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专题 16.1 二次根式的性质与化简
◆ 典例分析
【典例1】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
，善于思考的小明进行了以下探索：
3+2❑√2=(1+❑√2) 2
若设 （其中 、 、 、 均为整数），则有 ，
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2=m2+2n2+2mn❑√2 a b m n a=m2+2n2
b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解
决下列问题：
（1）若 ，当 、 、 、 均为整数时，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
a+b❑√7=(m+n❑√7) 2 a b m n m n a b a=
______，b=______；
（2）若 ，且 、 、 均为正整数，求 的值；
a+6❑√3=(m+n❑√3) 2 a m n a
（3）化简下列各式：
①❑√5+2❑√6；
②❑√7−2❑√10；
③ ．
❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5
【思路点拨】
（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到6=2mn，利用a、m、n均为正整数得到m=1，n=3或m=3，n=1，然后利用
a=m2+3n2计算对应a的值；
（3）设 ，两边平方得到
❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5=t t2=4−❑√10+2❑√5+4 +❑√10+2❑√5
，然后利用（1）中的结论化简得到 ，最后把 写成完全平方形式
+2❑√16−(10+2❑√5) t2=6+2❑√5 6+2❑√5
可得到t的值．
【解题过程】（1）设 （其中a、b、m、n均为整数），
a+b❑√7=(m+n❑√7) 2=m2+7n2+2mn❑√7
则有a=m2+7n2，b=2mn；
故答案为：m2+7n2，2mn；
（2）∵6=2mn，
∴mn=3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1，
当m=1，n=3时，a=m2+3n2=12+3×32=28；
当m=3，n=1时，a=m2+3n2=32+3×12=12；
即a的值为12或28；
（3）①❑√5+2❑√6
=❑√3+2+2❑√3×❑√2
=(❑√3+❑√2) 2
=❑√3+❑√2
②❑√7−2❑√10
=❑√5+2−2❑√5×❑√2
=(❑√5−❑√2) 2
=❑√5−❑√2
③设 ，
❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5=t
则
t2=4−❑√10+2❑√5+4 +❑√10+2❑√5 +2❑√16−(10+2❑√5)
=8+2❑√6−2❑√5
=8+2❑√ (❑√5−1) 2
=8+2(❑√5−1)
=6+2❑√5
，
=(❑√5+1) 2
∴t=❑√5+1．◆ 学霸必刷
1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知√32a−8+√35−3b=0，则❑√6a−9b的值为（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
2．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：0，❑√3，❑√6，3，❑√12，❑√15，❑√18，⋯
根据其中的规律，则第10个数是（ ）
A．❑√21 B．❑√24 C．❑√27 D．❑√28
√3 5 7 2n+1
3．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 ❑ × × ×⋯× =11，则n的值为（ ）
1 3 5 2n−1
A．40 B．50 C．60 D．70
√ 1
4．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）将(x−1)❑ 根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
1−x
A．❑√1−x B．−❑√1−x C．❑√x−1 D．−❑√x−1
5．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简 的结果是（ ）
❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2
A．3+❑√2 B．3−❑√2 C．3+2❑√2 D．3−❑√2
6．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数 满足 ．则这样的 的
a、m、n ❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n a、m、n
取值（ ）．
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
7．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足2m+❑√2mn+n=2，则❑√mn的最大值为（
）
1 ❑√2 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
8．（23-24八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，❑√18−2n是整数，则满足条件的所有n的值为
．
√ x √ y
9．（2024八年级上·四川成都·专题练习）已知xy=12, x+ y=−8，则y❑ +x❑ 的值为 ．
y x
1
10．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数x、y、z满足条件❑√x+❑√y−1+❑√z−2= (x+ y+z+9)，则
4
xy−z的值是 ．11．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知 1 ，则√ x √ x ．
❑√x+ =2 ❑ −❑ =
❑√x x2+x+1 x2+10x+1
12．（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y，m满足关系式
❑√3x+5 y−2−m+❑√2x+3 y−m=❑√x+ y−20×❑√20−x−y，则m的值为
√ 1
13．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若y=❑√1−x+❑ x− 的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的
2
值为 .
14．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：
（1）具体运算，发现规律，
①√ 2 √8 √22×2 √2；
❑2 =❑ =❑ =2❑
3 3 3 3
√ 3 √3
②❑3 =3❑ ；
8 8
√ 4 √ 4
③❑4 =4❑ ；
15 15
√ 5
④❑5 =_________；
24
（2）观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果n为正整数(n≥2)，用含n的式子表示
上述的运算规律；
（3）证明你的猜想．
15．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：√ 1 1 1 ，
❑1+ + =1+
12 22 1×2
√ 1 1 1 ，
❑1+ + =1+
22 32 2×3
√ 1 1 1 ，
❑1+ + =1+
32 42 3×4请利用你所发现的规律．
（1）写出第4个式子______；
（2）写出第n个式子______，并证明其正确性（用n含的等式表示，n为正整数）．
（3）计算√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ．
❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋅⋅⋅+❑1+ +
12 22 22 32 32 42 992 1002
16．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简❑√4+2❑√3．
解： ．
❑√4+2❑√3=❑√1+2❑√3+3=❑√(1+❑√3) 2=|1+❑√3)=1+❑√3
依据上述计算，填空：
（1）❑√7+4❑√3= ，❑√41−24❑√2= ；
（2）根据上述方法求值：❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−4❑√3+⋯+❑√199−60❑√11．
17．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次
根式❑√3−2❑√2的难题．
【问题解决】
（1）小慧同学的解决思路是将 转化为 的形式，根据 ．因为 ，
3−2❑√2 (a−b) 2 ❑√(a−b) 2=a−b (❑√2) 2+12=3
2×❑√2×1=2❑√2，所以a=______，b=______，则可得到化简；
【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式❑√5+2❑√6；
1
【问题迁移】（3）若1≤x≤2，解方程❑√x+2❑√x−1+❑√x−2❑√x−1= (x+3)．
218．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成
相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是
根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简 ，可以先思考 ，所以
❑√3+2❑√2 (1+❑√2) 2=12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=3+2❑√2
．通过计算，我还发现设
❑√3+2❑√2=❑√12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=❑√(1+❑√2) 2=1+❑√2
（其中m，n，a，b都为正整数），则有
❑√a+b❑√2=❑√(m+n❑√2) 2=m+n❑√2 a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2
，∴ a=m2+2n2，b=_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
（1）文中的b=________．
（2）化简：❑√6+2❑√5=________．
（3）已知❑√a+4❑√3=x+ y❑√3，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
（4）化简：❑√4 p−8❑√p−1+❑√4 p+8❑√p−1=________ ．（直接写出答案）
