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专题 16.3 二次根式的加减
1. 掌握同类二次根式及合并同类二次根式；
2. 掌握二次根式的加减法则，会运用法则进行二次根式的加减运算；
3. 能应用运算律及乘法公式熟练地进行二次根式的混合运算。
知识点01 同类二次根式
【知识点】
1.同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配
m√a+n√a=(m+n)√a(a≥0)
律，如
【知识拓展1】同类二次根式的辨别
例1．(2022·山东烟台·八年级期中)下列各式与 是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ，
∴与 是同类二次根式的是 ，故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【即学即练】1.(2022·福建宁德·八年级期中)下列各式化简后能与 合并的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先把各选项中的二次根式化为最简二次根式，再由同类二次根式的概念即可得出结论．
【详解】解：A、 与 不能合并，故不符合题意；B、 与 不能合并，故不符合题意；
C、 与 能合并，故符合题意；D、 与 不能合并，故不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相
同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
【知识拓展2】根据同类二次根式求参数值
例2．(2022·辽宁葫芦岛·八年级期末)若 与最简二次根式 能合并成一项，则 ________．
【答案】-2
【分析】先化简 ，因为它与最简二次根式 能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方数
相同，列出方程即可得到a的值．
【详解】解：∵ ，它与最简二次根式 能合并成一项，
∴1-a=3，∴a=-2，故答案为：-2．
【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被
开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键．
【即学即练】
2.(2022·河北保定·八年级期中)如果最简二次根式 与 能够合并，那么a的值为( )
A．1 B．2 C．4 D．10
【答案】A
【分析】先把 化简成最近二次根式，然后根据最简二次根式 与 能够合并，得到被开方数相同，列出一元一次方程求解即可．
【详解】 ，
∵最简二次根式 与 能够合并，
∴ ，∴ ，故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式化简，同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，
利用同类二次根式的被开方数相同是解题的关键．
【知识拓展3】合并同类二次根式
例3．(2022·福建福州·八年级期中)下列式子正确的是( )．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的加减运算法则分别判断得出答案．
【详解】解：A、 ，故此选项不合题意；
B、 无法合并，故此选项不合题意；
C、 ，故此选项不合题意；
D、 ，故此选项符合题意；故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的合并，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【即学即练】
3.(2022·广西贺州·八年级期中)下列计算中，正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加减法法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、2和 不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意；B、 和 不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意；
C、 和 不是同类二次根式，无法合并，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项符合题意；故选：D
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，熟练掌握二次根式的加减法法则是解题的关键．
知识点02 二次根式的加减
【知识点】
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【知识拓展1】二次根式的加减
例1．(2022·辽宁大连·八年级期中)计算：
(1) ； (2)
【答案】(1)0 (2)
【分析】(1)先化简二次根式，再利用二次根式加减运算法则求解即可；
(2)先化简二次根式，再利用二次根式加减运算法则求解即可．
(1)
解：
；
(2)
解：．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解答的关键．
【即学即练1】
1．(2022·湖北武汉·八年级期中)计算：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】(1)根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式混合运算法则进行化简，然后再进行计算即可；
(3)先根据二次根式混合运算法则进行化简，然后再进行计算即可；
(4)先根据二次根式混合运算法则进行化简，然后再进行计算即可．
(1)解：
(2)解：
(3)解：(4)解：
【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的性质和二次根式混合运算法则，是解题
的关键．
【知识拓展2】二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号
里面的(或先去掉括号)
例2．(2022·辽宁鞍山·八年级期中)计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)根据负整数指数幂，二次根式的混合运算进行计算即可求解；
(2)根据零次幂，二次根式的混合运算，实数的混合运算进行计算即可求解．
(1)解：原式＝
；
(2)解：原式＝
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，负整数指数幂，零次幂，正确的计算是解题的关键．
【即学即练2】
2．(2022·四川德阳·八年级期中)计算
(1) . (2) .
