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16.1 二次根式的概念及性质
二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号．
注意：
二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.
2.代数式：形如5，a，a+b，ab， ，x3，√a(a≥0)这些式子，用基本的运算符号(基
本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们
称这样的式子为代数式.
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据形如 （a≥0）的式子叫做二次根式判断即可．
【解答】解：A、当a+1＜0时， 不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、当a﹣1＜0时， 不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、当a＝0时，a2﹣1＝﹣1＜0， 不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、∵a2≥0，∴a2+2＞0， 是二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
【变式1-1】下列各式中，是二次根式有（ ）
① ；② ；③ ；④ （x≤3）；⑤ ；⑥ ；⑦
（ab≥0）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的概念及二次根式成立的条件进行判断．
【解答】解：② ，被开方数小于0，不是二次根式；③ 是三次根式；
⑤ 当a＜9时，被开方数小于0，不是二次根式；
⑥ ，∵x2≥0，∴﹣x2≤0，∴﹣x2﹣1＜0，被开方数小于0，不是二次根式；
① ；④ （x≤3）；⑦ （ab≥0）是二次根式．
故选：B．
【变式1-2】下列式子中，一定属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A选项，被开方数不是非负数，没有意义，故该选项不符合题意；
B选项，被开方数不能保证x﹣2是非负数，故该选项不符合题意；
C选项， 是三次根式，故该选项不符合题意；
D选项， 是二次根式，故该选项符合题意；
故选：D．
注意：二次根式具有非负性
1.二次根式 (a≥0)的值是非负数。一个非负数
二次根式的性质
可 以 写 成 它 的 算 术 平 方 根 的 形 式 ， 即
1. ≥0，（ ≥0）；
.
2. （ ≥0）；
2. 与 要注意区别与联系：1). 的取值
3. 范围不同， 中 ≥0， 中 为任意值。
2). ≥0时， = = ； <0时，
.
无意义， = .
2.若 有意义，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，2x+1≥0，
解得，
故选：A．
【变式2-1】代数式 在实数范围内有意义，则x的值可能为（ ）A．0 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出x的范围．
【解答】解：由题意可知： ，
解得：x≥1，
∴x的值可能为1．/
故选：D．
【变式2-2】二次根式 有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x＜2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于 0，分母不等于0，列
不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣2＞0，
解得，x＞2．
故选：B．
【变式2-3】（1）已知 是整数，求自然数n所有可能的值；
（2）已知 是整数，求正整数n的最小值．
【分析】（1）根据二次根式结果为整数，确定出自然数n的值即可；
（2）根据二次根式结果为整数，确定出正整数n的最小值即可．
【解答】解：（1）∵ 是整数，
∴18﹣n＝0，18﹣n＝1，18﹣n＝4，18﹣n＝9，18﹣n＝16，
解得：n＝18，n＝17，n＝14，n＝9，n＝2，
则自然数n的值为2，9，14，17，18；
（2）∵ 是整数，n为正整数，
∴24n＝144，即n＝6，
则正整数n的最小值为6．
利用二次根式的性质进行计算
3. 计算下列各式：
(1) (2)
【答案与解析】(1) .
(2) .【总结】 二次根式性质的运用.
√5
(−2 ) 2
2
【变式3-1】（1） =_____________.
|a−2|−(√2−a) 2
（2） =_____________.
【答案】(1) 10;(2) 0.
4.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ 的结果是（ ）
A．2a﹣b B．﹣2a+b C．﹣b D．b
【分析】根据数轴可判断a、a﹣b与0的大小关系，然后利用绝对值的性质以及二次根
式的性质即可化简求出答案．
【解答】解：由数轴可知：a＞0，b＜a，
∴a﹣b＞0，
∴原式＝a+a﹣b
＝2a﹣b，
故选：A．
【变式4-1】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，
化简： |．
【解析】解：由图可知，a＜0，c＜0，b＞0，且|c|＜|b|，
所以，a+c＜0，c﹣b＜0，
=﹣a+a+c+b﹣c﹣b=0.
【总结】根据数轴判断出a、b、c的正负性，根据二次根式的性质与化简、绝对值的
性质，正确进行计算即可.
【 变 式 4-2 】 若 整 数 满 足 条 件 则 的 值 是
___________.
【答案】 =0或 =-1.【变式4-3】若x，y都是实数，且y＝ + +8，求3x+2y的平方根．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出 x，y的值，再利用平方根的定义得出答
案．
【解答】解：∵x﹣3≥0且3﹣x≥0，
∴x＝3．
∴y＝8．
∴3x+2y＝3×3+2×8＝25．
∴3x+2y的平方根是：± ＝±5．
即3x+2y的平方根为5或﹣5．
