八年级（下）期末必考题型专项复习（37大考点）（人教版）（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_母题专项-U66_2025版

2024-2025 学年八年级（下）期末必考题型专项复习【37 大考点】
【人教版】
【考点1 二次根式】..................................................................................................................................................2
【考点2 二次根式的性质与化简】..........................................................................................................................3
【考点3 最简二次根式】..........................................................................................................................................5
【考点4 分母有理化】..............................................................................................................................................7
【考点5 二次根式的混合运算】..............................................................................................................................9
【考点6 二次根式的化简求值】............................................................................................................................12
【考点7 二次根式的应用】....................................................................................................................................17
【考点8 勾股定理】................................................................................................................................................21
【考点9 勾股定理的逆定理】................................................................................................................................25
【考点10 勾股数（树）】........................................................................................................................................30
【考点11 勾股定理的应用】....................................................................................................................................33
【考点12 平行四边形的性质】................................................................................................................................36
【考点13 平行四边形的判定】................................................................................................................................41
【考点14 平行四边形的判定与性质】....................................................................................................................45
【考点15 菱形的性质】............................................................................................................................................51
【考点16 菱形的判定】............................................................................................................................................57
【考点17 菱形的的判定与性质】............................................................................................................................62
【考点18 矩形的性质】............................................................................................................................................66
【考点19 矩形的判定】............................................................................................................................................70
【考点20 矩形的判定与性质】................................................................................................................................75
【考点21 正方形的性质】........................................................................................................................................80
【考点22 正方形的判定】........................................................................................................................................84
【考点23 正方形的判定与性质】............................................................................................................................89
【考点24 三角形的中位线】....................................................................................................................................95
【考点25 直角三角形斜边上的中线】..................................................................................................................102
【考点26 变量与函数】..........................................................................................................................................107
【考点27 函数的图象】..........................................................................................................................................109
【考点28 正比例函数的图象】..............................................................................................................................112
【考点29 一次函数的图象】..................................................................................................................................114
【考点30 一次函数的性质】..................................................................................................................................118
【考点31 待定系数法求一次函数解析式】.........................................................................................................120
【考点32 一次函数与方程、不等式】..................................................................................................................124
【考点33 一次函数的应用】..................................................................................................................................128
【考点34 平均数、中位数、众数】......................................................................................................................134
【考点35 方差】......................................................................................................................................................136
【考点36 统计量的选择】......................................................................................................................................138【考点37 数据的分析】..........................................................................................................................................140
【考点1 二次根式】
【例1】（24-25八年级·河北承德·期末）若❑√3m−1有意义，则m能取的最小整数值是（ ）
A．m = 0 B．m = 1 C．m = 2 D．m = 3
【答案】B
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】解：若❑√3m−1有意义，则3m−1≥0，
1
解得m≥ ，
3
所以，m能取的最小整数值是1．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式
无意义．
【变式1-1】（24-25八年级·山东烟台·期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．❑√a B．❑√−a C．❑√a2 D．❑√a+1
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【详解】根据二次根式的定义可得❑√a2中得被开方数a无论为何值都是非负数，
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
【变式1-2】（24-25八年级·河南开封·期末）❑√1−a＝2，则a＝ ．
【答案】−3
【分析】首先根据二次根式有意义的条件得到a≤1，再根据算术平方根的定义求解即可得出结果．
【详解】解：∵ ❑√1−a=2，
1−a≥0
∴{ ，解得a=−3，
1−a=4
故答案为：a=−3．
【点睛】本题考查解方程，涉及到二次根有意义的条件和算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的定义及性质是解决问题的关键．
y
【变式1-3】（24-25八年级·四川凉山·期末）已知y=❑√x−4+❑√4−x+3，则 的值为 ．
x
3
【答案】 /0.75
4
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式的求值，根据二次根式有意义的条件，得到x=4,y=3，
进而求出分式的值即可．
【详解】解：∵y=❑√x−4+❑√4−x+3，
∴x−4≥0,4−x≥0，
∴x=4，
∴y=3，
y 3
∴ = ；
x 4
3
故答案为： ．
4
【考点2 二次根式的性质与化简】
【例2】（24-25八年级·四川宜宾·期末）若❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x，化简❑√(x+1) 2+|x−4)的结果是
（ ）
A．−3 B．5 C．2x−3 D．3−2x
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，整式的加减．根据二次根式有意义的
条件求得0≤x≤3，推出x+1>0，x−4<0，据此求解即可．
【详解】解：∵❑√x(3−x)=❑√x⋅❑√3−x，
∴x≥0，3−x≥0，
∴0≤x≤3，
∴x+1>0，x−4<0，
∴❑√(x+1) 2+|x−4)=x+1+4−x=5．
故选：B．
【变式2-1】（24-25八年级·陕西渭南·期末）已知❑√48n是整数，则正整数n的最小值为 ．
【答案】3.
【分析】根据二次根式的性质，对❑√48n进行化简❑√48n=4❑√3n，只要❑√3n是整数即可【详解】解：由题意可知：48n⩾0，
∴n⩾0，
∵❑√48n=❑√16×3n=4❑√3n是整数，
故❑√3n是整数，
∴n的最小值为3，
故答案为3.
【点睛】本题考查二次根式的定义，解决此题时要先对根式进行化简将能开方的先开出来，再进行分析比
较简单.
1 1
【变式2-2】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，xy=3，那么 ❑√x3y+ ❑√x y3 的值
x y
为（ ）
A．❑√3 B．±❑√3 C．2❑√3 D．±2❑√3
【答案】D
【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当x>0，y>0或x<0，y<0
时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入xy=3即可求解．
【详解】解：∵xy=3，
∴分情况讨论，
当x>0，y>0时，
1 1 1 1
∴ ❑√x3y+ ❑√x y3= ⋅x❑√xy+ ⋅y❑√xy=2❑√xy=2❑√3；
x y x y
当x<0，y<0时，
1 1 1 1
∴ ❑√x3y+ ❑√x y3=−x⋅ ❑√xy−y⋅ ❑√xy=−2❑√xy=−2❑√3，
x y x y
1 1
综上， ❑√x3 y+ ❑√x y3 的值为±2❑√3．
x y
故选：D．
√ 2 √2 √ 3 √3
【变式2-3】（24-25八年级·湖南湘西·期末）仔细观察下列式子：❑2 =2❑ ，❑3 =3❑ ，
3 3 8 8
√ 4 √ 4
❑4 =4❑ ，…
15 15
（1）请写出如上面的第4个同类型式子 ．
（2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ．√ 5 √ 5 √ n+1 √ n+1
【答案】 ❑5 =5❑ ❑(n+1) =(n+1)❑ （n为正整数）
24 24 (n+1) 2−1 (n+1) 2−1
【分析】（1）根据所给的式子进行解答即可；
（2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可．
√ 5 √ 5
【详解】解：（1）根据题意，第4个式子是：❑5 =5❑ ，
24 24
√ 5 √ 5
故答案为：❑5 =5❑ ；
24 24
√ 2 √2 √ (1+1) √ 1+1
（2）∵❑2 =2❑ ，整理得：❑(1+1) =(1+1)❑ ，
3 3 (1+1) 2−1 (1+1) 2−1
√ 3 √3 √ (2+1) √ 2+1
❑3 =3❑ ，整理得：❑(2+1) =(2+1)❑ ，
8 8 (2+1) 2−1 (2+1) 2−1
√ 4 √ 4 √ (3+1) √ 3+1
❑4 =4❑ ，整理得：❑(3+1) =(3+1)❑
15 15 (3+1) 2−1 (3+1) 2−1
…
√ n+1 √ n+1
则第n个式子为：❑(n+1) =(n+1)❑ ．
(n+1) 2−1 (n+1) 2−1
√ n+1 √ n+1
故答案为：❑(n+1) =(n+1)❑ （n为正整数）．
(n+1) 2−1 (n+1) 2−1
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右
两边的规律．
【考点3最简二次根式】
√ a+2
【例3】（24-25八年级·陕西宝鸡·阶段练习）将二次根式a❑− 化为最简二次根式为（ ）
a2
A．❑√−a−2 B．−❑√−a−2 C．❑√a−2 D．−❑√a−2
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式，先根据有意义得到a≤−2，再根据二次根式的性质化成最简二次根式
即可解答．√ a+2
【详解】解：∵a❑− 有意义，
a2
a+2
∴− ≥0，
a2
∴−a−2≥0且a≠0，
解得a≤−2，
√ a+2 ❑√−a−2 ❑√−a−2
∴a❑− =a⋅ =a⋅ =−❑√−a−2，
a2 |a) −a
故选：B．
【变式3-1】（24-25八年级·四川宜宾·期末）下列式子中，为最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑ B．❑√30 C．❑√0.3 D．❑√8
3
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开
得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可
得．
√1 ❑√3
【详解】解：A、❑ = ，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
3 3
B、❑√30是最简二次根式，符合题意；
√ 30 ❑√30
C、❑√0.3=❑ = ，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
100 10
D、❑√8=2❑√2，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
【变式3-2】（24-25八年级·安徽宿州·期末）最简二次根式❑√b+2与a−√15−2b是同类最简二次根式，则
a−b= ．
【答案】2
【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代
数式，通过计算即可得到答案．
【详解】根据题意得：a−1=2
∴a=3
∵最简二次根式❑√b+2与a−√15−2b是同类最简二次根式∴b+2=5−2b
∴b=1
∴a−b=3−1=2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性
质，从而完成求解．
【变式3-3】（24-25八年级·河北承德·期末）已知❑√m−2是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整
数值： ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
答案不唯一，整数m满足❑√m−2是最简二次根式即可．
【详解】∵❑√m−2是最简二次根式，
∴m=4．
故答案为：4（答案不唯一）．
【考点4 分母有理化】
2a
【例4】（24-25八年级·湖南邵阳·期末）如果❑√3的整数部分是a，小数部分是b，那么 的值是 ．
b
【答案】❑√3+1
【分析】本题主要考查了无理数的估算能力，分母有理化，能够正确的估算出无理数的大小，是正确解答
此题的关键．
2a
先对❑√3估算出大小，从而求出其整数部分a和小数部分是b，再进一步表示出 分母有理化即可．
b
【详解】解：∵❑√12<❑√3<❑√22，
∴1<❑√3<2，
∵❑√3的整数部分是a，小数部分是b，
∴a=1，b=❑√3−1，
2a 2 2(❑√3+1)
∴ = = =❑√3+1，
b ❑√3−1 (❑√3−1)(❑√3+1)
故答案为：❑√3+1．
【变式4-1】（24-25八年级·湖南怀化·期末）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：❑√a+b ❑√5+4
a※b= ，如5※4= =3，那么(2−❑√3)※(7※5)= ．
a−b 5−4
❑√2+❑√6
【答案】−
4
【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可．
❑√7+5 2❑√3
【详解】解：∵7※5= = =❑√3，
7−5 2
❑√2−❑√3+❑√3 ❑√2 ❑√2(1+❑√3) ❑√2+❑√6
∴(2−❑√3)※(7※5)=(2−❑√3)※❑√3= = = =− ，
2−❑√3−❑√3 2−2❑√3 2(1−❑√3)(1+❑√3) 4
❑√2+❑√6
故答案为：− ．
4
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有
理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键．
1
【变式4-2】（24-25八年级·河北沧州·期末）我们知道(❑√13+3)(❑√13−3)=4，因此在计算 时，
❑√13−3
分子和分母同时乘以❑√13+3，从而将分母中含有的根号通过化简去掉，这就是分母有理化．
1
(1)化简： ；
4+❑√15
1
(2)若a= ，求4a2−12a+5的值；
3−❑√7
【答案】(1)4−❑√15
(2)3
【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的性质与化简．
（1）仿照题中给出的方法计算即可；
（2）先仿照题中给出的方法计算求出a的值，然后代入计算即可．
4−❑√15
【详解】（1）解：原式=
(4+❑√15)(4−❑√15)
4−❑√15
=
16−15
=4−❑√15；
1 3+❑√7 3+❑√7
（2）解：∵a= = = ，
3−❑√7 (3−❑√7)(3+❑√7) 2(3+❑√7) 2 3+❑√7
∴原式=4× −12× +5
2 2
(3+❑√7) 2
=4× −6×(3+❑√7)+5
2
=(3+❑√7) 2 −18−6❑√7+5
=9+6❑√7+7−18−6❑√7+5
=3．
【变式4-3】（24-25八年级·湖南怀化·期末）著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问
题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一
双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．
例如：
❑√3−2❑√2=❑√2−2×1×❑√2+1=❑√(❑√2) 2 −2×1×❑√2+1=❑√(❑√2−1) 2=❑√2−1解决问题：
(1)在括号内填上适当的数：❑√14−6❑√5=❑√9−2×3×❑√5+①=❑√(3−②) 2=③
①：________，②：________，③：________．
(2)根据上述思路，化简并求出❑√52−14❑√3+❑√7+4❑√3的值．
2
(3)设❑√51−❑√392的小数部分为b，求证：❑√51−❑√392=2b+ +1．
b
【答案】(1)5；❑√5；3−❑√5
(2)9
(3)证明见解析
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式．
（1）根据题意即可作答；
（2）根据题意分别将两个式子算出，进而即可求解；
2
（3）根据题意得出❑√51−❑√392值，进而得出b值，代入求出2b+ +1值证明结论．
b
【详解】（1）解：根据题意可得❑√14−6❑√5
=❑√9−2×3×❑√5+5=❑√(3−❑√5) 2
=3−❑√5，
故答案为：5；❑√5；3−❑√5；
（2）解：原式=❑√72−2×7×❑√3+(❑√3) 2+❑√22+2×2❑√3+(❑√3) 2
=❑√(7−❑√3) 2+❑√(2+❑√3) 2
=7−❑√3+2+❑√3
=9．
（3）解：∵❑√51−❑√392=❑√51−14❑√2=❑√(7−❑√2) 2=7−❑√2，
又∵1<❑√2<2，
∴5<7−❑√2<6，
∴b=7−❑√2−5=2−❑√2，
2 2
∴2b+ +1=2×(2−❑√2)+ +1=4−2❑√2+2+❑√2+1=7−❑√2，
b 2−❑√2
2
∴❑√51−❑√392=2b+ +1．
b
【考点5 二次根式的混合运算】
【例5】（24-25八年级·湖南益阳·期末）化简：
1 1 1 1 1
+ + +⋯+ + = ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
【答案】9
【分析】本题考查二次根式分母有理化，以及二次根式的运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．
根据二次根式分母有理化方法化简各项，再结合二次根式的运算法则求解，即可解题．
1 1 1 1 1
【详解】解： + + +⋯+ +
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√98+❑√99 ❑√99+❑√100
❑√2−1 ❑√3−❑√2 ❑√100−❑√99
= + +⋯+
(1+❑√2)(❑√2−1) (❑√2+❑√3)(❑√3−❑√2) (❑√99+❑√100)(❑√100−❑√99)
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√99−❑√98+❑√100−❑√99
=−1+❑√100
=−1+10=9．
【变式5-1】（24-25八年级·宁夏中卫·期末）计算：
(1)❑√18×❑
√2
+(❑√3−1) 2
3
❑√15+❑√60
(2) −3❑√5
❑√3
【答案】(1)4
(2)0
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）先计算二次根式的除法，然后合并同类二次根式，即可求解．
【详解】（1）解：❑√18×❑
√2
+(❑√3−1) 2
3
√ 2
=❑18× +(3−2❑√3+1)
3
=2❑√3+4−2❑√3
=4；
❑√15+❑√60
（2）解： −3❑√5
❑√3
=❑√5+2❑√5−3❑√5
=0
【变式5-2】（24-25八年级·贵州六盘水·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：
a⊗b=❑√ab−❑√a，如3⊗4=❑√3×4−❑√3=❑√3．请你计算5⊗9= ．
【答案】2❑√5
【分析】本题主要考查了实数的运算，正确运用已知运算公式是解题关键．直接利用运算公式代入，进行
计算即可得解 ．
【详解】解：根据题意可得：
5⊗9=❑√5×9−❑√5
=3❑√5−❑√5
=2❑√5，
故答案为：2❑√5．
【变式5-3】（24-25八年级·湖南岳阳·期末）阅读下面的文字，解答问题：大家都知道❑√2是无理数，而且
❑√1<❑√2<❑√4，即1<❑√2<2，无理数是无限不循环小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用❑√2−1来表示❑√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道
理，因为❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：①∵❑√1<❑√3<❑√4，即1<❑√3<2;∴❑√3的整数部分为1，小数部分为(❑√3−1)．
②∵❑√4<❑√5<❑√9，即2<❑√5<3,∴❑√5的整数部分为2，小数部分为(❑√5−2)．
请解答：
(1)❑√10的整数部分为_______，小数部分为_______；
(3 )
(2)设2+❑√13的整数部分为a，小数部分为b，求 a+❑√13 b的值．
5
【答案】(1)3；❑√10−3
(2)4
【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的