【答案】(1)-5 (2)2
【分析】(1)原式先计算二次根式的乘除法，再去括号合并即可求出结果；
(2)原式分别化简 ，然后再合并即可得到结果．
(1)
= - -(2 +2 )
=2 -3 -2 -2
=-5
(2)
=2- +4-3-1+
=2
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的相关运算法则．
3．(2022·山东烟台·八年级期中)计算：
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】(1)先化简括号内二次根式，再做除法运算，最合并同类二次根式即可；
(2)先化简二次根式，并根据零指数幂运算法则计算，再合并同类二欠根式即可．(1)解：
(2)解：
．
【点睛】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则和零指数幂的运算法则是解题的关键．
【知识拓展3】二次根式的化简求值
例3．(2022·湖北孝感·八年级期中)已经 ，求下列各式的值：
(1) ； (2)
【答案】(1)12 (2)
【分析】(1)根据完全平方公式写成 ，把x、y的值代入计算即可；
(2)根据平方差公式写成(x+y)(x-y)，把x、y的值代入计算即可．
(1)解： ；
(2)解： ．
【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行二次根式的化简，熟记乘法公式是解题的关键．
【即学即练3】
2．(2022·陕西·西北大学附中八年级阶段练习)化简求值已知 ， ，求 ．【答案】
【分析】先计算 的值，然后将代数式化简，代入 的值进行计算即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴
，
，
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，掌握二次根式的混合运算是解题的关键．
3．(2022·山东烟台·八年级期中)已知 ， ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】先根据 ， ，判定x、y同号，都为负数，再据此化简二次根式，合并同类二次根式，
然后整代入计算即可．
【详解】解：∵ ， ∴x、y同号，都为负数∴
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，由已知条件判定x、y同号，且都为负数是解题的关键．
【知识拓展4】分母有理化
例4．(2022·河南平顶山·八年级期中)阅读下面计算过程：
； ．
请解决下列问题(1) ______．
(2)利用上面的解法，请化简： ．
【答案】(1) (2)
【分析】(1)仿照例题解题过程即可得到结果；(2)利用例题的规律化简各个式子即可得到结果．
【详解】(1)解： ；
(2)解：原式
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，弄清阅读材料中的解题方法是解题的关键．
【即学即练4】
4．(1)(2022·山西实验中学八年级阶段练习)观察下列等式：
；
；
；回答下列问题：(1) ______；(2) ______；( 为正整数)
(3) 题：计算 ______． 题：利用上面所揭示的规律计算：
．
【答案】(1) (2) (3)A：1；B：
【分析】(1)利用分母有理化，进行计算即可解答；
(2)利用分母有理化，进行计算即可解答；
(3) 题：利用积的乘方和平方差公式进行计算即可解答；
题：先利用上面的规律化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答．
【详解】(1)解： ，故答案为： ；
(2)解： ，故答案为： ；
(3)解： 题： ，故答案为： ；
题：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，数字类的变化规律探究，准确熟练
地进行计算是解题的关键．
(2)(2022·山西·寿阳县教研室八年级期中)阅读材料：像 这样，两个含有二
次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，
利用有理化因式，可以化去分母中的根式，即为分母有理化．
例如： ，解答下列问题：(1)请写出一个 的有理化因式；(2)将 分母有理化;
(3)计算：
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】(1)根据平方差公式及有理化因式定义即可得到答案；
(2)分子分母同时乘以分母的有理化因式即可得到答案；
(3)先把括号里的分式分母有理化并计算，在相乘即可得到答案．
【详解】(1)解：∵ ， ，
∴ 的有理化因式可以是： ；
(2)解：原式 ；
(3)解：原式
．
【点睛】本题考查有理化因式，分母有理化及二次根式有理化规律，解题的关键是先分母有理化进行前后
相互抵消，最后利用平方差公式求解．
【知识拓展5】已知字母的值，化简求值
例5．(2022·上海市八年级期中)先化简： ，再求当 ， 时的值．
【答案】原式 ，当 ， 时，原式
【分析】根据二次根式的运算法则，将代数式进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式 ，当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则和运算顺序，
以及运用平方差公式．
【即学即练5】
5．(2022·福建三明·八年级期中)已知 ， ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】先利用已知 ， 求得 的值，然后把所求的代数式利用完全平方公式变形后
代入求值即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了代数式的求值和二次根式的运算，根据题目的特点把已知或所求的代数式作适当的变
形是解题的关键．
【知识拓展6】已知条件式，化简求值
例6．(2022·江西上饶·八年级期中)已知 ， ，求 的值．
【答案】
【分析】由题意可得 与 都为负数，再利用二次根式的化简对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵ ， ，∴ ， ，
．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则．
【即学即练6】
6．(2022·江苏南通·八年级期中)已知 ， ．求 的值．【答案】
【分析】先计算x+y=−6，xy=6，可得x<0，y<0，根据二次根式的性质化简，然后x+y=−6，xy=6，代入进行
计算即可求解．
【详解】解：∵ ， ∴x+y=−6，xy=6，∴x<0，y<0．
原式= = = ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，分式的化简，二次根式的混合运算，掌握以上知识是解题的关键．
【知识拓展7】比较二次根式的大小
例7．(2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级)比较大小： _______1； _________
【答案】 < <
【分析】二次根式比较大小，化简成相同的形式在比较大小.
