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第三章 导数及其应用
第一节 导数的概念及运算
核心素养立意下的命题导向
1.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．
2．与曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率lim ＝lim 为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)
0 0 0
或y′| ，即f′(x)＝lim ＝lim .称函数f′(x)＝lim 为f(x)的导函数．
x＝x0 0
2．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数
f(x)＝c f(x)＝xα
f′(x)＝ f′(x)＝ α x α － 1
(c为常数) (α∈Q*)
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝ － sin _x
f(x)＝ax
f(x)＝ex f′(x)＝ f′(x)＝ a x ln _a
(a>0，a≠1)
f(x)＝log x
a
f(x)＝ln x f′(x)＝ f′(x)＝
(a>0，a≠1)
3．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x，y)处的切线的斜率．
0 0 0 0
相应地，切线方程为 y － y ＝ f ′ ( x )( x － x ) ． 特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x，y)处的切线垂
0 0 0 0 0
直于x轴，则此时导数f′(x)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x.
0 0
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y ′ · u ′，即y对
x u x
x的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(商的导数)若函数f(x)＝(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝( )A. B.
C．1＋x D．1－x
答案：B
2．(导数的运算)已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x)＝4，则x＝________.
0 0
解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x)＝－8＋4x＝4，解得x＝3.
0 0 0
答案：3
3．(求切线方程)曲线 y＝log x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于
2
________．
解析：∵y′＝，∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y＝(x－1)，∴所求三角形的面积S＝×1×
＝＝log e.
2
答案：log e
2
4．(已知切线求参数)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程
为2x－y＝0，则a＋b＝________.
解析：由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方
程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.
答案：4
二、易错点练清
1．(多选·混淆求导公式)下列导数的运算中正确的是( )
A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.′＝ D．(sin xcos x)′＝cos 2x
解析：选ABD 因为′＝，所以C项错误，其余都正确．
2．(混淆点P处的切线和过P点的切线)函数f(x)＝x2＋的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(
)
A．x－y＋1＝0 B．3x－y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：选A 函数f(x)＝x2＋的导数为f′(x)＝2x－，
可得图象在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝2－1＝1，
切点为(1,2)，
可得图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.故选A.
考点一 导数的运算
[典题例析]
(1)设f(x)＝x(2 020＋ln x)，若f′(x)＝2 021，则x 等于( )
0 0
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e(2)(2021·日照质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(
)
A．－e B．1
C．－1 D．e
(3)函数f(x)＝xsincos，则其导函数f′(x)＝________________.
[解析] (1)f′(x)＝2 020＋ln x＋1＝2 021＋ln x，由f′(x)＝2 021，得2 021＋ln x ＝ 2
0 0
021，则ln x＝0，解得x＝1.
0 0
(2)由题可得f′(x)＝2f′(1)＋，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，故选C.
(3)∵f(x)＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴f′(x)＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
[答案] (1)B (2)C (3)－sin 4x－2xcos 4x
[方法技巧]
1．导数运算的常见形式及其求解方法
连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导
分式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
对数形式 先化为和、差的形式，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
2．解决解析式中含有导数值问题的策略
解决解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x)g(x)＋h(x)(x 为常数)的函数问
0 0
题的关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解，即先求导数f′(x)，然后令x＝x，即可得到
0
f′(x)的值，进而得到函数解析式，最后求得所求导数值．
0
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数为f′(x)，若f′(2)＝2，则实数a的值为( )
A. B．
C. D．1
解析：选B 因为f′(x)＝，所以f′(2)＝＝2，解得a＝.故选B.
2．(2021·长沙一模)等比数列{a }中，a＝2，a＝4，函数f(x)＝x(x－a)(x－a)…(x－a)，则
n 1 8 1 2 8
f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
解析：选C f′(x)＝(x－a)(x－a)…(x－a)＋x[(x－a )(x－a )·…·(x－a )]′，所以f′(0)＝
1 2 8 1 2 8aaa…a＝(aa)4＝(2×4)4＝212.故选C.
