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专题 16.1 二次根式的定义及性质之六大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 二次根式的定义】............................................................................................................................1
【考点二 二次根式有意义的条件】................................................................................................................3
【考点三 求二次根式的值】............................................................................................................................4
【考点四 求二次根式中的参数】....................................................................................................................5
【考点五 利用二次根式的性质化简】............................................................................................................6
【考点六 复合二次根式的化简】....................................................................................................................8
【过关检测】............................................................................................................................................................11
【典型例题】
【考点一 二次根式的定义】
例题：（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1， ， ， ，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解： ，1， ， ， ， 中一定是二次根式的有 、 ，共2个，故D正
确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如 的代数
式叫做二次根式．
【变式训练】1．（2023下·八年级单元测试）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】同时满足两个条件才是二次根式，第一：被开方数是非负数，第二：根指数是二．
【详解】解：A． ，2是整数，不是二次根式，故此选项不合题意；
B． ，根据 一定大于0，则 一定是二次根式，故此选项符合题意；
C． 无意义，故此选项不合题意；
D． ， 的符号不确定，故不一定是二次根式，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的定义，对二次根式的根指数和被开方数理解到位是解题的关键．
2．（2023下·广西南宁·八年级统考期中）下列式子不属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义进行判断即可．
【详解】一般的，形如 （ ）的式子叫做二次根式，因此 不是二次根式．
故选：B
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握知识点是解题关键．
3．（2023下·全国·八年级专题练习）下列式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，是二
次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
【答案】A
【分析】由二次根式的性质和定义进行判断，即可得到答案【详解】解： 、 、 是二次根式；故①③⑤符合题意；
无意义， 是三次方根式；故②④不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，解题的关键是掌握二次根式的定义进行判断
【考点二 二次根式有意义的条件】
例题：（2023·广东汕尾·统考二模）若式子 有意义，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出不等式，求出答案．
【详解】解：根据题意得：
式子 有意义，
，
解得： ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023上·四川巴中·九年级校考期中）若二次根式 有意义，则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得 ，解不等式，即可求解．
【详解】解：根据题意可得 ，
解得： ，
故选：B．
2．（2023下·湖南永州·八年级校考期末）若 有意义，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．根据分式有意义的条件“分母不为0”以及二次根式有意义的条件“被开方数不小于0”列不等式组，求解即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
3．（2023上·山东枣庄·八年级统考期末）若代数式 有意义，则x应满足的条件为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式
有意义的条件是解题的关键．根据分式有意义的条件（分母不为0），二次根式有意义的条件（被开方数
大于等于0）即可求解．
【详解】解：∵代数式 有意义时，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【考点三 求二次根式的值】
例题：（2023下·浙江湖州·八年级统考期中）当 时，二次根式 的值是 ．
【答案】
【分析】将 代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出
被开方数即可．
【详解】解：当 时， ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式训练】1．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）当 时，二次根式 的值是 ．
【答案】1
【分析】把 代入二次根式求值即可．
【详解】解：当 时， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算．
2．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）当 时，二次根式 的值是 ．
【答案】
【分析】直接把 的值代入进而得出答案．
【详解】解：当 时，二次根式 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键．
【考点四 求二次根式中的参数】
例题：（2023下·河南安阳·八年级校考期中）若 是整数，则正整数 的最小值是 ．
【答案】4
【分析】根据二次根式有意义的条件和m为正整数，得出 ，即可得出m的值．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，解得： ，
∵m是正整数，
∴ ，
∴ ，
∵ 是整数，
∴ ，解得： ，
∴正整数 的最小值是4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数．