【详解】(1)∵ ，∴ ，∴ ，∴
(2)∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，故答案为：＜，＜．
【点睛】本题考查二次根式的大小比较.
【即学即练7】
7．(2022·上海市八年级期中)比较大小： ______ ．
【答案】＞
【分析】先求出 与 的倒数，然后进行大小比较．
【详解】∵
而 ，∴ ． 故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．【知识拓展8】二次根式的应用
例8．(2022·广东·佛山八年级期中)如图，把图(1)中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为
16cm2的大正方形纸片如图(2)，
(1)原小正方形的边长为 cm；(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽
之比为2:1，且面积为 ？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
(3)如图(3)是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示
意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．
【答案】(1) (2)不能，理由见解析(3)能，图见解析，
【分析】(1)根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题；
(2)设剪出来的长方形长为 cm，宽为xcm，根据面积为 可得x的值，则长为 ，即可得出结
论；(3)一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为 ，据此画出示意图即可．
【详解】(1) 小正方形的面积是大正方形面积的一半，
小正方形的面积为 (cm2)，
设小正方形的边长为a，则 ，∴ (舍去负值)，∴小正方形的边长为 cm，
(2)解：不能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
设剪出来的长方形长为 cm，宽为xcm，
依题意得 ，∴ 或 (舍去)，
∴长为 ，∴不能剪出符合要求的长方形纸片；
(3)∵一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为 ，画出示意图如图：【点睛】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、二次根式的实际应用等知识，熟练掌握二次根式的性质
是解题的关键．
【即学即练8】
8．(2022·福建·古田县八年级阶段练习)探究题
(1)用“＝”、“＞”、“＜”填空：4+3 2 ，1+ 2 ，5+5 2 ．
(2)由(1)中各式猜想m+n与2 (m≥0，n≥0)的大小，并说明理由．
(3)请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好
可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要 m．
【答案】(1)＞，＞，＝，(2)m+n≥2 (3)40
【分析】(1)分别进行计算，比较大小即可；
(2)根据第(1)问填大于号或等于号，所以猜想m+n≥2 ；比较大小，可以作差，m+n-2 ，联想到完全
平方公式，问题得证；(3)设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为(a+2b)米，利用第(2)问的公式
即可求得最小值．
(1)解：∵4+3=7，2 =4 ，∴ ， ，
∵49＞48，∴4+3＞2 ；
∵1+ = ＞1，2 = ＜1，∴1+ ＞2 ；∵5+5=10，2 =10，∴5+5=2 ．故答案为：＞，＞，=；
(2)解：m+n≥2 (m≥0，n≥0)．理由如下：
当m≥0，n≥0时，
∵ ，∴ ，
∴m-2 +n≥0，∴m+n≥2 ；
(3)解：设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S=ab=200，
根据(2)的结论可得： ，
∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平
方公式，利用平方的非负性求证．
题组A 基础过关练
1.(2022·河南商丘·八年级期中)下列计算中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的化简及同类二次根式的合并，分别进行各选项的判断即可．
【详解】A． ，原式计算错误，故本选项错误；
B． 与 不是同类二次根式，不能直接合并，故本选项错误；
C． ，计算正确，故本选项正确；
D． 3与 不能合并，故本选项错误；故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，解答本题的关键掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．2．(2022·山东临沂·八年级期中)下列二次根式化简后能与 合并的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同类二次根式的概念解答即可．
