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第八章 解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
核心素养立意下的命题导向
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素，凸显直观想象的核心
素养．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，凸显数学运算的核
心素养．
3．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截
式与一次函数的关系，凸显数学抽象的核心素养．
[理清主干知识]
1．直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角 直线的斜率
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作 当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的
为基准，x轴正向与直线l向上方向之 正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜
定
间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当 率通常用小写字母 k 表示，即 k＝
义
直线l与x轴平行或重合时，规定它的 tan_α；经过两点P(x ，y)，P(x ，y)
1 1 1 2 2 2
倾斜角为0° (x≠x)的直线的斜率公式为k ＝
1 2 P1P2
区 直线l垂直于x轴时，直线l的倾斜角 直线l垂直于x轴时，直线l的斜率不存
别 是90°；倾斜角的取值范围为 [0 ， π) 在；斜率k的取值范围为R
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系；
联
(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l
系
的斜率越大
2．直线方程的五种形式形式 几何条件 方程 适用范围
点斜式 过一点(x，y)，斜率k y － y ＝ k ( x － x) 与x轴不垂直的直线
0 0 0 0
斜截式 纵截距b，斜率k y ＝ kx ＋ b 与x轴不垂直的直线
与x轴、y轴均不垂直的
两点式 过两点(x，y)，(x，y) ＝
1 1 2 2
直线
不含垂直于坐标轴和过原
截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1
点的直线
Ax＋By＋C＝0，A2＋ 平面直角坐标系内所有直
一般式
B2≠0 线
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(求倾斜角)直线x－y＋a＝0的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
答案：B
2．(点斜式方程)经过点P(2，－3)，倾斜角为45°的直线方程为( )
0
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
解析：选D 由点斜式得直线方程为y－(－3)＝tan 45°(x－2)＝x－2，即x－y－5＝0.
3．(斜截式方程)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
答案：D
4．(直线的斜率)过点M(－1，m)，N(m＋1,4)的直线的斜率等于1，则m的值为________．
答案：1
二、易错点练清
1．(忽视倾斜角的范围)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.∪
解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是.
2．(忽视斜率公式中x≠x)已知经过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l的倾斜
1 2
角为135°，则m的值为________．
答案：
3．(忽视截距为0的情况)过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
________________．
解析：①若直线过原点，则k＝－，
所以y＝－x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点．设＋＝1，即x＋y＝a.
则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.
答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
考点一 直线的倾斜角与斜率
[典例] (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)(2021年1月新高考八省联考卷)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的
两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.
[解析] (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2·cos α∈[1， ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， ]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
(2)设一条边所在直线的倾斜角为α，由tan＝2，解得tan α＝，所以正方形两条邻边所在直线
的斜率分别为，－3.
[答案] (1)B (2) －3
[方法技巧]
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围．
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是
否存在．
2．斜率取值范围的2种求法
数形 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单
结合法 调性确定
函数
根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
图象法
[针对训练]
1．(2021·湖南八校联考)“a<－1”是“直线ax＋y－1＝0的倾斜角大于”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 设直线ax＋y－1＝0的倾斜角为θ，则tan θ＝－a，∵直线ax＋y－1＝0的倾斜
角大于.
∴－a>1或－a<0，解得a<－1或a>0.
∴a<－1是直线ax＋y－1＝0的倾斜角大于的充分不必要条件．
2．(多选)如图，直线l，l，l 的斜率分别为k，k，k，倾斜角分别为α，α，
1 2 3 1 2 3 1 2
α，则下列选项正确的是( )
3
A．kk>0，k<0，故>α>α>0，且α 为钝角，故选A、D.
2 3 1 2 3 1
考点二 求直线的方程
[典例] 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点B(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
[解] (1)设直线l在x轴，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，
所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，设l的方程为＋＝1，
因为l过点(4,1)，所以＋＝1，
所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，所求直线的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.
又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．
故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
[方法技巧] 求解直线方程的2种方法
根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直
直接法
线方程
待定 ①设所求直线方程的某种形式；
系数法 ②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；
④把参数的值代入所设直线方程
[针对训练]
1．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线的方程．
解：设所求直线的方程为＋＝1.
∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.①
又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程组(2)无解．
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．
2．已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC边所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，
由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC边的中点D的坐标为(x，y)，
则x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，
由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，
即2x－3y＋6＝0.
(3)由(1)知直线BC的斜率k＝－，
1
则直线BC的垂直平分线DE的斜率k＝2.
2
由(2)知点D的坐标为(0,2)．
可求出直线的点斜式方程为y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
考点三 直线方程的综合应用
[典例] 直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，
当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．
[解] 法一：依题意，l的斜率存在，且斜率为负，
设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．
令y＝0，可得A；
令x＝0，可得B(0,4－k)．
|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－＝5＋≥5＋4＝9.
当且仅当－k＝且k<0，
即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．
此时l的方程为2x＋y－6＝0.
法二：设直线l与x轴、y轴的交点坐标分别为A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为＋
＝1.
∵直线l过点P(1,4)，∴＋＝1，
∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)
＝5＋＋≥5＋2 ＝9，
当且仅当＝，即时“＝”成立．
|OA|＋|OB|取最小值，此时l的方程为＋＝1，即2x＋y－6＝0.
[方法技巧]
与直线方程有关问题的常见类型及解题策略
(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求
解最值．
(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．
(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或
基本不等式求解．
[针对训练]
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S
的最小值并求此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经
过第四象限，则必须有解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0,1＋2k)．
依题意得解得k＞0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k＞0且4k＝，即k＝，
∴S ＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
min
创新思维角度——融会贯通学妙法
妙用直线的斜率解题
应用(一) 比较大小
[例1] 已知函数f(x)＝log (x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系为________________．
2
[解析] 作出函数f(x)＝log (x＋1)的大致图象，如图所示，可知当x>0时，
2
曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0，
所以<<.
[答案] <<
[名师微点]
有关的式子比较大小时，一般数形结合利用直线的斜率解题．
应用(二) 求解点共线问题
[例2] 已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点共线，则a＝________，b＝________.
[解析] 因为A，B，C，D四点共线，所以直线AB，AC，AD的斜率相等，又因为k ＝2，k
AB AC
＝，k ＝，所以2＝＝.所以a＝4，b＝－3.
AD
[答案] 4 －3
[名师微点]
若直线AB，AC的斜率相等，则A，B，C三点共线，反过来，若A，B，C三点共线，则直线AB，
AC的斜率相等或都不存在．
应用(三) 求参数的取值范围
[例3] 已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线
段PQ有交点，求实数m的取值范围．
[解] 如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，
k ＝，k ＝－2，k＝－.结合图象知，若直线l与PQ有交点，应满足
QA PA l
－≤－2或－≥.解得00.求证：>.
[证明]
设A(b，a)，因为00，所以设点P(－p，－p)在第三象限，且在直线y＝x上．
因为k ＝，k ＝，由图可知k >k ，
OA PA PA OA
所以>.
[名师微点]
观察不等式的两边，都可构造与斜率公式类似的结构.＝的几何意义就是点(b，a)与点(－p，－
p)的连线的斜率，可看成(b，a)与原点O(0,0)的连线的斜率．
一、基础练——练手感熟练度
1．直线l的方程为 x＋3y－1＝0，则直线l的倾斜角为( )
A．150° B．120°
C．60° D．30°
解析：选A 由直线l的方程为x＋3y－1＝0可得直线l的斜率为k＝－，设直线l的倾斜角
为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－，所以α＝150°.故选A.
2．过点A(0,2)且倾斜角的正弦值是的直线方程为( )
A．3x－5y＋10＝0
B．3x－4y＋8＝0
C．3x＋4y＋10＝0D．3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0
解析：选D 设所求直线的倾斜角为α，则sin α＝，∴tan α＝±，∴所求直线方程为y＝±x＋
2，即为3x－4y＋8＝0或3x＋4y－8＝0.故选D.
