文档内容
专题 01 二次根式
一．二次根式的定义（共3小题）
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
三．二次根式的性质与化简（共4小题）
四．最简二次根式（共1小题）
五．二次根式的乘除法（共14小题）
六．分母有理化（共6小题）
七．同类二次根式（共3小题）
八．二次根式的加减法（共5小题）
九．二次根式的混合运算（共3小题）
十．二次根式的化简求值（共4小题）
十一．二次根式的应用（共7小题）
知识点一、二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
1
3, , 0.02, 0
a(a0) 2
形如 的式子叫做二次根式，如 等式子，都叫做二次根式.
a a0 a0 a
要点诠释：二次根式 有意义的条件是 ，即只有被开方数 时，式子 才是二次根式，
a
才有意义.
2.二次根式的性质
（1） ；（2） ；
（3） .
a a ( a)2 a0
要点诠释：（1） 一个非负数 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （ ），如
1 1
2( 2)2; ( )2;x( x)2
3 3 x0
（ ）.
a2 a a a2
（2） 中 的取值范围可以是任意实数，即不论 取何值， 一定有意义.
a2 a
（3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简.
a2 ( a)2
（4） 与 的异同
a2 a ( a)2 a
不同点： 中 可以取任何实数，而 中的 必须取非负数；
a2 a ( a)2 a a0
= ， = （ ）.
a a2 ( a)2
相同点：被开方数都是非负数，当 取非负数时， = .
3. 最简二次根式
1）被开方数是整数或整式；
2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
2, ab,3 x, a2 b2
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 等都是最简二次根式.
要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小
于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.
2 8 8 2 2 2 8
如 与 ，由于 = ， 与 显然是同类二次根式.知识点二、二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型 法则 逆用法则
积的算术平方根化简公式：
二次根式的乘法 a b ab(a0,b0)
ab a b(a0,b0)
商的算术平方根化简公式：
a a
二次根式的除法 (a0,b0) a a
b b (a0,b0)
b b
要点诠释：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如
a bc d ac bd
.
(4)(9) 4 9
（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 .
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类
二次根式.
要点诠释：
二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次
23 25 2 (135) 2 2
根式.如 .
一．二次根式的定义（共3小题）
1．（2022春•重庆期中）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春•西华县期中）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c
的共轭（è）二次根式．
问题解决：（1）若a与2 是关于6的共轭二次根式，则a＝ ；
（2）若4+ 与8﹣ m是关于26的共轭二次根式，求m的值．
3．（2022春•尧都区期中）已知 是一个正整数，则正整数a的最小值为（ ）
A．0 B．6 C．3 D．2
二．二次根式有意义的条件（共3小题）
4．（2022春•同安区期中）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x＜2
5．（2020春•河口区校级期中）如果y＝ ，则2x+y的值是 ．
6．（2021春•安宁市校级期中）若x，y是实数，且y＝ + +3，求3 的值．
三．二次根式的性质与化简（共4小题）
7．（2022春•威海期中）化简二次根式 的结果为（ ）
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
8．（2022春•西工区期中）若 ，则（ ）
A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3
9．（2022春•武昌区校级期中）已知 ≈1.414，则 的近似值为 （结果保留小数点后两位）．
10．（2022春•黄梅县期中）小明做数学题时，发现 ＝ ； ＝ ； ＝ ；
＝ ；…；按此规律，若 ＝ （a，b为正整数），则a+b＝ ．
四．最简二次根式（共1小题）11．（2022春•东莞市校级期中）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
五．二次根式的乘除法（共14小题）
12．（2022春•藤县期中）计算 所得的结果是（ ）
A．2 B．3 C． D．
13．（2022春•沂水县期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022春•新市区校级期中）使 有意义的x的取值范围是 ．
15．（2021春•渑池县期中）计算 × 的结果是 ．
16．（2022春•镜湖区校级期中）化简： ．
17．（2022春•环江县期中）计算： ．
18．（2022春•禹州市期中）已知实数x，y，a，b满足 + ＝ × ．
求a+b的值及7x﹣y2023的值．19．（2022春•尧都区期中）若 • ＝ ，则a的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≥﹣2 C．a≥24 D．2≥a≥﹣2
20．（2022春•牟平区期中）若 成立，则m的值可以是（ ）
A．﹣4 B．2 C．4 D．5
21．（2022春•昭平县期中）已知 ．
（1）求a+b的值；
（2）求2x+y2021的值．
22．（2022春•五华县期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1） ；（2） ．
验证：
（1） ＝ ；
（2） ＝ ．
①按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： ＝ ； ＝ ；②通过上述探究你能猜测出： ＝ （n＞0），并验证你的结论．
23．（2022春•西城区校级期中）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知
条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为显性条件；而
有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这
样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
【阅读理解】
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：（ ）2﹣|1﹣x|
解：隐含条件1﹣3x≥0，解得：x≤
∴1﹣x＞0
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）
＝1﹣3x﹣1+x
＝﹣2x
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简： ﹣（ ）2；
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 + ﹣|b﹣a|．24．（2022 春•福清市期中）已知 ， ，c＝2021×2020﹣
2019×2021，则（a﹣b）（b﹣c）的值（ ）
