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高考热点——应用动能定理和机械能守恒
定律解决力学综合问题
【教材原题】(人教版必修2〈问题与练
习〉·P ·T ) 【迁移深化2】 改变条件和情境
80 2
2.(2016·全国卷Ⅱ，25)轻质弹簧原长为
2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端
将一质量为5m的物体由静止释放，当
弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现
将该弹簧水平放置，一端固定在A点，
游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上 另一端与物块P接触但不连接。AB是长
运行，游客却不会掉下来(图7.9－4)。我
度为5l的水平轨道，B端与半径为l的
们把这种情形抽象为图7.9－5 的模型：
光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径
弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使
BD竖直，如图2所示。物块P与AB间
小球从弧形轨道上端滚下，小球进入圆
的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动物块
轨道下端后沿圆轨道运动。实验发现，
P，将弹簧压缩至长度l，然后放开P开
只要h大于一定值，小球就可以顺利通
始沿轨道运动，重力加速度大小为g。
过圆轨道的最高点。如果已知圆轨道的
半径为R，h至少要等于多大？不考虑 (1)若P的质量为m，求P到达B点时速
摩擦等阻力。 度的大小，以及它离开圆轨道后落回到
AB上的位置与B点之间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道
滑下，求P的质量的取值范围。
图2
【迁移深化1】 改变获得速度的方 【迁移深化3】 改变条件和情境法
3.(2018·全国卷Ⅲ，25)如图3，
在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧
1.如图1所示，在竖直面内有一光滑水 轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，
平直轨道与半径为R＝0.25 m的光滑半 BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA
圆形轨道在半圆的一个端点B相切，半 和OB之间的夹角为α，sin α＝。一质量
圆轨道的另一端点为C。在直轨道上距 为m的小球沿水平轨道向右运动，经A
B为x(m)的A点，有一可看作质点、质 点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨
量为m＝0.1 kg的小物块处于静止状 道；在整个过程中，除受到重力及轨道
态。现用水平恒力将小物块推到B处后 作用力外，小球还一直受到一水平恒力
撤去恒力，小物块沿半圆轨道运动到C 的作用。已知小球在C点所受合力的方
处后，恰好落回到水平面上的A点，取g 向指向圆心，且此时小球对轨道的压力
＝10 m/s2。求： 恰好为零。重力加速度大小为g。求
(1)水平恒力的大小和小球到达C点时
速度的大小；
(2)小球到达A点时动量的大小；
(3)小球从C点落至水平轨道所用的时
间。
图1
(1)水平恒力对小物块做功W 与x的关
F
系式；
(2)水平恒力做功的最小值。
图3
【教材原题】
解析 小球刚好通过圆形轨道最高点时需满足
mg＝①
小球从开始下落到圆形轨道最高点，由机械能守恒定律得mgh＝m ＋mg·2R②
v结合①②得h＝2.5R
答案 2.5R
【迁移深化】
1．解析 小物块从C到A的运动是平抛运动。
(1)设小球在C处的速度为 ，则由C到A有
vC
x＝ t，y＝2R＝gt2。
vC
由以上两式得 ＝。
v
小球从A到C有W －2mgR＝m ，
F v
解得W ＝mg(2R＋)＝(0.5x2＋0.5) J。
F
(2)当W 最小时，物块刚好能够通过C点，
F
此时mg＝。
由C到A仍做平抛运动，所以 ＝仍成立。
v
由以上两式得 x＝2R。代入公式可求得恒力做功的最小值为 W ＝(0.5＋
Fmin
0.5×4×0.252) J＝0.625 J。
答案 (1)(0.5x2＋0.5) J (2)0.625 J
2．解析 (1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动
能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律知，弹簧长度为l
时的弹性势能为E ＝5mgl①
p
设P到达B点时的速度大小为 ，由能量守恒定律得
vB
E ＝m ＋μmg(5l－l)②
p v
联立①②式，并代入题给数据得
＝③
vB
若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小 应满足
v
－mg≥0④
设P滑到D点时的速度为 ，由机械能守恒定律得
vD
m ＝m ＋mg·2l⑤
v v
联立③⑤式得 ＝⑥
vD
满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度 水平射出。设P落回到
vD vD
轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝gt2⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为s＝ t⑧
vD
联立⑥⑦⑧式得
s＝2l⑨
(2)设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由
①②式可知
5mgl>μMg·4l⑩
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。
由机械能守恒定律有
M ′2≤Mgl○
vB
E ＝M ′2＋μMg·4l○
p vB
联立①⑩○○式得
m≤M