【详解】解：A、 ，与 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、 ，与 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D、 与 是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开
方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
3．(2022·湖北武汉·八年级期中)下列计算正确的是( )
A． B．3 3
C． 7 D．
【答案】D
【分析】利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、 与 不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，详解的关键是对相应的运算法则的掌握．4．(2022·河北廊坊·八年级阶段练习)如果一个三角形的面积为 ，一边长为 ，则这条边上的高为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：由三角形的面积公式可得所求高为：
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
5．(2022·河北沧州·八年级期中)计算 的结果是______．已知最简二次根式 与 能进行合并，
则 ______．
【答案】 3
【分析】①根据二次根式的加减进行计；②根据最简二次根式的定义，以及同类二次根式的定义即可求解．
【详解】解：① ；
②∵最简二次根式 与 能进行合并，
∴ ．故答案为：① ，②3．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，最简二次根式与同类二次根式的定义，掌握以上知识是解题的
关键．
6．(2022·河南濮阳·八年级期中)计算 的结果是______．
【答案】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解： = = ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简、二次根式的加减，掌握二次根式的性质和合并同类二次根式法则是
解题的关键．7．(2022·浙江杭州·八年级期末)已知 ， ，则 的值是________．
【答案】
【分析】先求出a+b和a-b的值，把所求的式子进行分解，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∴
故答案为
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
8．(2022·湖北武汉·八年级阶段练习)已知 ，则x2+2x﹣3＝_____．
【答案】-1
【分析】把x2+2x﹣3变形为(x+1)2﹣4，直接代入即可求得结果．
【详解】∵x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4，
∴原式＝( 1+1)2﹣4＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，把x2+2x﹣3变形为(x+1)2﹣4是解题的关键．
9．(2022·山东威海·八年级期中)已知： ， ，求下列式子的值：(1) ；(2) ．
【答案】(1) (2)15
【分析】(1)代值后分母有理化即可；
(2)先将式子转化成完全平方的形式后代值再利用平方差公式进行化简求值即可．
(1)原式=
(2)原式=．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算及分母有理化，解题关键是掌握二次根式的混合运算法则．
10．(2022·湖北湖北·七年级期中)计算：
(1) ＋ － ＋ ； (2)3 ＋ －(2 － )．
【答案】(1) (2)
【分析】(1)先化简二次根式，再进行加减运算即可；
(2)先去括号，再把被开方数相同的项合并即可．
(1)解： ＋ － ＋ ，
=3-1-0+ ，
= ；
(2)解：3 ＋ －(2 － )，
= ，
= ．
【点睛】本题考查了实数的加减运算，正确化简二次根式，把被开数相同的项合并成一项是解本题的关键．
11．(2022·湖北随州·八年级期中)计算
(1) (2)
【答案】(1) (2)
【分析】(1)运用二次根式的运算法则计算即可．
(2)运用完全平方公式和平方差公式计算即可．(1)
=
= ．
(2)
=
= ．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质，平方差公式，完全平方公式是解题的关
键．
12．(2022·山东滨州·八年级期中)计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1) (2) (3)1(4)0
【分析】(1)先根据二次根式性质进行化简，然后再进行计算即可；
(2)先根据二次根式性质进行化简，然后再按照二次根式乘除运算法则进行计算即可；
(3)根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
(4)根据平方差公式和二次根式性质和负整数指数幂进行运算即可．
(1)解：(2)解：
(3)解：
(4)解：
