22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质(讲+练)10种题型-2023考点题型精讲（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_07专项讲练

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点 (h，k)，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一般式 y ax2 bxc ． 2.一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ．  b 4acb2  b x  ,  注意：1．抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ，可以当 作公式加以记忆和运用． y ax2 bxc 2．求抛物线 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三 种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 题型1：一般式化成顶点式-配方法 1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ) 2+k的形式，结果为（ ） A．y=(x−4) 2+1 B．y=(x−4) 2−1 C．y=(x−2) 2−1 D．y=(x−2) 2+1 【答案】D【解析】【解答】解：y=x2−4x+4+1=(x−2) 2+1， 故答案为：D． 【分析】利用配方法将一般式化为顶点式即可。 【变式1-1】把二次函数y=x2+2x－2配方成顶点式为（ ） A．y=（x－1）2+2 B．y=（x－1）2+1 C．y=（x+1）2－3 D．y=（x+2）2－1 【答案】C 【解析】【解答】解：y=x2+2x−2=(x2+2x+1)−1−2=(x+1) 2−3 故答案为：C 【分析】利用配方法的计算法则及步骤求解即可。 【变式1-2】把二次函数y＝2x2﹣6x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ． 3 2 7 【答案】y=2(x− ) − 2 2 9 9 3 7 【解析】【解答】解：y＝2x2﹣6x+1＝2（x2﹣3x+ ﹣ ）+1＝2（x﹣ ）2- ， 4 4 2 2 3 2 7 故答案为： y=2(x− ) − 2 2 【分析】利用配方法的计算方法及步骤求解即可。 题型2：一般式化成顶点式-应用 2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此 函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【答案】解：y＝x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4； 当x＝0时，y＝﹣3， 所以图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， 当y＝0时，则有x²﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1， 即图象与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）． 【解析】【分析】先求出 图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）， 再求出 x＝3或x＝﹣1， 最后求点 的坐标即可。 【变式2-1】用配方法把函数 y=−3x2−6x+10 化成 y=a（x−ℎ）2+k 的形式，然后指出它的 图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值. 【答案】解：∵y=−3x2−6x+10=−3（x+1）2+13 ， ∴开口向下，对称轴x=-1，顶点坐标（-1，13），最大值13. 【解析】【分析】将二次函数的解析式化为顶点式就可得到开口方向、对称轴、顶点坐标以及最大值.【变式2-2】二次函数y＝（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5） （1）求m的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴。 【答案】（1）解：∵图象过点（0，5）， {m−2≠0 由题意： ，解得m=3． m+2=5 ∴二次函数解析式为y=x2+6x+5 （2）解：∵y=x2+6x+5=（x+3）2-4， ∴此二次函数图象的顶点坐标为（-3，-4），对称轴为直线x=-3。 【解析】【分析】（1）把点（0，5）代入二次函数中可得关于m的方程，解方程可得m的值，从而 可得二次函数的表达式； （2）将（1）中二次函数的一般式整理为顶点式即可确定顶点坐标和对称轴. 二次函数y=ax2+bx+c图象与性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 2a 2a 在对称轴的左侧，即当 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a 题型3：公式法求顶点坐标及对称轴 1 3.已知二次函数 y=− x2+bx+3 ，当 x>1 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是 2 （ ）A．b≥−1 B．b≤−1 C．