取值范围是解题的关键．
（1）先求出❑√10的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可；
（2）先求出❑√13的取值范围，进而确定❑√13的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入
运用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：∵❑√9<❑√10<❑√16，
∴3<❑√10<4，
∴❑√10的整数部分为3，小数部分是❑√10−3．
故答案为：3，❑√10−3；
（2）解：∵3<❑√13<4，
∴2+3<2+❑√13<2+4，即5<2+❑√13<6，
∴2+❑√13的整数部分是a=5，
小数部分是b=2+❑√13−5=❑√13−3．
(3 ) (3 )
∴ a+❑√13 b= ×5+❑√13 (❑√13−3)
5 5
=(3+❑√13)(❑√13−3)
=13−9
=4．【考点6 二次根式的化简求值】
1 2
【例6】（24-25八年级·贵州铜仁·期末）下面是某同学化简 + 的过程：
x+1 x2−1
1 2
+
解：
x+1 x2−1
1 2
= ⋅(x2−1)+ ⋅(x2−1)
…………第①步
x+1 x2−1
=(x−1)+2…………第②步
=x+1…………第③步
(1)该同学的解答过程中，从第______步开始出现错误；（填序号）
(2)写出正确的化简过程，并求出当x=❑√3+1时，该代数式的值．
【答案】(1)①
1 ❑√3
(2)过程见解析， ，
x−1 3
【分析】本题主要考查了分式的加减运算．
（1）观察该同学的解答过程，可发现第①步通分错误，通分应该分子分母同乘以相同的因式；
（2）先将原式通分，然后按照同分母分式相加法则进行计算，再约分，最后将x=❑√3+1代入求值即可．
【详解】（1）解：该同学的解答过程中，从第①步开始出现错误；
故答案为：①；
（2）解：正确的化简过程如下：
1 2
+
x+1 x2−1
x−1 2
= +
(x+1)(x−1) (x+1)(x−1)
x−1+2
=
(x+1)(x−1)
x+1
=
(x+1)(x−1)
1
= ，
x−1
1 ❑√3
当x=❑√3+1时，原式= = ．
❑√3+1−1 3
1
【变式6-1】（24-25八年级·四川成都·期末）小明同学在解决问题“已知a= ，求2a2−8a+1的
2+❑√3值”时，他是这样解答的：
1 2−❑√3
∵a= = =2−❑√3，∴❑√3=2−a，∴(❑√3) 2=(2−a) 2，∴a2=4a−1．
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴2a2−8a+1=2(4a−1)−8a+1=8a−2−8a+1=−1．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
1 1 1 1
(1)化简： + + +⋯+ ；
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2025+❑√2024
1
(2)已知x= ，求2x3−8x2+3x+7的值．
❑√2−1
【答案】(1)44
(2)−3❑√2
【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值，利用整体代
入的方法可简化计算．也考查了平方差公式和分母有理化．
（1）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可；
（2）先分母有理化得到x=❑√2+1，再变形为x−1=❑√2，则两边平方可得x2=2x+1，接着用x表示出
x3=5x+2，则利用降次的方法得到原式=−3x+3，然后把x的值代入计算即可．
【详解】（1）解：原式=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+...+❑√2025−❑√2024
=❑√2025−1
=45−1
=44；
1
（2）解：∵x= =❑√2+1，
❑√2−1
∴x−1=❑√2，
∴(x−1) 2=2，
即x2−2x+1=2，
∴x2=2x+1，
∴x3=x(2x+1)=2x2+x=2(2x+1)+x=5x+2，
∴原式=2(5x+2)−8(2x+1)+3x+7=−3x+3=−3(❑√2+1)+3=−3❑√2．
【变式6-2】（24-25八年级·四川·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题．
2
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化
❑√3+12 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1)
简： = = = = ❑√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1 2
化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比
如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令
xab ， y  ab ，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得
到最后的结果．
1 1 1 1
(1)计算： + + + ...+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m 是正整数， a  ，b  且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知❑√15+x2−❑√26−x2=1，求❑√15+x2+❑√26−x2的值．
❑√2019−1
【答案】(1)
2
(2)m=2
(3)❑√15+x2+❑√26−x2=9
【分析】（1）由题目所给出的规律进行计算即可；
（2）先求出a+b=2(2m+1),ab=1再由2a2+1823ab+2b2=2019进行变形再求值即可；
（3）先得到❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20，然后可得
( ❑√15+x2+❑√26−x2 ) 2 =( ❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 +4❑√15+x2 ⋅ ❑√26−x2=81，最后由
❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0，求出结果
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2019−❑√2017
【详解】（1）原式= + + +⋯+
2 2 2 2
❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2019−❑√2017
=
2
❑√2019−1
= ，
2❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）∵a  ，b  ，
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(❑√m+1−❑√m) 2+(❑√m+1+❑√m) 2
∴a+b= =2(2m+1),ab=1，
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
∵2a2+1823ab+2b2=2019，
∴2(a2+b2 )+1823=2019，
∴a2+b2=98，
∴4(2m+1) 2=100，
∴2m=±5−1，
∵m 是正整数，
∴m=2．
（3）由❑√15+x2−❑√26−x2=1得出(❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 =1，
∴❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20，
∵(❑√15+x2+❑√26−x2
)
2 =(❑√15+x2−❑√26−x2
)
2 +4❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=81，
∵❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0，
∴❑√15+x2+❑√26−x2=9．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运
算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的
解题途径，往往能事半功倍．
【变式6-3】（24-25八年级·四川成都·期末）阅读下列材料，然后回答问题．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如
我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令
x=a+b，y=ab，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10这样，我们不用求出a，b，就可以得到
最后的结果．❑√7+❑√6 ❑√7−❑√6
(1)计算： + =____
❑√7−❑√6 ❑√7+❑√6
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
(2)m是正整数，a= ，b= ，且3a2+1711ab+3b2=2005，求m．
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(3)已知❑√21+x2−❑√17−x2=4，求❑√21+x2+❑√17−x2的值．
【答案】(1)26
(2)m=2；
(3)2❑√15．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用分母有理化化简a，b，从而求出a+b=4m+2，ab=1，然后根据已知可得
3(a+b) 2+1705ab=2005，再利用完全平方公式进行计算即可解答；
（3）利用完全平方公式，进行计算即可解答．
❑√7+❑√6 ❑√7−❑√6
【详解】（1）解： +
❑√7−❑√6 ❑√7+❑√6
(❑√7+❑√6) 2 (❑√7−❑√6) 2
= +
(❑√7−❑√6)(❑√7+❑√6) (❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6)
=(❑√7+❑√6) 2+(❑√7−❑√6) 2
=7+6+2❑√42+7+6−2❑√42
=26；
❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m
（2）解：∵a= ，b= ，
❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m
(❑√m+1−❑√m) 2
∴a= =(❑√m+1−❑√m) 2 ，
(❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m)
(❑√m+1+❑√m) 2
b= =(❑√m+1+❑√m) 2 ，
(❑√m+1−❑√m)(❑√m+1+❑√m)
∴a+b=(❑√m+1−❑√m) 2+(❑√m+1+❑√m) 2=4m+2，ab=(❑√m+1−❑√m) 2 (❑√m+1+❑√m) 2
2
=[(❑√m+1−❑√m)(❑√m+1+❑√m)) =(m+1−m)=1，
∵3a2+1711ab+3b2=2005，
∴3(a+b) 2+1705ab=2005，
∴3(4m+2) 2=300，
∴(4m+2) 2=100，
∵a>0，b>0，
∴a+b=4m+2>0，
∴4m+2=10，
∴m=2；
（3）解：∵❑√21+x2−❑√17−x2=4，
2
∴(❑√21+x2−❑√17−x2) =16，
∴21+x2+17−x2−2❑√21+x2 ⋅❑√17−x2=16，
∴❑√21+x2 ⋅❑√17−x2=11，
2
∴(❑√21+x2+❑√17−x2)
2
=(❑√21+x2−❑√17−x2) +4❑√21+x2 ⋅❑√17−x2
=42+4×11=60，
∵❑√21+x2>0，❑√17−x2≥0，
∴❑√21+x2+❑√17−x2=❑√60=2❑√15．
【考点7 二次根式的应用】
【例7】（24-25八年级·贵州毕节·期末）“海阔千江辏，风翻大浪随．”海浪的大小与风速和风压有很大v2
的关系，用风速估计风压的通用公式为w = ，其中w 为风压(kN/m2)，v为风速(m/s)，当风压为
p 1600 p
0.25kN/m2时，估计风速为 m/s．
【答案】20
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据题中的通用公式表示出风速的表达式，求解即可得出答
案．
【详解】解：由题中给出的公式可知，
当风压为0.25kN/m2时，风速为v=❑√1600×0.25=20(m/s)，
故答案为：20．
【变式7-1】（24-25八年级·福建福州·期末）如图，长方体的底面积为36cm2，长、宽、高的比为4:3:2
，求：
(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？
(2)长方体的表面积和体积分别是多少？
【答案】(1)长为4❑√3cm，宽为3❑√3cm，高为2❑√3cm
(2)表面积为156cm2；体积为72❑√3cm3．
【分析】本题考查几何体的表面积，体积的计算，掌握长方体表面积的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据长方体表面积的计算方法进行计算即可；
（2）根据长方体体积的计算方法进行计算即可．
【详解】（1）解：由于长方体的底面积为36cm2，长、宽、高的比为4:3:2，可设长为4x cm，则宽为
3x cm，高为2x cm，
所以有4x⋅3x=36，解得x=❑√3，负值舍去
即长为4❑√3cm，宽为3❑√3cm，高为2❑√3cm；
（2）解：表面积为(4❑√3×3❑√3+4❑√3×2❑√3+3❑√3×2❑√3)×2=156(cm2 )；体积为
4❑√3×3❑√3×2❑√3=72❑√3(cm3 )；
答：这个长方体的表面积为156cm2；体积为72❑√3cm3．
【变式7-2】（24-25八年级·广东佛山·期末）如图1，若干张边长a 、a 、a …的正方形纸片，面积分为S
1 2 3 1、S 、S …，且有以下关系：
2 3
S =2×1+1=3
1
，a =❑√3
1
S =2×2+1=5，a =❑√5
2 2
S =2×3+1=7，a =❑√7
3 3
(1)填空：S =_________，S =__________（用含正整数n的式子表示）；
5 n
(2)如图2，在大正方形纸片中放置两个小正方形，面积分别为S ，S ，重叠部分是一个面积为S 的正方
12 13 1
形，求空白部分的面积；
(3)如图3，有一张面积为S 的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为4:3，面积为120，能将这
40
张贺卡不折叠的放入此信封吗？为什么？
【答案】(1)S =11，S =2n+1
5 n
(2)S =20❑√3−12
空
(3)正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由见解析
【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的实际应用，算术平方根的实际应用：
（1）根据已有等式进行推导即可得出结果；
（2）根据空白部分的面积等于大正方形的面积减去S ，减去S ，再加上S ，进行求解即可；
12 13 1
（3）设长方形的长为4x，宽为3x，列出方程求出长和宽，比较宽与面积为S 的正方形的边长大小，即
40
可得出结论．
【详解】（1）解：∵S =2×1+1=3，
1
S =2×2+1=5，
2
S =2×3+1=7，
3
⋯
∴S =2×5+1=11，S =2n+1；
5 n
（2）由（1）可得：S =2×1+1=3，S =2×12+1=25，S =2×13+1=27，
1 12 13∴a =5,a =3❑√3，
12 13
∵a =3❑√3
1
∴大正方形的边长为：a +a −a =5+3❑√3−❑√3=5+2❑√3，
12 13 1
∴空白部分的面积=(5+2❑√3) 2 −25−27+3=20❑√3−12；
（3）正方形卡片能够直接装进长方形封皮中，理由如下：
设长方形的长为4x，宽为3x，则：4x⋅3x=120，
∴x=❑√10，
∴长方形的宽为：3❑√10，
∵S =2×40+1=81，
40
∴a =9，
40
∵3❑√10>9，
∴正方形卡片能够直接装进长方形封皮中．
【变式7-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，点D和E
分别是BC和AB上的两点，连接DE，将△BDE沿DE折叠得到△B′DE，点B′恰好落在AC的中点处，
DE与BB′交于点F，求折痕DE的长度．
5❑√10
【答案】
12
【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到BC=AC=2❑√2，再根据折叠的性质得到BD=B′D，
BE=B′E，得到DE是BB′的垂直平分线；设BD=B′D=x，在Rt△CDB′中利用勾股定理建立方程，解
出x的值，再利用勾股定理可得到DF的长；过B′作B′G⊥AB交于点G，先证明△B′GA是等腰直角三角
形，得到B′G=AG=1，设BE=B′E= y，在Rt△EGB′中利用勾股定理建立方程，解出y的值，再利用勾
股定理可得到EF的长；最后利用DE=DF+EF即可得出答案．
【详解】解：∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AB 4
∴∠A=45°，BC=AC= = =2❑√2，
❑√2 ❑√2
∵点B′恰好落在AC的中点处，
1
∴B′C=AB′= AC=❑√2，
2
∴BB′=❑√BC2+B′C2=❑√10，
由折叠的性质可得，BD=B′D，BE=B′E，
∴DE是BB′的垂直平分线，
1 ❑√10
∴BF= BB′= ，DE⊥BB′，
2 2
∴∠DFB=∠EFB=90°；
设BD=B′D=x，则CD=BC−BD=2❑√2−x，
在Rt△CDB′中，CD2+B′C2=B′D2，即(2❑√2−x) 2+(❑√2) 2=x2，
5❑√2
解得：x= ，
4
∴DF=❑√BD2−BF2=❑
√ (5❑√2) 2
−
(❑√10) 2
=
❑√10
；
4 2 4
如图，过B′作B′G⊥AB交于点G，则∠B′GA=∠B′ ≥=90°，
∴∠B′GA=90°−∠A=45°
，
∴∠B′GA=∠A，
∴△B′GA是等腰直角三角形，
AB′
∴B′G=AG= =1，
❑√2
∴BG=AB−AG=4−1=3，
设BE=B′E= y，则EG=BG−BE=3−y，
在Rt△EGB′中，EG2+B′G2=B′E2，即(3−y) 2+12= y2，5
解得：y= ，
3
∴EF=❑√BE2−BF2=❑
√ (5) 2
−
(❑√10) 2
=
❑√10
；
3 2 6
❑√10 ❑√10 5❑√10
∴DE=DF+EF= + = ．
4 6 12
5❑√10
∴折痕DE的长度为 ．
12
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定、折叠的性质、勾股定理、二次根式的计算，熟练掌握
以上知识点，学会添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．本题属于几何压轴题，需要较强的几
何知识储备，适合有能力解决几何难题的学生．
【考点8 勾股定理】
【例8】（24-25八年级·内蒙古包头·期末）如图，小方格都是边长为2的正方形，则△ABC中BC边上的
高是（ ）
A．2.4 B．2.6 C．2.8 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，以及等面积法求高，设△ABC中BC边上的高是ℎ，利用割补法求出
△ABC的面积，再利用勾股定理求出BC的长，利用△ABC的面积建立等式求解，即可解题．
【详解】解：设△ABC中BC边上的高是ℎ，
∵小方格都是边长为2的正方形，
1 1
∴ S =(2×4) 2−2× ×6×8− ×2×2=14，
△ABC 2 2
∵ BC=❑√62+82=10，
1 1
∴ BC⋅ℎ = ×10ℎ =14，
2 2∴ℎ =2.8，
故选：C．
【变式8-1】（24-25八年级·四川达州·期末）如图，在四边形ABCD中，
∠B=90°，BC=4，AE⊥CD，垂足为E，AE=CE，连接AC，若DE=5， AD=❑√61．求：
(1)AC的长；
(2)四边形ABCD的面积．
【答案】(1)6❑√2
(2)4❑√14+33
【分析】本题主要考查了勾股定理的综合运用、三角形面积的计算等知识点；由勾股定理求出
AE、AC、AB是解题的关键．
（1）由垂直的定义得出∠AED=∠AEC=90°，由勾股定理求出AE，再求出CE，然后根据勾股定理求
解即可；
（2）由勾股定理求出AB，再求出CD，再根据S =S +S 求解即可．
四边形ABCD △ABC △ACD
【详解】（1）解：∵AE⊥CD，
∴∠AED=∠AEC=90°，
∵AD=❑√61，DE=5，
∴AE=❑√AD2−DE2=6，
∴CE=AE=6，
∴AC=❑√AE2+CE2=6❑√2．
（2）解：∵∠B=90°，
∴AB=❑√AC2−BC2=2❑√14，
∵CD=CE+DE=6+5=11，
1 1 1 1
∴S =S +S = AB⋅BC+ CD⋅AE= ×2❑√14×4+ ×11×6=4❑√14+33．
四边形ABCD △ABC △ACD 2 2 2 2
【变式8-2】（24-25八年级·上海松江·期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB．点D、E在线段AB上．
(1)如图1，如果CD=CE，求证：AD=BE．
(2)如图2，如果∠DCE=45°，求证：DE2=AD2+BE2．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）如图所示，过点C作CF⊥AB于F，利用三线合一定理得到AF=BF，DF=EF，由此即
可证明AD=BE；
（2）如图所示，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，连接EF，则BF=AD，证明
△FCE≌△DCE，得FE=DE，再证明∠EBF=90°，则FE2=BF2+BE2，即可证得
DE2=AD2+BE2．
【详解】（1）证明：如图所示，过点C作CF⊥AB于F，
∵CA=CB，CD=CE，
∴AF=BF，DF=EF，
∴AF−DF=BF−EF，
∴AD=BE；
（2）证明：如图所示，将△ACD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到△BCF，连接EF，
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠CBA=∠A=45°，
由旋转得CF=CD，∠CBF=∠CAD=45°，∠ACD=∠BCF，
∵∠DCE=45°，∴∠FCE=∠BCF+∠BCE=∠ACD+∠BCE=90°−45°=45°，
∴∠FCE=∠DCE，
∵CE=CE，
∴△FCE≌△DCE(SAS)，
∴FE=DE，
∵∠CBF=∠A=∠CBA=45°，
∴∠EBF=90°，
∴FE2=BF2+BE2，
∵BF=AD，
∴DE2=AD2+BE2．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定
理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
【变式8-3】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，Rt△ABC，∠A=90°，将△ABC沿DE翻折，使得
点C与点B重合．若AB=6，AC=8，则折痕DE的长为（ ）
15 25
A．4 B． C．5 D．
4 4
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由勾股定理求出BC=10，由折叠得到DB=DC，DE⊥BC设DB=DC=x，则AD=8−x，在
25
Rt△ABD中，由勾股定理得62+(8−x) 2=x2，求出DB=DC= ，再由面积法得到
41 1
BC×DE= CD×AB，即可求解．
2 2
【详解】解：Rt△ABC，∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴由勾股定理得BC=❑√AB2+AC2=10，
∵将△ABC沿DE翻折，使得点C与点B重合．
∴DB=DC，DE⊥BC
设DB=DC=x，则AD=8−x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD2+AB2=BD2，
∴62+(8−x) 2=x2，
25
解得：x= ，
4
1 1
∵ BC×DE= CD×AB，
2 2
25
×6
∴ CD×AB 4 15，
DE= = =
BC 10 4
故选：B．
【考点9 勾股定理的逆定理】
【例9】（24-25八年级·江西上饶·阶段练习）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝
15，AC＝20．
(1)求CD的长；
(2)求AB的长；
(3)判断△ABC的形状．
【答案】（1）CD长为12；（2）AB的长为25；（3）△ABC是直角三角形
【详解】解：在△BCD中，∵CD⊥AB，
∴BD2＋CD2＝BC2
∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144．∴CD＝12．
（2）在△ACD中，∵CD⊥AB，
∴CD2＋AD2＝AC2
∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256．
∴AD＝16．
∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25．
（3）∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，
∴AB2＝BC2＋AC2
∴△ABC是直角三角形．
【变式9-1】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC
的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上．
(1)填空：AC=_______，AB=_____，BC=_____；
(2)△ABC是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．
【答案】(1)❑√2，2❑√2，❑√10
(2)△ABC是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理计算即可；
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可；
【详解】（1）解：由网格得，AC=❑√12+12=❑√2，AB=❑√22+22=2❑√2，BC=❑√12+32=❑√10，
故答案为：❑√2，2❑√2，❑√10；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AC2+AB2=(❑√2) 2+(2❑√2) 2=10，BC2=(❑√10) 2=10，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形．【变式9-2】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）某小区计划对临街直角转弯处进行改造，如图所示设计一片
绿化地（四边形ABCD），D点处放置一雕像，已知AB=3m，BC=4m，CD=13m，AD=12m，求这
片绿化地的面积．
【答案】这片绿地的面积是36m2
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用以及三角形面积等知识，连接AC，由∠B=90°
，由勾股定理求得AC=5cm；再由勾股定理的逆定理证得△ACD是直角三角形，根据两三角形的面积可
求出绿化地的面积．
【详解】解：如图，连接AC，
∵∠ABC=90∘，AB=3m，BC=4m，
∴AC=❑√AB2+BC2=❑√32+42=5(m)，
∵CD=13m，AD=12m，
∴AD2+AC2=DC2
∴△ADC是直角三角形，
1 1
∴S = AD⋅AC= ×12×5=30(m2)，
△DAC 2 2
1 1
∴S = AB⋅BC= ×3×4=6(m2)，
△ACB 2 2∴S =30+6=36(m2)
四 边 形ABCD
答：这片绿地的面积是36m2．
【变式9-3】（24-25八年级·广东广州·期末）若x，y，z均为正整数，x与y互素，且x2+ y2=z2，则称数
组(x,y,z)为基本勾股数组．观察下列基本勾股数组：
(3,4,5)；
(5,12,13)；
(7,24,25)；
(9,40,41)；
…
(1)根据以上规律，写出x=11时，基本勾股数组中y，z之值；
(2)若(x,y,z)为基本勾股数组，当y=8时，求x与z的值；
(3)请你猜想基本勾股数组(x,y,z)中x，y，z的规律，并证明你的猜想．
【答案】(1)y=60,z=61
(2)x=15,z=17
(3)猜想：当x为大于 1 的奇数时，x=2k+1（k为正整数），
x2−1 x2+1
y= =2k2+2k,z= =2k2+2k+1，证明见解析
2 2
【分析】本题主要考查了新定义：基本勾股数组，乘法公式的运用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）观察所给数据，找出规律求解即可；
（2）根据题意可知(z−x)(z+x)= y2=64，因为x和z均为整数，所以将 64 因式分解，再逐一讨论即
可；
（3）猜想：猜想：当x为大于 1 的奇数时，x=2k+1（k为正整数），
x2−1 x2+1
y= =2k2+2k,z= =2k2+2k+1．然后代入验证是否符合x2+ y2=z2即可得证．
2 2
【详解】（1）解：观察数据我们发现：
32−1 32+1
(3,4,5)中，4= ,5= ，
2 2
52−1 52+1
(5,12,13)中，12= ,13= ，
2 272−1 72+1
(7,24,25)中，24= ,25= ，
2 2
92−1 92+1
(9,40,41)中，40= ,41= ，
2 2