1 2 3 8 1 8
3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.
答案：－4
考点二 导数的几何意义
考法(一) 求切线方程
[例1] 已知函数f(x)＝x2.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求经过点P(－1,0)的曲线f(x)的切线方程．
[解] (1)∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴f′(1)＝2，又f(1)＝1，
∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)设切点坐标为(x，x)．
0
∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x(x＋1)，
0 0 0
又∵切点(x，x)在切线上，
0
∴代入切线方程得x＝2x(x＋1)，
0 0
即x＋2x＝0，解得x＝0或x＝－2.
0 0 0
∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，
即y＝0或4x＋y＋4＝0.
[方法技巧]
求切线方程问题的2种类型及方法
(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x，y)处的切线方程：
0 0
点P(x，y)为切点，切线斜率为k＝f′(x)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y＝f′
0 0 0 0
(x)(x－x)．
0 0
(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x，y)的切线方程：
0 0
切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键
是设切点，利用“待定切点法”求解，即：
①设切点A(x，y)，则以A为切点的切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)；
1 1 1 1 1
②根据题意知点P(x，y)在切线上，点A(x，y)在曲线y＝f(x)上，得到方程组求出切点A(x，
0 0 1 1 1
y)，代入方程y－y＝f′(x)(x－x)，化简即得所求的切线方程．
1 1 1 1
考法(二) 求参数值或范围
[例2] 已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(
)A. B．(3，＋∞)
C. D．(0,3)
[解析] 由题得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的正解，
令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，
则由图象可知，有g(0)>0且Δ>0，
即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得3<a<.故选A.
[答案] A
[方法技巧]
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等
式(组)，进而求出参数的值或取值范围．
[提醒] (1)注意曲线上横坐标的取值范围；
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
考法(三) 导数的几何意义与函数图象
[例3] 已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝
f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则
g′(3)＝________.
[解析] 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，
∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)．
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
[答案] 0
[方法技巧]
函数图象与导数的关系
(1)导数的几何意义：切线的斜率就是函数在切点处的导数．
(2)切线斜率的变化对函数图象的影响：函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函
数图象在相应点处的变化情况，|f′(x)|越大，曲线f(x)的形状越陡，f′(x)＞0，曲线上升；f′
(x)＜0，曲线下降．
[针对训练]
1．若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．e解析：选C 令y＝f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1，
∵f(0)＝1，∴曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.
设切线y＝x＋1与曲线y＝ln x＋b的切点坐标为(m，m＋1)，
∵y′＝，∴y′| ＝＝1，
x＝m
∴m＝1，∴切点坐标为(1,2)，∴2＝ln 1＋b，∴b＝2.
2．(多选)(2021·青岛模拟)若直线y＝x＋b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是(
)
A．f(x)＝ B．f(x)＝x4
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex
解析：选BCD 直线y＝x＋b的斜率为k＝，由f(x)＝的导数为f′(x)＝－，即切线的斜率小
于0，故A不正确；由f(x)＝x4的导数为f′(x)＝4x3，而4x3＝，解得x＝，故B正确；由f(x)＝
sin x的导数为f′(x)＝cos x，而cos x＝有解，故C正确；由f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，而ex
＝，解得x＝－ln 2，故D正确，故选B、C、D.
3．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b＝________.
解析：由题意知，y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，
则
由此解得k＝2，a＝－1，b＝3，∴2a＋b＝1.
答案：1
4.已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它
们在同一直角坐标系内的图象如图所示．
(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝________.
(2)设函数 h(x)＝f(x)－g(x)，则 h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为
____________(用“＜”连接)．
解析：(1)由题图可得f′(x)＝x，g′(x)＝x2，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝x，
g′(x)＝3dx2＋2ex＋m＝x2，
故a＝，b＝0，d＝，e＝m＝0，
∴f(x)＝x2＋c，g(x)＝x3＋n.
由f(1)＝1，得c＝.
