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专题 16.1 二次根式的性质与化简
◆ 典例分析
【典例1】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ，善于思考的小明进行了以下探索：
若设a+b❑√2=(m+n❑√2) 2=m2+2n2+2mn❑√2（其中a、b、m、n均为整数），则有a=m2+2n2，
b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解
决下列问题：
（1）若a+b❑√7=(m+n❑√7) 2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=
______，b=______；
（2）若a+6❑√3=(m+n❑√3) 2，且a、m、n均为正整数，求a的值；
（3）化简下列各式：
①❑√5+2❑√6；
②❑√7−2❑√10；
③❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5．
【思路点拨】
（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；
（2）利用（1）中结论得到6=2mn，利用a、m、n均为正整数得到m=1，n=3或m=3，n=1，然后利用
a=m2+3n2计算对应a的值；
（3）设❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5=t，两边平方得到t2=4−❑√10+2❑√5+4 +❑√10+2❑√5
+2❑√16−(10+2❑√5)，然后利用（1）中的结论化简得到t2=6+2❑√5，最后把6+2❑√5写成完全平方形式
可得到t的值．
【解题过程】（1）设a+b❑√7=(m+n❑√7) 2=m2+7n2+2mn❑√7（其中a、b、m、n均为整数），
则有a=m2+7n2，b=2mn；
故答案为：m2+7n2，2mn；
（2）∵6=2mn，
∴mn=3，
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1，
当m=1，n=3时，a=m2+3n2=12+3×32=28；
当m=3，n=1时，a=m2+3n2=32+3×12=12；
即a的值为12或28；
（3）①❑√5+2❑√6
=❑√3+2+2❑√3×❑√2
=(❑√3+❑√2) 2
=❑√3+❑√2
②❑√7−2❑√10
=❑√5+2−2❑√5×❑√2
=(❑√5−❑√2) 2
=❑√5−❑√2
③设❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5=t，
则t2=4−❑√10+2❑√5+4 +❑√10+2❑√5 +2❑√16−(10+2❑√5)
=8+2❑√6−2❑√5
=8+2❑√ (❑√5−1) 2
=8+2(❑√5−1)
=6+2❑√5
=(❑√5+1) 2 ，
∴t=❑√5+1．◆ 学霸必刷
1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知√32a−8+√35−3b=0，则❑√6a−9b的值为（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
【思路点拨】
本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得2a−8与5−3b互为相
反数，即得2a−8+5−3b=0，得到2a−3b=3，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到
2a−3b=3是解题的关键．
【解题过程】
解：∵√32a−8+√35−3b=0，
∴2a−8与5−3b互为相反数，
∴2a−8+5−3b=0，
∴2a−3b=3，
∴❑√6a−9b=❑√3(2a−3b)=❑√3×3=3，
故选：C．
2．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：0，❑√3，❑√6，3，❑√12，❑√15，❑√18，⋯
根据其中的规律，则第10个数是（ ）
A．❑√21 B．❑√24 C．❑√27 D．❑√28
【思路点拨】
本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键．
【解题过程】
解：∵0，❑√3，❑√6，3，❑√12，❑√15，❑√18，⋯
∴第n个数为❑√3n−3，
∴第10个数是❑√3×10−3=❑√27，
故选C．
√3 5 7 2n+1
3．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 ❑ × × ×⋯× =11，则n的值为（ ）
1 3 5 2n−1
A．40 B．50 C．60 D．70
【思路点拨】
本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二
