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第三章 导数及其应用
第一节 导数的概念及运算
核心素养立意下的命题导向
1.与基本初等函数相结合考查函数导数的计算，凸显数学运算的核心素养．
2．与曲线方程相结合考查导数的几何意义，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．导数的概念
函数y＝f(x)在x＝x 处的瞬时变化率lim ＝lim 为函数y＝f(x)在x＝x 处的导数，记作f′(x)
0 0 0
或y′| ，即f′(x)＝lim ＝lim .称函数f′(x)＝lim 为f(x)的导函数．
x＝x0 0
2．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数
f(x)＝c f(x)＝xα
f′(x)＝ f′(x)＝ α x α － 1
(c为常数) (α∈Q*)
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝ － sin _x
f(x)＝ax
f(x)＝ex f′(x)＝ f′(x)＝ a x ln _a
(a>0，a≠1)
f(x)＝log x
a
f(x)＝ln x f′(x)＝ f′(x)＝
(a>0，a≠1)
3．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；
(2)[f(x)·g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
(3)′＝(g(x)≠0)．
4．导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x，y)处的切线的斜率．
0 0 0 0
相应地，切线方程为 y － y ＝ f ′ ( x )( x － x ) ． 特别地，如果曲线y＝f(x)在点(x，y)处的切线垂
0 0 0 0 0
直于x轴，则此时导数f′(x)不存在，由切线定义可知，切线方程为x＝x.
0 0
5．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′＝y ′ · u ′，即y对
x u x
x的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(商的导数)若函数f(x)＝(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝( )A. B.
C．1＋x D．1－x
答案：B
2．(导数的运算)已知f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x)＝4，则x＝________.
0 0
解析：∵f′(x)＝－8＋4x，∴f′(x)＝－8＋4x＝4，解得x＝3.
0 0 0
答案：3
3．(求切线方程)曲线 y＝log x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于
2
________．
解析：∵y′＝，∴切线的斜率k＝，∴切线方程为y＝(x－1)，∴所求三角形的面积S＝×1×
＝＝log e.
2
答案：log e
2
4．(已知切线求参数)已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程
为2x－y＝0，则a＋b＝________.
解析：由题意，得f′(x)＝aln x＋a，所以f′(1)＝a，因为函数f(x)的图象在x＝1处的切线方
程为2x－y＝0，所以a＝2，又f(1)＝b，则2×1－b＝0，所以b＝2，故a＋b＝4.
答案：4
二、易错点练清
1．(多选·混淆求导公式)下列导数的运算中正确的是( )
A．(3x)′＝3xln 3 B．(x2ln x)′＝2xln x＋x
C.′＝ D．(sin xcos x)′＝cos 2x
解析：选ABD 因为′＝，所以C项错误，其余都正确．
2．(混淆点P处的切线和过P点的切线)函数f(x)＝x2＋的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(
)
A．x－y＋1＝0 B．3x－y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：选A 函数f(x)＝x2＋的导数为f′(x)＝2x－，
可得图象在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝2－1＝1，
切点为(1,2)，
可得图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.故选A.
考点一 导数的运算
[典题例析]
(1)设f(x)＝x(2 020＋ln x)，若f′(x)＝2 021，则x 等于( )
0 0
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e(2)(2021·日照质检)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝(
)
A．－e B．1
C．－1 D．e
(3)函数f(x)＝xsincos，则其导函数f′(x)＝________________.
[解析] (1)f′(x)＝2 020＋ln x＋1＝2 021＋ln x，由f′(x)＝2 021，得2 021＋ln x ＝ 2
0 0
021，则ln x＝0，解得x＝1.
0 0
(2)由题可得f′(x)＝2f′(1)＋，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，故选C.
(3)∵f(x)＝xsincos
＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x，
∴f′(x)＝－sin 4x－x·4cos 4x
＝－sin 4x－2xcos 4x.
[答案] (1)B (2)C (3)－sin 4x－2xcos 4x
[方法技巧]
1．导数运算的常见形式及其求解方法
连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导
分式形式 观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
对数形式 先化为和、差的形式，再求导
根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元
2．解决解析式中含有导数值问题的策略
解决解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x)g(x)＋h(x)(x 为常数)的函数问
0 0
题的关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解，即先求导数f′(x)，然后令x＝x，即可得到
0
f′(x)的值，进而得到函数解析式，最后求得所求导数值．
0
[针对训练]
1．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数为f′(x)，若f′(2)＝2，则实数a的值为( )
A. B．
C. D．1
解析：选B 因为f′(x)＝，所以f′(2)＝＝2，解得a＝.故选B.