则f(x)＝x2＋，∴f(－1)＝1.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋c－n，
则有h(－1)＝＋c－n，
h(0)＝c－n，h(1)＝＋c－n.
故h(0)＜h(1)＜h(－1)．答案：(1)1 (2)h(0)＜h(1)＜h(－1)
一、创新命题视角——学通学活巧迁移
导数的几何意义与其他知识相交汇
题型(一) 与圆相交汇
[例1] 曲线f(x)＝－x3＋3x2在点(1，f(1))处的切线截圆x2＋(y＋1)2＝4所得的弦长为( )
A．4 B．2 C．2 D.
[思路点拨] 先对函数f(x)求导，从而得其在点(1，f(1))处的切线的斜率，求出切线方程；再求
出圆x2＋(y＋1)2＝4的圆心与半径，求出圆心到切线的距离，从而得弦长．
[解析] 因为f′(x)＝－3x2＋6x，则在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝6－3＝3，又f(1)＝2，故
切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.
因为圆心C(0，－1)到直线3x－y－1＝0的距离d＝0，
所以直线3x－y－1＝0截圆x2＋(y＋1)2＝4所得的弦长就是该圆的直径4，故选A.
[答案] A
[名师微点]
求解曲线的切线与圆相交汇问题的关键
一是求切线方程，即利用导数的几何意义求曲线的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，
求出切线的方程；
二是活用公式，即利用点到直线的距离公式求出弦心距，再利用弦长公式l＝2(其中r为圆的
半径，d为弦心距)求出弦长．
题型(二) 与距离最值问题相交汇
[例2] 设点P，Q分别是曲线f(x)＝x2－ln x和直线x－y－2＝0上的动点，则P，Q两点间距
离的最小值为________．
[思路点拨] 欲求P，Q两点间距离的最小值，只需求直线l 与直线x－y－2＝0的距离(其中
1
l 是曲线f(x)＝x2－ln x在点P处的切线，且与x－y－2＝0平行)．
1
[解析] 设l 是曲线f(x)＝x2－ln x在点P(x，y)处的切线，且平行于直线x－y－2＝0.
1 1 1
因为f′(x)＝2x－，所以2x－＝1，
1
解得x＝1或x＝－(舍去)，所以y＝1.
1 1 1
所以l 的方程为x－y＝0，
1
所以两平行直线x－y＝0，x－y－2＝0的距离为d＝＝，
所以P，Q两点间距离的最小值为.
[答案]
[名师微点]求解曲线上动点与直线上动点距离的最值问题的关键
一是会转化，把所求的两动点距离的最值问题转化为两平行直线间的距离问题；
二是会求切线方程，即利用导数的几何意义求曲线的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，
求出切线方程；
三是活用公式，即会利用两平行直线的距离公式求出两平行直线间的距离．
题型(三) 零点个数问题
[例3] 已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范
围是________．
[思路点拨] f(x)＝ax有两个不同的实数根，即函数f(x)与y＝ax的图象有两个不同交点．
f(x)的图象容易作出，y＝ax的图象是一条过原点的直线，找到有两个交点的临界状态即可．
[解析] 如图所示，作出f(x)与y＝ax的图象，显然a>0.
当直线y＝ax与f(x)＝ln x(x＞1)相切时，
设切点为(x，ln x)(x＞1)，此时a＝f′(x)＝，
0 0 0 0
由于切点在直线y＝ax上，则ln x＝·x＝1，
0 0
得x＝e，则a＝.
0
当直线y＝ax与f(x)＝x＋1(x≤1)平行时，
a＝，此时y＝f(x)与y＝ax的图象有两个交点．
当0<a<时，y＝ax与函数f(x)＝ln x(x＞1)的图象一定有两个交点，只要保证 y＝ax与函数
f(x)＝x＋1(x≤1)的图象无交点即可．
显然当0＜a＜时，y＝ax与函数f(x)＝x＋1(x≤1)的图象有1个交点，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是.