次根式定义是解决问题的关键．先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程2n+1=121，解一元一次方程即可得到答案．
【解题过程】
3 5 7 2n+1
解： × × ×⋯× =2n+1，
1 3 5 2n−1
√3 5 7 2n+1
∵ ❑ × × ×⋯× =11，
1 3 5 2n−1
∴❑√2n+1=11，即2n+1=121，解得n=60，
故选：C．
√ 1
4．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）将(x−1)❑ 根号外的因式移到根号内，结果为（ ）
1−x
A．❑√1−x B．−❑√1−x C．❑√x−1 D．−❑√x−1
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是根据题意得出1−x>0．根据二次根式的性质进行化简即
可．
【解题过程】
1
解：∵ >0，
1−x
∴1−x>0，
√ 1
∴(x−1)❑
1−x
√ 1
=−(1−x)❑
1−x
√ 1
=−❑√(1−x) 2❑
1−x
√(1−x) 2
=−❑
1−x
=−❑√1−x；
故选：B．
5．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简 的结果是（ ）
❑√ 23−6❑√10+4❑√3−2❑√2
A．3+❑√2 B．3−❑√2 C．3+2❑√2 D．3−❑√2
【思路点拨】
本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题．【解题过程】
解：原式 =❑√ 23−6❑√ 10+4❑√ (❑√2−1) 2
=❑√23−6❑√10+4❑√2−4
=❑√23−6❑√4❑√2+6
=❑√ 23−6❑√ (2+❑√2) 2
=❑√23−12−6❑√2
=❑√11−6❑√2
=❑√ (3−❑√2) 2
=3−❑√2，
故选：D．
6．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数 满足 ．则这样的 的
a、m、n ❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n a、m、n
取值（ ）．
A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据
，得出 ，即可得出 ， ， ，根据
❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n a2−4❑√5=m+n−2❑√mn a2=m+n mn=20 m>n
20=20×1=10×2=5×4，分三种情况求出a2的值进行验证即可．
【解题过程】
解：∵ ，
❑√a2−4❑√5=❑√m−❑√n
∴a2−4❑√5=m+n−2❑√mn，
∴a2=m+n，mn=20，m>n，
又∵20=20×1=10×2=5×4，
当m=20,n=1时，a2=21不合题意，
当m=10,n=2时，a2=12不合题意，
当m=5,n=4时，a2=9符合题意，∴满足条件的取值只有1组．
故选：A．
7．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足2m+❑√2mn+n=2，则❑√mn的最大值为（
）
1 ❑√2 ❑√3 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
【思路点拨】
本题考查二次根式的性质，完全平方公式，平方的非负性．根据二次根式的性质将2m+❑√2mn+n=2变形
为 ，配方得到 ，根据 得到
(❑√2m) 2+❑√2mn+(❑√n) 2=2 (❑√2m−❑√n) 2=2−3❑√2mn (❑√2m−❑√n) 2 ≥0
2−3❑√2mn≥0，进而求解即可．
【解题过程】
解：∵m，n均为正实数，
∴ 可化为 ，
2m+❑√2mn+n=2 (❑√2m) 2+❑√2mn+(❑√n) 2=2
∴ ，
(❑√2m) 2 −2❑√2mn+(❑√n) 2=2−3❑√2mn
即 ，
(❑√2m−❑√n) 2=2−3❑√2mn
∵ ，
(❑√2m−❑√n) 2 ≥0
∴2−3❑√2mn≥0，
❑√2
∴❑√mn≤ ，
3
❑√2
∴❑√mn的最大值为 ．
3
故选：B
8．（23-24八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，❑√18−2n是整数，则满足条件的所有n的值为
．
【思路点拨】
先利用算术平方根有意义的条件求得正整数n的取值范围，然后令18−2n等于所有可能的平方数即可求
解．
【解题过程】解：由题意得18−2n≥0，
解得n≤9，
∵n是正整数，
∴n≥1
∴1≤n≤9，
∴2≤2n≤18，
∴0≤18−2n≤16，
∵❑√18−2n是整数，
∴18−2n=0或18−2n=1或18−2n=4或18−2n=9或18−2n=16，
17 9
解得n=9或n= 或n=7或n= 或n=1，
2 2
∵n是正整数，
