22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质(讲+练)10种题型-2023考点题型精讲（原卷版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_07专项讲练

22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 y a(xh)2 k 从函数解析式 我们可以直接得到抛物线的顶点 (h，k)，所以我们称 y a(xh)2 k y a(xh)2 k 为顶点式，将顶点式 去括号，合并同类项就可化成一般式 y ax2 bxc ． 2.一般式化成顶点式  b   b  b  2  b  2 y ax2 bxca  x2  x  cax2 x      c  a   a 2a 2a   b  2 4acb2 a x     2a 4a ． b 4acb2 h k  对照 y a(xh)2 k ，可知 2a ， 4a ．  b 4acb2  b x  ,  ∴ 抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ．  b 4acb2  b x  ,  注意：1．抛物线 y ax2 bxc 的对称轴是直线 2a ，顶点坐标是  2a 4a  ，可以当 作公式加以记忆和运用． y ax2 bxc 2．求抛物线 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三 种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 题型1：一般式化成顶点式-配方法 1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ) 2+k的形式，结果为（ ） A．y=(x−4) 2+1 B．y=(x−4) 2−1 C．y=(x−2) 2−1 D．y=(x−2) 2+1【变式1-1】把二次函数y=x2+2x－2配方成顶点式为（ ） A．y=（x－1）2+2 B．y=（x－1）2+1 C．y=（x+1）2－3 D．y=（x+2）2－1 【变式1-2】把二次函数y＝2x2﹣6x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 ． 题型2：一般式化成顶点式-应用 2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此 函数图象与x轴、y轴的交点坐标． 【变式2-1】用配方法把函数 y=−3x2−6x+10 化成 y=a（x−ℎ）2+k 的形式，然后指出它的 图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值. 【变式2-2】二次函数y＝（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5） （1）求m的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴。 二次函数y=ax2+bx+c图象与性质 函数 y ax2 bxc 二次函数 （a、b、c为常数，a≠0） a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 b b 对称轴 x x 直线 2a 直线 2a  b 4acb2   b 4acb2  顶点坐标  ,   ,   2a 4a   2a 4a  b b x x 2a 2a 在对称轴的左侧，即当 时，y随x的 在对称轴的左侧，即当 时，y b 随x的增大而增大；在对称轴的右侧， 增减性 x b 增大而减小；在对称轴的右侧，即当 2a x 时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 即当 2a 时，y 随 x 的增大而减 小．简记：左增右减 b b x x 抛物线有最低点，当 2a 时，y 有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有 最大(小)值 4acb2 4acb2 y  y  值， 最小值 4a 最大值， 最大值 4a题型3：公式法求顶点坐标及对称轴 1 3.已知二次函数 y=− x2+bx+3 ，当 x>1 时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是 2 （ ） A．b≥−1 B．b≤−1 C．b≥1 D．b≤1 【变式3-1】写出抛物线 y=x2−4x−3 的开口方向、对称轴和顶点坐标. 【变式3-2】求抛物线y＝x2+2x+3的对称轴和顶点坐标. 题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质 4.若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列说法不正确的是( ) A．当 10 B．当 x=2 时， y 有最大值 C．图像经过点 (4，−3) D．当 y<−3 时， x<0 【变式4-1】下列对二次函数 y=x2−x 的图像的描述，正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 1 1 C．顶点坐标为 ( ,− ) 2 4 D．在对称轴右侧部分，y随x的增大而减小 【变式4-2】二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，当 x>0 时，函数值 y 的取值范围是( )9 A．y⩽ B．y⩽2 C．y<2 D．y⩽3 4 题型5：利用二次函数的性质比较函数值 5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y），B（2，y），则（ ） 1 2 A．y＜y B．y＞y 1 2 1 2 C．y＝y D．y、y 的大小不确定 1 2 1 2 【变式5-1】已知抛物线y=x2−2x−3经过A（-2，y ），B（-1，y ），C（1，y ）三点，则y ，y 1 2 3 1 2 ，y 的大小关系是（ ） 3 A．y >y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y 1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1 【变式5-2】已知两点A(−5，y )，B(3，y )均在抛物线y=ax2+bx+x(a≠0)上，点C(x ，y ) 1 2 0 0 是该抛物线的顶点．若y ≤ y −1 0 0 C．−50 B．−100 【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，且对称轴1 为直线x= ，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无论a，b，c 取何值，抛物 2 c 线一定经过( ，0)．