b≥1 D．b≤1 【答案】D 1 【解析】【解答】解：∵y=− x2+bx+3 ， 2 ∴对称轴为直线x＝b，开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴1不在对称轴左侧， ∴b≤1. 故答案为：D. 【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x＝b，开口向下，判断出函数的增减性，结合题意 就可得到b的范围. 【变式3-1】写出抛物线 y=x2−4x−3 的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【答案】抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，−7）. 【变式3-2】求抛物线y＝x2+2x+3的对称轴和顶点坐标. 【答案】抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，2）. 题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质 4.若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列说法不正确的是( ) A．当 10 B．当 x=2 时， y 有最大值 C．图像经过点 (4，−3) D．当 y<−3 时， x<0 【答案】D 【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0），抛物线的开口向下， A、当1＜x＜3时，y＞0，故A不符合题意； 1 B、抛物线的对称轴为直线 (1+3)=2，当x=2时y有最大值，故B不符合题意； 2 C、∵抛物线与y轴的交点为（0，-3），对称轴为直线x=2， ∴（0，-3）关于对称轴对称的点的坐标为（4，-3），故C不符合题意； D、当y＜-3时，x＜0或x＞4，故D符合题意；故答案为：D. 【分析】观察图象可知抛物线的开口向下，函数有最大值，与x轴的交点坐标为（1，0），（3， 0），由此可对A，B作出判断；利用二次函数的对称性可对C作出判断；由（0，-3）关于对称轴对 称的点的坐标为（4，-3），可得到y＜-3时x的取值范围，可对D作出判断. 【变式4-1】下列对二次函数 y=x2−x 的图像的描述，正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 1 1 C．顶点坐标为 ( ,− ) 2 4 D．在对称轴右侧部分，y随x的增大而减小 【答案】C 1 2 1 【解析】【解答】解：∵二次函数 y=x2−x=(x− ) − ， 2 4 ∴该函数图象开口向上，A不符合题意； 1 对称轴是直线 x= ，B不符合题意； 2 1 1 顶点坐标为 ( ,− ) ，C符合题意； 2 4 在对称轴右侧y随x的增大而增大，D不符合题意； 故答案为：C． 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，对各个选项逐一进行判断即可． 【变式4-2】二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，当 x>0 时，函数值 y 的取值范围是( ) 9 A．y⩽ B．y⩽2 C．y<2 D．y⩽3 4 【答案】A 【解析】【解答】解：∵二次函数的图象过点（0，2），（2，0），对称轴为x=0.5， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0）， ∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-2），将点（0，2）代入解得，a=-1， ∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-2），整理得：y=-x2+x+2， 9 ∴y =-0.52+0.5+2= ， max 4 9 ∴当x＞0时，y≤ . 4故答案为：A. 【分析】由图象可得二次函数过点（0，2），（2，0），再通过对称轴x=0.5求出另一个交点为 （-1，0），利用待定系数法求出二次函数解析式；当x＞0时，y最大值为顶点坐标的纵坐标，因此 求出顶点坐标纵坐标即可解答. 题型5：利用二次函数的性质比较函数值 5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y），B（2，y），则（ ） 1 2 A．y＜y B．y＞y 1 2 1 2 C．y＝y D．y、y 的大小不确定 1 2 1 2 【答案】B −2 【解析】【解答】解：∵图象的对称轴为直线x=− =−1 ，a=-1<0， −2 ∴在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小， ∵图象上有两点A（1，y），B（2，y），-1<1<2， 1 2 ∴y＞y， 1 2 故答案为：B. 【分析】首先根据二次函数的解析式求出对称轴以及开口方向，然后判断出函数的增减性，据此进 行比较. 【变式5-1】已知抛物线y=x2−2x−3经过A（-2，y ），B（-1，y ），C（1，y ）三点，则y ，y 1 2 3 1 2 ，y 的大小关系是（ ） 3 A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y 1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1 【答案】A 【解析】【解答】解：抛物线y=x2−2x−3，则开口向上，对称轴为x=1， 由二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大， A（-2，y ），B（-1，y ），C（1，y ）到对称轴的距离分别为3，2，0， 1 2 3 所以y >y >y ， 1 2 3 故答案为：A 【分析】先求出抛物线y=x2−2x−3，则开口向上，对称轴为x=1，再根据函数图象的性质比较大小 即可。 