x2−1 x2+1
(x,y,z)中，y= ,z= ，
2 2
112−1 112+1
∴当x=11时，y= =60,z= =61；
2 2
（2）解：∵(x,y,z)为基本勾股数组，
∴x2+ y2=z2，即z2−x2= y2，
∴(z−x)(z+x)= y2，
已知y=8，则y2=64，
设z−x=m,z+x=n(m,n为正整数，且n>m)，
{z−x=m)
则 ，
z+x=n
m+n n−m
解得z= ,x= ，
2 2
又 ∵mn=64，且x,z为正整数，x与y互素，
对 64 进行因数分解64=1×64=2×32=4×16=8×8．
1+64
①当m=1,n=64时，z= =32.5（舍去， 2 不是正整数）；
2
2+32 32−2
②当m=2,n=32时，z= =17,x= =15，
2 2
∵8和 15 互素，
∴x=15,z=17符合题意；
4+16 16−4
③当m=4,n=16时，z= =10,x= =6，
2 2
∵6和 8 有公约数，不互素，
∴x=6,z=10，不符合题意；
④当m=8,n=8时，x=0（舍去，x不是正整数）；
综上，x=15,z=17；
（3）解：猜想：当x为大于 1 的奇数时，x=2k+1（k为正整数），x2−1 x2+1
y= =2k2+2k,z= =2k2+2k+1．
2 2
证明：∵x=2k+1,y=2k(k+1)，
∴x,y互素，
∵x2=(2k+1) 2=4k2+4k+1，
[(2k+1) 2−1) 2 (4k2+4k+1−1) 2 (4k2+4k) 2
y2= = = =4k2 (k+1) 2，
2 4 4
则x2+ y2=4k2+4k+1+4k2 (k+1) 2
=4k2+4k+1+4k2(k2+2k+1)
=4k2+4k+1+4k4+8k3+4k2
=4k4+8k3+8k2+4k+1，
z2=(2k2+2k+1) 2
=4k4+4k2 (2k+1)+(2k+1) 2
=4k4+8k3+8k2+4k+1，
∴x2+ y2=z2．
【考点10 勾股数（树）】
【例10】（24-25八年级·江苏南京·期中）满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A:∠B:∠C=3:4:5 B．a=1，b=2，c=❑√5
C．∠C=∠A−∠B D．(b+c)(b−c)=a2
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理，以及勾股定
理逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵ ∠A:∠B:∠C=3:4:5，
∴设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
∴3x+4x+5x=180°，
∴x=15°，
∴∠A=3x=45°，∠B=4x=60°，∠C=5x=75°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意．B、∵a=1，b=2，c=❑√5，
∴12+22=(❑√5) 2 ，即a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形．不符合题意；
C、∵∠C=∠A−∠B，
∴∠A=∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意；
D、∵(b+c)(b−c)=a2，
∴b2−c2=a2，
∴b2=a2+c2，
∴△ABC为直角三角形．不符合题意．
故选：A．
【变式10-1】（24-25八年级·吉林·期末）下列各组数中，是勾股数的为（ ）
A．1，1，❑√2 B．1.5，2，2.5 C．4，5，6 D．5，12，13
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这
三个数是勾股数，据此求解即可
【详解】解：A、❑√2不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、1.5，2.5不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、42+52≠62，不是勾股数，不符合题意；
D、因为52+122=132，所以5，12，13是勾股数，符合题意．
故选：D．
【变式10-2】（24-25八年级·河北沧州·期末）在如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是等
腰直角三角形，且最大的正方形的面积为4，按照图①至图③的规律设计图案．图③中所有正方形的面积
和为 ．【答案】12
【分析】本题考查了正方形与等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形的性质求出最大正方形的边长为2，根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理求出最大等腰
直角三角形的腰长为❑√2，即中等正方形的边长为❑√2，同理求出中等等腰直角三角形的腰长为1，即最小
正方形的边长为1，计算即可得到答案．
【详解】解：∵最大的正方形的面积为4，设最大正方形的边长为a(a>0)，
∴a2=4，
∴a=2，
∵所有的三角形都是等腰直角三角形，设最大等腰直角三角形的腰长为b(b>0)，
∴2b2=22，
∴b=❑√2，
∴中等正方形的边长为❑√2，
同理可得中等等腰直角三角形的腰长为1，最小正方形的边长为1，
∴图③中所有正方形的面积和为4+2(❑√2) 2+4×12=4+4+4=12，
故答案为：12．
【变式10-3】（24-25八年级·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角
形构成，S ，S ，S ，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是
1 2 3
64，9，则S −S +S −S 的值为
1 2 3 4
【答案】55
【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得 ， ， ，
S =a2+b2 S =b2+c2 S =c2+d2
1 2 3，然后列式解答即可．
S =d2+e2
4
【详解】解：建立如图的数据，
由题意得a2=64，e2=9，S =a2+b2 ，S =b2+c2 ，S =c2+d2 ，S =d2+e2 ，
1 2 3 4
∴S −S +S −S
1 2 3 4
=a2+b2−(b2+c2)+(c2+d2)−(d2+e2)
=a2−e2
=64−9=55，
故答案为：55．
【考点11 勾股定理的应用】
【例11】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，
DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两
村到E站的距离相等．则E应建在距A km．
【答案】15
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用DE=CE，再结合勾股定理求出即可．
【详解】解：设AE=xkm，则BE=(25−x)km，∵DE=CE
，
∴AD2+AE2=BE2+BC2，
故102+x2=(25−x) 2+152，
解得；x=15．
故答案为：15．
【变式11-1】（24-25八年级·江苏泰州·期中）如图，在笔直的公路AB旁有一个城市书房C，C到公路AB
的距离CD为80米，AC为100米，BC为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若
公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在
城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响．
【答案】70
【分析】如图，设CE=170米，由勾股定理求出AD和DE的长，则可求出答案．
【详解】解：如图，设CE=170米，
∵∠CDE=90°，CD=80米，
∴DE=❑√CE2−CD2=❑√1702−802=150（米），
∵CD=80米，AC=100米，
∴AD=❑√AC2−CD2=❑√1002−802=60（米），
∴EA=AD+DE=60+150=210（米），210
∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为 =70（秒），
3
故答案为：70．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式11-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，
高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为
_____cm．
【答案】25
【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧
面展开图，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内，
由题意，得PA=6+6+6+6=24(cm)，QA=7cm，
在Rt△PQA中，由勾股定理得：PQ2=PA2+QA2=242+72=625，
解得：PQ=25（负值已舍去）
故答案为：25．
【变式11-3】（24-25八年级·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大
门前有两条长度均为200米的通道MA、MB通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320
米．(1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走
到公路l的距离最短，求新路MD的距离；
(2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距
312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过BC区间用时16秒，试判断该车是否超
速，并说明理由．
【答案】(1)新路MD长度是120米
(2)该车没有超速，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量
关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边
为待求量时，常使用勾股定理进行求解．
（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出AD=160m，然后利用勾股定理可求出新路MD
长度；
（2）先根据勾股定理求出DC的长，再求出BC的长，然后计算出速度判断即可．
【详解】（1）解：过点M作MD⊥l，交l于点D．MD即是新路．
∵MA=MB=200m,MD⊥l,AB=320m，
1 1
∴AD= AB= ×320=160m,∠ADM=90°，
2 2
在Rt△ADM中，∠ADM=90°，
由勾股定理得AD2+M D2=AM2，
∵AM=200m,AD=160m，
∴MD=120m，
∴新路MD长度是120米．
（2）解：该车没有超速．理由如下：
在Rt△CMD中，∠CDM=90°，由勾股定理得M D2+DC2=CM2，
∵CM=312m,MD=120m，
∴CD=❑√3122−1202=288m，
∴BC=DC−BC=288−160=128m，
∵该车经过BC区间用时16秒，
128
∴该车的速度为 =8m/s，
16
∵8m/s<8.33m/s，
∴该车没有超速．
【考点12 平行四边形的性质】
【例12】（24-25八年级·河南洛阳·期末）如图，已知平行四边形ABCD中AB=3,AD=5，则如图：
AC2+BD2的值为 ．
【答案】68
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，先根据平行四边形的性质，
利用AAS证明△ABM≌△DCN，设BM=CN=x，AM=DN= y，则x2+ y2==9，然后根据勾股定理表
示AC2+BD2，然后整体代入计算解题．
【详解】解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC交BC的延长线于点N，
∴∠AMB=∠AMC=∠DNC=90°，
又∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABM=∠DCN，
∴△ABM≌△DCN，
∴BM=CN，AM=DN，
设BM=CN=x，AM=DN= y，
∴x2+ y2=AB2=9，
∴AC2+BD2
=AM2+MC2+DN2+BN2= y2+(5−x) 2+ y2+(5+x) 2
= y2+x2−10x+25+ y2+x2+10x+25
=2(y2+x2)+50
=2×9+50
=68，
故答案为：68．
【变式12-1】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=5．按下列
步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA，DC于点E，F；
1
②分别以点E，F为圆心，大于 EF长为半径画弧，两弧交于点P；
2
③连接DP并延长交BC于点G．则BG的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的画法，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，由作图可知DG是∠ADC
的平分线，得∠ADG=∠CDG，由平行四边形的性质得AD∥BC，BC=AD=5，即得
∠ADG=∠CGD，得到∠CDG=∠CGD，即可得CG=CD=3，进而根据线段的和差关系即可求解，
掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由题可得，DG是∠ADC的平分线，
∴∠ADG=∠CDG，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC=AD=5，
∴∠ADG=∠CGD，
∴∠CDG=∠CGD，
∴CG=CD=3，
∴BG=BC−CG=5−3=2，
故选：B.
【变式12-2】（24-25八年级·山东淄博·期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交
AD于点E，F，BE，CF相交于点G．
(1)求证：BE⊥CF；
(2)若AB=5，CF=6，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的
性质．
（1）根据平行四边形两组对边分别平行可得∠ABC+∠BCD=180°，再根据角平分线的性质可得
1 1
∠EBC+∠FCB= ∠ABC+ ∠DCB=90°，进而可得BE⊥CF；
2 2
（2）过A作AM∥FC，首先证明△ABE是等腰三角形，进而得到BO=EO，再利用勾股定理计算出EO
的长，进而可得答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
1 1
∴∠EBC+∠FCB= ∠ABC+ ∠DCB=90°，
2 2
∴EB⊥FC；
（2）解：如图，过A作AM∥FC，交AE于点O，∵AM∥FC，
∴∠AOB=∠FGB，
∵EB⊥FC，
∴∠FGB=90°，
∴∠AOB=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5，
∵AO⊥BE，
∴BO=EO，
在△AOE和△MOB中，
{∠AEO=∠MBO
)
BO=EO ，
∠AOE=∠BOM
∴ △AOE≌△MOB(ASA)，
∴AO=MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM=FC=6，
∴AO=3，
∴EO=❑√AE2−AO2=4，
∴BE=8．
【变式12-3】（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，点E是AD中点，作
EF⊥BD于点F，已知AB=4，AC=6，则EF的长为 ．6
【答案】
5
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题
的关键．
通过计算OA、OB的长度，利用三角形面积公式求得S =S =3，即可求出答案．
△OAE △ODE
【详解】解：如图，连接OE，
，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=6，
1
∴OA= AC=3，OB=OD，
2
1 1
∴S =S = AB⋅OA= ×4×3=6，
△OAD △OAB 2 2
∵AB⊥AC，
∴∠OAB=90°，
∴OB=❑√AB2+OA2=❑√42+32=5，
∴OD=5，
∵点E是AD中点，
1 1
∴S =S = S = ×6=3，
△OAE △ODE 2 △AOD 2
∵EF⊥BD，
1
∴S = OD⋅EF=3，
△ODE 2
∴OD⋅EF=6，
即5EF=6，
6
∴EF= ，
56
故答案为： ．
5
【考点13 平行四边形的判定】
【例13】（2025·河北石家庄·一模）如图，已知线段AB、AD和射线BP，且AD∥BP，在射线BP上找
一点C，使得四边形ABCD是平行四边形，下列作法不一定可行的是（ ）
A．过点D作DC∥AB与BP交于点C
B．在AD下方作∠ADC与BP交于点C，使∠ADC=∠ABP
C．在BP上截取BC，使BC=AD，连接DC
D．以点D为圆心，AB长为半径画弧，与BP交于点C，连接DC
【答案】D
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的判
定．
根据基本作图和平行四边形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】解：A．由作法得DC∥AB，而AD∥BP，则四边形ABCD是平行四边形，所以A选项不符合
题意；
B．由作法得∠ADC=∠ABP，由AD∥BP得∠ADC=∠DCP，则∠DCP=∠ABP，所以DC∥AB
，则四边形ABCD是平行四边形，所以B选项不符合题意；
C．由作法得BC=AD，而AD∥BP，则四边形ABCD是平行四边形，所以C选项不符合题意；
D．由作法得DC=AB，而AD∥BP，则四边形ABCD也可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以
D选项符合题意．
故选：D．
【变式13-1】（24-25八年级·山东菏泽·期末）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延
长，交AB的延长线于F点，AB=BF，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四
边形ABCD为平行四边形，请证明．你添加的条件是 ．【答案】∠F=∠CDE
【分析】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的
关键．
由题目的已知条件可知添加∠F=∠CDE，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC=BF=AB，
且DC∥AB，进而证明四边形ABCD为平行四边形．
【详解】解：条件是：∠F=∠CDE，
理由如下：∵∠F=∠CDE，
∴CD∥AF，
在△DEC与△FEB中，
{∠DCE=∠EBF
)
CE=BE ，
∠CED=∠BEF
∴△DEC≌△FEB(ASA)，
∴DC=BF，∠C=∠EBF，
∴DC∥AB，
∵AB=BF，
∴DC=AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故答案为：∠F=∠CDE．
【变式13-2】（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则
图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
【详解】解：设EF与NH交于点O，∵在 ▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8
个．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四
边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
【变式13-3】（24-25八年级·青海海东·期末）在Rt△ABC中，∠ABC=90°,∠ACB=30°．将△ABC
绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是点D、E．
(1)如图1，当点E恰好落在AC边上时，求∠ADE的度数；
(2)如图2，当α=60°时，点A、E、D在同一条直线上，点F是边AC的中点，求证：四边形BFDE是平行
四边形．
【答案】(1)15°
(2)见解析
【分析】（1）利用旋转的性质得CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，再根据等
腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD，进而计算出∠ADE的度数；
（2）利用直角三角形斜边上的中线性质和含30度的直角三角形三边的关系得到BF=AB，再根据旋转的
性质得到∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，从而得到DE=BF，△ACD和△BCE为等边三
角形，接着证明△CFD≌△ABC得到DF=BC，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
【详解】（1）解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，
∵CA=CD，1 1
∴∠CAD=∠CDA= (180°−∠ACB)= ×(180°−30°)=75°，
2 2
∴∠ADE=∠DEC−∠CAD=90°−75°=15°；
（2）证明：∵点F是边AC中点，∠ABC=90°，
1
∴BF=CF= AC，
2
∵∠ACB=30°，
1
∴AB= AC，
2
∴BF=CF=AB，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，
∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，
∴BE=CB，AC=CD，
∵点F为△ACD的边AC的中点，
∴DF⊥AC，
在Rt△ABC和Rt△CFD中，
{AC=CD)
，
AB=CF
∴Rt△CFD≌Rt△ABC(HL)，
∴DF=BC，
∴DF=BE，
又∵DE=BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，
等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，
能够综合运用上述知识点是解题的关键．
【考点14 平行四边形的判定与性质】
【例14】（24-25八年级·广东深圳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，CD=2AD,M是AB的中点，
连接DM,MC．下列结论：①DM⊥CM；②AD+BC=CD；③MC平分∠DCB；④若
DM=3,CM=4，则平行四边形ABCD的面积为24．其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行四边形性质得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，根据CD=2AD，得出
AD+BC=CD，即可判断②正确；取CD的中点N，连接MN，证明四边形ADNM为平行四边形，得出
MN=AD，证明MN=DN=CN，根据等腰三角形的性质得出∠NDM=∠NMD，∠NMC=∠NCM，
求出∠DMN+∠CMN=90°，即可判断①正确；根据平行线的性质得出∠NCM=∠BMC，根据
BM=BC，得出∠BMC=∠BCM，证明∠NCM=∠BCM，即可判断③正确；求出
1 1
S = CM×DM= ×3×4=6，根据平行四边形的性质得出S =2S =2×6=12，判断④错
△CDM 2 2 ▱ABCD △CDM
误．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵CD=2AD，
∴AD+BC=CD，故②正确；
取CD的中点N，连接MN，如图所示：
1
则DN=CN= CD，
2
∵M为AB的中点，
1
∴AM=BM= AB，
2
∴AM=DN，
∵DN∥AM，
∴四边形ADNM为平行四边形，∴MN=AD，
1
∵AD= CD，
2
∴MN=DN=CN，
∴∠NDM=∠NMD，∠NMC=∠NCM，
∵∠NDM+∠NMD+∠NMC+∠NCM=180°，
∴∠DMN+∠CMN=90°，
∴DM⊥CM，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠NCM=∠BMC，
1 1
∵AD=BC，BM= AB，AD= AB，
2 2
∴BM=BC，
∴∠BMC=∠BCM，
∴∠NCM=∠BCM，
∴CM平分∠DCB，故③正确；
∵CM⊥DM，DM=3,CM=4，
1 1
∴S = CM×DM= ×3×4=6，
△CDM 2 2
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S =2S =2×6=12，故④错误；
▱ABCD △CDM
综上分析可知：正确的有3个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性
质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行四边形的判定和性质．
【变式14-1】（24-25八年级·山东威海·期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在
AB延长线上，连接ED，且ED=AD，过A作AF⊥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CF，CE．(1)求证：四边形BECF为平行四边形；
(2)若AB=2，求四边形BECF的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2❑√7+2
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是
掌握平行四边形的判定与性质．
（1）根据等边三角形的性质可得BD=DC，∠BAD=∠CAD=30°，然后证明△ADF为等边三角形，
可得ED=DF，进而可以证明四边形BECF为平行四边形；
（2）根据AB=2可得BF的长，然后证明BE=BD，进而可得四边形BECF的周长．
【详解】（1）证明：∵AD是等边△ABC的BC边上的高，
∴BD=DC，
∠BAD=∠CAD=30°，
∵ED=AD
∴∠AED=30°
∴∠ADF=60°
∵AF⊥AB，
∴∠DAF=90°−∠EAD=90°−30°=60°，
∴△ADF为等边三角形，
∴AD=DF，
∵ED=AD，
∴ED=DF，
∵BD=DC，
∴四边形BECF为平行四边形；
（2）解：∵AB=2∴BD=1，AD=❑√3．
∵△ADF为等边三角形，
∴AF=AD=❑√3
∴BF=❑√7．
∵∠ABC=60°，∠AED=30°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=BD=1
∴四边形BECF的周长为=2(BE+BF)=2❑√7+2．
【变式14-2】（2025·江苏无锡·一模）如图，在△ABC中，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线
上，若BF=5CF，四边形CDEF是平行四边形，且△BDE与△ADE的面积和为6，则△ABC的面积为
．
【答案】24
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形的面积等知识，连接EC，过A作AM∥BC交
1
FE的延长线于点M，证四边形ACFM是平行四边形，再证S +S = S =6，设平行四
△BDE △ADE 2 平行四边形ACFM
边形ACFM的边CF上的高为h，则CF⋅ℎ =12，然后证BC=4CF，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于点M，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥CD，
∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，
∴四边形ACFM是平行四边形，
∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，∴S =S ，
△BDE △CDE
同理：S =S ，
△ADE △AME
1
∴S +S = S =6，
△BDE △ADE 2 平行四边形ACFM
∴S =2×6=12，
平行四边形ACFM
设平行四边形ACFM的边CF上的高为h，
则CF⋅ℎ =12，
∵BF=5CF，
∴BC=4CF，
1 1
∴S = BC⋅ℎ = ×4CF⋅ℎ =2×12=24，
△ABC 2 2
故答案为：24．
【变式14-3】（24-25八年级·福建漳州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（
BD<CD），过点B，C分别作射线AD的垂线，垂足分别为点E，F．点G在FC的延长线上，且
∠G=∠CBE．
(1)求证：四边形BCGE为平行四边形；
(2)若AE=CF=7，△EFG的周长为24，求CG的长．
【答案】(1)见解析
(2)CG=1
【分析】（1）根据平行线的判定可得BE∥CF，BC∥EG，根据平行四边形的判定即可求证；
（2）根据全等三角形的判定和性质可得BE=AF，根据平行四边形的性质可得BE=CG，推得CG=AF
，设CG=x，则AF=x，根据△EFG的周长列式求得EG=10，根据勾股定理求解．
【详解】（1）证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA=∠CFE=90°，
∴BE∥CF，
∴∠CBE=∠BCF．∵∠G=∠CBE，
∴∠BCF=∠G，
∴BC∥EG，
∴四边形BCGE为平行四边形．
（2）解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