∴n=9或n=7或n=1，
故答案为：9或7或1
√ x √ y
9．（2024八年级上·四川成都·专题练习）已知xy=12, x+ y=−8，则y❑ +x❑ 的值为 ．
y x
【思路点拨】
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出x<0,y<0，再利用二次根
式的性质进行化简，然后将xy=12代入计算即可得．
【解题过程】
解：∵xy=12>0,x+ y=−8<0，
∴x<0,y<0，
∴ √ x √ y √xy √xy
y❑ +x❑ = y❑ +x❑
y x y2 x2
❑√xy ❑√xy
= y⋅ +x⋅
|y) |x)
❑√xy ❑√xy
= y⋅ +x⋅
−y −x
=−❑√xy−❑√xy
=−2❑√xy
=−2❑√12
=−2×2❑√3=−4❑√3，
故答案为：−4❑√3．
1
10．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数x、y、z满足条件❑√x+❑√y−1+❑√z−2= (x+ y+z+9)，则
4
xy−z的值是 ．
【思路点拨】
本题考查了二次根式的性质，完全平方公式；分析题中条件不难发现等号左边含有未知数的项都有根号，
而等号右边的则都没有．由此可以想到将等式移项，并配方成三个完全平方数之和等于0的形式，从而可
以分别求出x、y、z的值，即可求解．
【解题过程】
解：将题中等式移项并将等号两边同乘4得
x−4❑√x+ y−4❑√y−1+z−4❑√z−2+9=0 ，
，
∴(x−4❑√x+4)+(y−1−4❑√y−1+4)+(z−2−4❑√z−2+4)=0
，
∴(❑√x−2) 2+(❑√y−1−2) 2+(❑√z−2−2) 2=0
∴ ❑√x−2=0 ，❑√y−1−2=0，❑√z−2−2=0，
∴ ❑√x=2，❑√y−1=2，❑√z−2=2，
∴x=4 y−1=4 z−2=4
∴x=4 y=5 z=6
∴xy−z=20−6=14．
故答案为：14．
11．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知 1 ，则√ x √ x ．
❑√x+ =2 ❑ −❑ =
❑√x x2+x+1 x2+10x+1
【思路点拨】
1
本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，分式的化简求值，化简得到x+ =2是解题的关键．
x
1 x 1 x 1
对已知进行化简得到x+ =2，推出 = ， = ，据此求解即可．
x x2+x+1 3 x2+10x+1 12
【解题过程】
1
解：∵❑√x+ =2，
❑√x∴( 1 ) 2 ，
❑√x+ =4
❑√x
1
∴x+ +2=4，
x
1
∴x+ =2，
x
x2+x+1 1 x2+10x+1 1
∴ =x+1+ =1+2=3， =x+10+ =10+2=12，
x x x x
x 1 x 1
∴ = ， =
x2+x+1 3 x2+10x+1 12
∴√ x √ x
❑ −❑
x2+x+1 x2+10x+1
√1 √ 1
=❑ −❑
3 12
❑√3 ❑√3
= −
3 6
❑√3
= ．
6
❑√3
故答案为： ．
6
12．（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y，m满足关系式
❑√3x+5 y−2−m+❑√2x+3 y−m=❑√x+ y−20×❑√20−x−y，则m的值为
【思路点拨】
本题主要考查了二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性、方程组的解法等知识点，掌握几个非负数
的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
根据能开平方的数一定是非负数，得x+ y−20≥0、20−x−y≥0，即x+ y−20≤0，进而得到
x+ y−20=0，即x+ y=20①，从而有❑√3x+5 y−2−m+❑√3x+3 y−m=0，再根据算术平方根的非负
性可得出3x+5 y−2−m=0②，2x+3 y−m=0③，联立①②③解方程组可得出m的值即可．
【解题过程】
解：由题意可得，x+ y−20≥0、20−x−y≥0，即x+ y−20≤0，
∴x+ y−20=0，即x+ y=20①．
∴❑√3x+5 y−2−m+❑√3x+3 y−m=0，
∴3x+5 y−2−m=0②，2x+3 y−m=0③，，{
x+ y=20①
)
联立①②③得， 3x+5 y−2−m=0② ，
2x+3 y−m=0③
②×2−③×3得，y=4−m，
将y=4−m代入③，解得x=2m−6，
将x=2m−6，y=4−m代入①得，2m−6+4−m=20，解得：m=22．
故答案为：22．
√ 1
13．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若y=❑√1−x+❑ x− 的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的
2
值为 .