2．(2021·长沙一模)等比数列{a }中，a＝2，a＝4，函数f(x)＝x(x－a)(x－a)…(x－a)，则
n 1 8 1 2 8
f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
解析：选C f′(x)＝(x－a)(x－a)…(x－a)＋x[(x－a )(x－a )·…·(x－a )]′，所以f′(0)＝
1 2 8 1 2 8aaa…a＝(aa)4＝(2×4)4＝212.故选C.
1 2 3 8 1 8
3．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，
∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.
∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4.
答案：－4
考点二 导数的几何意义
考法(一) 求切线方程
[例1] 已知函数f(x)＝x2.
(1)求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求经过点P(－1,0)的曲线f(x)的切线方程．
[解] (1)∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴f′(1)＝2，又f(1)＝1，
∴曲线在点(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)设切点坐标为(x，x)．
0
∵f′(x)＝2x，∴切线方程为y－0＝2x(x＋1)，
0 0 0
又∵切点(x，x)在切线上，
0
∴代入切线方程得x＝2x(x＋1)，
0 0
即x＋2x＝0，解得x＝0或x＝－2.
0 0 0
∴所求切线方程为y＝0或y＝－4(x＋1)，
即y＝0或4x＋y＋4＝0.
[方法技巧]
求切线方程问题的2种类型及方法
(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x，y)处的切线方程：
0 0
点P(x，y)为切点，切线斜率为k＝f′(x)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y＝f′
0 0 0 0
(x)(x－x)．
0 0
(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x，y)的切线方程：
0 0
切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条．解决问题的关键
是设切点，利用“待定切点法”求解，即：
①设切点A(x，y)，则以A为切点的切线方程为y－y＝f′(x)(x－x)；
1 1 1 1 1
②根据题意知点P(x，y)在切线上，点A(x，y)在曲线y＝f(x)上，得到方程组求出切点A(x，
0 0 1 1 1
y)，代入方程y－y＝f′(x)(x－x)，化简即得所求的切线方程．
1 1 1 1
考法(二) 求参数值或范围
[例2] 已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(
)A. B．(3，＋∞)
C. D．(0,3)
[解析] 由题得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的正解，
令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，
则由图象可知，有g(0)>0且Δ>0，
即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得30.
当直线y＝ax与f(x)＝ln x(x＞1)相切时，
设切点为(x，ln x)(x＞1)，此时a＝f′(x)＝，
0 0 0 0
由于切点在直线y＝ax上，则ln x＝·x＝1，
0 0
得x＝e，则a＝.
0
当直线y＝ax与f(x)＝x＋1(x≤1)平行时，
a＝，此时y＝f(x)与y＝ax的图象有两个交点．
当00)，
根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，
所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，
＋∞)．故选D.
11．(多选)已知点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是(
)
A．6x－y－4＝0 B．x－4y＋7＝0
C．3x－2y＋1＝0 D．4x－y＋3＝0
解析：选AC 由点A(1,2)在函数f(x)＝ax3的图象上，得a＝2，则f(x)＝2x3，f′(x)＝6x2.设切
点为(m,2m3)，则切线的斜率k＝6m2，由点斜式得切线方程为y－2m3＝6m2(x－m)，代入点
A(1,2)的坐标得2－2m3＝6m2(1－m)，即有2m3－3m2＋1＝0，即(m－1)2(2m＋1)＝0，解得m＝
1或m＝－，即斜率为6或，则过点A的曲线C：y＝f(x)的切线方程是y－2＝6(x－1)或y－2
＝(x－1)，即6x－y－4＝0或3x－2y＋1＝0.故选A、C.
12．(2020·江南十校联考)函数f(x)＝(2x－1)ex的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为
________．
解析：由f(x)＝(2x－1)ex，得f′(x)＝(2x＋1)ex，∴f′(0)＝1，则切线的斜率k＝1，
又切线的倾斜角θ∈[0，π)，
因此切线的倾斜角θ＝.