在Rt△ABE和Rt△CAF中，
{AE=CF)
，
AB=AC
∴Rt△ABE≌Rt△CAF(HL)，
∴BE=AF，
∵四边形BCGE为平行四边形，
∴BE=CG，
∴CG=AF．
设CG=x，则AF=x，
∴EF=7−x，FG=7+x．
∵△EFG的周长为EF+FG+EG=24，
∴EG=10，
在Rt△EFG中，EF2+FG2=EG2，
∴(7−x) 2+(7+x) 2=102．
解得：x =1，x =−1（不合题意，舍去）
1 2
∴CG=1．
【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟
练掌握以上判定和性质是解题的关键．
【考点15 菱形的性质】
【例15】（24-25八年级·山东东营·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，
AE∥BD，OE与AB交于点F．若OE=5，AC=8，则菱形ABCD的面积为 ．【答案】24
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等；由平行四边形的判定方法得四
边形OAEB是平行四边形，由平行四边形的性质得BE=OA，再判定四边形OCBE是平行四边形，由平行
四边形的性质得BC=OE=5，由S =4S ，即可求解；掌握菱形的性质，平行四边形的判定及
菱形ABCD △BOC
性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，
AC⊥BD，
∵ BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形OAEB是平行四边形，
∴BE=OA，
∴BE=OC，
∵BE∥OC，
∴四边形OCBE是平行四边形，
∴BC=OE=5，
∴OB=❑√BC2−OC2
=❑√52−42
=3，
∴S =4S
菱形ABCD △BOC
1
=4× ×4×3
2
=24；
故答案：24．
【变式15-1】（24-25八年级·陕西安康·期末）如图，四边形ABCD是菱形，四边形AECF是正方形，若
∠B=46❑∘，求∠BAE的度数．【答案】22°
【分析】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点是解
决本题的关键．
如图：连接AC，则AC为正方形AECF与菱形ABCD的对角线，再根据正方形、菱形的性质以及等腰三
角形的性质求解即可．
【详解】解：如图：连接AC，则AC为正方形AECF与菱形ABCD的对角线，
∴∠EAC=∠FAC=45°，AB=BC，
∵∠B=46❑∘，
180°−∠B
∴∠BAC= =67°，
2
∴∠BAE=∠BAC−∠EAC=22°．
【变式15-2】（24-25八年级·四川成都·期末）如图，菱形ABCD的边长为10cm，对角线AC与BD相交于
点O，其中BD长12cm．
(1)求对角线AC的长度；
(2)若AE∥DB，且交CB的延长线于点E．
①根据题意，把图形补充完整；
②求三角形AEC的面积．
【答案】(1)16cm(2)①见解析；②96cm2
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，理解并掌握菱形的性质是解题关键．
（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可；
（2）①根据题意，补齐图形即可；②证明四边形AEBD为平行四边形，根据直角三角形的面积公式进行
计算即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点O，
1
∴∠BOC=90°，BO= BD=6，
2
∴OC=❑√BC2−BO2=❑√102−62=8，
∴AC=2OC=16(cm)；
（2））①根据题意把图形补充完整：
②∵AE∥DB，
∴∠EAC=∠BOC=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴AD∥BE，
∴四边形AEBD为平行四边形，
∴AE=BD=2OB=12，
∵AC=16，
1
∴三角形AEC的面积= ×AE×AC=96(cm2)．
2
【变式15-3】（24-25八年级·河南郑州·期末）在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，将△ABE绕
点A逆时针旋转，得到△AHG，点E,B对应的点分别为G,H，GH所在直线分别与直线AD，直线CD相
交于点M,N．(1)观察猜想：如图1，当线段AH经过点C时，线段NH与线段ND的数量关系是________，线段AN与线
段HD的位置关系是________；
(2)探究证明：如图2，当AH不经过点C时，（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成
立，请说明理由；
(3)拓展延伸：若∠B=30°，AB的长为2，当线段NH与直线CD垂直时，请直接写出NH的长．
【答案】(1)NH=ND，AN⊥HD
(2)成立，理由见解析
(3)❑√3+1或❑√3−1
【分析】（1）延长AN交DH于点L，根据菱形的性质得到∠ABC=∠ADN，AB=AD，再根据旋转的
性质得到AH=AB，∠AHN=∠ABC，得出AH=AD，∠AHN=∠ADN，利用等腰三角形的性质和
线段垂直平分线的判定即可得到答案；
（2）同（1）即可得到答案；
（3）分两种情况：当△AGH在直线AB的右侧时，当△AGH在直线AB的左侧时；分别利用直角三角形
的性质勾股定理，矩形的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1，延长AN交DH于点L，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠ADN,AB=AD，
∵ △ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，
∴AH=AB,∠AHN=∠ABC，∴AH=AD,∠AHN=∠ADN，
∴∠AHD=∠ADH，
∴∠AHD−∠AHN=∠ADH−∠ADN，
∴∠NHD=∠NDH，
∴NH=ND，
∵AH=AD,NH=ND，
∴AN垂直平分HD，
∴AN⊥HD，
故答案为：NH=ND，AN⊥HD；
（2）解：（1）中的两个结论成立，理由如下，
如图2
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=∠ADN,AB=AD，
∵ △ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，
∴AH=AB,∠AHN=∠ABC，
∴AH=AD,∠AHN=∠ADN，
∴∠AHD=∠ADH，
∴∠AHD−∠AHN=∠ADH−∠ADN，
∴∠NHD=∠NDH，
∴NH=ND，
∵AH=AD,NH=ND，
∴AN垂直平分HD，
∴AN⊥HD，
∴（1）中的两个结论成立；
（3）解：当△AGH在直线AB的右侧时，
如图3，该点A作AQ⊥CD于点Q，菱形ABCD中，∠B=30°，AB=2,AE⊥BC，
∴∠D=∠A=30°，AD=AB=BC=2，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=30°，
1
∴AE= AB=1，
2
∴BE=❑√AB2−AE2=❑√3，
1
同理AQ= AD=1，
2
∵∠G=∠AQN=∠GNQ=90°，
∴四边形AGNQ是矩形，
∴GN=AQ=1，
由旋转得：GH=BE=❑√3，
∴NH=GH−GN=❑√3−1；
当△AGH在直线AB的左侧时，
如图4，过点A作AQ⊥CD于点Q，
同理可得：GN=AE=AQ=1,GH=❑√3，
∴NH=GH+GN=❑√3+1，综上，当线段NH与直线CD垂直时NH的长为❑√3+1或❑√3−1．
【点睛】本题考查是四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的
性质，勾股定理等，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【考点16 菱形的判定】
【例16】（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，根据平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定
其为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据菱形的判定方法解
答．
根据菱形的判定解答即可．
【详解】解：A．由图可知，平行四边形的一个角为70°，一边与对角线夹角50°，则另一边与对角线夹角
为180°−70°−50°=60°，则平行四边形的邻边不相等，所以该平行四边形不是菱形，该选项不符合题
意；
B．平行四边形的一条边为10，对角线的一半分别分为8，6，其满足勾股定理的逆定理：102=82+62，所
以对角线相互垂直，故是菱形，符合题意；
C．平行四边形的一条边为6，对角线为12，其一半为6，缺少对角线互相垂直的条件，故不是菱形，不符
合题意；
D．由图可知180°−30°−50°=100°，故对角线不垂直，所以不是菱形，不符合题意；
故选：C．
【变式16-1】（24-25八年级·福建厦门·期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
AC⊥BD，BD平分∠ABC．给出下列两个条件：①AD=CD，②AD∥BC；从二者中选择一个作为
补充条件，使四边形ABCD是菱形，这个条件是 ．（填写序号）【答案】②
【分析】根据题意可证明AB=AD，再由AC⊥BD可得BO=DO，再证明△ADO≅△BOC得AD=BC
，进而证明四边形ABCD是平行四边形，从而可得结论．
【详解】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD,
若AD∥BC，则有：∠ADB=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD，
∵AC⊥BD，
∴BO=DO，∠AOB=∠AOD=∠BOC=90°,
又∠ADB=∠CBD,
∴△ADO≅△BOC，
∴AD=BC,
∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为②．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定及全等三角形的判定与性质，正确掌握菱形的判定定理是解答本题的
关键．
【变式16-2】（24-25八年级·贵州遵义·期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交
于点O，且AC=10，BD=6，AB=4．(1)求证：AB⊥BD；
(2)E，F分别是AD和BC的中点，连接BE，DF，求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行四边形性质得到AO=CO=5，BO=DO=3，再利用勾股定理逆定理得到△ABO
为直角三角形，即可证明AB⊥BD；
1 1
（2）利用直角三角形性质和线段中点的特点，得到BE=DE=AE= AD，BF=CF= BC，结合平行
2 2
四边形性质得到BF=DE，进而证明四边形BEDF是平行四边形，再根据BE=DE，即可证明平行四边形
BEDF是菱形．
本题考查平行四边形性质和判定，勾股定理逆定理，直角三角形性质，线段中点的特点，菱形的判定，熟
练掌握运用这些判定和性质是解题关键．
【详解】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=10，BD=6，
∴ AO=CO=5，BO=DO=3．
∵ AB=4，
∴ 32+42=52，即BO2+AB2=AO2，
∴ △ABO为直角三角形，∠ABD=90°，
∴ AB⊥BD．
（2）证明：由（1）知△ABO为直角三角形．
∵E，F分别是AD和BC的中点，
1 1
∴ BE=DE=AE= AD，BF=CF= BC．
2 2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD，BC∥AD，
∴ BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
又∵BE=DE，
∴平行四边形BEDF是菱形．
【变式16-3】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是对角线，点B、
E、C、G在同一条直线上，且BE=EC=CG，AE延长线交DC延长线于F．(1)求证：△ABE≌△FCE；
(2)条件：①AC=BD；②BC=2CD．
请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形DEFG的形状（两个都写以第一个为准）．
【答案】(1)见解析
(2)选①时，四边形DEFG是菱形，理由见解析；选②时，四边形DEFG是矩形，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握这些特殊四
边形的判定与性质；
（1）根据平行四边形和平行线的性质得出∠ABE=∠FCE，然后根据ASA证明△ABE≌△FCE即可；
（2）选①时，先证明平行四边形ABCD是矩形，可得出DF⊥EG，根据全等三角形的性质得出
AB=CF=CD，然后证明四边形DEFG是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证；
选②时，根据全等三角形的性质得出AB=CF=CD，然后证明四边形DEFG是平行四边形，结合已知和
平行四边形的性质可证得EG=DF，然后根据矩形的判定即可得证．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF，
∴∠ABE=∠FCE，
又BE=CE，∠AEB=∠FEC，
∴△ABE≌△FCE(ASA)；
（2）解：选①时，四边形DEFG是平行四边形；
理由：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，AB=CD，
∴∠BCD=90°，即DF⊥EG，
∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF=CD，
又CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形；
又DF⊥EG，
∴平行四边形DEFG是菱形；
选②时，四边形DEFG是矩形；
理由：如图，
∵△ABE≌△FCE，
∴AB=CF=CD，
又CE=CG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∴DF=2CD，∵BC=2CD，BE=CE，
∴CD=CE，
又EC=CG，
∴FD=EG，
∴平行四边形DEFG是矩形．
【考点17 菱形的的判定与性质】
【例17】（24-25八年级·辽宁本溪·期末）如图，正方形ABCD是小明用木条制作的一个学具，在取放学
具时，学具发生了形变，此时∠D =30°，则形变后四边形A BCD 的面积是原正方形ABCD面积的
1 1 1
（ ）
1 ❑√2 ❑√3 ❑√3
A． B． C． D．
2 2 2 3
【答案】A
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含30°角直角三角形的性质．正确添加辅助线是
解题的关键．
过点A 作A H⊥BC于点H，则可得四边形A BCD 为菱形，∠A BC=∠D =30°，设
1 1 1 1 1 1
1
BA =BA=BC=2x，则A H= BA =x，即可计算菱形A BCD 的面积，继而求解．
1 1 2 1 1 1
【详解】解：过点A 作A H⊥BC于点H，
1 1
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC=CD=AD，
由题意可得BA =BA=BC=A D =CD ，
1 1 1 1
∴四边形A BCD 为菱形，
1 1∴∠A BC=∠D =30°，
1 1
设BA =BA=BC=2x
1
∵A H⊥BC
1
1
∴A H= BA =x
1 2 1
∴S =BC⋅A H=2x2 ，
菱形A BCD 1
1 1
而S =(2x) 2=4x2，
正方形ABCD
S 1
∴ 菱形A 1 BCD 1= ，
S 2
正方形ABCD
故选：A．
【变式17-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
DE∥AC，CE∥BD．若AB=6，BC=8，则四边形OCED的周长为 ．
【答案】20
【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握相关性质定理．
1
先根据勾股定理得出AC=❑√AB2+BC2=10，再根据矩形的性质得出OC= AC=5，最后通过证明四边
2
形OCED是菱形，结合菱形的性质，即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OC=OD，
∴AC=❑√AB2+BC2=10，
1
∴OC= AC=5，
2
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵OC=OD，
∴四边形OCED是菱形，∴四边形OCED的周长=4×5=20，
故答案为：20．
【变式17-2】（24-25八年级·浙江台州·期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接EB，DF．
(1)求证：四边形EBFD为菱形；
(2)若∠BAD=105°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)15°
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到BO=DO，∠OBF=∠ODE，证明 BOF≌△DOE（ASA），得到
BF=DE，证得四边形EBFD为平行四边形，又因为EF⊥BD，得到四边形EB△FD为菱形；
（2）根据菱形的性质得到∠DBF=∠DBE=2∠ABE，所以
∠ABC=∠ABE+∠DBE+∠DBF=5∠ABE，利用平行线的性质得到∠DAB+∠ABC=180°，求解
即可得到∠ABE的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BO=DO，
∴∠OBF=∠ODE，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=∠DOE=90°，
在 BOF和 DOE中，
{∠△OBF=∠△ODE
)
BO=DO
∠BOF=∠DOE
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形EBFD为菱形；
（2）∵四边形EBFD为菱形，
∴∠DBF=∠DBE，
∵∠DBF=2∠ABE，
∴∠DBF=∠DBE=2∠ABE，
∴∠ABC=∠ABE+∠DBE+∠DBF=5∠ABE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴105°+5∠ABE=180°，
∴∠ABE=15°．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，
掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键．
【变式17-3】（24-25八年级·辽宁沈阳·期末）已知：△ABC，尺规作图得四边形DBEC，作图步骤如
下：
1
（i）分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点P，Q；
2
（ii）直线PQ交AC于点D，连接BD；
（iii）以B为圆心，以BD的长为半径作弧，交直线PQ于点E，连接CE，BE．
(1)根据尺规作图，请直接判断四边形DBEC的形状，并说明判断的根据；
(2)在（1）的前提下，若∠BAC=90°，AB=4，AC=8，求四边形DBEC的周长．
【答案】(1)菱形，四边相等四边形是菱形
(2)20
【分析】（1）根据作图得到PQ垂直平分BC， 然后得到BD=CD=BE=CE，即可求解；
（2）首先根据题意得到AD=8−BD，然后利用勾股定理得到42+(8−BD) 2=BD2，求出BD=5，然后利用菱形的性质求解即可．
【详解】（1）根据作图可得，PQ垂直平分BC
∴BD=CD，BE=CE
∵由作图得，BD=BE
∴BD=CD=BE=CE
∴四边形DBEC是菱形，判断的根据是四边相等四边形是菱形；
（2）∵AC=AD+CD=AD+BD=8
∴AD=8−BD
∵∠BAC=90°，
∴AB2+AD2=BD2
∴42+(8−BD) 2=BD2
∴BD=5
∴四边形DBEC的周长=4BD=20．
【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线以及垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的性质和判定等知识，解
题的关键是掌握以上知识点．
【考点18 矩形的性质】
【例18】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中
AD
点，连接AF，BF，CE，DE，若四边形GEHF是矩形，则 的值为（ ）
AB
1 ❑√2 1
A．1 B． C． D．
2 2 4
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形的性质，连接EF，由矩形
1
的性质和直角三角形的性质得到EF= AB，再证明四边形ADFE是平行四边形，得到AD=EF，则
2
AD AE 1
= = ．
AB 2AE 2【详解】解析：连接EF，
∵ 四边形GEHF是矩形，
∴∠AFB=90°．
∵E为AB的中点，
1
∴EF= AB，
2
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∵E，F分别是边AB，CD的中点，
1 1
∴DF= CD= AB=AE，
2 2
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AD=EF，
AD AE 1
∴ = = ，
AB 2AE 2
故选：B．
【变式18-1】（24-25八年级·辽宁沈阳·期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，
AE=AD，AF=CE，连接DE、BF，若∠CAD=40°，则∠BFE的度数为（ ）
A．75° B．70° C．55° D．40°
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．先得出CF=AE，根据矩形的性质得出AD=BC，AD∥BC，再得出∠CFB=∠CBF，进而求出
∠CAD=∠FCB=40°，进一步可得出答案．
【详解】解：∵AE=AF+EF，AF=CE，∴CF=CE+EF=AF+EF=AE，
即CF=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵AE=AD，
∴CF=BC，
∴∠CFB=∠CBF，
∵∠CAD=40°，AD∥BC，
∴∠CAD=∠FCB=40°，
1 1
∴∠CFB=∠CBF= (180°−∠FCB)= (180°−40°)=70°，
2 2
故选：B．
【变式18-2】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4，对角线AC、BD
相交于点O，过点O的直线交CD的延长线于点G，交边AD于点E，若AE=2.5，则DG的长为 ．
【答案】3
【分析】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据面积求线段的长度等知识，设直线OG
交BC于点F，由矩形的性质得
OA=OC,AD∥BC,CD=AB=2,AD=BC=4,∠BCD=∠ADC=∠ADG=90°，而AE=2.5，则
DE=1.5，可证明△AOE≌△COF，得AE=CF=2.5，则S =4，由
四边形CDEF
1 1
S =4+ ×1.5DG= ×2.5×(2+DG)，求得DG=3，于是得到问题的答案，证明△AOE≌△COF
△CFG 2 2
是解题的关键．
【详解】解：设直线OG交BC于点F，如图：∵四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,AE=2.5，对角线AC、BC交于点O，
∴OA=OC，AD∥BC,CD=AB=2,AD=BC=4 ，∠BCD=∠ADC=∠ADG=90°，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，DE=AD−AE=4−2.5=1.5 ，
在△AOE和△COF中，
{∠OAE=∠OCF
)
∠OEA=∠OFC ，
OA=OC
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE=CF=2.5，
1
∴S = ×(1.5+2.5)×2=4，
四边形CDEF 2
1 1
∵S =4+ ×1.5DG= ×2.5×(2+DG)，
△CFG 2 2
∴DG=3，
故答案为：3．
【变式18-3】（24-25八年级·陕西宝鸡·期末）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE,DE．
若CE=CD，过点D作DF⊥CE于点F．求证：CF=EB．
【答案】见解析
【分析】此题考查矩形的性质，根据矩形的性质得出AB∥CD，∠B=90°，进而利用AAS证明三角形全
等解答即可．【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B=∠DCB=90°，
∵DF⊥CE，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFC=∠B，∠DCF=∠CEB=90°−∠ECB，
在△CFD与△EBC中，
{∠DCF=∠CEB
)
∠DFC=∠B ，
CD=CE
∴△CFD≌△EBC(AAS)，
∴CF=EB．
【考点19 矩形的判定】
【例19】（24-25八年级·河北保定·期末）如图，P，Q分别为平行四边形边AB，CD的中点，O为PQ与
AC的交点，在对角线AC上作点M，N，使以M，Q，N，P为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作
图．
嘉嘉： 淇淇：
以点O为圆心， 分别过点P，Q作
OP的长为半径作弧，交AC于点M，N． PM⊥AC于点M，QN⊥AC于点N．
下列说法正确的是（ ）
A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确
C．两人都正确 D．两人都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定定理，由平行四边
形的性质可得AB∥CD，OA=OC，证明△AOP≌△COQ得出OP=OQ，由作图可得
OP=OM=OQ=ON，即可判断嘉嘉的作法；证明△OPM≌△OQN得出OM=ON，即可判断淇淇的作
法，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，OA=OC，
∴∠CQO=∠APO，∵∠AOP=∠COQ，
∴△AOP≌△COQ，
∴OP=OQ，
由作图可得：OP=OM=OQ=ON，
∴四边形MPNQ为平行四边形，MN=PQ，
∴四边形MPNQ为矩形，故嘉嘉正确；
∵PM⊥AC，QN⊥AC，
∴∠PMO=∠QNO=90°，
∵∠POM=∠NOQ，OP=OQ，
∴△OPM≌△OQN，
∴OM=ON，
∴四边形MPNQ为平行四边形，故淇淇错误；
故选：A．
【变式19-1】（24-25八年级·辽宁大连·期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为
矩形．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列验证方法中错误的为（ ）
A．OA=OB B．AC=BD C．OA=OC D．OA=OD
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据
矩形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：∵平行四边形ABCD，
1 1
∴OA=OC= AC,OB=OD= BD，
2 2
∵OA=OB，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；由OA=OC无法判断平行四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
∵平行四边形ABCD，
1 1
∴OA=OC= AC,OB=OD= BD，
2 2
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选C
【变式19-2】（2025·江苏常州·一模）如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A
作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．
(1)求证：D是BC的中点；
(2)若AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)若AB=AC，则四边形AFBD是矩形，证明见解析
【分析】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点．
（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用AAS证明△AEF和△DEC全等，再根
据全等三角形的性质和等量关系即可求解；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易证四边形AFBD是平行四边形，而AB=AC，AD是中线，利用等腰
三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可证四边形AFBD是矩形．
【详解】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵点E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
{∠AFE=∠DCE
)
∠AEF=∠DEC ，
AE=DE∴△AEF≌△DEC(AAS)，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD，