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．无法确定
25．（2022春•渝水区校级期中）已知： ， ．求下列各式的值．
（1）xy；
（2）x2﹣xy+y2．
六．分母有理化（共6小题）
26．（2022春•兴宁区校级期中）计算：（1﹣ ）0+（ ）﹣1﹣ ÷ × ．
π
27．（2022春•香河县期中）若M，N分别代表两个多项式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab．
（1）求多项式M和N．
（2）当a＝ +1，b＝ ﹣1时，求 分式的值．28．（2022春•赞皇县期中）在进行二次根式简化时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，
其实我们还可将其进一步简化：
＝ ；（一）
＝ ＝ ；（二）
＝ ＝ ＝ ；（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化
还可以用以下方法化简：
＝ ＝ ＝ ；（四）
（1）化简 ＝ ＝
（2）请用不同的方法化简 ．
①参照（三）式得 ＝
②步骤（四）式得 ＝
（3）化简：
+ + +…+ ．29．（2022春•海淀区校级期中）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝ ，n＝
（其中a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的一对“和谐数对”．
例如：（4，1）的一对“和谐数对”为（ ，1）和（1， ）．
（1）数对（16，5）的一对“和谐数对”是 ；
（2）若数对（3，m）的一对“和谐数对”相同，则m的值为 ；
（3）若数对（x，y）的一个“和谐数对”是（ ，1），则xy的值为 ．
30．（2022春•怀仁市期中）阅读下列材料，然后解答问题：
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如： ， ， 一样的式子．其实我们还可
以将其进一步化简：
＝ ＝ ：（一） ＝ ＝ ：（二）
＝ ＝ ＝ ：（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝ ＝ ＝ ＝ ．（四）
请解答下列问题：
（1）请用不同的方法化简 ．
①参照（三）式得 ＝ ；
②参照（四）式得 ＝ ；
（2）化简： + + ；（保留过程）（3）猜想： + + +…+ 的值．（直接写出结论）
31．（2022春•芜湖期中）【阅读材料】对于一些特殊类型的根式，我们有一些常用的化简计算方法．
如： ，这是利用平方差公式进行化简运算的思路．
除此之外，我们还可以用“平方之后再开方”的方式来化简，即运用性质 ＝|a|．
如：对于 ，设 ．
由 ，可知x＞0．
由 ，解得 ．
即 ．
【学以致用】请你根据以上介绍的方法，化简 ．
七．同类二次根式（共3小题）
32．（2019春•西陵区校级期中）下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
33．（2022春•鼓楼区校级期中）下列二次根式能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．34．（2022春•东莞市期中）若最简根式 与 是同类二次根式，则m＝ ．
八．二次根式的加减法（共5小题）
35．（2022春•沂源县期中）如果 与 的和等于3 ，那么a的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
36．（2016春•临沧校级期中） ＝ ．
37．（2022春•吉林期中）计算： ．
38．（2022春•定南县期中）计算： ．
39．（2022春•贺州期中）计算： +2 ．
九．二次根式的混合运算（共3小题）
40．（2022春•福山区期中）计算
（1） ；
（2） ．41．（2022春•柘城县期中）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2 ＝（1+ ）2.
善于思考的小明进行了以下探索：设a+b ＝（m+n ）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b
＝m2+2n2+2mn ．故a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b 的式子化为平方
式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b ＝（m+n ）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a
＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： + ＝（ +
）2；
（3）若a+4 ＝（m+n ）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
42．（2022春•平舆县期中）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样
的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ；﹣1．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简： ＝ ； ＝ ．
（2）填空： 的倒数为 ．
（3）化简： ．
一十．二次根式的化简求值（共4小题）
43．（2022春•赞皇县期中）先化简，再求值：a+ ，其中a＝2020．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的；
错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
（2）先化简，再求值：a+2 ，其中a＝﹣2．44．（2022春•荔湾区校级期中）已知x＝ +1，y＝ ﹣1，求代数式x2﹣xy+y2的值．
45．（2022春•尧都区期中）（1） ；
（2）下面是小明同学对于题目“化简并求值：2a+ ，其中a＝1“的解答过程，请认真阅读
并完成相应任务．
解：原式＝2a+ ……………第一步
＝2a+a﹣3…………………………第二步
＝3a﹣3．……………………第三步
把a＝1代入得，原式＝3a﹣3＝0．……………第四步
任务一：填空：第 步开始出现错误，错误原因是 ；
任务二：请直接写出代数式正确的值．
46．（2021春•梁子湖区期中）已知a＝ ，求 ﹣ 的值．
一十一．二次根式的应用（共7小题）
47．（2022春•丰都县期中）如图，长和宽分别是a，b的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
（1）用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
（2）当a＝20+2 ，b＝20﹣2 ，x＝ ，求剩余部分的面积．
48．（2022春•思明区校级期中）计算：
（1） + × ；
（2）（ ﹣ ）2；
（3）设长方形的面积为S，相邻两边长分别是a，b，已知S＝4 ，a＝ ，求b．
49．（2022春•磁县期中）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．
（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；
（2）求阴影部分的面积．
50．（2022春•清丰县期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记 ，那么这
个三角形的面积为 ．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边
的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣秦九韶公式”．解答下列问题：如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）△ABC的面积；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．