【变式5-2】已知两点A(−5，y )，B(3，y )均在抛物线y=ax2+bx+x(a≠0)上，点C(x ，y ) 1 2 0 0 是该抛物线的顶点．若y ≤ y −1 0 0 C．−5−1， 0 故答案为：B． 【分析】根据二次函数的性质得出函数有最小值，抛物线开口向上，且点 A到对称轴的距离大于点B 到对称轴的距离，从而得出答案。 二次函数y=ax2+bx+c图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母的符号 图象的特征 字母 a＞0 开口向上 a a＜0 开口向下 ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 b ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 图象过原点 c c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 几种常考的关系式的解题方法 题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系 6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象 可能是（ ） A． B．C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵a+b+c=0， ∴函数图象过(1，0)， 排除D； ∵a+b+c=0，a>b>c， ∴a>0，排除A； b 由选项B可知，c>0，对称轴x=− =1，得b=−2a<0，与b>c矛盾，排除B， 2a 故答案为：C． 【分析】 二次函数y＝ax2+bx+c 中，由于a+b+c=0，a>b>c，可知函数图象过(1，0)，a＞0，据 b 此排除A、D；由选项B可知c>0，利用对称轴x=− =1可求出b＜0，与b>c矛盾，故排除B，从 2a 而得解. 【变式6-1】已知函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的对称轴为直线 x=−4 ．若 x ，x 是方程 1 2 ax2+bx+c=0的两个根，且 x 0 B．−100 【答案】B 【解析】【解答】解：A、由图象可知抛物线与x轴的两个交点在y轴的两侧， x ，x 是方程 1 2 ax2+bx+c=0 的两个根， ∴xx＜0，故A不符合题意； 1 2 B、∵抛物线的对称轴为直线x=-4， x 0；③4a+2b+3c<0；④无论a，b，c 取何值，抛物 2 c 线一定经过( ，0)．其中正确结论有（ ） 2a A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， 1 b 1 抛物线的对称轴为直线x＝ ，即﹣ ＝ ，b=−a， 2 2a 2 ∴b＜0，故①符合题意； ②∵b=−a， ∴a+b＝0， 故②不符合题意； ③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， 抛物线与y轴交点在负半轴，所以c＜0， ∴4a+2b+3c＜0， 故③符合题意； ④由对称得：抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0）， { a+b=0 ∵ ， 4a+2b+c=0 ∴c＝﹣2a， c ∴ ＝﹣1， 2ac ∴无论a，b，c取何值，抛物线一定经过（ ，0）， 2a 故④符合题意； 本题正确的有：①③④，共3个． 故答案为：C． b 1 【分析】由抛物线开口向上可得a＞0，由抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝ ，可得b=−a＜0，据 2a 2 此判断①②；由图象知抛物线经过点（2，0），将其代入解析式中可得4a+2b+c＝0，由于抛物线与y 轴交点在负半轴，所以c＜0，据此判断③；由抛物线的对称性可得抛物线与 x轴另一交点为（﹣1， c 0），由a+b=0及4a+2b+c＝0，可得 ＝﹣1，据此即可判断④. 2a 【变式6-3】如图，二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点 C；对称轴为直线 x=−1 ，点B的坐标为 (1，0) ，则下列结论：①AB=4 ；②b2−4ac>0 ；③ b>0 ；④a−b+c<0 ，其中正确的结论有（ ）个. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=-1， 所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0）， ∴AB=1-（-3）=4，故①正确； 由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ=b2-4ac>0，故②正确； 由图象可知：抛物线开口向上， ∴a>0， b 由对称轴可知：− <0， 2a ∴b>0，故③正确； 当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确； 所以，正确的结论有4个， 故答案为：D. 