∴D是BC的中点；
（2）解：若AB=AC，则四边形AFBD是矩形．证明如下：
∵△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴CD=BD，
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形．
【变式19-3】（24-25八年级·陕西咸阳·期末）如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，
∠BAD=∠D，点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，连接CF、CE，DA与CE的延长线交于点G
．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)若∠1=2∠2，CF=5，求AF+BC的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)AF+BC的值为5．
【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到1
AB∥CD求得∠D+∠BAD=180°，得到∠BAD=∠D= ×180°=90°，根据矩形的判定定理得到结
2
论；
（2）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，求得∠1=∠BCF，∠2=∠G，推出 ∠G=∠FCG，得到
FG=CF=5，由点E是AB边上的中点，得到AE=BE，然后证明△AEG≌△BEC(AAS)，根据全等三角
形的性质得到AG=BC，再由等量代换得到结论．
【详解】（1）证明：∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠BAD=180°，
∵∠BAD=∠D，
1
∴∠BAD=∠D= ×180°=90°，
2
∴四边形ABCD为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠BCF，∠2=∠G，
∵∠1=2∠2，
∴∠BCF=2∠2，
∴∠FCG=∠2，
∴∠G=∠FCG，
∴FG=CF=5，
∵点E是AB边上的中点，
∴AE=BE，
在△AEG与△BEC中，
{
∠2=∠G
)
∠AEG=∠CEB
AE=BE
∴△AEG≌△BEC(AAS)，
∴AG=BC，
∴FG=AG+AF=BC+AF=5，
故AF+BC的值为5．
【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的判定定理和全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【考点20 矩形的判定与性质】
【例20】（24-25八年级·贵州黔南·期末）如图，在面积为S的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，E，F，G分别是BC，OB，OC的中点，则四边形EFOG的面积为（ ）
1 1 1 1
A． S B． S C． S D． S
4 8 12 16
【答案】B
【分析】连接OE，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到∠EFO，∠EGO，∠FOG都是直角，
即可得到四边形OFEG是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形OFEG的面积．
【详解】解：如图所示，连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，
又∵E是BC的中点，
∴OE＝BE＝CE，
又∵F，G分别是BO，CO的中点，
∴EF⊥OB，EG⊥OC，
∴四边形OGEF是矩形，
∵菱形ABCD的面积为S，
1
∴ AC×BD＝S，即AC×BD＝2S，
2
1 1 1 1 1 1 1
∴四边形EFOG的面积＝OG×OF＝ OC× OB＝ AC× BD＝ AC×BD＝ ×2S＝ S．
2 2 4 4 16 16 8
故选：B．【点睛】此题考查菱形的性质及中点问题，进而求面积，难度一般．
【变式20-1】（24-25八年级·江苏·期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，点A
到边CD的距离为5，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】25
【分析】过点A作AF⊥CD于点D，AE⊥BC于点E，通过证明四边形AFCE为矩形，进而得出
△EAB≌△FAD(AAS)，则四边形ABCD的面积=S +S =S +S =S ，即
△ADF 四边形AFCB △ABE 四边形AFCB 矩形AFCE
可求解．
【详解】解：过点A作AF⊥CD于点D，AE⊥BC于点E，
∵点A到边CD的距离为5，
∴AF=5，
∵AF⊥CD，AE⊥BC，∠C=90°，
∴四边形AFCE为矩形，
∴∠EAF=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF−∠BAF=∠BAD−∠BAF，即∠EAB=∠FAD，
在△EAB和△FAD中，{∠EAB=∠FAD
)
∠E=∠AFD ，
AB=AD
∴△EAB≌△FAD(AAS)，
∴S =S ，AF=AE=5，
△ADF △ABE
∴四边形ABCD的面积=S +S =S +S =S =AE⋅AF=25，
△ADF 四边形AFCB △ABE 四边形AFCB 矩形AFCE
故答案为：25．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握有三个角为直
角的四边形是矩形，全等三角形对应边相等，面积相等．
【变式20-2】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如图：在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC
的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN于点E．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)连接DE，交AC于点F，直接写出DF与AB之间的关系为 ．
【答案】(1)见解析
1
(2)DF= AB
2
【分析】（1）由三角形中线的性质得出∠B=∠ACB，AD⊥BC．由角平分线的定义和三角形外角的性
质可证∠CAN=∠ACB，即得出AN∥CB，结合题意即得出∠AEC=∠DAN=∠ADC=90°，则四边
形ADCE是矩形；
1
（2）根据矩形的性质得出AE=CD，DF= DE，结合三角形中线的性质证明四边形ABDE为平行四边
2
1
形，得出AB=DE，即DF= AB．
2
【详解】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，AD是中线，
∴∠B=∠ACB，AD⊥BC，∴∠ADC=90°．
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，
1
∴∠MAN=∠CAN= ∠CAM．
2
∵∠CAM=∠B+∠ACB，
∴∠CAN=∠ACB，
∴AN∥CB，
∴∠DAN=∠ADC=90°．
∵CE⊥AN，
∴∠AEC=∠DAN=∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：∵四边形ADCE是矩形，点F为对角线AC，DE的交点，
1
∴AE=CD，DF= DE．
2
∵AD是中线，
∴BD=CD，
∴AE=BD．
由（1）可知AN∥CB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB=DE，
1
∴DF= AB．
2
【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的判定和性
质，三角形中线的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键．
【变式20-3】（24-25八年级·山东青岛·单元测试）如图，ON为∠AOB中的一条射线，点P在边OA上，
PH⊥OB于H，交ON于点Q，PM∥OB交ON于点M，MD⊥OB于点D，QR∥OB交MD于点R，
连接PR交QM于点S．
(1)求证：四边形PQRM为矩形；1
(2)若OP= PR，试探究∠AOB与∠BON的数量关系，并说明理由．
2
【答案】(1)见解析
(2)∠AOB=3∠BON，见解析
【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得PH∥MD，再根据平行于同一直线的两直线平行可
得PM∥QR，然后求出四边形PQRM是平行四边形，再求出∠MPQ=90°，根据有一个角是直角的平行
四边形是矩形证明即可；
1
（2）根据矩形的对角线互相平分可得PS= PR，然后求出OP=PS，根据等边对等角的性质可得
2
∠POS=∠PSO，再根据两直线平行，同位角相等可得∠SQR=∠BON，根据三角形的一个外角等于与
它不相邻的两个内角的和求出∠PSO=2∠SQR，然后整理即可得解．
【详解】（1）证明：∵PH⊥OB，MD⊥OB，
∴PH∥MD，
∵PM∥OB，QR∥OB，
∴PM∥QR，
∴四边形PQRM是平行四边形，
∵PH⊥OB，
∴∠PHO=90°，
∵PM∥OB，
∴∠MPQ=∠PHO=90°，
∴四边形PQRM为矩形；
（2）解：∠AOB=3∠BON．理由如下：
∵四边形PQRM为矩形，
1
∴PS=SR=SQ= PR，
2
∴∠SQR=∠SRQ，
1
又∵OP= PR，
2
∴OP=PS，
∴∠POS=∠PSO，
∵QR∥OB，
∴∠SQR=∠BON，在△SQR中，∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠SQR=2∠BON，
∴∠POS=2∠BON，
∴∠AOB=∠POS+∠BON=2∠BON+∠BON=3∠BON，
即∠AOB=3∠BON．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的
一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
【考点21 正方形的性质】
【例21】（24-25八年级·四川广安·期末）如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长
一倍得到新正方形A B C D ，把正方形A B C D 边长按原法延长一倍得到A B C D （如图2），以
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
此下去……，正方形A B C D 的面积为（ ）
4 4 4 4
A．125 B．500 C．600 D．625
【答案】D
【分析】根据小正方形ABCD的面积为1，边长也为1，则A B C D 的边长为❑√(1+1) 2+12=❑√5，则
1 1 1 1
A B C D 的面积为(❑√5) 2=5，A B C D 的边长为❑√(❑√5+❑√5) 2+(❑√5) 2=5，则A B C D 的面积为
1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2
25=52，A B C D 的边长为❑√(5+5) 2+52=5❑√5，则A B C D 的面积为(5❑√5) 2=125=53，猜想规
3 3 3 3 3 3 3 3
律，A B C D 的面积为5n，解答即可．
n n n n
本题考查了勾股定理，正方形的性质，规律猜想，熟练掌握勾股定理，正确探索规律是解题的关键．
【详解】解：根据小正方形ABCD的面积为1，边长也为1，
则A B C D 的边长为❑√(1+1) 2+12=❑√5，A B C D 的面积为(❑√5) 2=5，
1 1 1 1 1 1 1 1A B C D 的边长为❑√(❑√5+❑√5) 2+(❑√5) 2=5，A B C D 的面积为25=52，
2 2 2 2 2 2 2 2
A B C D 的边长为❑√(5+5) 2+52=5❑√5，A B C D 的面积为(5❑√5) 2=125=53，
3 3 3 3 3 3 3 3
猜想规律，A B C D 的面积为5n，
n n n n
故正方形A B C D 的面积为54=625，
4 4 4 4
故选D．
【变式21-1】（24-25八年级·重庆巴南·期末）如图，先将正方形ABCD对折，折痕为MN，再沿DE折
叠，使点C落在折痕MN上，记为点F，连接AF，已知正方形边长为2，则AF的长为（ ）
A．❑√2 B．❑√3 C．2 D．❑√5
【答案】C
【分析】本题考查了正方形与折叠问题．由正方形ABCD可得AD=CD=2，由折叠的性质可得MN是线
段AD的垂直平分线，推出AF=DF，再由折叠的性质可得DC=DF=2，即可得到AD=AF=DF=2．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=2，
由折叠的性质可得MN是线段AD的垂直平分线，
∴AF=DF，
再由折叠的性质可得DC=DF=2，
∴AD=AF=DF=2，
故选：C．
【变式21-2】（24-25八年级·河南许昌·期末）如图，E为正方形ABCD边BC上一点，连接AE，将AE绕
点A顺时针旋转45°得到线段AF，连接BF．若AD=2，则线段BF长度的最小值为 ．【答案】2−❑√2/−❑√2+2
【分析】如图，连接AC，在AC上截取AM=AB，连接EM，证明△ABF≌△AME，可得BF=EM．当
EM⊥BC时，EM的值最小．过点M作MN⊥BC于点N，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接AC，在AC上截取AM=AB，连接EM，
∵正方形ABCD，AD=2，
∴∠D=90°，∠BAC=45°=∠ACB，AD=CD=2，
∵∠FAE=45°，AC=2❑√2，
∴∠BAF=∠MAE，
∵AF=AE，
∴△ABF≌△AME，
∴BF=EM．
当EM⊥BC时，EM的值最小．
过点M作MN⊥BC于点N，
∴MC=AC−AM=2❑√2−2，
❑√2
∴MN= MC=2−❑√2．
2
故线段BF长度的最小值为2−❑√2．
故答案为：2−❑√2
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性
质，旋转的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．【变式21-3】（24-25八年级·云南红河·期末）如图，四边形ABCD是正方形，以点B为坐标原点，
BC,BA分别在x轴，y轴上，点E在AB边上，点E的坐标为(0,12)，点F在BC边的延长线上，CF=3，连
接EF，过点D作DH⊥EF于点H，交BC于点M，连接EM,DF和DE，且DF=DE．
(1)求证：DH垂直平分EF；
(2)求正方形ABCD的边长；
(3)求点H的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)15
(3)H(9,6)
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，坐标与图形，
熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）根据：DH⊥EF，DE=DF，即可得证；
（2）证明Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，△ADE≌△CDF得出CF=AE，进而根据BE=12，CF=3，即
可求解；
（3）根据中点坐标公式，即可求解．
【详解】（1）证明：∵DH⊥EF，DE=DF
∴∠EDH=∠FDH
∴EH=HF
∴DH垂直平分EF；
（2）解：在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
{AD=CD)
，
DF=DE
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴CF=AE∵点E的坐标为(0,12)，
∴BE=12，
∵CF=3
∴AB=AE+EB=CF+BE=3+12=15
（3）解：∵CF=3，BC=AB=15
∴OF=BC+CF=BA+CF=15+3=18
∴F(18,0)
又点E的坐标为(0,12)，H是EF的中点
∴H(9,6)
【考点22 正方形的判定】
【例22】（24-25八年级·浙江绍兴·期末）如图，对折等边△ABC纸片，展开铺平，折痕为CH（如图
1），再折叠纸片，使点A，B都落在CH上，且与点D重合，折痕分别为EH和FH（如图2）．在此基础
上继续折叠，小聪和小明分别提供了以下两种方案：
小聪说：将纸片沿EF向上折叠，使得点H落在点G处．
小明说：将∠CED对折，使得角两边EC与ED重合，折痕交CH于点G．
两种方案折叠后均展开铺平，连结EG，FG，则以上方案中折出的四边形EHFG为正方形的是（ ）
A．两个方案都能 B．小聪的方案
C．小明的方案两个方案都不能
【答案】A
【分析】本题考查了正方形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，熟练掌握折叠（即是
轴对称）的性质是解题的关键．
由折叠的方法和对称性质可得：∠EHF=90°，EH=FH，再由两种方案的折叠方法可证明四边形EHFP
是正方形．
【详解】：连接EF，因为△ABC是等边三角形，CH所在直线是△ABC的一条对称轴，由折叠方法可知：EH=FH，∠EHA=∠EHC=∠CHF=∠FHB=45°，E、F是关于CH的对称，
∴CH⊥EF，EK=FK，即CH是EF的垂直平分线，∠EHF=90°，
小聪的方案，将纸片沿EF向上折叠，使得点H落在点G处，
∴EH=HF=FG=≥¿，
∴四边形EHFG是菱形，
又∵∠EHF=90°，
∴菱形EHFG是正方形；
小明方案，将∠CED对折，使得角两边EC与ED重合，折痕交CH于点G．
1 1
∵∠AEH=∠DEH= ∠AED，∠CEG=∠DEG= ∠CED，
2 2
1
∴∠HEG=∠DEH+∠DEG= (∠AED+∠CED)=90°，
2
∴∠EGH=∠EHC=45°，EG∥HF，
∴EG=EH=HF，
∴四边形EHFG是平行四边形
∴平行四边形EHFG是是正方形；
综上所述：两种方案中折出的四边形EHFG为正方形；
故选A．
【变式22-1】（24-25八年级·浙江台州·期末）甲，乙两位同学采用折叠的方法，判断两张四边形纸片是否
为正方形．
甲：如图①进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形；
乙：如图②进行两次折叠，每次折叠后折痕两侧部分能完全重合，故判断原四边形是正方形．
下列判断正确的是（ ）A．仅甲正确 B．仅乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【答案】D
【分析】利用折叠的性质和菱形、矩形、正方形的判定即可得出答案．
【详解】解∶①按照图①折叠，可得四边形的四边相等，原四边形是菱形或正方形；
②按照图②折叠，可得四边形的四个角相等，不能得四条边相等，原四边形是矩形；
故选∶ D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形、矩形、正方形的判定等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
【变式22-2】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的
三等分点，连接AE,CE,AF,CF．求证：
(1)△ABE≌△CDF；
1
(2)连接AC，若AC⊥BD，且AC= BD，判断四边形AECF的形状，并证明．
3
【答案】(1)证明见解析
(2)四边形AECF为正方形
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥DC，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用
SAS来判定△AED≌△CFB即可得解；
（2）如图，连接AC交BD于O，证明AE∥CF，可得四边形AECF为平行四边形，结合AC⊥BD，可
得四边形AECF为菱形，证明AC=EF，可得四边形AECF为正方形．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥DC．∴∠ABE=∠CDF．
∵点E，F是对角线BD上的三等分点，
∴BE=EF=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
（2）解：四边形AECF为正方形．理由如下：
如图，连接AC交BD于O，
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形AECF为菱形，
1
∵AC= BD，BE=EF=DF，
3
∴AC=EF，
∴四边形AECF为正方形．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判
定，熟记特殊四边形的判断方法是解本题的关键．
【变式22-3】（24-25八年级·山东枣庄·期末）如图，平行四边形ABCD，连结BD，∠DBC=90°．点E
在CD边上，过点E作EG⊥BC，垂足为F，交AB延长线于点G，连接BE，CG．
(1)求证：DE=BG；
(2)当E为CD中点时，四边形BECG是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足（2）的条件下，当△BCD满足什么条件时，四边形BECG是正方形？（不必说明理由）【答案】(1)见解析
(2)四边形BECG是菱形，见解析
(3)∠BDC=45°或BD=BC或△BCD是等腰直角三角形
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠EFC=90°，得到∠DBC=∠EFC，根据平行四边形的性质得到
AB∥CD，得到BG∥DE，根据平行四边形的判定定理得到四边形BGED是平行四边形，于是得到
DE=BG；
（2）由E为CD中点，得到CE=DE，得到CE=BG，根据平行四边形的性质得到DC∥BG，得到
BE=EC，根据菱形的判定定理得到四边形BECG是菱形；
（3）根据正方形的判定定理得到结论．
【详解】（1）证明：∵EG⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∵∠DBC=90°，
∴∠DBC=∠EFC，
∴DB∥EG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴BG∥DE，
∴四边形BGED是平行四边形，
∴DE=BG；
（2）解：四边形BECG是菱形．
理由如下：
∵E为CD中点，
∴CE=DE，
∵DE=BG，
∴CE=BG，
∵四边形BGED是平行四边形，
∴DC∥BG，
∴四边形BECG是平行四边形；
∵∠DBC=90°，E为DC中点，
∴BE=EC，
∴四边形BECG是菱形；（3）解：当△BCD满足BD=BC（答案不唯一）时，四边形BECG是正方形，
理由：由（2）知，四边形BECG是菱形，
∵BD=BC，BD=EG，
∴BC=EG，
∴四边形BECG是正方形．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，正
方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
【考点23 正方形的判定与性质】
【例23】（24-25八年级·江苏南通·期末）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，
EF，GH相交于点O，且OA=4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE=BH，则四边形BEOH与四边形DFOG
的面积之和为（ ）
A．4 B．4❑√2 C．8 D．16
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理，证明出四边形BHOE、OFDG
是正方形，再结合勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB∥CD，AD∥BC，
∵EF⊥AB，GH⊥BC，
∴∠OEB=∠OAE=∠OHB=∠OHC=90°，EF⊥CD，GH⊥AD，
∴四边形BHOE是矩形，∠OFC=∠OFD=∠OGD=∠OGA=90°，
∴∠HOE=∠HOF=∠FOG=∠EOG=90°，
∴四边形AEOG、CHOF、OFDG均为矩形，
∴OF=HC，AE=GO，
∵BE=BH，
∴四边形BHOE是正方形，AB−BE=BC−BH，∴CH=AE，
∴OF=OG，
∴四边形OFDG为正方形，
∴四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为OG2+OE2=AE 2+OE2=AO2=16，
❑
故选：D．
【变式23-1】（24-25八年级·河南鹤壁·期末）如图所示，Rt△ABC两条外角平分线交于点D，∠B=90°
，过点D作DE⊥BA于点E，DF⊥BC于点F．若DE=12cm，当点C恰好是BF的中点时，AC=
cm．
【答案】10
【分析】先证明四边形BFDE是矩形，过点D作DG⊥AC于点G，根据角平分线的性质证明DG=DF，
进而可证四边形BFDE是正方形；证明AE=AG，CF=CG，利用勾股定理求出AE=2cm，即可得出结
果．
【详解】解：∵DE⊥BA，DF⊥BC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠B=90°
∴四边形BFDE是矩形
过点D作DG⊥AC于点G
∵DA平分∠EAC，∴DG=DE，
同理可得：DG=DF，
∴DE=DF
∴四边形BFDE是正方形；
∵ DE=12cm，
∴BE=BF=DE=12cm，
∵点C为BF的中点，
∴BC=CF=CG=6cm．
∵AB2+BC2=AC2，
∴(12−AE) 2+62=(AE+6) 2，
∴AE=4cm，
∴AG=AE=4cm，
∴AC=AG+CG=10cm，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，以及勾股定理等知识，
熟练掌握正方形的判定与性质是解答本题的关键．
【变式23-2】（24-25八年级·山东烟台·期末）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=❑√3，点E为对角
线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接
CG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)❑√6
【分析】（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，根据正方形的性质可得EN=EM，进而说明
∠DEN=∠FEM，再证明△DEN≌△FEM可得DE=EF，再结合四边形DEFG是矩形即可证明结论；
（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG=AE，然后根据线段的和差即可解答．【详解】（1）解：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，则∠MEN=90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM=EN，
∵∠ENC=∠MCN=∠EMC=90°，
∴四边形ENCM为矩形，
∴∠MEN=90°，
∵∠≝=90°，
∴∠DEN+∠FEN=∠MEF+∠FEN=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
∵∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中，
{∠DNE=∠FME
)
EN=EM ，
∠DEN=∠FEM
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴EF=DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形．
（2）解：CE+CG的值是定值，定值为❑√6，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE=DG，AD=DC，
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDG=∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
{
AD=CD
)
∠ADE=∠CDG ，
DE=DG
∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE=CG，
∴CE+CG=CE+AE=AC=❑√2AB=❑√2×❑√3=❑√6是定值．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定
理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键．
【变式23-3】（24-25八年级·河北保定·期中）如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．将线段
AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF．
(1)求证：FB=FD；
(2)如图2，连接CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE，连接AH交BF于点N，判断AH与
BF的位置关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)AH⊥BF，理由见解析
【分析】（1）先证明∠BAC=∠ACB=45°，再由旋转的性质得到∠BAD=90°，BA=AD，则
∠FAD=∠FAB=45°，据此证明△FAD≌△FAB(SAS)，即可证明BF=DF．
（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，进而证明四边形ABCD是正方形，接着证明
△ABH≌△DCE(SAS)得到∠BAH=∠CDE，则可证明△CFD≌△CFB(SAS)，得到∠CDF=∠CBF
，最后证明∠BAH+∠ABF=90°，得到∠ANB=90°，则AH⊥BF．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∵线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，