【变式训练】
1．（2023上·广东惠州·九年级惠州市河南岸中学校考开学考试）已知 为正整数，且 也为正整数，
则 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．
【详解】解： ，且开方的结果是正整数，
为某数的平方，
又 ， 是满足题意最小的被开方数，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题
的关键．
2．（2023下·广东深圳·八年级统考开学考试）若 是一个整数，则最小正整数 的值是 ．
【答案】6
【分析】先将 化简为最简二次根式，再取 的最小正整数值，使被开方数开得尽．
【详解】解： ，
当 ，6， 时，都可以开方，
是最小正整数，
时，被开方数开得尽，结果为整数，故 ．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次根式的化简运算，比较基础，需要熟练掌握．
【考点五 利用二次根式的性质化简】
例题：（2023上·河南平顶山·八年级统考期中）化简二次根式 的结果等于 ．【答案】3
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据 进行求解即可．
【详解】解： ，
故答案为：3．
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级专题练习）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 的
结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的化简，先根据数轴确定 ， 的范围，再根据二次根式的性
质进行化简，即可解答，解决本题的关键是根据数轴确定 ， 的范围．
【详解】解：
解：由数轴可得： ， ，
原式
．
故答案为： ．
2．（2023上·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示．
(1)判断正负，用“ ”“ ”填空： ______0， ______0．
(2)化简： ．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）根据数轴得到 且 ，结合有理数运算法则直接计算即可得到答案．（2）根据数轴得到 且 ，根据根式的性质及绝对值的性质直接化简求值即可得到答
案．
【详解】（1）解：由数轴得：
，且 ，
， ，
故答案为： ； ．
（2）由数轴得：
，且 ，
原式
．
【点睛】本题考查算术平方根及根据数轴判断式子的值、绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握根式的性
质及根据数轴得到 且 ．
【考点六 复合二次根式的化简】
例题：（2023上·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）先阅读材料，然后回答问题．
(1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 ．经过思考
①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简：①
②
【答案】(1)④，
(2)① ；②
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进
行化简是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质 即可求解；
（2）根据（1）中的材料化简即可．
【详解】（1）解： ①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第 ④步出现了错误，
故答案为：④， ；
（2）解：①原式
；
②原式．
【变式训练】
1．（2023上·四川眉山·九年级校考阶段练习）有这样一类题目，例如：
．
请仿照上例化简下列各式：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；
（2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解；
【详解】（1）解：
，
；
（2）解：，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根
式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．
2．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）阅读材料：
小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．
善于思考的小李同学进行了以下探索：
设 （其中a、b、m、n均为整数），则有 ．∴ ，
．
这样小李同学就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法．
请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：
______， ______；
(2)若 且a、m、n均为正整数，求a的值．
(3)化简： ．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式将 展开即可求解；
（2）由（1）中所得结论结合a、m、n均为正整数，即可求解；（3） ，据此即可求解．
【详解】（1）解：
∵
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：∵
∴ ，
由（1）中结论可知： ，
∴ ，
∵m、n均为正整数，
∴ 或 ，
当 时， ；
当 时， ；
∴a的值为 或 ．
（3）解： ，
∴ ．
【点睛】本题考查复合二次根式的化简．正确理解题意是解题关键．
【过关检测】一、单选题
1．（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）下列代数式，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义，我们把形如 的式子叫做二次根式，解题时除了注意被开方数
是否为非负数，还需注意根指数是否为2，根指数是2时我们一般省略不写．根据二次根式的定义，我们
把形如 的式子叫做二次根式，因此必须同时满足被开方数为非负数、根指数为2即可判断．
【详解】解：根据二次根式的定义：形如 的式子，
A． 的被开方数 ，故不是二次根式，
B． 是立方根，故不是二次根式，
C． 不是二次根式，
D． 的被开方数 ，根指数是2，故是二次根式，
故选：D．
2．（2023上·四川眉山·九年级校考期末）式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据 即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴ ，
故选：C
3．（2023上·山东枣庄·八年级统考期末）化简 得（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，解题的关键是掌握二次根式的性质和化简．
根据二次根式有意义的条件及二次根式的性质与化简进行计算即可得．
【详解】解：由题意得， ，则 ，
∴ ．
故选：C．
4．（2023上·四川达州·九年级校考阶段练习）若 则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次根式的性质，进行求解即可．掌握： ，是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
5．（2023上·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）若x，y都是实数，且 ，则
的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】此题考查二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，代入求值，解题关键在于求出x，y