【分析】 ①根据二次函数图象的对称性求出点A的坐标，根据A、B两点的坐标求出AB长； ②根 据抛物线与x轴有两个交点即可判断Δ=b2-4ac>0；③根据抛物线的开口判断a的符号，结合对称轴的位置判断b的符号即可； ④在图象中找出x=-1时对应点的函数值，即可判断a-b+c的符号. 题型7：二次函数的对称性的应用 7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 … 则该二次函数图象的对称轴为（ ） 1 3 A．y轴 B．直线x= C．直线x＝1 D．直线x= 2 2 【分析】根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴． 【解答】解：由图表可知：x＝0时，y＝﹣6， x＝1时，y＝﹣6， 0+1 1 ∴二次函数的对称轴为：x= = 2 2 故选：B． 【变式7-1】已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法不正确的是（ ） x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … A．a＜0 B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间 C．2a+b＞0 3 D．若点（5，y）、（﹣ ，y）都在函数图象上，则y＜y 1 2 2 1 2 【答案】B 【解析】【解答】解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小， ∴抛物线的开口向下， ∴a＜0， 故A不符合题意； ∵x＝﹣1时，y＝﹣3， ∴x＝4时，y＝﹣3， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为﹣2时，﹣1＜x＜0或3＜x＜4， 即方程ax2+bx+c＝﹣2的负根在﹣1与0之间，正根在3与4之间， 故B符合题意； ∵抛物线过点（0，1）和（3，1）， 3 ∴抛物线的对称轴为直线x＝ ， 2b 3 ∴﹣ ＝ ＞1， 2a 2 ∴2a+b＞0， 故C不符合题意； 3 3 9 ∵（﹣ ，y）关于直线x＝ 的对称点为（ ，y）， 2 2 2 2 2 9 ∵ ＜5， 2 ∴y＜y， 1 2 故D不符合题意； 故答案为：B． 【分析】利用表中函数值的变化情况，可判断抛物线的开口方向，可对A进行判断；利用抛物线的对 称性可得x的函数值相等，可对B进行判断；利用x的函数值相等可得抛物线的对称轴方程，可对C 进行判断；利用二次函数的性质对D进行判断 【变式7-2】已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6， b）两点，则a的取值范围（ ） 3 3 A．﹣2≤a≤− B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a≤− D．0≤a≤2 2 2 m+1 【分析】先将原二次函数整理得一般式，再得当 x= 时取最小值，根据函数过（a，b）和（a+6， 2 b）两点，得x＝a+3时取最小值，根据1≤m≤2，进而可得a的取值范围． 【解答】解：方法一：∵y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2）， ∴y＝x2﹣（m+1）x+m， m+1 ∴当x= 时取最小值， 2 ∵函数过（a，b）和（a+6，b）两点， a+a+6 ∴x= =a+3时取最小值， 2 m+1 ∴a+3= ， 2 ∴m＝2a+5， 方法二：令y＝0，则x＝m，x＝1， 又函数过（a，b）和（a+6，b）， 所以对称轴x＝（a+a+6）÷2＝a+3， 得出m＝2a+5 ∵1≤m≤2， ∴1≤2a+5≤2， 3 解得﹣2≤a≤− ． 2故选：A． 题型8：利用二次函数的性质求字母的范围 1 8.已知二次函数y＝x2+bx+1当 00) ，当 0≤x≤m 时， 2−a≤ y≤2 ，则m的取值 范围为（ ） A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2 【答案】C 【解析】【解答】解：二次函数 y=ax2−2ax+2=a(x−1) 2−a+2(a>0) ， ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x=1， ∴当x=1时，该函数取得最小值-a+2， ∵当 0≤x≤m 时， 2−a≤ y≤2 ，且当y＝2时，x＝2或x＝0， ∴1≤m≤2 . 故答案为：C. 【分析】首先根据二次函数的解析式确定出开口方向以及对称轴，求出函数的最值，判断出函数的增 减性，据此进行解答. 【变式8-2】已知二次函数 y=−x2+(2m−1)x−3 ，当 x>1 时， y 随 x 的增大而减小，而 m 的取值范围是（ ）． 1 1 3 3 A．m≤ B．m<− C．m> D．m≤ 2 2 2 2 【答案】D 【解析】【解答】解： ∵y=−x2+(2m−1)x−3 ，2m−1 2m−1 ∴ 对称轴为 x=− = ， −2 2 ∵a=−1<0 ， ∴ 抛物线开口向下， ∴ 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小， ∵ 当 x>1 时， y 随 x 的增大而减小， 2m−1 3 ∴ ≤1 ，解得 m≤ ， 2 2 故答案为：D． 2m−1 【分析】先求出对称轴x= ，由于a=-1＜0可知抛物线开口向下，在对称轴的右侧 y 随 x 的 2 2m−1 增大而减小，从而得出 ≤1，据此解答即可. 