51．（2022春•巴东县期中）秦九韶（1208年﹣1268年），字道古，汉族，生于普州安岳（今四川省安岳
县）人，祖籍鲁郡（今河南范县）．南宋著名数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他
精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创
新的世界著名数学家．他所提出的大衍求一术（中国剩余定理）和正负开方术及其名著《数书九章》，
是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响．他写的《数书
九章》序堪称一篇奇文．秦九韶的数学成果丰硕，其中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的
成果统称海伦﹣秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是 a、b、c，记p＝ ，那么三角形的
面积为：s＝ ．
（1）在△ABC中，BC＝4，AC＝AB＝3，请用上面的公式计算△ABC的面积．
（2）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝AB＝7，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E．
求BE的长．52．（2022春•长葛市期中）在《九章算术》中有求三角形面积的公式“底乘高的一半”，但是在实际丈
量土地面积时，准确测量高并不容易，所以古人想到了能否利用三角形的三条边长来求面积．我国南宋
著名的数学家秦九韶（约1202～约1261）提出了“三斜求积术”，简称秦九韶公式．古希腊的几何学
家海伦（Heron，约公元50年）在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，
给出了利用三角形三边长求面积的方法和证明，相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德（公元前
287年—公元前212年）得出的．在我国称这个公式为海伦—秦九韶公式．它的表述为：如果一个三角
形三边长分别为a、b、c，那么三角形的面积为 ．（公式里的p为半周长，
即 ）
请利用海伦——秦九韶公式解决以下问题：
（1）三边长分别为3、6、7的三角形面积为 ．
（2）四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，求该四边形的面积．53．（2022春•阳东区期中）已知一个矩形相邻的两边长分别为a，b，且a＝ ，b＝ ．
（1）求此矩形的周长；
（2）求此矩形的面积；
（3）求与此矩形面积相等的正方形的对角线的长．
一、单选题
1．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）下列各式中，运算正确的是( )
A． B． C． D．
3．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围
是
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜34．（2022秋·山西运城·八年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）二次根式 中a的最小值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
6．（2022春·广东汕头·八年级统考期中） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）下列运算中正确的是( )
A． B． + C． D．
8．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）下列各代数式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C．a2 D．
二、填空题
9．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）若 2﹣x，则x的取值范围是 _____．
10．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）在实数范围内分解因式： ＝______．
11．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）已知 ，若 是最简二次根式，请写出一个符合条件的正
整数n：_______．
12．（2022春·福建龙岩·八年级校考期中）将 化为最简根式是 _____．
13．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）已知 ，那么 的值等于
_____．
14．（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）设 ，求
不超过 的最大整数 ______．三、解答题
15．（2023春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）计算（1） ；
（2） ．
16．（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）计算：
17．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）计算：
(1) ．
(2) ．
18．（2022春·湖南永州·八年级校考期中）已知点 在第二象限 ， 化简19．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根
式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与 ， 与 ， 与 等
都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请回答下列问题：
(1)化简： ___________；
(2)比较 与 的大小关系；
(3)计算： ．
20．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．
例如：因为 ， ，所以 与 ， 与 互为有理化因式．进行二次
根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
(1) 的有理化因式是________；化简： ________；(2)化简：
(3)拓展应用：已知， ， ， ，
试比较a，b，c的大小，并说明理由．
21．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期中）阅读材料已知下面一列等式：
； ； ；
(1)请用含 的等式表示你发现的规律___________________；
(2)证明一下你写的等式成立；
(3)利用等式计算： ；
(4)计算： ．
22．（2022秋·山东济南·八年级统考期中）阅读下列材料，解答后面的问题：
；
；
(1)写出下一个等式；(2)计算 的值；
(3)请求出 的运算结果．
23．（2022春·甘肃定西·八年级统考期中）先阅读，后解答：
， ；像上述解题过程中， 与
、 与 相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题
过程也称为分母有理化．
(1) 的有理化因式是______； 的有理化因式是______．
(2)（4）分将下列式子进行分母有理化：
① ______； ② ______．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
．
24．（2022春·山西临汾·八年级统考期中）综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可
以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如： ，．
由此，可将一些被开方数为无理数的式子进行化简 ，
．
(1)请你依上述方法将 化成一个式子的平方，并直接写出 的值．
(2)化简： ．
(3)若 且 、 、 均为正整数，则 ________．