[答案]
[名师微点]
解答此题时，可直接说明当0＜a＜时，y＝ax与函数f(x)＝ln x(x＞1)的图象一定有两个交点，
因为本题为填空题，此处直接说明，原因是对数函数f(x)＝ln x和一次函数的图象是我们非
常熟悉的、能够明确作出的图形，并且我们知道对数函数f(x)＝ln x的增速是越来越慢的，图
象越来越趋近于平缓，而一次函数的图象的增速保持不变，能够“想象”出当0＜a＜时，y＝
ax的图象一定能“穿过”f(x)＝ln x(x＞1)的图象．实际上这也是能够证明出来的，而本题是
小题，不宜“小题大做”，在明知正确的前提下可省略步骤．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．(2021·沈阳模拟)在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间变化的函数为R(t)．若圆柱的体积
以均匀速度c增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径( )
A．成正比，比例系数为c B．成正比，比例系数为c2
C．成反比，比例系数为c D．成反比，比例系数为c2
解析：选C 设圆柱高度为h，由V＝S·h＝πR2h，知V′＝2πhR·R′(t)，即2πhR·R′(t)＝c，
∴R′(t)＝.又圆柱的侧面积S ＝2πRh，则其侧面积的增长速度S′ ＝2πhR′(t)＝2πh·＝，
侧 侧
∴圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径成反比，比例系数为c，故选C.
2．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是y＝f(x)的导数，f″(x)是
f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x，则称点(x，f(x))为曲线y＝f(x)的“拐点”．某同
0 0 0
学经过探究发现：任何一个三次函数图象都有“拐点”，任何一个三次函数图象都有对称中
心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝x3－x2＋3x－，则g＋g＋…＋g＝________.
解析：由函数g(x)的解析式可得g′(x)＝x2－x＋3，则g″(x)＝2x－1，令g″(x)＝2x－1＝0
可得x＝.由函数g(x)的解析式可得g＝×3－×2＋3×－＝1，据此可知函数g(x)的对称中心为，
故g(x)＋g(1－x)＝2.
令S＝g＋g＋…＋g，①
则S＝g＋g＋…＋g，②
①＋②可得2S＝2 020×2，则S＝2 020，
即g＋g＋…＋g＝2 020.
答案：2 020
3．若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝______，
切线方程为________．
解析：∵f(x)＝x3＋(t－1)x－1，∴f′(x)＝3x2＋t－1，
∴f(x)在点(－1，f(－1))处的切线斜率k＝f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝t＋2.
由切线平行于x轴，得k＝0，即t＋2＝0，∴t＝－2.
又f(－1)＝－1－(t－1)－1＝－1＋3－1＝1，
∴切线方程为y－1＝0.
答案：－2 y－1＝0
一、综合练——练思维敏锐度
1．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( )
A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析：选C 由于y′＝e－，所以y′| ＝e－1，
x＝1
故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，
即(e－1)x－y＋1＝0.
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于( )
A．－2 B．2
C．－ D．
解析：选C 因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2
＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－.
3．设函数f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x－3k)，且f′(0)＝6，则k＝( )
A．0 B．－1
C．3 D．－6
解析：选B 因为f′(0)＝6，所以原函数中x的一次项的系数为6，即k·2k·(－3k)＝ －
6k3＝6，解得k＝－1.故选B.
4．函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为( )
解析：选B 由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)<0.
5．已知f(x)＝sin x＋cos x，f (x)是f (x)的导函数，即f(x)＝f′(x)，f(x)＝f′(x)，…，f
1 n＋1 n 2 1 3 2 n＋
(x)＝f ′(x)，n∈N*，则f (x)＝( )
1 n 2 021
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x
C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
解析：选D ∵f(x)＝sin x＋cos x，∴f(x)＝f′(x)＝cos x－sin x，f(x)＝f′(x)＝ －sin
1 2 1 3 2
x－cos x，f(x)＝f′(x)＝－cos x＋sin x，f(x)＝f′(x)＝sin x＋cos x，…，∴f (x)的解析式以
4 3 5 4 n
4为周期重复出现，∵2 021＝4×505＋1，∴f (x)＝f(x)＝sin x＋cos x，故选D.