其中正确结论有（ ） 2a A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-3】如图，二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点 C；对称轴为直线 x=−1 ，点B的坐标为 (1，0) ，则下列结论：①AB=4 ；②b2−4ac>0 ；③ b>0 ；④a−b+c<0 ，其中正确的结论有（ ）个. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型7：二次函数的对称性的应用 7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 … 则该二次函数图象的对称轴为（ ） 1 3 A．y轴 B．直线x= C．直线x＝1 D．直线x= 2 2 【变式7-1】已知二次函数y＝ax2+bx+c与自变量x的部分对应值如表，下列说法不正确的是（ ） x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … A．a＜0 B．方程ax2+bx+c＝﹣2的正根在4与5之间 C．2a+b＞03 D．若点（5，y）、（﹣ ，y）都在函数图象上，则y＜y 1 2 2 1 2 【变式7-2】已知二次函数的解析式为y＝（x﹣m）（x﹣1）（1≤m≤2），若函数过（a，b）和（a+6， b）两点，则a的取值范围（ ） 3 3 A．﹣2≤a≤− B．﹣2≤a≤﹣1 C．﹣3≤a≤− D．0≤a≤2 2 2 题型8：利用二次函数的性质求字母的范围 1 8.已知二次函数y＝x2+bx+1当 00) ，当 0≤x≤m 时， 2−a≤ y≤2 ，则m的取值 范围为（ ） A．0≤m≤1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．m≥2 【变式8-2】已知二次函数 y=−x2+(2m−1)x−3 ，当 x>1 时， y 随 x 的增大而减小，而 m 的取值范围是（ ）． 1 1 3 3 A．m≤ B．m<− C．m> D．m≤ 2 2 2 2 求二次函数y=ax2+bx+c的最大（小）值的方法 b x 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当 2a 时， 4acb2 y  最值 4a ． b  注意：如果自变量的取值范围是x≤x≤x ，那么首先要看 2a是否在自变量的取值范围x≤x≤x 1 2 1 2 b 4acb2 x y  内，若在此范围内，则当 2a 时， 最值 4a ，若不在此范围内，则需要考虑函数在x≤x≤x 1 2 y ax2 bx c 范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x 时， 最大值 2 2 ；当x＝ 2 y ax2 bx c x 时 ， 最小值 1 1 ， 如 果 在 此 范 围 内 ， y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 则 当 x ＝ x 时 ， 1 1 ；当x＝x 时， ，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x 2 b x ＝x，x＝x， 2a 时y值的情况 1 2 题型9：利用二次函数的性质求最值 9.二次函数 y=−x2+2x+4 的最大值是 .【变式9-1】已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是 ． 【变式9-2】已知抛物线 y= -x2+ mx +2m ，当-1 ≤ x ≤ 2时，对应的函数值y的最大值是6，则 m的值 是 . 题型10：给定范围内的最值问题 10.已知二次函数 y=ax2+bx+1.5 的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围 内，最大值为 ，最小值为 . 【变式10-1】在二次函数y=x2-2x-3中，当0≦x≦3时，y的最大值是 【变式10-2】已知二次函数 y=−x2+10x−21 ，当 6≤x≤12 时，函数的最大值是 ． 一、单选题 1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，对称轴是直线x＝﹣1，若点A的坐标为 （1，0），则点B的坐标是（ ） A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0） 2．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是( ) A．(2，﹣1) B．(﹣2，1) C．(﹣2，﹣1) D．(2，1) 3．对于函数 y=−x2−2x−2 ，使得 y 随 x 的增大而增大的 x 的取值范围是（ ） A．x≥−1 B．x≥0 C．x≤0 D．x≤−1 4．当a＜0时，抛物线y=x2+2ax+1+2a2的顶点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．一次函数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一个平面坐标系中图象可能是（ ）A． B． C． D． 6．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中 点A的坐标为（n，3），则点B的坐标为( )． A．（n+2，3） B．（n-2，3） C．（2-n，3） D．（2-2n，3） 7．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a，b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=−2时， x的值只能取0． 其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题 8．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中 点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为 ． 9．抛物线 y=x2−2x+3 的顶点坐标是 . 10．二次函数 y=x2−2x ，当 x 时 y 随 x 增大而增大. 11．若（2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是直线 。 12．若直线y =ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax2+bx顶点在第 象限. 三、解答题 5 13．用公式法求函数y=3x2﹣3x﹣ 的最小值． 4 14．已知二次函数y=-x2-2x，用配方法把该函数化为y=a(x-h)2+c的形式，并指出函数图象的对称轴和 顶点坐标． 四、综合题 1 15．已知二次函数的表达式为y=− x2+x+2． 4 （1）求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x小于多少时，y随x的增大而增大？ 16．已知抛物线 y=x2+bx+c 与y轴交于点 C(0,−6) 与x轴的一个交点坐标是 A(−2,0) .（1）求此抛物线的顶点D的坐标； （2）将此图象沿x轴向左平移2个单位长度，直接写出当 y<0 时x的取值范围.