2 求二次函数y=ax2+bx+c的最大（小）值的方法 b x 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当 2a 时， 4acb2 y  最值 4a ． b  注意：如果自变量的取值范围是x≤x≤x ，那么首先要看 2a是否在自变量的取值范围x≤x≤x 1 2 1 2 b 4acb2 x y  内，若在此范围内，则当 2a 时， 最值 4a ，若不在此范围内，则需要考虑函数在x≤x≤x 1 2 y ax2 bx c 范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x 时， 最大值 2 2 ；当x＝ 2 y ax2 bx c x 时 ， 最小值 1 1 ， 如 果 在 此 范 围 内 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 则 当 x ＝ x 时 ， 1 1 ；当x＝x 时， ，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x 2 b x ＝x，x＝x， 2a 时y值的情况 1 2 题型9：利用二次函数的性质求最值 9.二次函数 y=−x2+2x+4 的最大值是 . 【答案】5 【解析】【解答】解：∵y=−x2+2x+4 =−(x2−2x−4) =−[(x−1) 2−1−4] =−(x−1) 2+5 ， ∵a= -1＜0， ∴二次函数 y=−x2+2x+4 有最大值，且最大值为5； 故答案为：5. 【分析】先将二次函数配成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解. 【变式9-1】已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是 ． 【答案】4 【解析】【解答】∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上， ∴n＝﹣m2﹣3m+3， ∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4， ∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4． 故答案为：4． 【分析】把点P（m，n）代入抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，整理可得m+n＝﹣（m+1）2+4，利用二次函数 的性质求解即可. 【变式9-2】已知抛物线 y= -x2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y的最大值是6，则 m的值 是 . 【答案】−4+2√10 m 【解析】【解答】解：抛物线开口向下，对称轴为直线x= 2 m ①当 <−1 时，即m< -2时，x=-1时，y =-1+m=6，解得m=7（舍）； 2 最大 m m m 2 m2 ②当 −1≤ ≤2 时，即 −2≤m≤4 时，x= 时，y = −( ) + +2m=6 ，解得 2 2 最大 2 2 m =−4+2√10 ， m =−4−2√10 （舍）； 1 2 m 5 ③当 >2 时，即 m>4 时，x=2时，y = −22+2m+2m=6 ，解得m= （舍）. 2 最大 2 综上所述： m=−4+2√10 故答案为： −4+2√10 . b m m m m 【分析】求出抛物线的对称轴 x=− = ，分 <−1 ， −1≤ ≤2 ， >2 三种情 2a 2 2 2 2 况进行讨论即可. 题型10：给定范围内的最值问题 10.已知二次函数 y=ax2+bx+1.5 的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围 内，最大值为 ，最小值为 .【答案】2；－2.5 【解析】【解答】解：由图知：最大值为2，最小值为－2.5. 故答案为：2，－2.5. 【分析】根据二次函数的图象可直接得到最大值、最小值. 【变式10-1】在二次函数y=x2-2x-3中，当0≦x≦3时，y的最大值是 【答案】0 【解析】【解答】解：∵y=x2-2x-3 ∴y=(x-1)2-4 ∵a=1＞0可知抛物线开口向上，对称轴为x=1 ∴由二次函数图象的性质可得，当0≤x≤1时，y随x的增大而减小；当1≤x≤3时，y随x的增大而增 大. ∴当x=3时，函数值y有最大值为0 故答案为：0 【分析】将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得出当0≤x≤1时，y随x的增大而减 小；当1≤x≤3时，y随x的增大而增大.，就可求出y的最大值。 【变式10-2】已知二次函数 y=−x2+10x−21 ，当 6≤x≤12 时，函数的最大值是 ． 【答案】3 【解析】【解答】解：∵y=−x2+10x−21=−(x−5) 2+4 ∴二次函数的对称轴为 x=5 ， ∵−1<0 ， ∴该函数图象开口向下， ∵6≤x≤12 ， ∴此时图象位于对称轴的右边， ∴此时 y 随 x 的增大而减小， ∴当 x=6 时，函数有最大值，则最大值为 y=−(6−5) 2+4=3 ， 故答案为： 3 ． 【分析】由于抛物线开口向下，对称轴为直线x=5，可得当x＞5时，时 y 随 x 的增大而减小，可 知在6≤x≤12内当x=6时函数值最大，据此求解即可. 