∴∠BAD=90°，BA=AD，∴∠FAD=∠FAB=45°，
∵AF=AF，
∴△FAD≌△FAB(SAS)，
∴BF=DF．
（2）解：结论：AH⊥BF．
理由：如图2中，连接CD．
∵∠ABC+∠BAD=180°，
∴AD∥BC，
∵AD=AB=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形，
∵BA=CD，∠ABH=∠DCE，BH=CE，
∴△ABH≌△DCE(SAS)
∴∠BAH=∠CDE，
∵∠FCD=∠FCB=45°，CF=CF，CD=CB，
∴△CFD≌△CFB(SAS)，
∴∠CDF=∠CBF，
∴∠BAH=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAH+∠ABF=90°，
∴∠ANB=90°，
∴AH⊥BF．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等边对等角，平
行四边形的性质与判定、矩形的判定与性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【考点24 三角形的中位线】
【例24】（24-25八年级·山东青岛·期末）如图，正方形ABCD，点E为AB边上一点，AE=3，BE=1．
∠EDC的平分线交BC于点F，点G是DE的中点，则GF的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】B
【分析】延长AF交AB的延长线于点H，根据正方形的性质得AD=AB=BC=CD=4，
∠A=∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，则DE=5，根据角平分线的定义及平行线的性质得
∠CDF=∠EDF=∠H，则EH=DE=5，进而得CD=BH=4，证明△CDF和△BHF全等得CF=BF，
则GF是△DEH的中位线，然后根据三角形中位线定理可得出GF的长．
【详解】解：延长DF交AB的延长线于点H，如图所示：
∵AE=3 BE=1
， ，
∴AB=AE+BE=4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=CD=4，∠A=∠ABC=∠C=90°，AB∥CD，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE=❑√AD2+AE2=5，
∵DF平分∠ECD，
∴∠CDF=∠EDF，
∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠H，∠C=∠CBH=90°，
∴∠EDF=∠H，
∴EH=DE=5，∴BH=EH−BE=5−1=4，
∴CD=BH=4，
在△CDF和△BHF中，
{∠C=∠CBH=90°
)
CD=BH ，
∠CDF=∠H
∴ △CDF≌△BHF(ASA)，
∴CF=BF，
∵点G是DE的中点，
∴GF是△DEH的中位线，
1
∴GF= EH=2.5．
2
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练
掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题关键．
【变式24-1】（24-25八年级·河南郑州·期末）如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b，且AC⊥BD，
顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A B C D ，再顺次连接四边形A B C D 各边的中
1 1 1 1 1 1 1 1
点，得到四边形A B C D ……如此进行下去，得到四边形A B C D ，四边形A B C D 的周长是
2 2 2 2 n n n n 5 5 5 5
，四边形A B C D 的面积是 ．
n n n n
a+b ab
【答案】
4 2n+1
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线
平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形，矩形与平行四边形的关系．
首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后根据矩形的判
定与性质、菱形的判定与性质作出判断，由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A B C D 的周长；根据四边形A B C D 的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
5 5 5 5 n n n n
【详解】解：连接A C ,B D ，
1 1 1 1
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A B C D ，
1 1 1 1
∴A D ∥BD,B C ∥BD,C D ∥AC,A B ∥AC，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴A D ∥B C ,A B ∥C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴四边形A B C D 是平行四边形；
1 1 1 1
∵AC⊥BD，
∴四边形A B C D 是矩形，
1 1 1 1
∴B D =A C ，
1 1 1 1
1 1
∴A D =C D =C B =B A = B D = A C （中位线定理），
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1
∴四边形A B C D 是菱形，
2 2 2 2
同理根据中位线定理知，四边形A B C D 是菱形，
4 4 4 4
1 1 1 1 1 1
根据中位线的性质知，A B = A B = × A B = × × AC，
5 5 2 3 3 2 2 1 1 2 2 2
1 1 1 1 1 1
B C = B C = × B C = × × BD，
5 5 2 3 3 2 2 1 1 2 2 2
1 a+b
∴四边形A B C D 的周长是2× (a+b)= ；
5 5 5 5 8 4
∵四边形ABCD中，AC=a,BD=b，且AC⊥BD，
1
∴S = ab；
四边形ABCD 2
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
ab
四边形A B C D 的面积是 ；
n n n n 2n+1
a+b ab
故答案为： ； ．
4 2n+1【变式24-2】（24-25八年级·山东济南·期末）我们知道平行四边形有很多性质，如果我们把平行四边形沿
着边的中点翻折，还会发现新的结论．
【实践探究】
（1）在▱ABCD中，点E为BC的中点，△ABE沿着AE向上折叠，点B落在F处，连接CF并延长交AD
于点G．判断四边形AECG的形状，并说明理由；
【拓展应用】
（2）连接AF，兴趣小组发现AF⊥AB，若∠D=60°，BC=4，求CG的长．
【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）❑√6
【分析】（1）四边形ABCD是平行四边形得到AD∥BC，由翻折可证明OE是△BFC的中位线，则
OE∥CG，即可证明；
1
（2）过点E作EH⊥AB于点H，则∠ABC=∠D=60°，∠EAB= ∠FAB=45°，BE=2，由
2
1
∠HEB=30°得到BH= BE=1，则由勾股定理得EH=❑√3，可得△EAH为等腰直角三角形，则
2
AE=❑√EH2+AH2=❑√6，继而CG=AE=❑√6．
【详解】解：（1）四边形AECG是平行四边形，
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵点E为BC中点，
∴BE=CE，
由翻折得：BO=OF，
∴OE是△BFC的中位线，
∴OE∥CG，即AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形；（2）过点E作EH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=60°，
由翻折得：∠FAE=∠BAE，
∵AF⊥AB，
1
∴∠EAB= ∠FAB=45°，
2
∵点E为BC的中点，BC=4，
∴BE=2，
∵EH⊥AB，
∴∠HEB=30°，
1
∴BH= BE=1，
2
∴EH=❑√BE2−BH2=❑√3，
∵EH⊥AB，∠EAB=45°，
∴△EAH为等腰直角三角形，
∴EH=AH=❑√3，
∴AE=❑√EH2+AH2=❑√6，
∵四边形AECG是平行四边形，
∴CG=AE=❑√6．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，30°角直角三角形的性
质，折叠的性质等知识点，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
【变式24-3】（24-25八年级·辽宁鞍山·期末）如图，在正方形ABCD中，边长为3，点M，N是边AB，
BC上两点，且BM=CN=1，连接CM，DN；(1)则DN与CM的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
(3)延长CM至P，连接BP，若∠BPC=45°，试求PM的长．
【答案】(1)CM=DN，DN⊥CM．
(2)❑√2
❑√10
(3)
5
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线性质和勾股定理，解题关键是熟练
运用相关性质进行推理证明和准确计算．
（1）证△BCM≌△CDN，得出CM=DN，∠BCM=∠CDN，再证∠CDN+∠DCM=90°即可；
（2）连CE并延长交AD于G，求出GM长，再根据中位线的性质求出EF即可；
3 6
（3）过点B作BH⊥CM于点H，根据勾股定理求出BH=PH= ❑√10，CM=❑√10，PC= ❑√10即
10 5
可．
【详解】（1）解：设CM与DN交于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠NCD=90°，
∵BM=CN，
∴△BCM≌△CDN(SAS)，
∴CM=DN，∠BCM=∠CDN，
∵∠BCM+∠MCD=90°，∴∠CDN+∠MCD=90°，
∴∠CQD=90°，
∴DN⊥CM，
故答案为：CM=DN，DN⊥CM．
（2）连CE并延长交AD于G，连接MG
∵BC∥AD，
∴∠ENC=∠EDG，
∵E为DN的中点，
∴NE=DE，
∵∠NEC=∠GED
∴△CNE≌△DEG(ASA)
∴CE=EG，NC=GD=1，
∵F为CM的中点，
∴MF=CF，
1
∴EF= MG，
2
∵正方形的边长为3，DG=BM=CN=1，
∴AM=AG=2，GM=❑√AM2+AG2=2❑√2
∴EF=❑√2；
（3）过点B作BH⊥CM于点H，1 1
∵CM=❑√CB2+BM2=❑√10， BH⋅CM= BC⋅BM，
2 2
3
∴BH= ❑√10，
10
9
∴CH=❑√BC2−BH2= ❑√10，
10
∵∠BPC=45°，
3
∴PH=BH= ❑√10，
10
6
∴PC=PH+CH= ❑√10，
5
❑√10
∴PM=PC−CM=
5
【考点25 直角三角形斜边上的中线】
【例25】（24-25八年级·江苏无锡·期末）如图，在四边形ABCD中，BD=AD，AC与BD交于点E，
BD⊥AD，AC⊥BC，且AC平分∠DAB．下列结论：
①∠ACD=45°；
②AE=2BC；
③AB−BD=DE；
④BE=CD．
其中正确的结论是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，直角三角形斜边上的中线．延长AD，BC
交于点F，过D作DM⊥AC交AC于M，DN⊥BC交BC于N，先证明△ADM≌△BDN(AAS)，得到
DM=DN，即可得到DC平分∠ACF，可以确定①正确；再△ADE≌△BDF(ASA)，得到AE=BF，
DE=DF，再根据AC平分∠DAB，得到BF=2BC，AB=AF，可以确定②正确；由AF−AD=DF，
1
可得AB−BD=DE，故③正确；最后由C为BF中点，得到DC=BC= BF<BE，确定④错误．
2
【详解】解：如图，延长AD，BC交于点F，过D作DM⊥AC交AC于M，DN⊥BC交BC于N，则
∠DMA=∠DNB=90°，
∵BD⊥AD，AC⊥BC，
∴∠ADE=∠FDB=∠ACF=90°，
∴∠F+∠FBD=90°=∠F+∠FAC，
∴∠FBD=∠FAC，
∵BD=AD，∠DMA=∠DNB=90°，∠FBD=∠FAC，
∴△ADM≌△BDN(AAS)，
∴DM=DN，
∵DM⊥AC，DN⊥BC，
∴DC平分∠ACF，
1
∴∠ACD= ∠ACF=45°，故①正确；
2
∵BD=AD，∠ADE=∠FDB=90°，∠FBD=∠FAC，
∴△ADE≌△BDF(ASA)，
∴AE=BF，DE=DF，
∵AC平分∠DAB，AC⊥BC，
∴∠FAC=∠BAC，∵AC=AC，∠ACF=∠ACB=90°，
∴△ACF≌△ACB(ASA)，
∴CF=BC，AB=AF，
∴BF=2BC，AB=AF，
∴AE=BF=2BC，故②正确；
∵AF−AD=DF，
∴AB−BD=DE，故③正确；
∵C为BF中点，∠BDF=90°，
1
∴DC=BC= BF，
2
∵在Rt△BEC中BE>BC，
∴BE>CD，故④错误，
综上所述，正确的结论有①②③，
故选：D．
【变式25-1】（24-25八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，AD，BE均为△ABC的高，且AB=AC，连结
DE交AB于点O，若∠C=38°，则∠OEB的度数为 ．
【答案】52°/52度
【分析】本题考查了垂直平分线的判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到AD垂直平分
1
线段BC，得到BD=CD，结合直角三角形性质得到DE=BD=CD= BC，利用等腰三角形性质得到
2
∠DEC=∠C=38°，再根据∠OEB=∠BEC−∠DEC求解，即可解题．
【详解】解：∵AD为△ABC的高，且AB=AC，
∴AD垂直平分线段BC，
∴BD=CD，
∵BE为△ABC的高，即∠BEC=90°，
1
∴DE=BD=CD= BC，
2∵∠C=38°，
∴∠DEC=∠C=38°，
∴∠OEB=∠BEC−∠DEC=52°，
故答案为：52°．
【变式25-2】（24-25八年级·江苏无锡·期中）如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平
分∠ABC．
(1)求证：AD=DC；
(2)如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别
为E、F，连接EF，判断△≝¿的形状并证明你的结论．
【答案】(1)证明见详解
(2)△≝¿为等边三角形；证明见详解
【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠BDC=∠CBD，则
DC=BC，进而可得结论．
（2）利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出
答案．
【详解】（1）证明：∵DC∥AB，
∴∠ABD=∠CDB，
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠BDC=∠CBD，
∴DC=BC，
∵AD=BC，
∴AD=DC．
（2）解：△≝¿为等边三角形；
证明：∵CD=BC，CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF，
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠DBE=30°，则∠BDE=60°，
∴△≝¿为等边三角形．
【点睛】此题主要考查了等边三角形判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定
与性质、平行线的性质等知识，得出EF=DF=BF是解题关键．
【变式25-3】（24-25八年级·江苏泰州·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD=90°，M是
AD的中点，N是BC上的动点，连接MN．若AD=8，BC=6，则MN的最小值为 ．
【答案】❑√7
【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，
熟练掌握相关的判定和性质．过点M作ME⊥BC于点E，连接MB，MC，根据垂线段最短，得出当点N
1
与点E重合时，MN最小，根据等腰三角形性质得出BE=CE= BC=3，根据勾股定理得出
2
ME=❑√MB2−M E2=❑√42−32=❑√7，即可得出答案．
【详解】解：过点M作ME⊥BC于点E，连接MB，MC，如图所示：
∵垂线段最短，
∴当点N与点E重合时，MN最小，
∵∠ABD=∠ACD=90°，M是AD的中点，
1
∴MB=MC= AD=4，
2∵ME⊥BC，
1
∴BE=CE= BC=3，
2
∴ME=❑√MB2−M E2=❑√42−32=❑√7，
∴MN的最小值为❑√7．
故答案为：❑√7．
【考点26 变量与函数】
【例26】（24-25八年级·山西朔州·期末）如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增
加2m/s．根据小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数关系，第4.5s时小球的速度为
m/s
【答案】9
【分析】根据题意，得到小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数关系式为v=2t，将
t=4.5代入求值即可．
【详解】解：由题意，得：v=2t，
当t=4.5时，v=2×4.5=9m/s；
故答案为：9．
【点睛】本题考查求函数值，解题的关键是正确的列出函数关系式．
x−1
【变式26-1】（24-25八年级·福建泉州·期末）函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
x+3
A．x≠0 B．x≠−3 C．x≠1 D．x>−3
【答案】B
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0，根据此条件即可求出x的范围．
【详解】解：由题意得，x+3≠0，
∴x≠−3，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件：分母不为0，是解题关键．【变式26-2】（24-25八年级·广东揭阳·期中）我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环
境，火星车使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率K(W/m⋅K)与温度T(°C)的关系如表：根
据表格中两者的对应关系，若导热率0.5 W/m⋅K ，则温度为 °C．
温度T(°C) 100 150 200 250 300
导热率K(W/m⋅K) 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
【答案】450
【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据
表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】解：根据题意，温度每增加50°C，导热率增加0.05W/m⋅K，
所以(0.5÷0.05−1)×50=450，
所以，当导热率为0.5W/m⋅K时，温度为450°C，
故答案为：450．
【变式26-3】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）小红和小星分别从甲、乙两地相向而行，进行跑步训练．他
们同时出发，小红从甲地向乙地跑，到达乙地停止，小星从乙地向甲地跑，到达甲地停止．假设小红和小
星跑步的速度均为匀速，且小红的速度比小星的速度慢．在跑步过程中，已知小红和小星之间相距的路程
s(单位：km)与小红所花的时间t(单位：h)之间的关系如图所示，则当小星到达终点时，小红离终点的路程
是 km．
【答案】0.64
【分析】设小红的速度为v km/h，小星的速度为v km/h．由图知甲乙两地相距1.6km，两人出发0.2小
1 2
时相遇，由此可得v +v =8．又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，则可得v 的值，进而求得v 的
1 2 2 1
值，由此即可求出当小星到达终点时，小红离终点的路程．
本题考查了用图像表示变量之间的关系，解题的关键是认真读题，并结合图像弄清楚图像上每一个点所表
示的实际意义．
【详解】解：设小红的速度为v km/h，小星的速度为v km/h．
1 2
由图知甲乙两地相距1.6km，两人出发0.2小时相遇，∴0.2(v +v )=1.6，
1 2
∴v +v =8，
1 2
又由图知小星从乙地跑到甲地用了0.32小时，
∴v =1.6÷0.32=5km/h，
2
∴v =8−v =8−5=3km/h，
1 2
∴小星到达甲地时小红好跑了0.32×3=0.96km，
此时小红离终点的路程为1.6−0.96=0.64km．
故答案为：0.64
【考点27 函数的图象】
【例27】（24-25八年级·辽宁本溪·期末）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A→B匀速运
动到点B，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点且
图象是轴对称图形，则△ABC的面积是（ ）
A．30 B．36 C．60 D．72
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向
A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．
【详解】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为13，即BC=13，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，即BP⊥AC，BP=12，
∴由勾股定理可知：PC=❑√BC2−BP2=5，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∴PA=5，∴AC=10，
1
∴△ABC的面积为： ×10×12=60．
2
故选C．
【变式27-1】（24-25八年级·浙江·期末）如图是一个高为24的容器，现向容器匀速注水，下列图象中能
大致反映容器中水的深度（ℎ）与注水量（V）关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象
上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，掌握知识点的应用是解题
的关键．
【详解】解：根据题意可知，
开始容器由大逐渐变小，即开口越来越小，水的深度随着注水量的增加而逐渐增大；
接着容器由小逐渐变大，即开口越来越大，水的深度随着注水量的增加而逐渐减小；
选项D符合题意，
故选：D．
【变式27-2】（24-25八年级·河北石家庄·期末）如图，直线l（不经过点A，B，E）与五边形ABCDE的
边AB，AE相交，设∠A=x°，∠1+∠2= y°，则能够大致反映y与x函数关系的部分图像是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理与三角形外角的定义与性质，熟练掌握三角形外角的定义与性质
是解题的关键．
根据三角形的外角的定义与性质进行表示即可．
【详解】解：设l与AB，AE相交于点G、F，
由图可得，∠1=∠A+∠AGF，∠2=∠A+∠AFG，
∵∠A=x°，∠1+∠2= y°，
∴y=∠A+∠A+∠AGF+∠AFG=x+180°，
故选：C．
【变式27-3】（24-25八年级·山东烟台·期末）青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活
动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点P，A，C，Q在同一直线上，
AP=CQ，点A，C所连线段、点B，D所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从P，Q两点同时出
发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为P→A→D→C→Q和Q→C→B→A→P．
若机器人（看作点）的运动时间为x，两机器人之间的距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查动点函数图象．设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为AP+CQ+2R，之
后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A
移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，当机器人分别沿C→Q和A→P移动时，此时两个机器
人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从P，Q两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是AP+CQ+2R，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，保持不
变，
当机器人分别沿C→Q和A→P移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B，故选：D．
【考点28 正比例函数的图象】
【例28】（24-25八年级·陕西西安·期中）已知正比例函数y=(m−1)x5−m2的图象经过第一、三象限，则m
的值为 ．
【答案】2【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得m的值是解题的关键，注意利
用图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得m的值，再由图象的位置进行取舍，可求得m的值．
【详解】解：∵函数y=(m−1)x5−m2
是正比例函数，
∴5−m2=1，
解得m=±2，
∵图象经过第一、三象限，
∴m−1>0，
∴m>1，
∴m=2．
故答案为：2．
【变式28-1】（24-25八年级·贵州贵阳·期末）正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是
（ ）
1 1
A． B．− C．1 D．2
2 2
【答案】B
【分析】本题考查了正比例函数的性质：当k>0，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大
而增大；当k<0，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质
得到k<0，然后在此范围内进行判断即可．
【详解】解：∵正比例函数图象经过第二、第四象限，
∴k<0，
1
∴k的值可以为：k=− ，
2
∴选项B符合题意．
故选：B．
【变式28-2】（24-25八年级·广东梅州·期末）已知y与x成正比例，且x=−2时y=4，
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)设点(a,−2)在这个函数的图象上，求a．【答案】(1)y=−2x
(2)a=1
【分析】（1）设y=kx，将x=−2，y=4代入，求出k值即可；
（2）将(a,−2)代入（1）中函数关系式中，即可求出a值．
【详解】（1）解：∵y与x成正比例，
∴设y=kx，
∵当x=−2时，y=4，
∴4=−2k，
解得：k=−2，
∴y与x的函数关系式为y=−2x；
（2）∵点(a,−2)在函数关系式为y=−2x的图象上，
∴−2=−2a，
∴a=1．
【点睛】本题考查了正比例函数解析式，正比例函数图象上的点，解题的关键是掌握待定系数法求解析
式．
【变式28-3】（24-25八年级·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移n个单位，再向上
平移2(n+1)个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，n称为这个函数的“可回
旋单位”．如果y=−6x是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是 ．
1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查正比例函数的平移，根据y=−6x过点(x,−6x)，利用点的平移规则，求出(x,−6x)经
过平移后的点的坐标，代入y=−6x中，进行求解即可．
【详解】解：∵y=−6x，
∴y=−6x经过点(x,−6x)，
点(x,−6x)向左平移n个单位，再向上平移2(n+1)个单位后得到(x−n,−6x+2n+2)，
由题意，(x−n,−6x+2n+2)也在直线y=−6x上，
∴−6x+2n+2=−6(x−n)，
1
解得：n= ；
2
1
故答案为： ．
2【考点29 一次函数的图象】
【例29】（24-25八年级·安徽合肥·期末）如图，点A，B，C，D为平面直角坐标系中的四个点，一次函
数y=kx+1(k>0)的图象不可能经过( )
A. 点A
B. 点B
C. 点C
D. 点D
【答案】A
【分析】由解析式可知一次函数y=kx+1(k>0)函数的图象经过第一、二，三象限，即可判断．
【详解】解：∵一次函数y=kx+1(k>0)中，k>0，b=1>0，
∴一次函数y=kx+1(k>0)函数的图象经过第一、二，三象限，
∵点A在第四象限，
∴一次函数y=kx+1(k>0)的图象不可能经过点A．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．
【变式29-1】（24-25八年级·安徽安庆·期末）如下图，在同一直角坐标系中，直线y=x−a和直线y=ax
的图象可能是( )