2 021 1
6．已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝( )
A. B．
C. D．
解析：选C 设切点坐标为(x，ln x)，由y＝ln x的导函数为y′＝知切线方程为y－ln x＝(x
0 0 0
－x)，即y＝＋ln x－1.由题意可知解得a＝.故选C.
0 0
7．(2020·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
解析：选B ∵f(x)＝x4－2x3，
∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝－2.
又f(1)＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋1.故选B.
8．已知曲线y＝在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＋2＝0
B．2x＋y＋2＝0或2x＋y－18＝0
C．2x－y－18＝0
D．2x－y＋2＝0或2x－y－18＝0
解析：选B y′＝＝－，y′| ＝－＝－2，因此k＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，即2x
x＝2 l
＋y－b＝0，由题意得＝2，解得b＝18或b＝－2，所以直线l的方程为2x＋y－18＝0或2x＋y
＋2＝0.故选B.
9．过曲线y＝x2－2x＋3上一点P作曲线的切线，若切点P的横坐标的取值范围是，则切线的
倾斜角的取值范围是( )
A. B．
C．[0，π) D．
解析：选B 因为y′＝2x－2,1≤x≤，所以0≤2x－2≤1.设切线的倾斜角为α，则0≤tan
α≤1.因为0≤α≤π，所以0≤α≤，故选B.
10．若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(
)
A. B．
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
解析：选D f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，
根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，
所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，
＋∞)．故选D.
11．(多选)已知点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是(
)
A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0
C．3x－2y＋1＝0 D．4x－y＋3＝0
解析：选AC 由点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，得a＝2，则f(x)＝2x3，f′(x)＝6x2.设切
点为(m,2m3)，则切线的斜率k＝6m2，由点斜式得切线方程为y－2m3＝6m2(x－m)，代入点
A(1,2)的坐标得2－2m3＝6m2(1－m)，即有2m3－3m2＋1＝0，即(m－1)2(2m＋1)＝0，解得m＝
1或m＝－，即斜率为6或，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是y－2＝6(x－1)或y－2
＝(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故选A、C.
12．(2020·江南十校联考)函数f(x)＝(2x－1)ex的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为
________．
解析：由f(x)＝(2x－1)ex，得f′(x)＝(2x＋1)ex，∴f′(0)＝1，则切线的斜率k＝1，
又切线的倾斜角θ∈[0，π)，
因此切线的倾斜角θ＝.
答案：
13．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．
解析：设曲线上过点P(x，y)的切线平行于直线2x－y＋3＝0，即斜率是2，则 y′|
0 0
x＝
＝＝2，解得x＝1，所以y＝0，即点P(1,0)．又点P到直线2x－y＋3＝0的距离为＝，所以
0 0
x0
曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
答案：
14．已知函数f(x)＝，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为________．
解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，设曲线f(x)与l切于点，则切线斜率k＝－，故切线方程为
y－＝－(x－x)，即y＝－x＋.与g(x)＝x2联立，得x2＋x－＝0.因为直线l与曲线g(x)相切，所
1
以2－4＝0，解得x＝－，故斜率k＝－ ＝－4.
1
答案：－4
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并
求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.
又因为f′(x)＝a＋，
所以解得所以f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x，y)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x，y)处的切线方程
0 0 0 0
为y－y＝(x－x)，即y－＝(x－x)．
0 0 0
令x＝0，得y＝－，所以切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x，所以切线与直
0
线y＝x的交点坐标为(2x 2x)．
0, 0
所以曲线y＝f(x)在点P(x ，y)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x|
0 0 0
＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值
为6.
16．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
依题意⇒
又f′(0)＝－3，所以c＝－3，所以a＝1，所以f(x)＝x3－3x.