一、单选题 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，对称轴是直线x＝﹣1，若点A的坐标为 （1，0），则点B的坐标是（ ） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0） 【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点， ∴点A与点B关于直线x＝﹣1对称，而对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（1，0）， ∴点B的坐标是（﹣3，0）。 故答案为：D。 【分析】根据抛物线的对称性，可知点A与点B关于直线x＝﹣1对称，故点A,B到直线x=-1的水平 距离相等，从而即可得出点B的坐标。 2．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是( ) A．(2，﹣1) B．(﹣2，1) C．(﹣2，﹣1) D．(2，1) 【答案】B 【解析】【解答】∵y=-x2-4x-3=-（x2+4x+4-4+3）=-（x+2）2+1 ∴顶点坐标为（-2，1）； 故答案为：B. 【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，从而求出结论. 3．对于函数 y=−x2−2x−2 ，使得 y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围是（ ） A．x≥−1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤−1 【答案】D 【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为y=-x2-2x-2=-（x+1）2-1， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1， ∴当x≤-1时，y随x的增大而增大. 故答案为：D. 【分析】根据抛物线的图象得出抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，再根据抛物线的性质得出在 对称轴的左侧y随x的增大而增大，即可得出答案. 4．当a＜0时，抛物线y=x2+2ax+1+2a2的顶点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A b 4ac−b2 【解析】【分析】∵y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（− ， ）， 2a 4a ∴抛物线y=x2+2ax+1+2a2的顶点坐标横坐标是﹣a，是正数， 4(1+2a2 )−4a2 纵坐标是： =1+a2＞0， 4 ∴顶点横坐标大于0，纵坐标大于0，因而点在第一象限．故选A． 5．一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c）， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故A不符合题意； 当a＞0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而增大， 故D不符合题意； 当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小， 故C不符合题意. 故答案为：B. 【分析】利用函数解析式可知一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），可排除选项A；再分情 况讨论：当a＞0时，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而增大，抛物线开口向上，可排除选项 D；a＜0时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，一次函数y＝ax+c中y值随x值的增大而减小， 可排除选项C；由此可得答案. 6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中 点A的坐标为（n，3），则点B的坐标为( )．A．（n+2，3） B．（n-2，3） C．（2-n，3） D．（2-2n，3） 【答案】C 【解析】∵AB与x轴平行， 而点A，B均在抛物线上， ∴点A与点B关于直线x=1对称， ∵点A的坐标为（n，3）， ∴B点坐标为（1-n+1，3），即B（2-n，3）． 故选C． 7．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a，b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=−2时， x的值只能取0． 其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， b ∴− >0， 2a ∴b<0， ∴a、b异号，故①不符合题意； ∵抛物线与x轴的交点为（-1，0），（5，0）， b ∴抛物线的对称轴为直线x=− =2， 2a ∴当x=1和x=3时，函数值相等，b=−4a，故②符合题意； ∴4a+b=0，故③符合题意；∵抛物线与y轴的交点为（0，-2）， ∴当x=4时，y=-2，故④不符合题意； 故答案为：B． 【分析】根据抛物线与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用抛物线的性质和图象逐项判断即可。 二、填空题 8．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中 点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为 ． 