【思路点拨】
本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有
意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到
y2= 1 +2❑ √ − ( x− 3) 2 + 1 ，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出 2❑ √ − ( x− 3) 2 + 1 的最大值
2 4 16 4 16
和最小值，从而求出y2的最大值和最小值，即为a2、b2，代入即可．
【解题过程】
√ 1
解：∵y=❑√1−x+❑ x−
2
{1−x≥0
)
∴y≥0， 1
x− ≥0
2
1
解得： ≤x≤1，
2
2
将等式两边平方，得 y2=(❑√1−x) 2+2(❑√1−x) ( ❑ √ x− 1) + ( ❑ √ x− 1) ，
2 2
∴ y2=1−x+2❑ √ (1−x) ( x− 1) +x− 1，
2 2
1 √ 1 1
∴y2= +2❑ x−x2− + x
2 2 2
1 √ 3 1
∴y2= +2❑−x2+ x− ，
2 2 2∴ y2= 1 +2❑ √ − ( x− 3) 2 + 1 ，
2 4 16
( 3) 2
∵ x− ≥0，
4
( 3) 2
∴− x− ≤0，
4
( 3) 2 1 1
∴− x− + ≤ ，
4 16 16
∴ y2= 1 +2❑ √ − ( x− 3) 2 + 1 ≤ 1 +2× 1 =1 ，
2 4 16 2 4
∴a2=1，
当
x=
1时，
❑
√
−
(1
−
3) 2
+
1
=❑√0=0
，
2 2 4 16
又∵√ ( 3) 2 1 ，
❑− x− + ≥0
4 16
∴ y2= 1 +2❑ √ − ( x− 3) 2 + 1 ≥ 1，
2 4 16 2
1
∴b2=
2
1 3
∴a2+b2=1+ =
2 2
3
故答案为： ．
2
14．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：
（1）具体运算，发现规律，
①√ 2 √8 √22×2 √2；
❑2 =❑ =❑ =2❑
3 3 3 3
√ 3 √3
②❑3 =3❑ ；
8 8
√ 4 √ 4
③❑4 =4❑ ；
15 15√ 5
④❑5 =_________；
24
（2）观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果n为正整数(n≥2)，用含n的式子表示
上述的运算规律；
（3）证明你的猜想．
【思路点拨】
本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索：
（1）仿照①化简求解即可；
（2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整
数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，
据此求解即可；
（3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可．
【解题过程】
（1）解：√ 5 √125 √52×5 √ 5 ，
❑5 =❑ =❑ =5❑
24 24 24 24
√ 5
故答案为：5❑ ；
24
（2）解：①√ 2 √8 √22×2 √2；
❑2 =❑ =❑ =2❑
3 3 3 3
√ 3 √3
②❑3 =3❑ ；
8 8
√ 4 √ 4
③❑4 =4❑ ；
15 15
√ 5 √ 5
④❑5 =5❑ ；
24 24
……．，
以此类推，可知√ n √ n ；
❑n =n❑
n2−1 n2−1
（3）证明：√ n
❑n
n2−1√n3+n−n
=❑
n2−1
√ n3
=❑
n2−1
√n2 ⋅n
=❑
n2−1
√ n ．
=n❑
n2−1
15．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：√ 1 1 1 ，
❑1+ + =1+
12 22 1×2
√ 1 1 1 ，
❑1+ + =1+
22 32 2×3
√ 1 1 1 ，
❑1+ + =1+
32 42 3×4
请利用你所发现的规律．
（1）写出第4个式子______；
（2）写出第n个式子______，并证明其正确性（用n含的等式表示，n为正整数）．
（3）计算√ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 √ 1 1 ．
❑1+ + +❑1+ + +❑1+ + +⋅⋅⋅+❑1+ +
12 22 22 32 32 42 992 1002
【思路点拨】
本题考查了分式，二次根式的运算以及配方法，熟练掌握分式和二次根式的运算性质，配方法，理解题干