A. B.C. D.
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与正比例函数的图像，分a>0和a<0两种情况，讨论两个函数图像的位置即可
得出答案．
【详解】解：当a>0时，直线y=x−a经过第一、三、四象限，直线y=ax经过第一、三象限，
大致为：
当a<0时，直线y=x−a经过第一、二、三象限，直线y=ax经过第二、四象限，大致为：
综上，B选项符合题意．
故选：B
【变式29-2】（24-25八年级·江苏苏州·期末）一次函数y =k x+b，y =k x+b与y =k x+b的图象如
1 1 2 2 3 3
图所示，k ，k ，k 的大小关系是______.(用“<”连接)
1 2 3【答案】k <k <k
2 3 1
【分析】根据一次函数的图象与性质解答即可．
【详解】解：由一次函数图象可知：k <k <k ．
2 3 1
故答案为：k <k <k ．
2 3 1
【变式29-3】（24-25八年级·四川成都·期末）已知一次函数y=2x−4，它的图象与x轴交于点A，与y轴
交于点B．
(1)画出函数的图象；
(2)点A的坐标为______，当x ______时，y>0；
(3)求△AOB的面积．
【答案】（1）函数图象见解答；
（2）(2,0)，>2；
（3）4．
【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，描点、连线，即可画出一次函数的
图象；
(2)根据函数的图象即可解答；
(3)由点A，B的坐标可得出OA，OB的长，再利用三角形的面积计算公式，即可求出△AOB的面积．
【详解】解：(1)当x=0时，y=2×0−4=−4，
∴点B的坐标为(0,−4)；
当y=0时，2x−4=0，
解得：x=2，
∴点A的坐标为(2,0)．
描点、连线，画出函数图象，如图所示．(2)点A的坐标为(2,0)，
当x>2时，y>0；
故答案为：(2,0)，>2；
(3)∵点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,−4)，
∴OA=2，OB=4，
1 1
∴△AOB的面积为 OA⋅OB= ×2×4=4．
2 2
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，利用一次函数
图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标并画出函数图象是解题的关键．
【考点30 一次函数的性质】
【例30】（24-25八年级·安徽芜湖·期末）已知一次函数y=kx+b，如表是x与y的一些对应数值，则下列
结论中正确的是( )
x……−1.5012 ……
y……6 31−1……
A. y随x的增大而增大
B. 该函数的图象经过一、二、三象限
C. 一次函数y=kx+b的图象可由一次函数y=−2x的图象向上平移2个单位长度得到
D. 该函数的图象与y轴的交点是(0,3)
【答案】D
【分析】根据信息的，求出一次函数表达式，根据一次函数图象与性质逐项判断即可得到答案．
{ 3=b {k=−2
【详解】解：将(0,3)和(1,1)代入直线解析式得到 ，解得 ，
1=k+b b=3
∴一次函数为y=−2x+3，A、由k=−2<0可知，y随x的增大而减小，该选项错误，不符合题意；
B、该函数的图象经过一、二、四象限，该选项错误，不符合题意；
C、一次函数y=kx+b的图象可由一次函数y=−2x的图象向上平移3个单位长度得到，该选项错误，不符
合题意；
D、当x=0时，y=3，函数图象与y轴的交点是(0,3)，该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查待定系数法求函数表达式，涉及一次函数图象与性质，平移，熟记一次函数图象与性质
是解决问题的关键．
【变式30-1】（24-25八年级·河南郑州·期末）若A(2,y )，B(3,y )是一次函数y=−3x+1的图像上的
1 2
两个点，则y 与y 的大小关系是y y .(填“>”，“=”或“<”)
1 2 1 2
【答案】>
【分析】根据一次函数的性质，当k<0时，y随x的增大而减小，判断即可．
【详解】因为A(2,y )，B(3,y )是一次函数y=−3x+1的图像上的两个点，
1 2
且k=−3<0时，
所以y随x的增大而减小，
因为2<3，
所以y >y ，
1 2
故答案为：>．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
【变式30-2】（24-25八年级·安徽铜陵·期末）如果函数y=kx+b(k<0)的自变量x的取值范围是−2≤x≤6
，相应的函数值的取值范围是−8≤ y≤4，那么此函数的解析式为 ．
3
【答案】y=− x+1
2
【详解】解：当k<0时，y随x增大而减小，
∵当−2≤x≤6时，−8≤ y≤4，
∴当x=−2时，y=4，当x=6时，y=−8，
{−2k+b=4
∴ ,
6k+b=−8
{ 3
k=−
∴ 2 ,
b=13
∴此函数解析式为y=− x+1；
2
3
故答案为：y=− x+1．
2
【变式30-3】（24-25八年级·安徽合肥·期末）已知一次函数y=(2m−1)x+m+2．
(1)在该函数中，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
(2)若m=−1，当1≤x≤4时，求y的取值范围．
(3)若直线y=(2m−1)x+m+2经过一、二、四象限，求m的取值范围．
1
【答案】（1）m>
2
（2）−11≤ y≤−2
1
（3）−2<m<
2
【分析】（1）本题主要考查一次函数的图象与性质，包括一次函数的增减性，函数值与自变量之间的关
系，掌握和理解这些性质进行求解是解题的关键．
由一次函数图象的增减性解答．
（2） 若m=−1，则一次函数y=−3x+1，根据增减性即可求出最值．
（3）根据一次函数的性质列不等式计算即可．
【详解】(1)解：若y随x的增大而增大，则2m−1>0，
1
解得，m> ．
2
(2)解：若m=−1，则一次函数y=−3x+1，
由于−3<0，所以y随x的增大而减小；
所以当x=1时，y有最大值，最大值为y=−3×1+1=−2，
当x=4时，y有最小值，最小值为y=−3×4+1=−11，
所以y的取值范围为−11≤ y≤−2；
{2m−1<0
(3)解：由题意得， ，
m+2>0
1
解得，−2<m< ．
2
【考点31 待定系数法求一次函数解析式】
【例31】（24-25八年级·安徽淮北·期末）如图，线段MN两个端点的坐标分别为M(1,3)，N(1,1)，一次
函数y=kx+b的图像经过点(4,0)和(0,−3)．(1)求一次函数y=kx+b的解析式；
(2)将直线y=kx+b向上平移a个单位长度，使平移后的直线经过线段MN的中点，求a的值；
(3)若直线y=mx+n经过点(−1,0)，且与线段MN有交点，求m的取值范围．
3
【答案】(1)y= x−3
4
17
(2)a=
4
1 3
(3) ≤m≤
2 2
【分析】本题主要考查一次函数，牢记待定系数法求一次函数解析式的步骤、一次函数图像平移的规律
（上加下减）是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解一次函数解析式即可；
（2）根据平移的规律求得平移后的解析式，然后代入MN的中点坐标，即可求出a的值；
（3）把(−1,0)代入y=mx+n得n=m，则可得y=mx+m，再将M(1,3)，N(1,1)分别代入y=mx+m中，
即可求出m的取值范围．
【详解】（1）解：把(4,0)和(0,−3)代入y=kx+b得
{4k+b=0) { k= 3 )
，解得 4 ，
b=−3
b=−3
3
∴这个一次函数的解析式为y= x−3．
4
3
（2）设平移后的直线的解析式为y= x−3+a．
4
∵M(1,3)，N(1,1)，
∴线段MN的中点坐标为(1,2)．
3 3
把(1,2)代入y= x−3+a，得 −3+a=2，
4 417
解得a= ．
4
（3）把(−1,0)代入y=mx+n得n=m．
∴y=mx+m，
3
把M(1,3)代入y=mx+m得，m+m=3．解得m= ；
2
1
把N(1,1)代入y=mx+m得，m+m=1．解得m= ；
2
1 3
∴m的取值范围是 ≤m≤ ．
2 2
【变式31-1】（24-25八年级·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过A(2,−3)、B(−1,3)两点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)判断点P(4,−7)是否在该函数图象上．
【答案】(1)y=−2x+1
(2)点P(4,−7)在直线y=−2x+1上
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，列一次函数解析式并求值，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）依题意，把A(2,−3)、B(−1,3)代入y=kx+b进行计算，即可作答．
（2）把x=4代入y=−2x+1，算出y=−7，即可作答．
【详解】（1）解：设所求的一次函数的解析式为y=kx+b．
∵一次函数的图象经过A(2,−3)、B(−1,3)两点
{2k+b=−3)
∴ ，
−k+b=3
{k=−2)
解得 ，
b=1
∴所求的解析式为y=−2x+1；
（2）解： 依题意，当x=4时，y=−2×4+1=−7，
∴点P(4,−7)在直线y=−2x+1上．
【变式31-2】（24-25八年级·广西南宁·期末）如图，一次函数y=mx+4的图象与x轴的负半轴相交于点
A(−3,0)，与y轴相交于点B．(1)求出m的值．
(2)过点B作直线BC与x轴的正半轴相交于点C，且OC=2OA，求直线BC的解析式．
4
【答案】(1)m=
3
2
(2)y=− x+4
3
【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴的交点问题、坐标与图形，（1）
把A(−3,0)代入y=mx+4求解即可；
4
（2）由（1）得，直线AB的解析式为y= x+4，求得B(0,4)，C(6,0)，再利用待定系数法求解即可．
3
【详解】（1）解：∵一次函数y=mx+4的图象与x轴的负半轴相交于点A(−3,0)，
∴把A(−3,0)代入y=mx+4得，−3m+4=0，
4
解得m= ；
3
4
（2）解：由（1）得，直线AB的解析式为y= x+4，
3
4
把x=0代入y= x+4得，y=4，
3
∴B(0,4)，
∵A(−3,0)，OC=2OA，
∴C(6,0)，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
{6k+b=0)
把C(6,0)、B(0,4)代入得， ，
b=4
{ k=− 2 )
解得 3 ，
b=42
∴直线BC的解析式为y=− x+4．
3
【变式31-3】（24-25八年级·陕西·期末）定义：在平面直角坐标系中，将直线l :y=ax+b (ab≠0)中a
1
和b的值都扩大到原来的k(k>0)倍，得到新的直线l ，则称直线l 为直线l 的“k倍伴随线”，例如直线
2 2 1
y=4x+3的“2倍伴随线”的函数解析式为y=8x+6．
(1)求直线y=2x+3的“3倍伴随线”的函数表达式；
(2)若点(m,−10)在直线y=x−6的“2倍伴随线”上，求m的值．
【答案】(1)y=6x+9
(2)m的值为1
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．
（1）根据“k倍伴随线”的定义即可得到答案；
（2）先根据“k倍伴随线”的定义得到直线y=x−6的“2倍伴随线”，再把y=−10代入求出x的值即
可．
【详解】（1）解：∵2×3=6,3×3=9，
∴直线y=2x+3的“3倍伴随线”的函数表达式为y=6x+9．
（2）解：直线y=x−6的“2倍伴随线”的函数表达式为y=2x−12．
在y=2x−12中，令y=−10，
得2x−12=−10，
解得：x=1，
∴m的值为1．
【考点32 一次函数与方程、不等式】
4
【例32】（24-25八年级·安徽淮南·期末）如图，已知直线y=− x+4分别与x，y轴交于点A，B，与直
3
( 4)
线y=kx相交于点C n, ．
3
(1)求n和k的值；4
(2)求不等式− x+4<kx的解集．
3
2
【答案】(1)n=2，k=
3
(2)x>2
【分析】本题考查了两直线交点，一次函数解析式．
( 4) 4 ( 4) ( 4) 2
（1）将C n, 代入y=− x+4，可求n=2，即C 2, ，将C 2, 代入y=kx，可求k= ，然后作
3 3 3 3 3
答即可；
（2）根据函数图象及交点坐标即可解答．
( 4) 4 4 4
【详解】（1）解：将点C n, 代入y=− x+4，得 =− n+4，
3 3 3 3
解得：n=2，
( 4)
∴C 2, ，
3
4
将点C的坐标代入y=kx，得2k= ，
3
2
解得：k= ；
3
4
（2）解：由图象可知，当x>2时，− x+4<kx，
3
4
∴不等式− x+4<kx的解集为x>2．
3
【变式32-1】（24-25八年级·陕西商洛·期末）如图，直线l :y=x+2与直线l :y=kx+b相交于点P(m,4)
1 2
{ y=x+2)
，则方程组 的解是 ．
y=kx+b
{x=2)
【答案】
y=4【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解
题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题．
【详解】解∶将y=4代入y=x+2得，4=x+2．
解得x=2．
∴点P的坐标为(2,4)．
{ y=x+2)
∵方程组 的解可看成函数y=x+2与函数y=kx+b图象的交点坐标，
y=kx+b
{x=2)
∴此方程组的解为
y=4
【变式32-2】（24-25八年级·广西河池·期末）已知一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图所示，有下
1 2
列结论：①k<0 ； ②a>0 ； ③关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3； ④当x>3时y >y ，其中正确
1 2
的结论有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两
直线的位置关系对④进行判断．
本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性
质及数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：∵直线y =kx+b经过第一、二、四象限，
1
∴k<0，b>0，
所以①正确；
∵直线y =x+a与y轴的交点在x轴下方，
2
∴a<0，
所以②错误；
∵当x=3时，y = y ，
1 2
∴关于x的方程kx+b=x+a的解为x=3，
所以③正确；
∵当x>3，直线y =kx+b在直线y =x+a的下方，
1 2∴x>3时，y <y ．
1 2
所以④错误．
故答案为：C．
【变式32-3】（24-25八年级·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，当x>−2时，对于x的每一个值，正
1
比例函数y=mx(m≠0)的值都大于一次函数y= x−1的值，则m的取值范围是（ ）
2
1
A．−2<m<0 B． <m<1
2
1
C． ≤m≤1 D．1≤m≤2
2
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象，与不等式的关系，一次函数图象平行的问题，相交的问题，利
用数形结合是解题的关键．
1 1
当x=−2,y=−2× −1=−2，则点E(−2,−2)在直线y= x−1上，当直线y=mx(m≠0)经过点
2 2
E(−2,−2)时，−2m=−2，解得m=1，再分类讨论，画图分析即可．
1 1
【详解】解：当x=−2,y=−2× −1=−2，则点E(−2,−2)在直线y= x−1上，
2 2
当直线y=mx(m≠0)经过点E(−2,−2)时，−2m=−2，
解得：m=1，此时，符合题意，如图：
当m>1时，此时不符合题意，如图：当m<1时，此时符合题意，如图：
1 1
当m= 时，直线y=mx(m≠0)与直线y= x−1平行，符合题意，如图：
2 2
1 1
当m< 时，直线y=mx(m≠0)与直线y= x−1在右侧会相交，不符合题意，
2 21
综上：当 ≤m≤1时，x>−2时，对于x的每一个值，正比例函数y=mx(m≠0)的值都大于一次函数
2
1
y= x−1的值，
2
故选：C．
【考点33 一次函数的应用】
【例33】（24-25八年级·江苏无锡·期末）一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地出发，沿公路经
2
B地到C地，乙车从C地出发，沿公路驶向B地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 小时
7
到达目的地．甲、乙两车之间的路程y(km)与两车行驶时间x(h)的函数关系如图所示，请结合图象信息，
解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是______km/h，图中a=______；
(2)求图中线段EF所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)直接写出两车出发多少小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍？
【答案】(1)70，300
(2)y=120x−30020 20
(3) h或 h
23 11
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出A、B、C两两之间的距离是解题
的关键．
（1）利用时间、速度、路程之间的关系求解；
（2）利用待定系数法求解；
（3）先求出A、B、C两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B
地路程的4倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可．
2
【详解】（1）解：由图可知，甲车 小时行驶的路程为(200−180)km，
7
2
∴甲车行驶的速度是(200−180)÷ =70(km/h)，
7
( 2)
∴A、C两地的距离为： 4+ ×70=300(km)，
7
故答案为：70；300；
(5 )
（2）解：由图可知E，F的坐标分别为 ,0 ，(4,180)，
2
设线段EF所在直线的函数解析式为y=kx+b，
{ 5 k+b=0 )
则 2 ，
4k+b=180
{ k=120 )
解得 ，
b=−300
∴线段EF所在直线的函数解析式为y=120x−300；
( 2)
（3）解：由题意知，A、C两地的距离为： 4+ ×70=300(km)，
7( 5) 5
乙车行驶的速度为： 300−70× ÷ =50(km/h)，
2 2
C、B两地的距离为：50×4=200(km)，
A、B两地的距离为：300−200=100(km)，
设两车出发x小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍，
分两种情况，当甲乙相遇前时：
200−50x=4(100−70x)，
20
解得x= ；
23
当甲乙相遇后时：
200−50x=4(70x−100)，
20
解得x= ；
11
20 20
综上可知，两车出发 h或 h时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的4倍．
23 11
【变式33-1】（24-25八年级·浙江杭州·期末）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种
光伏车棚．已知修建1个A种光伏车棚需投资3万元，1个B种光伏车棚需投资2万元，若修建A，B两种光
伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍．设修建A种光伏车
棚x个，修建车棚总费用为y万元．
(1)求出y（万元）关于x（个）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
1
【答案】(1)y（万元）关于x（个）的函数关系式是y=x+40（13 ≤x<20且x为整数）
3
(2)修建14个A种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为54万元
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数
的性质求最值．
（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y（万元）关于x（个）的函数关系式，然后根据要求修建的A
种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍．可以得到x的取值范围；
（2）根据（1）中的结果和一次函数的性质，可以求得y的最小值，以及此时x的值．
【详解】（1）解：由题意可得，y=3x+2(20−x)=3x+40−2x=x+40，
∵要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍．
∴x≥2(20−x)，1
解得：x≥13 ，
3
1
即y（万元）关于x（个）的函数关系式是y=x+40（13 ≤x<20且x为整数）；
3
（2）解：由（1）知：y=x+40，
∴y随x的增大而增大，
1
∵13 ≤x<20且x为整数，
3
∴当x=14时，y取得最小值，此时y=54，
故修建14个A种光伏车棚时，可使投资总额最少，最少投资总额为54万元．
【变式33-2】（24-25八年级·河南洛阳·期末）甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．
五一期间，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓按
六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打
折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y （元），在乙采摘
1
园所需总费用为y （元），图中折线OAB表示y 与x之间的函数关系．
2 2
(1)甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元；
(2)求y 、y 与x之间的函数表达式；
1 2
(3)在图中画出y 与x之间的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的取值范
1
围．
【答案】(1)30
y = { 30x(0≤x≤10) )
(2)
2 15x+150(x>10)
(3)见解析，5<x<30