3．在同一平面直角坐标系中，直线l：ax＋y＋b＝0和直线l：bx＋y＋a＝0有可能是( )
1 2
解析：选B 由题意l：y＝－ax－b，l：y＝－bx－a，当a＞0，b＞0时，－a＜0， －b
1 2
＜0.选项B符合．
4．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l
的方程为( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝x＋ D．y＝－x＋2
解析：选A ∵直线x－2y－4＝0的斜率为，
∴直线l在y轴上的截距为2，
∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.
5．已知直线l经过A(2,1)，B(1，m2)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
解析：选B 直线l的斜率k＝＝1－m2，因为m∈R，所以k∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的
取值范围是∪.
6．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)ex＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直
线l的横截距为________．
解析：因为f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，所以切线l的斜率为f′(1)＝e，由f(1)＝3e知切点坐标
为(1,3e)，所以切线l的方程为y－3e＝e(x－1)．令y＝0，解得x＝－2，故直线l的横截距为－
2.
答案：－2
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知三点A(2，－3)，B(4,3)，C在同一条直线上，则k的值为( )
A．12 B．9
C．－12 D．9或12
解析：选A 由k ＝k ，得＝，
AB AC
解得k＝12.故选A.2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l
的斜率为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得从而可知直线l的斜率为＝－.故选B.
3．过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是( )
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
解析：选A ∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角为－
＝，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.
4．若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(－1,2) D．(－1，－2)
解析：选A 因为k，－1，b三个数成等差数列，所以k＋b＝－2，即b＝－2－k，于是直线方
程化为y＝kx－k－2，即y＋2＝k(x－1)，故直线必过定点(1，－2)．
5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心
到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC
的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为( )
A．x＋2y＋3＝0 B．2x＋y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0
解析：选C 因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为
(1,2)，k ＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.
AB
6．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k的取值范围是(
)
A.
B.
C．(－∞，－1)∪
D．(－∞，－1)∪
解析：选D 设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－.令
－3＜1－＜3，解不等式得k＜－1或k＞.
7．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(
)
A．[－2,2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2,0)∪(0,2] D．(－∞，＋∞)
解析：选C 令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，
所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，因为b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．
8．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是( )
A．直线l恒过定点(0,1)
B．当m＝0时，直线l的斜率不存在
C．当m＝1时，直线l的倾斜角为
D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直
解析：选CD 直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点(0， －
1)，选项A错误；
当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；
当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为，选项C正确；
当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，k ＝＝，故k·k ＝－1，故直线l与直线AB
AB AB
垂直，选项D正确．
9．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段 AB没有交点，则a的取值范围是(
)
A.∪
B.
C.
D.∪
解析：选B 易知直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a.
因为k ＝＝－，
MA
k ＝＝，
MB
由图可知－a＞－且－a＜，所以a∈.
10．(2021·河北七校联考)直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x，y轴上的截距和最
小时，实数a的值是( )
A．1 B.
C．2 D．3
解析：选D 当x＝0时，y＝a＋3，当y＝0时，x＝，
令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.
因为a＞1，所以a－1＞0.
所以t≥5＋2 ＝9.
当且仅当a－1＝，
即a＝3时，等号成立．
11．过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的一般方程为____________________．
解析：①当在坐标轴上截距为0时，所求直线方程为y＝－2x，即2x＋y＝0；
②当在坐标轴上截距不为0时，
∵在坐标轴上截距互为相反数，∴设x－y＝a，将A(－2,4)代入得，a＝－6，∴此时所求的直线方程为x－y＋6＝0.
答案：2x＋y＝0或 x－y＋6＝0
12．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为
____________．
解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k
＝－，故BC边上的中线所在直线方程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.
答案：x＋13y＋5＝0
13．曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为____________．
解析：记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，
因为y′＝3x2－1≥－1，所以tan θ≥－1，
所以θ为钝角时，应有θ∈；
θ为锐角时，tan θ≥－1显然成立．
综上，θ的取值范围是∪.
答案：∪
14．若过点P(1－a,1＋a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值
范围是________．
解析：设直线的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tan α＝＝，又α为钝角，所以<0，即(a－1)·(a＋
3)<0，故－3