中的规律并且证明其规律是解题的关键．
（1）根据题干给的规律，可直接写出结果；
（2）根据题干给的规律，可直接写出第n个式子；要证明等式成立，由于左侧是二次根式的形式，右侧是
分式的形式，因此考虑对于左侧二次根式的被开方式子凑成完全平方形式，然后可以去掉根号．所以对于
左侧二次根式被开方式子通分整理后，得到 ❑ √ 1+ 2 + [ 1 ) 2 =❑ √[ 1+ 1 ) 2 ，由此即可证
n(n+1) n(n+1) n(n+1)明等式成立；
（3）根据前面证明所得到的式子，利用√ 1 1 1 ，以及 1 1 1 化简，
❑1+ + =1+ = −
n2 (n+1) 2 n(n+1) n(n+1) n n+1
即可求得结果；
【解题过程】
（1）解：根据题干中的规律，可得
第4个式子为：√ 1 1 1 ；
❑1+ + =1+
42 52 4×5
（2）解：根据题干中的规律，可得
第 个式子为：√ 1 1 1 ；
n ❑1+ + =1+
n2 (n+1) 2 n(n+1)
证明： 左边 √ 1 1
∵ =❑1+ +
n2 (n+1) 2
√ (n+1) 2 n2
=❑1+ +
n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2
√ 2n2+2n+1
=❑1+
n2 (n+1) 2
√ 2n(n+1) 1
=❑1+ +
n2 (n+1) 2 n2 (n+1) 2
=❑ √ 1+ 2 + [ 1 ) 2
n(n+1) n(n+1)
=❑ √[ 1+ 1 ) 2
n(n+1)
1
=1+ =右边，
n(n+1)
∴ 等式成立；（3）解： √ 1 1 1 ， 1 1 1 ，
∵ ❑1+ + =1+ = −
n2 (n+1) 2 n(n+1) n(n+1) n n+1
1 1 1
∴ 原式=1+ +1+ +⋅⋅⋅⋅⋅⋅1+
1×2 2×3 99×100
1 1 1 1 1 1
=99+ − + − ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ −
1 2 2 3 99 100
99
=99 ．
100
16．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题．
例如：化简❑√4+2❑√3．
解： ．
❑√4+2❑√3=❑√1+2❑√3+3=❑√(1+❑√3) 2=|1+❑√3)=1+❑√3
依据上述计算，填空：
（1）❑√7+4❑√3= ，❑√41−24❑√2= ；
（2）根据上述方法求值：❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−4❑√3+⋯+❑√199−60❑√11．
【思路点拨】
本题主要考查了化简复合二次根式：
（1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解；
（2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解．
【解题过程】
（1）解：❑√7+4❑√3
=❑√4+4❑√3+3
=❑√(2+❑√3) 2
=2+❑√3；
❑√41−24❑√2
=❑√32−24❑√2+9
=❑√(4❑√2−3) 2
=4❑√2−3；
故答案为：2+❑√3；4❑√2−3；
（2）解：❑√3−2❑√2+❑√5−2❑√6+❑√7−4❑√3+⋯+❑√199−60❑√11=❑√(❑√2−1) 2+❑√(❑√3−❑√2) 2+❑√(❑√4−❑√3) 2+⋯+❑√(❑√100−❑√99) 2
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+⋯+❑√100−❑√99
=❑√100−1
=10−1
=9．
17．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次
根式❑√3−2❑√2的难题．
【问题解决】
（1）小慧同学的解决思路是将 转化为 的形式，根据 ．因为 ，
3−2❑√2 (a−b) 2 ❑√(a−b) 2=a−b (❑√2) 2+12=3
2×❑√2×1=2❑√2，所以a=______，b=______，则可得到化简；
【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式❑√5+2❑√6；
1
【问题迁移】（3）若1≤x≤2，解方程❑√x+2❑√x−1+❑√x−2❑√x−1= (x+3)．
2
【思路点拨】
本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键．
（1）根据题目所给方法对3−2❑√2变形即可得解；
（2）根据题意结合所给方法对5+2❑√6变形，再利用二次根式的性质化简即可得解；