的值．
【详解】解：由题可知 ，
解得 ，∴ ，
∴ ，
故选C．
二、填空题
6．（2023下·新疆阿克苏·八年级期末） 在实数范围内有意义，则a的取值范围是
【答案】 且
【分析】本题考查了二次根式有意义，被开方数为非负数，分母不为0，据此即可作答．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ 且
故答案为： 且
7．（2023上·湖南衡阳·九年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）若 ，则 的取值范围是
．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
利用二次根式的性质，得到 ，由此得到答案．
【详解】解：由题意得：
，
由二次根式有意义的条件得：
，
解得： ．
故答案为： ．
8．（2023上·四川达州·八年级校考期中）若 ，那么 的结果是
【答案】 /
【分析】本题考查二次根式的性质，根据字母的取值范围，得到式子的符号，根据二次根式的非负性，进行化简计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
9．（2023上·河北邢台·八年级邢台三中校联考阶段练习）若 有意义，则n的取值范围是 ，若
是整数，则整数n的值是 ．
【答案】 或 ．
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，算术平方根的含义，先根据被开方数为非负数建立不等式
求解n的范围即可，再结合算术平方根的含义可得 或 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ 有意义，
∴ ，即 ，
解得： ；
∵ 是整数， 是整数，
∴ 或 ，
解得： 或 ；
故答案为： ， 或 ．
10．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：
．
【答案】【分析】本题考查了数轴和二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据数轴的性质可
得 ， ，从而可得 ， ， ，再根据二次根式的性质化简即可得．
【详解】解：由数轴可知， ， ，
则 ， ， ，
所以
．
故答案为：
三、解答题
11．（2023下·七年级课时练习）已知x，y满足y＝ ，求xy的平方根．
【答案】±6
【详解】由题意，得x＝3，y＝12，xy＝36，± ＝±6，
所以xy的平方根是±6
12．（2023上·全国·八年级专题练习）当x分别取下列值时，求二次根式 的值．
(1)x＝0．
(2)x＝2．
(3)x＝﹣ ．
【答案】(1) ；
(2)3；
(3)2；
【分析】（1）把x的值代入，计算求值即可；
（2）把x的值代入，计算求值即可；
（3）把x的值代入，计算求值即可．
【详解】（1）解：把x＝0，代入二次根式得：＝ ；
（2）解：把x＝2，代入二次根式得：
＝ ＝ ＝3；
（3）解：把x＝﹣ ，代入二次根式得：
＝ ＝2；
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质 是解题关键．
13．（2023下·浙江·八年级专题练习）要使下列式子有意义，x的取值必须满足什么条件？
(1) ．
(2) ．
(3) ．
(4) ．
(5) ．
(6) ．
【答案】(1) ；
(2) 且 ；
(3) 且 ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列不等式计算即可求解；
（2）根据二次根式及分式有意义的条件，列不等式组计算即可求解；（3）根据二次根式及分式有意义的条件，零次幂有意义的条件，列不等式组计算即可求解；
（4）根据二次根式及分式有意义的条件，列不等式组计算即可求解；
（5）根据二次根式有意义的条件，列不等式组计算即可求解；
（6）根据二次根式有意义的条件列不等式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ 有意义，
∴ ，
解得 ；
（2）解：∵ 有意义，
∴ ，
解得 且 ；
（3）解：∵ 有意义，
∴ ，
解得 且 ；
（4）解：∵ 有意义，
∴ ，
解得 ；
（5）解：∵ 有意义，
∴ ，
解得 ；
（6）解：∵ 有意义，
∴ ，解得 ．
【点睛】本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的
不等式或不等式组是解答此题的关键．注意：零次幂的底数不能为0．
14．（2023上·广东揭阳·八年级统考期中）阅读材料：
规定 表示一对数对，给出如下定义： ， ．将 与 称为数对
的一对“对称数对”．例如：数对 的一对“对称数对”为 与 ．
(1)数对 的一对“对称数对”是________与________；
(2)若数对 的一对“对称数对”相同，则 的值是多少？
(3)若数对 一个“对称数对”是 ，求 、 的值．
【答案】(1) ， ；
(2)
(3) ， 或 ，
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，理解题意是解题的关键．
（1）根据“对称数对”的定义代入计算即可；
（2）先将数对 的一对“对称数对”表示出来，根据“数对 的一对“对称数对”相同”，可得
的值；
（3）将数对 的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出 ， ，即可知 、 的值．
【详解】（1）由题意得 ， ，
数对 的一对“对称数对”是 与 ；
故答案为： ， ；（2）由题意得 ，
数对 的一对“对称数对”为 与 ，
数对 的一对“对称数对”相同，
，
；
（3）数对 一个“对称数对”是 ， ，
， 或 ， ，
， 或 ， ．
15．（2023上·河南周口·九年级校考阶段练习）若 ，化简 ，某同学的解答过程如图．
解：原式 第一步
第二步
第三步
(1)该同学的解答从第______步开始出现错误，错误的原因是用错了性质：
当 时， ______；当 时， ______；
(2)写出原题正确的解答过程；
(3)若实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ．
【答案】(1)二， ，
(2) ，过程见解析
(3)【分析】（1）根据二次根式的性质解答即可；
（2）根据二次根式的性质化简即可；
（3）根据数轴先得到 ， ， ，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）解：由化简过程可知，从第二步出现错误，
当 时， ，当 时， ，
故答案为：二， ， ；
（2）∵ ，
∴ ，
；
（3）由数轴可知： ， ， ，
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数轴上的有理数，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题
的关键．
16．（2023上·北京延庆·八年级统考期中）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．
这样就可以将 进行化简，
即： ．
善于思考的小明进行了以下探索：
对于 ，若能找到两个数m和n，使 且 ，则 可变为 ，即变成 ，从而使得 ．
（其中a，b，m，n均为正整数）
例如：∵ ，
∴ ．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简 ；
(2)化简 ；
(3)若 ，求a的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；
（2）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可；
（3）仿照题中的计算方法以及完全平方公式求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，则 ．
【点睛】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键．
