文档内容
专题 16.3 二次根式的加减
1. 掌握同类二次根式及合并同类二次根式；
2. 掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；
3. 能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。
知识点01 同类二次根式
【知识点】
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配
m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
律，如
【知识拓展1】同类二次根式的辨别
例1．(2022·山东烟台·八年级期中)下列各式与 是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
【即学即练】
1.(2022·福建宁德·八年级期中)下列各式化简后能与 合并的是( )
A． B． C． D．
【知识拓展2】根据同类二次根式求参数值
例2．(2022·辽宁葫芦岛·八年级期末)若 与最简二次根式 能合并成一项，则 ________．【即学即练】
2.(2022·河北保定·八年级期中)如果最简二次根式 与 能够合并，那么a的值为( )
A．1 B．2 C．4 D．10
【知识拓展3】合并同类二次根式
例3．(2022·福建福州·八年级期中)下列式子正确的是( )．
A． B． C． D．
【即学即练】
3.(2022·广西贺州·八年级期中)下列计算中，正确的是( )
A． B．
C． D．
知识点02 二次根式的加减
【知识点】
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【知识拓展1】二次根式的加减
例1．(2022·辽宁大连·八年级期中)计算：
(1) ； (2)
【即学即练1】
1．(2022·湖北武汉·八年级期中)计算：(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【知识拓展2】二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号
里面的(或先去掉括号)
例2．(2022·辽宁鞍山·八年级期中)计算：
(1) ； (2) ．
【即学即练2】
2．(2022·四川德阳·八年级期中)计算
(1) . (2) .
3．(2022·山东烟台·八年级期中)计算：
(1) (2)
【知识拓展3】二次根式的化简求值
例3．(2022·湖北孝感·八年级期中)已经 ，求下列各式的值：
(1) ； (2)
【即学即练3】2．(2022·陕西·西北大学附中八年级阶段练习)化简求值已知 ， ，求 ．
3．(2022·山东烟台·八年级期中)已知 ， ，求代数式 的值．
【知识拓展4】分母有理化
例4．(2022·河南平顶山·八年级期中)阅读下面计算过程：
； ．
请解决下列问题(1) ______．
(2)利用上面的解法，请化简： ．
【即学即练4】
4．(1)(2022·山西实验中学八年级阶段练习)观察下列等式：
；
；
；
回答下列问题：(1) ______；(2) ______；( 为正整数)(3) 题：计算 ______． 题：利用上面所揭示的规律计算：
．
(2)(2022·山西·寿阳县教研室八年级期中)阅读材料：像 这样，两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，
利用有理化因式，可以化去分母中的根式，即为分母有理化．
例如： ，
解答下列问题：(1)请写出一个 的有理化因式；(2)将 分母有理化;
计算：
(3)
【知识拓展5】已知字母的值，化简求值
例5．(2022·上海市八年级期中)先化简： ，再求当 ， 时的值．
【即学即练5】
5．(2022·福建三明·八年级期中)已知 ， ，求代数式 的值．
【知识拓展6】已知条件式，化简求值
例6．(2022·江西上饶·八年级期中)已知 ， ，求 的值．【即学即练6】
6．(2022·江苏南通·八年级期中)已知 ， ．求 的值．
【知识拓展7】比较二次根式的大小
例7．(2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级)比较大小： _______1； _________
【即学即练7】
7．(2022·上海市八年级期中)比较大小： ______ ．
【知识拓展8】二次根式的应用
例8．(2022·广东·佛山八年级期中)如图，把图(1)中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为
16cm2的大正方形纸片如图(2)，
(1)原小正方形的边长为 cm；(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽
之比为2:1，且面积为 ？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
(3)如图(3)是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示
意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．【即学即练8】
8．(2022·福建·古田县八年级阶段练习)探究题
(1)用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 2 ，1+ 2 ，5+5 2 ．