(2)设切点为(x，x－3x)，
0 0
因为f′(x)＝3x2－3，所以f′(x)＝3x－3，
0
所以切线方程为y－(x－3x)＝(3x－3)(x－x)，
0 0
又切线过点A(2，m)，
所以m－(x－3x)＝(3x－3)(2－x)，
0 0
所以m＝－2x＋6x－6.
令g(x)＝－2x3＋6x2－6，
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)，
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，g(x) ＝g(0)＝－6，g(x) ＝g(2)＝2，
极小值 极大值
画出g(x)的草图知，当－6<m<2时，g(x)＝－2x3＋6x2－6有三个解，所以m的取值范围是(－
6,2)．
二、自选练——练高考区分度
1．(2021·广州模拟)已知函数f(x)在R上连续可导，f′(x)为其导函数，且f(x)＝ex＋ e－x
－f′(1)x·(ex－e－x)，则f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝( )
A．4e2＋4e－2 B．4e2－4e－2
C．0 D．4e2
解析：选C 由题知f(－x)＝e－x＋ex－f′(1)(－x)·(e－x－ex)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数．等式
f(－x)＝f(x)两边同时对x求导得－f′(－x)＝f′(x)，即f′(－x)＝－f′(x)，则f′(x)是R上
的奇函数，则f′(0)＝0，f′(－2)＝－f′(2)，即f′(2)＋f′(－2)＝0，所以f′(2)＋f′(－2)－
f′(0)f′(1)＝0.故选C.
2．(2021·石家庄质检)已知函数f(x)＝x，曲线y＝f(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处
的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是( )
A．(－e2，＋∞) B．(－e2,0)
C. D．
解析：选D ∵曲线y＝f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，
∴f′(x)＝a＋(x－1)e－x＝0有两个不同的解，即a＝(1－x)e－x有两个不同的解．设y＝(1－x)e
－x，则y′＝(x－2)e－x，∴当x<2时，y′<0，当x>2时，y′>0，则y＝(1－x)e－x在(－∞，2)上单
调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝2时，函数y取得极小值－e－2.又∵当x>2时总有y＝(1
－x)e－x<0且f(0)＝1>0，∴可得实数a的取值范围是.故选D.
3．已知曲线y＝ex＋a与y＝x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是( )
A．[2ln 2－2，＋∞) B．(2ln 2，＋∞)C．(－∞，2ln 2－2] D．(－∞，2ln 2－2)
解析：选D 由题意可设直线y＝kx＋b(k>0)为它们的公切线，联立可得x2－kx－b＝0，由Δ
＝0，得k2＋4b＝0 ①.对y＝ex＋a求导可得y′＝ex＋a，令ex＋a＝k，可得x＝ln k－a，∴切点坐
标为(ln k－a，kln k－ak＋b)，代入y＝ex＋a可得k＝kln k－ak＋b ②.联立①②可得k2＋4k＋
4ak－4kln k＝0，化简得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k－k，则g′(k)＝－1，令g′(k)＝0，
得k＝4，令g′(k)>0，得0<k<4，令g′(k)<0，得k>4.∴g(k)在(0,4)内单调递增，在(4，＋∞)内
单调递减，∴g(k) ＝g(4)＝4ln 4－4，且k→0时，g(k)→－∞，k→＋∞时，g(k)→－∞.∵有两
max
条公切线，∴方程4＋4a＝4ln k－k有两解，∴4＋4a< 4ln 4－4，∴a<2ln 2－2.故选D.
4．设曲线f(x)＝2ax＋sin x上任意一点处的切线为l，若在曲线g(x)＝ln x(x≥1)上总存在一
点，使得曲线g(x)在该点处的切线平行于l，则实数a的取值范围为( )
A. B．
C. D．
解析：选D f′(x)＝2a＋cos x.
由cos x∈[－1,1]，可得2a＋cos x∈，g′(x)＝，设切点坐标为(m，ln m)，可得曲线g(x)在点
(m，ln m)处的切线的斜率为∈(0,1]．
由题意可得，⊆，
即2a－>0且2a＋≤1.
解得<a≤，故选D.
