OP2＋OP3，OP2＋OP7，OP3＋
OP6，OP4＋OP5，OP5＋OP8，OP6＋OP7，共有8种，
所以点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为P＝＝.故选D.一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使＝成立的充要条件
是( )
A．a∥b B．θ＝0
C．a＝2b D．θ＝π
解析：选BC ＝等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故B正确．对于选项C，a＝2b，
则a与b同向共线，故C正确．
2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝( )
A．AD B．AD
C.BC D．BC
解析：选A 由题意得EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝(AB＋AC)＝AD.
3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
解析：选B 对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；
对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a
是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
4.如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )
A．0 B．BE
C．AD D．CF
解析：选D 由题图知BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝CB＋BF＝CF.
5．在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝( )
A．－ B．－1
C. D．－
解析：选D 如图，延长BO交AC于点M，∵点O为△ABC的重心，∴M
是AC的中点，
∴BO＝BM＝
＝BA＋BC＝－AB＋(AC－AB)
＝－AB＋AC，
又BO＝λAB＋μAC，∴λ＝－，μ＝，
∴λ－2μ＝－，故选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的值为(
)
A．5 B．3C. D．2
解析：选C ∵a，b是非零向量，且互相垂直，
∴4a＋5b≠0，m≠0.
∵m，n共线，∴n＝μm，即2a＋λb＝μ(4a＋5b)，
∴解得λ＝.
2．设平面向量a，b不共线，若AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
解析：选A ∵AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴AD＝AB＋BC＋CD＝(a＋5b)＋(－2a
＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2AB，∴AD与AB共线，即A，B，D三点共线．
3．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
解析：选B 因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上．
4．(多选)在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC的中点，P是 AE与BF的交点，则有(
)
A．AE＝AB＋AC B．AB＝2EF
C．CP＝CA＋CB D．CP＝CA＋CB
解析：选AC 如图，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝(AC＋AB)，A是正确的；因为EF
是中位线，所以AB＝2FE，B是错误的；设AB的中点为G，则根据三角形
重心性质知，CP＝2PG，所以CP＝CG＝× ＝，所以C是正确的，
D错误．
5．设向量a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的
值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B 因为BC＝a＋b，CD＝a－2b，所以BD＝BC＋CD＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，
所以AB，BD共线．设AB＝λBD，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.
6．(多选)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2,1)，OC＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，
则实数t可以为( )
A．－2 B．
C．1 D．－1
解析：选ABD 若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，故向量AB，BC不共线．由于向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2,1)，OC＝(t＋3，t－8)，故AB＝OB－OA＝(－3,4)，BC＝OC－OB＝(t
＋5，t－9)，若A，B，C三点不共线，则－3(t－9)－4(t＋5)≠0，∴t≠1.
7．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选A 由OA＋OB＋CO＝0，得OA＋OB＝OC，由O是△ABC外接圆的圆心，结合向量加法
的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°，选A.
8．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为(
)
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
解析：选B 由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－
1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.
9．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD＝AB＋AC，则＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B 如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线上，
且在靠近BC边的三等分点处，从而有S ＝S ，S ＝ S ，
△ABD △ABC △ACD △ABC
S ＝S ＝S ，所以＝.
△BCD △ABC △ABC
10.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正
六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向量OA 相 等 的 向 量 有
________个．
解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与 向量OA相等的向量
有CB，DO，EF，共3个．
答案：3
11.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且AD＋AE＝xAB＋yAC，
则＋的最小值为________．
解析：易知x，y均为正数，
设AD＝mAB＋nAC，AE＝λAB＋μAC，∵B，C，D共线，∴m＋n＝1，同理，λ＋μ＝1.
∵AD＋AE＝xAB＋yAC＝(m＋λ)AB＋(n＋μ)AC，
∴x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2.
∴＋＝(x＋y)＝≥＝，当且仅当y＝2x时等号成立，则＋的最小值为.
答案：
12．在△ABC中，P为BC的中点，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cAC＋aPA＋bPB＝0，
则△ABC的形状为________．
解析：∵在△ABC中，P为BC的中点，∴PA＝－(AB＋AC)，
又∵cAC＋aPA＋bPB＝0，PB＝CB＝(AB－AC)，
∴cAC－a(AB＋AC)＋b(AB－AC)＝0，
∴AC－AB＝0，
即AC＝AB，
又AB，AC 不共线，∴解得a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
13．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝
AD＋μAB，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，∴AB＝2DC.
∵点E在线段CD上，
∴DE＝λDC (0≤λ≤1)．
∵AE＝AD＋DE，
又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，
∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，
即μ的取值范围是.
答案：
14．如图，O，A，B三点不共线，OC＝2OA，OD＝3OB，设OA＝a，OB＝
b.
(1)试用a，b表示向量OE；
(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明：L，M，N
三点共线．
解：(1)∵B，E，C三点共线，
∴OE＝xOC＋(1－x)OB＝2xa＋(1－x)b，①
同理，∵A，E，D三点共线，可得OE＝ya＋3(1－y)b，②
由①②，得解得x＝，y＝，
∴OE＝a＋b.
(2)证明：∵OL＝，OM＝OE＝，
ON＝(OC＋OD)＝，∴MN＝ON－OM＝，ML＝OL－OM＝，
∴MN＝6ML，
又∵MN与ML有公共点M，∴L，M，N三点共线．
15．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a
＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存在，请
说明理由．
解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的充要
条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