（3）根据题目所给方法，得到 ，再利用
❑√x+2❑√x−1+❑√x−2❑√x−1=❑√ (❑√x−1+1) 2+❑√ (❑√x−1−1) 2
1
二次根式性质化简，得到 (x+3)=2，再解方程即可；
2
【解题过程】
（1） ，
∵3−2❑√2=(❑√2) 2 −2×1×❑√2−12=(❑√2−1) 2
∴a=❑√2,b=1
故答案为：❑√2, 1；
（2）
∵5+2❑√6=(❑√3) 2+2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2=(❑√3+❑√2) 2
，
∴❑√5+2❑√6=❑√ (❑√3+❑√2) 2=❑√3+❑√2（3） ，
∵x+2❑√x−1=(❑√x−1+1) 2 ,x−2❑√x−1=(❑√x−1−1) 2
∴❑√x+2❑√x−1+❑√x−2❑√x−1=❑√ (❑√x−1+1) 2+❑√ (❑√x−1−1) 2=|❑√x−1+1)+|❑√x−1−1)
又∵1≤x≤2，
∴❑√x−1−1<0，
上式=❑√x−1+1+1−❑√x−1，
=2，
1
故方程为 (x+3)=2，
2
解得：x=1．
18．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成
相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是
根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简 ，可以先思考 ，所以
❑√3+2❑√2 (1+❑√2) 2=12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=3+2❑√2
．通过计算，我还发现设
❑√3+2❑√2=❑√12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=❑√(1+❑√2) 2=1+❑√2
（其中m，n，a，b都为正整数），则有
❑√a+b❑√2=❑√(m+n❑√2) 2=m+n❑√2 a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2
，∴ a=m2+2n2，b=_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
（1）文中的b=________．
（2）化简：❑√6+2❑√5=________．
（3）已知❑√a+4❑√3=x+ y❑√3，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
（4）化简：❑√4 p−8❑√p−1+❑√4 p+8❑√p−1=________ ．（直接写出答案）
【思路点拨】
本题主要考查了复合二次根式的化简：
（1）根据题目所给信息即可得到答案；（2）根据❑√6+2❑√5=❑√5+2❑√5+1结合完全平方公式求解即可；
（3）根据a+4❑√3=x2+3 y2+2xy❑√3，得出a=x2+3 y2，4=2xy，根据x，y为正整数，求出x=2，
y=1或x=1，y=2，最后求出a的值即可．
（4）根据 进行化简求解即可．
❑√4 p−8❑√p−1+❑√4 p+8❑√p−1=❑√(2❑√p−1−2) 2+❑√(2❑√p−1+2) 2
【解题过程】
（1）解：∵a+b❑√2=m2+2n2+2mn❑√2，
∴a=m2+2n2，b=2mn．
故答案为：2mn；
（2）解：❑√6+2❑√5
=❑√5+2❑√5+1
=❑√(❑√5) 2+2×1×❑√5+12
=❑√(❑√5+1) 2
=❑√5+1，
故答案为：❑√5+1；
（3）解：由题意得a+4❑√3=x2+3 y2+2xy❑√3，
∴a=x2+3 y2，4=2xy，
∵x，y为正整数，
∴x=2，y=1或x=1，y=2，
∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13．
（4）解：❑√4 p−8❑√p−1+❑√4 p+8❑√p−1
=❑√(2❑√p−1) 2 −2×2×2❑√p−1+22+❑√(2❑√p−1) 2+2×2×2❑√p−1+22
=❑√(2❑√p−1−2) 2+❑√(2❑√p−1+2) 2
=❑√(2❑√p−1−2) 2+❑√(2❑√p−1+2) 2
，
=|2❑√p−1−2)+2❑√p−1+2
当2❑√p−1−2≥0，即p≥2时，则原式=2❑√p−1−2+2❑√p−1+2=4❑√p−1；
当2❑√p−1−2<0，即1≤p<2时，则原式=2−2❑√p−1+2❑√p−1+2=4；综上所述，当1≤p<2时，❑√4 p−8❑√p−1+❑√4 p+8❑√p−1=4，当p≥2时，
❑√4 p−8❑√p−1+❑√4 p+8❑√p−1=4❑√p−1．