【答案】（4，3） 【解析】【解答】解：点A的坐标为（0，3），关于x=2的对称点是（4，3）．即点B的坐标为 （4，3）． 故答案是（4，3）． 【分析】根据A和B关于x=2对称，求得（0，3）关于x=2的对称点是关键． 9．抛物线 y=x2−2x+3 的顶点坐标是 . 【答案】（1，2） 【解析】【解答】∵y=x2-2x+3=x2-2x+1-1+3=（x-1）2+2， ∴抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是（1，2）. 【分析】由题意将抛物线的解析式配成顶点式即可求解。 10．二次函数 y=x2−2x ，当 x 时 y 随 x 增大而增大. 【答案】＞1 【解析】【解答】解：∵二次函数 y=x2−2x 的对称轴为直线x=1， 且开口向上， ∴当x＞1时，y随x增大而增大， 故答案为：＞1. 【分析】求出二次函数图象的对称轴，再结合开口方向即可得出答案.11．若（2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是直线 。 【答案】x=3 【解析】【解答】解：∵点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等， ∴点（2，5），（4，5）是抛物线上的一对对称点， 2+4 ∴抛物线的对称轴是直线x= =3． 2 故答案为： x=3 . 【分析】根据题意得出点（2，5），（4，5）是抛物线上的一对对称点，即可求出抛物线的对称轴是 直线x=3． 12．若直线y =ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx顶点在第 象限. 【答案】一 b 2 b2 【解析】【解答】解：抛物线变形得：y=ax2+bx=a(x+ ) − ， 2a 4a ∵直线y=ax+b（ab≠0）不经过第三象限， ∴a＜0，b＞0， b b2 ∴− >0，− >0 ， 2a 4a b b2 ∴y=ax2+bx的顶点坐标为 (− ，− ) 在第一象限. 2a 4a 故答案为：一. 【分析】首先将抛物线解析式化为顶点式，得到顶点坐标，根据直线不经过第三象限，可知a＜0，b ＞0，然后判断出顶点的横纵坐标的符号，进而确定出顶点所在的象限. 三、解答题 5 13．用公式法求函数y=3x2﹣3x﹣ 的最小值． 4 5 【答案】解：∵a=3，b=﹣3，c=﹣ ， 4 4ac−b2 ∴ 4a 4×3× ( − 5) −(−3) 3 = 4 4×3 =﹣2．5 ∴函数y=3x2﹣3x﹣ 的最小值为﹣2． 4 【解析】【分析】直接代入顶点坐标公式计算即可解答． 14．已知二次函数y=-x2-2x，用配方法把该函数化为y=a(x-h)2+c的形式，并指出函数图象的对称轴和 顶点坐标． 【答案】解：y=﹣x2﹣2x =﹣（x2+2x） =﹣（x2+2x+1﹣1） =﹣（x+1）2+1 ∴抛物线的对称轴是直线 x=-1，顶点坐标是（-1，1）. 【解析】【分析】对于二次函数y=ax2+bx+c，用配方法化顶点式的步骤： b b b b2 y=ax2+bx+c=a（x2+ x）+c=a（x2+ x+( )2）- +c a a 2a 4a b 4ac−b2 =a（x+ ）2+ ， 2a 4a b b 4ac−b2 对称轴为直线x=− ，顶点坐标为（− ， ）. 2a 2a 4a 四、综合题 1 15．已知二次函数的表达式为y=− x2+x+2． 4 （1）求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x小于多少时，y随x的增大而增大？ 1 1 1 【答案】（1）解：y= − x2+x+2 = − （x2-4x+4-4）+2= − (x-2)2+3， 4 4 4 ∴该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，3）． （2）解：∵二次函数图象开口向下， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∴当x<2时，y随x的增大而增大． 【解析】【分析】（1） 由二次项的系数a＜0可知二次函数图象的开口向下，直接利用配方法将解 析式化成顶点式，即可知道对称轴和顶点坐标； （2）由二次函数图象的性质，当a＜0时， 二次函数图象开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大 而增大，即可直接得出答案. 16．已知抛物线 y=x2+bx+c 与y轴交于点 C(0,−6) 与x轴的一个交点坐标是 A(−2,0) .（1）求此抛物线的顶点D的坐标； （2）将此图象沿x轴向左平移2个单位长度，直接写出当 y<0 时x的取值范围. 【答案】（1）解： ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 与y轴交于点 C(0,−6) 与x轴的一个交点坐标是 A(−2,0) ， { c=−6 {b=−1 ，得 ， 4−2b+c=0 c=−6 1 2 25 ∴ 抛物线的解析式为 y=x2−x−6=(x− ) − ， 2 4 1 25 ∴ 此抛物线的顶点D的坐标为 ( ,− ) ； 2 4 1 2 25 （2）解： ∵ 抛物线的解析式为 y=(x− ) − ， 2 4 1 2 25 3 2 25 ∴ 此图象沿x轴向左平移2个单位长度后对应的函数解析式为： y=(x− +2) − =(x+ ) − ， 2 4 2 4 3 ∴ 平移后抛物线的对称轴为直线 x=− ，当 y=0 时， x =−4 ， x =1 ， 2 1 2 ∴ 当 y<0 时x的取值范围是 −4