(2)由(1)中各式猜想m+n与2 (m≥0，n≥0)的大小，并说明理由．
(3)请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好
可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．
题组A 基础过关练
1.(2022·河南商丘·八年级期中)下列计算中正确的是( )
A． B． C． D．
2．(2022·山东临沂·八年级期中)下列二次根式化简后能与 合并的是( )
A． B． C． D．
3．(2022·湖北武汉·八年级期中)下列计算正确的是( )
A． B．3 3C． 7 D．
4．(2022·河北廊坊·八年级阶段练习)如果一个三角形的面积为 ，一边长为 ，则这条边上的高为( )
A． B． C． D．
5．(2022·河北沧州·八年级期中)计算 的结果是______．已知最简二次根式 与 能进行合并，
则 ______．
6．(2022·河南濮阳·八年级期中)计算 的结果是______．
7．(2022·浙江杭州·八年级期末)已知 ， ，则 的值是________．
8．(2022·湖北武汉·八年级阶段练习)已知 ，则x2+2x﹣3＝_____．
9．(2022·山东威海·八年级期中)已知： ， ，求下列式子的值：(1) ；(2) ．
10．(2022·湖北湖北·七年级期中)计算：
(1) ＋ － ＋ ； (2)3 ＋ －(2 － )．
11．(2022·湖北随州·八年级期中)计算
(1) (2)
12．(2022·山东滨州·八年级期中)计算：(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
题组B 能力提升练
1．(2022·甘肃平凉·八年级期中)若最简二次根式 和 能合并，则 的值为( )
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
2．(2022·江西·南城县第二中学七年级阶段练习)已知 ， ，
，那么a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
3．(2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习)已知最简二次根式 和 是同类二次根式，
则 ______．
4．(2022·山东烟台·八年级期中)计算 的结果等于______．
5．(2022·河北邢台·八年级期末)已知 ， ．
(1) ______．(2)求 的值为______．
6．(2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试)已知长方形的长为a，宽为b，且 ， ．
(1)这个长方形的周长为__；(2)若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．7．(2022·山东烟台·八年级期中)计算：
(1) (2)
8．(2022·辽宁大连·八年级阶段练习)计算：
(1) ；(2) ．
9．(2022·山东烟台·八年级期末)在数学课外学习活动中，小明和他的同学通到一道题：已知 ，求
的值，他是这样解答的：
∵ ∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：若 ，求 的值．
10．(2022·河南驻马店·八年级阶段练习)先化简，再求值∶ ，其中x= ，
y=4题组C 培优拔尖练
1．(2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末)我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都
曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，
c，记 ，那么三角形的面积为 ．已知 的三边长分别为4，5，
7，则 的面积为( )
A． B． C． D．8
2．(2022·湖北武汉·八年级期中)用[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x﹣[x]
作为x的小数部分．已知m ，m的小数部分是a，﹣m的小数部分是b，则 的值为( )
A．0 B．1 C．﹣1 D． ( 1)
3．(2022·山东临沂·八年级期末)若 ，则 的值为______．
4．(2022·广西钦州·八年级期中)已知 ，那么 的值为__________.
5．(2022·陕西安康·八年级期中)在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题，已知 ，求
的值．他是这样解答的；
∵ ， ， ， ，请据小军的解题过程，解决如下问题：
(1) __________；(2)若 ，求 的值．
6．(2022·全国·九年级阶段练习)请阅读下列材料：
问题：已知 ，求代数式 的值．
小敏的做法是：根据 得 ，
，得： ．
把 作为整体代入：得 ．
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知 ，求代数式 的值；
(2)已知 ，求代数式 的值．
7．(2022·全国·八年级专题练习)已知：y＝ ＋5，化简并求 的值．
8．(2022·山西朔州·七年级期中)阅读理解：
设m，n是有理数，且满 ，求 的值．
解：由题意，移项得： ，
∵m，n是有理数∴m－2，n＋3也是有理数，
又∵ 是无理数，
∴ ，∴m＝2，n＝－3，
∴ ．
问题解决：设a，b都是有理数，且 ，求 的值．