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和实数混合运算，熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则，
是解题的关键．
题组B 能力提升练
1．(2022·甘肃平凉·八年级期中)若最简二次根式 和 能合并，则 的值为( )
A．0.5 B．1 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】根据最简二次根式可以合并，得出最简二次根式为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义
进行解答即可．【详解】解：∵最简二次根式 和 能合并，
∴ 与 为同类二次根式，
∴ ，
解得： ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出关于x的方程，是解题的关键．
2．(2022·江西·南城县第二中学七年级阶段练习)已知 ， ，
，那么a，b，c的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把 化为 再结合
从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
，
，
而
∴
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”
是解本题的关键．
3．(2021·上海市刘行新华实验学校八年级阶段练习)已知最简二次根式 和 是同类二次根式，
则 ______．【答案】
【分析】根据同类二次根式定义：两个被开方数相同的最简二次根式是同类二次根，列出方程组
求解，得出a、b值，再代入计算即可．
【详解】银，根据题意，得
，解得： ，
∴ab=2-1= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查同类二次根式概念，代数式求值，负整理指数幂的运算，解二元一次方程组，熟练掌握
同类二次根式概念是解题的关键．
4．(2022·山东烟台·八年级期中)计算 的结果等于______．
【答案】
【分析】根据积的乘方的逆运算对原式进行变形，再利用平方差公式进行计算即可；
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，能正确利用平方差公式是解题的关键．5．(2022·河北邢台·八年级期末)已知 ， ．
(1) ______．(2)求 的值为______．
【答案】 8 53
【分析】(1)直接计算 即可；
(2)先计算出 ，再把 变形为 ，最后整体代入求值即可．
【详解】解：(1)∵ ，
∴
帮答案为：8；
(2)∵ ，
∴
又
∴ =
故答案为：53
【点睛】本题主要考查了二次根式的代简求值，正确将 变形为 是解答本题的关键．
6．(2022·河北·平泉市教育局教研室九年级学业考试)已知长方形的长为a，宽为b，且 ， ．
(1)这个长方形的周长为__；(2)若一正方形的面积和这个长方形的面积相等，则这个正方形的边长为__．
【答案】
【分析】利用长方形的周长公式列出代数式并求值；利用等量关系另一个正方形的面积=这个长方形的面
积列出等式并计算．
【详解】解：∵ ， ．
长方形的周长=2×( + )= 2×( + )=12 ；长方形的面积= = =24，
根据面积相等，则正方形的边长= = ．
故答案为： ； ．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，需要掌握长方形和正方形的面积公式与长方形周长公式．
7．(2022·山东烟台·八年级期中)计算：
(1) (2)
【答案】(1)- (2)4+
【分析】(1)利用平方差公式计算二次根式的乘法进而得出答案；
(2)直接利用二次根式的加、减、乘、除运算法则化简，然后合并同类项即可求出答案．
(1)解：原式=( )2-( )2
=7-(7+ )
=
(2)原式=
=4-
=4+ ．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，二次根式的加、减、乘、除运算，正确掌握运算法则是解题的关键．
8．(2022·辽宁大连·八年级阶段练习)计算：
(1) ；(2) ．
【答案】(1) (2)
【分析】(1)先化简二次根式，再运用二次根式加减法则计算即可；
(2)先化简二次根式，再运用二次根式加减法则计算即可．(1)解：原式
；
(2)原式
．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
9．(2022·山东烟台·八年级期末)在数学课外学习活动中，小明和他的同学通到一道题：已知 ，求
的值，他是这样解答的：
∵ ∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：若 ，求 的值．
【答案】4
【分析】先利用 ，得到 ，两边平方得到 ，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴
．
【点睛】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
10．(2022·河南驻马店·八年级阶段练习)先化简，再求值∶ ，其中x= ，
y=4
【答案】 ，
【分析】先确定 ，再利用二次根式的性质化简，然后计算二次根式的加减法，最后将 的值
代入计算即可得．
【详解】解：由题意得： ，
，
则