答案：
13．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离为________．
解析：设曲线上过点P(x，y)的切线平行于直线2x－y＋3＝0，即斜率是2，则 y′|
0 0
x＝
＝＝2，解得x＝1，所以y＝0，即点P(1,0)．又点P到直线2x－y＋3＝0的距离为＝，所以
0 0
x0
曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
答案：
14．已知函数f(x)＝，g(x)＝x2.若直线l与曲线f(x)，g(x)都相切，则直线l的斜率为________．
解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝－，设曲线f(x)与l切于点，则切线斜率k＝－，故切线方程为
y－＝－(x－x)，即y＝－x＋.与g(x)＝x2联立，得x2＋x－＝0.因为直线l与曲线g(x)相切，所
1
以2－4＝0，解得x＝－，故斜率k＝－ ＝－4.
1
答案：－4
15．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并
求此定值．
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.
又因为f′(x)＝a＋，
所以解得所以f(x)＝x－.
(2)证明：设P(x，y)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x，y)处的切线方程
0 0 0 0
为y－y＝(x－x)，即y－＝(x－x)．
0 0 0
令x＝0，得y＝－，所以切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x，所以切线与直
0
线y＝x的交点坐标为(2x 2x)．
0, 0
所以曲线y＝f(x)在点P(x ，y)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x|
0 0 0
＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值
为6.
16．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
依题意⇒
又f′(0)＝－3，所以c＝－3，所以a＝1，所以f(x)＝x3－3x.
(2)设切点为(x，x－3x)，
0 0
因为f′(x)＝3x2－3，所以f′(x)＝3x－3，
0
所以切线方程为y－(x－3x)＝(3x－3)(x－x)，
0 0
又切线过点A(2，m)，
所以m－(x－3x)＝(3x－3)(2－x)，
0 0
所以m＝－2x＋6x－6.
令g(x)＝－2x3＋6x2－6，
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)，
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2，g(x) ＝g(0)＝－6，g(x) ＝g(2)＝2，
极小值 极大值
画出g(x)的草图知，当－62时，y′>0，则y＝(1－x)e－x在(－∞，2)上单
调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝2时，函数y取得极小值－e－2.又∵当x>2时总有y＝(1
－x)e－x<0且f(0)＝1>0，∴可得实数a的取值范围是.故选D.
3．已知曲线y＝ex＋a与y＝x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是( )
A．[2ln 2－2，＋∞) B．(2ln 2，＋∞)C．(－∞，2ln 2－2] D．(－∞，2ln 2－2)
解析：选D 由题意可设直线y＝kx＋b(k>0)为它们的公切线，联立可得x2－kx－b＝0，由Δ
＝0，得k2＋4b＝0 ①.对y＝ex＋a求导可得y′＝ex＋a，令ex＋a＝k，可得x＝ln k－a，∴切点坐
标为(ln k－a，kln k－ak＋b)，代入y＝ex＋a可得k＝kln k－ak＋b ②.联立①②可得k2＋4k＋
4ak－4kln k＝0，化简得4＋4a＝4ln k－k.令g(k)＝4ln k－k，则g′(k)＝－1，令g′(k)＝0，
得k＝4，令g′(k)>0，得04.∴g(k)在(0,4)内单调递增，在(4，＋∞)内
单调递减，∴g(k) ＝g(4)＝4ln 4－4，且k→0时，g(k)→－∞，k→＋∞时，g(k)→－∞.∵有两
max
条公切线，∴方程4＋4a＝4ln k－k有两解，∴4＋4a< 4ln 4－4，∴a<2ln 2－2.故选D.
4．设曲线f(x)＝2ax＋sin x上任意一点处的切线为l，若在曲线g(x)＝ln x(x≥1)上总存在一
点，使得曲线g(x)在该点处的切线平行于l，则实数a的取值范围为( )
A. B．
C. D．
解析：选D f′(x)＝2a＋cos x.
由cos x∈[－1,1]，可得2a＋cos x∈，g′(x)＝，设切点坐标为(m，ln m)，可得曲线g(x)在点
(m，ln m)处的切线的斜率为∈(0,1]．
由题意可得，⊆，
即2a－>0且2a＋≤1.
解得