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）根据单价=总价÷数量，即可解决问题．
（2）y 函数表达式=60+单价×数量，y 与x的函数表达式结合图象利用待定系数法即可解决．
1 2（3）画出函数图象后，根据y 在y 下面即可解决问题．
1 2
【详解】（1）解：甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克300÷10=30（元）
故答案为：30；
（2）解：由题意知y =30×0.6x+60=18x+60(x≥0)
1
由图可得，当0≤x≤10时，y =30x；
2
当x>10时，设y =kx+b(k≠0)，
2
将(10,300)和(20,450)代入y =kx+b，
2
{300=10k+b)
得 ，
450=20k+b
{k=15
)
解得 ，
b=150
∴y =15x+150，
2
∴y =¿，
2
（3）解：函数y 的图象如图所示，
1
{y=18x+60)
由 ，
y=30x
{ x=5 )
解得 ，
y=150
∴点F的坐标为(5,150)；
{ y=18x+60 )
由 ，
y=15x+150
{ x=30 )
解得 ，
y=600
∴点E的坐标为(30,600)；
由图象可知选择甲采摘园所需总费用较少时，草莓采摘量x的取值范围是5<x<30．
【变式33-3】（24-25八年级·江西抚州·期末）为创建“绿色校园”，某校计划分两次购进A，B两种花
草，弟一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费825元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费325元（两次购进同种花草和价格相同）．
(1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元
(2)若计划购买A，B两种花草共30棵，其中购买A种花草m棵，且m≥12，请你给出一种费用最省的方
案，并求该方案所需费用．
【答案】(1)A、B两种花草每棵的价格分别是25元和5元；
(2)购买A花草12棵，购买B花草18棵，共花费390元．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用．
（1）设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，由题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设所需费用为W，则W =20m+150，利用函数增减性可知：当m=12时，W取最小值，此时
W =390元．
【详解】（1）解：设A、B两种花草每棵的价格分别是x，y元，
则由题意可知：
{30x+15 y=825)
，
12x+5 y=325
{x=25)
解之得： ，
y=5
∴A、B两种花草每棵的价格分别是25元和5元；
（2）解：设所需费用为W，则由已知可得：W =25m+5(30−m)=20m+150，
由20>0可知W随m的增大而增大，
∵m≥12，
∴当m=12时，W取最小值，此时W =390元，
30−m=18，
故最省钱的方案是：购买A花草12棵，购买B花草18棵，共花费390元．
【考点34 平均数、中位数、众数】
【例34】（24-25八年级·四川成都·期末）某学校招聘一名教师，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试、面
试测试，他们的各项测试成绩如表所示，根据要求，学校将笔试、面试得分按6：4的比例确定各人的最后
成绩，然后录用得分最高的候选人，最终被录用的是 ．
测试成绩
项目
甲 乙 丙
8
笔试 70 75
08
面试 90 85
0
【答案】甲
【分析】根据加权平均数的概念分别计算出三人的得分，从而得出答案．
80×6+80×4
【详解】解：甲的最后成绩为： =80(分)，
6+4
70×6+90×4
乙的最后成绩为： =78(分)，
6+4
75×6+85×4
丙的最后成绩为： =79(分)，
6+4
∵80>79>78，
∴最终被录用的是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
【变式34-1】（24-25八年级·宁夏中卫·期末）若2024个数x ，x ，…x 的平均数是2，则x +2，x +2
1 2 2024 1 2
，…，x +2的平均数是 ．
2024
【答案】4
【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数的定义即可求解，熟练掌握平均数是指在一组数据中所有数
据之和再除以数据的个数是解决此题的关键．
【详解】解：∵2024个数x ，x ，…x 的平均数是2，
1 2 2024
1
∴ ×(x +x +x +...+x )=2,
2024 1 2 3 2024
∴x +x +x +...+x =4048,
1 2 3 2024
∴x +2,x +2,…….,x +2平均数
1 2 2024
1
= ×(x +2+x +2+x +2+…+x +2)
2024 1 2 3 2024
1
= ×(4048+2×2024)
2024
=4，
故答案为：4．
【变式34-2】（2025·江苏南京·二模）下表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其中一个数据被遮盖
了．若这组数据的中位数为13.5岁，则这个俱乐部共有学员 人．
年龄 1 14 15 163
频数 28 22 23
【答案】146
【分析】根据中位数的概念计算即可．
【详解】解：由中位数为13.5岁，可知中间的两个数为13，14，
∴这个俱乐部共有学员（28+22+23）×2=146（人）．
故答案为：146．
【点睛】本题主要考查了中位数的概念，读懂列表，从中得到必要的信息是解答本题的关键．
【变式34-3】（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）下表为某班某次数学考试成绩的统计表．已知全班共有
38人，且众数为50分，中位数为60分，则x2−y2的值等于 ．
2
成绩（分） 30 40 50 60 70 90 100
0
次数（人） 2 3 5 x 6 y 3 4
【答案】15
【分析】由于全班共有38人，则x+ y=38−(2+3+5+6+3+4)=15，结合众数为50分，中位数为60
分，分情况讨论即可确定x、y之值，从而求出x2−y2之值．
【详解】解：∵全班共有38人，
∴x+ y=38−(2+3+5+6+3+4)=15，
∵众数为50分，
∴x≥8，
当x=8时，y=7，中位数是第19，20两个数的平均数，都为60分，则中位数为60分，符合题意；
当x=9时，y=6，中位数是第19，20两个数的平均数，则中位数为（50+60）÷2=55分，不符合题意；
同理当x=10，11，12，13，14，15时，中位数都不等于60分，不符合题意．
则x=8，y=7．
则x2−y2=64−49=15．
故答案为：15．
【点睛】本题结合代数式求值考查了众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意
众数可以不止一个；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间
两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．本题的关键是确定x、y之值．【考点35 方差】
【例35】（24-25八年级·山东淄博·期中）体育课上老师组织了跳远测试（单位：米），小明6次成绩的平
1
均数为7.8，方差为 ．如果小明再跳两次，成绩分别为7.7，7.9，则小明8次跳远成绩的方差为（ ）
60
1 1 3 3
A． B． C． D．
80 60 25 200
【答案】D
【分析】本题考查求方差，先求出小明再跳两次后成绩的平均数，然后根据方差公式进行计算即可．
1
【详解】解：由题意，小明再跳两次后成绩的平均数为： (7.8×6+7.7+7.9)=7.8，
8
1
∵小明6次成绩的方差为 ，
60
∴小明8次跳远成绩的方差为： 1[ 1 ×6+(7.7−7.8) 2+(7.9−7.8) 2) = 3 ；
8 60 200
故选D．
【变式35-1】（24-25八年级·山东烟台·期末）某班数学综合与实践活动小组的5位同学在一次数学测验成
绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m、若小红和小明同学也想加入
小组，并且两人成绩均为85分，那么加入后小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为
【答案】m>n/n<m
【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式，分别计算出原数据和新数据的方
差即可得．
81+83+89+85+87
【详解】解：原数据的平均数为： =85，
5
1
方差为：m= ×[(81−85) 2+(83−85) 2+(89−85) 2+(85−85) 2+(87−85) 2)=8；
5
81+83+89+85+87+85+85
新数据的平均数为： =85，
7
1 40
所以方差为：n= ×[ (81−85) 2+(83−85) 2+(89−85) 2+(85−85) 2+(87−85) 2+2×(85−85) 2)=
7 7
∴m>n
故答案为：m>n．
【变式35-2】（24-25八年级·辽宁丹东·期末）一组数据x ,x ,x ,⋅⋅⋅,x 的方差是a，平均数是b，则另
1 2 3 n
一组数据3x +2,3x +2,3x +2,⋅⋅⋅,3x +2的方差和平均数分别是（ ）
1 2 3 nA．a，b B．9a，3b+2 C．3b，2a D．3a+2，b+2
【答案】B
【分析】此题考查了方差和平均数的变化规律．根据方差和平均数的变化规律进行解答即可．
【详解】解：一组数据x ,x ,x ,⋅⋅⋅,x 的方差是a，平均数是b，则另一组数据
1 2 3 n
3x +2,3x +2,3x +2,⋅⋅⋅,3x +2的方差和平均数分别是9a，3b+2，
1 2 3 n
故选：B
【变式35-3】（24-25八年级·四川成都·期末）三个小组每组都有10人，一道满分为3分的题目，三个小
组的得分情况如图所示：观察这三个小组的得分情况，小明发现，“柱子的高度”总是1，2，3，4，但是
它们排列的顺序不同，导致了平均数和方差发生了变化，在这三组中，方差最小的是第 组．
1 1
（可能用到的数学公式：平均数x= (x +x +⋯+x )，方差S2= [(x −x) 2+(x −x) 2+⋯+(x −x) 2)）
n 1 2 n n 1 2 n
【答案】二
【分析】本题考查了方差的计算公式．根据每个图中的数据先求出平均数再运用方差计算公式求出方差即
可．
1
【详解】解：第一组平均数是x= ×(0×1+2×1+3×2+4×3)=2，
10
1
第一组的方差是S2= ×[(0−2) 2+(1−2) 2×2+(2−2) 2×3+(3−2) 2×4]=1；
1 10
1
第二组的平均数是：x= ×(0×2+3×1+4×2+1×3)=1.4，
10
1
方差是S2= ×[(0−1.4) 2×2+(1−1.4) 2×3+(2−1.4) 2×4+(3−1.4) 2 ]=0.84；
2 10
1
第三组的平均数是：x= ×(0×4+3×1+2×2+1×3)=1，
10
1
方差是：S2= ×[(0−1) 2×4+(1−1) 2×3+(2−1) 2×2+(3−1) 2 ]=1；
3 10
方差最小的是第二组．
故答案为：二．【考点36 统计量的选择】
【例36】（24-25八年级·江苏无锡·期末）某服装销售商在进行市场占有率的调查时，他最应该关注的是（
）
A．服装型号的平均数 B．服装型号的众数
C．服装型号的中位数 D．最小的服装型号
【答案】B
【详解】分析：天虹百货某服装销售商最感兴趣的是服装型号的销售量哪个最大．
解答：解：由于众数是数据中出现最多的数，销售商最感兴趣的是服装型号的销售量哪个最大，所以他最
应该关注的是众数．
故选B
【变式36-1】（24-25·湖北荆州·八年级·期末）从班上13名排球队员中，挑选7名个头高的参加校排球比
赛．若这13名队员的身高各不相同，其中队员小明想知道自己能否入选，只需知道这13名队员身高数据
的（ ）
A．平均数 B．中位数 C．最大值 D．方差
【答案】B
【分析】根据题意，只要知道13名队员身高数据的中位数即可判断小明是否入选．
【详解】解：入选规则是个头高则入选，则需要将13名队员的身高进行降序排序，取前7名进行参赛，根
据中位数的概念，知道第7名的成绩，即中位数即可判断小明是否入选；
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数的概念，掌握中位数的概念是解本题的关键．
【变式36-2】（24-25八年级·江苏盐城·期中）甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次
射击成绩的平均数x（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
x 9 8 9 9
S2 1.8 0.9 5 0.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】此题考查了平均数和方差，解答本题的关键是明确方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大
小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【详解】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D．
【变式36-3】（24-25八年级·山东潍坊·期末）某鞋店一周内销售了某种品牌的男鞋60双，各种尺码的销售
量统计如下：
尺码/cm 23.5 24 24.5 25 25.5 26 26.5
销量/双 3 7 6 16 18 8 2
由此你能给这家鞋店提供的进货建议是 .
【答案】25.5cm尺码的鞋子可以多进一些（答案不唯一，符合实情就行）
【分析】利用众数的意义进行解答即可.
【详解】解：去鞋厂进货时25.5cm尺码型号的鞋子可以多进一些，这组数据中的众数是25.5，故男鞋中型
号25.5cm尺码销售较好，25.5cm尺码的鞋子可以多进一些.
故答案为：25.5cm尺码的鞋子可以多进一些. （答案不唯一，符合实情就行）
【点睛】本题题主要考查了众数的意义，理解众数反映了一组数据的集中程度，是描述一组数据集中趋势
的量是解答本题的关键.
【考点37 数据的分析】
【例37】（24-25八年级·四川达州·期末）某县教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动
的情况，随机抽样调查了该县八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面
两幅不完整的统计图(如图)．
请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出参加抽样调查的八年级学生人数，并将频数直方图补充完整．
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少?
（3）如果该县共有八年级学生6000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？
【答案】（1）调查的初一学生人数200人；补图见解析；（2）中位数是4（天），众数是4（天）；
（3）估计“活动时间不少于5天”的大约有2700人．
【分析】（1）由参加实践活动为2天的人数除以所占的百分比即可求出八年级学生总数，根据单位1减去
其他的百分比求出a的值，由学生总数乘以活动实践是5天与7天的百分比求出各自的人数，补全统计图
即可；
（2）出现次数最多的天数为4天，故众数为4；将实践活动的天数按照从小到大顺心排列，找出最中间的
两个天数，求出平均数即可得到中位数；
（3）求出活动时间不少于4天的百分比之和，乘以6000即可得到结果．
【详解】解：（1）调查的初一学生人数：20÷10%＝200（人），
“活动时间不少于5天”的人数为：200×（1-15%-10%-5%-15%-30%）=50（人），
“活动时间不少于7天”的人数为：200×5%=10（人），
补全统计图如下：
（2）根据中位数的概念，中位数应是第100人的天数和101人的天数的平均数，即中位数是4（天），
根据众数的概念，则众数是人数最多的天数，即众数是4（天）；
（3）估计“活动时间不少于5天”的大约有：（200﹣20﹣30﹣60）÷200×6000＝2700（人）．
【点睛】本题考查了频率分布直方图和扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
【变式37-1】（24-25八年级·山东烟台·期中）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行
抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表（单位：cm）
组别 身高
A x＜155B 155≤x＜160
C 160≤x＜165
D 165≤x＜170
E x≥170
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）样本中，男生的身高众数在 组，中位数在 组；
（2）样本中，女生身高在E组的人数有 人；
（3）已知该校共有男生400人，女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？
【答案】（1）B、C；（2）2；（3）332人
【分析】（1）根据众数的定义，以及中位数的定义解答即可；
（2）先求出女生身高在E组所占的百分比，再求出总人数然后计算即可得解；
（3）分别用男、女生的人数乘以C、D两组的频率的和，计算即可得解．
【详解】解：∵B组人数最多，
∴众数在B组，
男生总人数为4+12+10+8+6＝40，
按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C组，
∴中位数在C组，
故答案为B、C；
（2）女生身高在E组的频率为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%＝5%，
∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，
∴样本中，女生身高在E组的人数有40×5%＝2人，故答案为2；
10+8
（3）400× +380×（25%+15%）＝180+152＝332（人）．
40
答：估计该校身高在160≤x＜170之间的学生约有332人．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须
认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
【变式37-2】（24-25八年级·山东潍坊·期中）山青养鸡场有2500只鸡准备对外出售．从中随机抽取了一
部分鸡，统计了它们的质量（单位：kg），并绘制出如下的统计图1和图2．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）图1中m的值为 ；
（2）统计的这组数据的众数是 ；中位数是 ；
（3）求出这组数据的平均数，并估计这2500只鸡的总质量约为多少kg．
【答案】（1）28；（2）1.8kg，1.5kg；（3）平均数是1.52kg，总质量约为3800kg．
【分析】（1）根据各种质量的百分比之和为1可得m的值；
（2）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；
（3）根据平均数的计算公式求出这组数据的平均数，再乘以总只数即可得出鸡的总质量．
【详解】（1）图①中m的值为100﹣（32+8+10+22）＝28，
故答案为：28；
（2）∵1.8kg出现的次数最多，
∴众数为1.8kg，
1.5+1.5
把这些数从小到大排列，则中位数为 ＝1.5（kg）；
2
故答案为：1.8kg，1.5kg；
（3）这组数据的平均数是：
1
×（5×1+11×1.2+14×1.5+16×1.8+4×2），
5+11+14+16+41
＝ ×（5+13.2+21+28.8+8），
50
＝1.52（kg），
∴2500只鸡的总质量约为：1.52×2500＝3800（kg），
所以这组数据的平均数是1.52kg，2500只鸡的总质量约为3800kg．
【点睛】此题考查统计计算，正确掌握部分百分比的计算方法，众数的定义、中位数的定义，平均数的计
算方法是解题的关键.
【变式37-3】（24-25八年级·山东菏泽·期中）某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取
了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A，B，C，D表示，并
将测试结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答以下问题：
(1)本次抽取的学生共有_________人，扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是_______°，并把条形统计图
补充完整；
(2)依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众
数是_________分，中位数是_________分，平均数是_________分；
(3)请估计全校2000名学生中书写能力等级达到优秀的学生大约有多少人？
【答案】(1)40，36，图见解析；
(2)70,70,66.5；
(3)书写能力等级达到优秀的学生大约有200人．
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由C等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A等级人数所占比例即可得，总人数减去
A、C、D的人数可求出B等级的人数，从而补全图形；
（2）根据众数、中位数及平均数的定义即可求得答案；
（3）利用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得．
【详解】（1）解：本次抽取的学生共有：16÷60%=40（人），4
扇形统计图中A所对应扇形的圆心角是：360°× =36°，
40
故答案为：40，36，
B等级人数为：40−4−16−14=6（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：∵及格的人数最多，
∴众数是70，
将学生成绩从小到大顺序排列，排在第20和第21个数分别为70,70，
70+70
∴中位数是 =70，
2
4×90+6×80+16×70+14×50
平均数是 =66.5，
40
故答案为：70,70,66.5；
（3）解：书写能力等级达到优秀的学生大约有：
（人）．