，将 代入得：原式 ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
题组C 培优拔尖练
1．(2022·湖北·随州市曾都区教学研究室八年级期末)我国南宋著名数学家秦九韶和古希腊几何学家海伦都
曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，
c，记 ，那么三角形的面积为 ．已知 的三边长分别为4，5，
7，则 的面积为( )
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】直接将三边长代入公式求解即可．
【详解】解：∵ 的三边长分别为4，5，7，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了学生对题意的理解和对公式的运用，涉及到了二次根式的计算，解题关键是读懂题意，
正确将数值代入公式计算．
2．(2022·湖北武汉·八年级期中)用[x]表示不超过x的最大整数．例如：[3.14]＝3，[﹣3.78]＝﹣4，把x﹣[x]
作为x的小数部分．已知m ，m的小数部分是a，﹣m的小数部分是b，则 的值为( )
A．0 B．1 C．﹣1 D． ( 1)
【答案】C
【分析】利用分母有理化化简m，﹣m的值，求出a，b的值，代入代数式求值即可．【详解】解：m ＝2 ，
∵1＜3＜4，
∴1 2，
∴3＜2 4，
∴a＝2 3 1，
∵m＝2 ，
∴﹣m＝﹣2 ，
∵1＜3＜4，
∴1 2，
∴﹣2 1，
∴﹣4＜﹣2 3，
∴b＝﹣2 (﹣4)＝﹣2 4＝2 ，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义，掌握分母有理化以及理解负数的小数部分是解
题的关键．
3．(2022·山东临沂·八年级期末)若 ，则 的值为______．
【答案】2023
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把a的值代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，故答案为：2023．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，熟记完全平方公式是解题的关键．
4．(2022·广西钦州·八年级期中)已知 ，那么 的值为__________.
【答案】
【分析】根据已知条件求出 的值，再由： ，即可得出答案．
【详解】解: ，得：
，
，
，
故答案为： .
【点睛】本题考查完全平方公式的变形运用，能利用已知条件求出 ，再将 化为平方形式，
再化回来是关键．
5．(2022·陕西安康·八年级期中)在数学课外学习活动中，小军和他的同学遇到一道题，已知 ，求
的值．他是这样解答的；
∵ ， ， ， ，
请据小军的解题过程，解决如下问题：(1) __________；(2)若 ，求 的值．
【答案】(1) (2)4
【分析】(1)根据分母有理化的方法可以解答本题；
(2)根据题目中的例子可以灵活变形解答本题．
(1)解：
故答案为： ．
(2)解： ，
，
，
，
【点睛】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键．
6．(2022·全国·九年级阶段练习)请阅读下列材料：
问题：已知 ，求代数式 的值．
小敏的做法是：根据 得 ，，得： ．
把 作为整体代入：得 ．
即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知 ，求代数式 的值；
(2)已知 ，求代数式 的值．
【答案】(1) ；(2)0．
【分析】(1)先将原式配方变形后，将 的值代入计算即可求出值；
(2)先求出 的值，原式变形后，将各自的值代入计算即可求出值．
(1)解： ，
，
则原式
；
(2)解： ，
，
则原式．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、求代数式的值，解题的关键是熟练掌握运算法则．
7．(2022·全国·八年级专题练习)已知：y＝ ＋5，化简并求 的值．
【答案】 ，-4
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x=4，则y=5，再利用约分得到原式= ，然后通
分得到原式= ，最后把x、y的值代入计算即可．
【详解】解：∵x-4≥0且4-x≥0，∴x=4，∴y=5，
= = = = =-4．
【点睛】本题考查了考查了二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值，做题的关键是要先化简再代入
求值．
8．(2022·山西朔州·七年级期中)阅读理解：
设m，n是有理数，且满 ，求 的值．
解：由题意，移项得： ，
∵m，n是有理数
∴m－2，n＋3也是有理数，
又∵ 是无理数，
∴ ，∴m＝2，n＝－3，∴ ．
问题解决：设a，b都是有理数，且 ，求 的值．
【答案】－21
【分析】已知等式变形后，根据a与b为有理数，确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：由题意，移项得： ，
∵a，b都是有理数，∴ ， 也是有理数，
又∵ 是无理数，∴ ， ，∴ 或 (舍)， ．
∵ ．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
