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2023-2024 学年人教版八年级数学下学期期末模拟试卷 02
满分：120分 测试范围：八下全部内容
一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若二次根式 有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【分析】二次根式的被开方数 ．
【解答】解：根据题意，得
，
解得 ；
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 叫二次根式．性质：二次根式中的被开
方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．下列根式是最简二次根式的
A． B． C． D．
【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，
由此即可求解．
【解答】解： 选项： ，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项： ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
选项： ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
选项： ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键．3．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法法则以及二次根式的乘除法法则逐项分析即可．
【解答】解： ． 与 不是同类二次根式，不能合并，不正确，故不符合题意；
． ，原计算正确，故符合题意；
． ，原计算不正确，故不符合题意；
． ，原计算不正确，故不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的
关键．
4．某射击队准备挑选运动员参加射击比赛，下表是其中一名运动员 10次射击的成绩（单位：环），则该
名运动员射击成绩的平均数是
成绩 8 8.5 9 10
频数 3 2 4 1
A．8.9 B．8.7 C．8.3 D．8.2
【分析】根据加权平均数公式计算即可．
【解答】解：该名运动员射击成绩的平均数是： （环 ，
故选： ．
【点评】本题考查了加权平均数以及频数分布表，掌握加权平均数的计算公式是解答本题的关键．
5．若点 ， ， 在一次函数 是常数）的图象上，则 ， ， 的大小
关系是
A． B． C． D．
【分析】由 ，利用一次函数的性质，可得出 随 的增大而减小，再结合 ，即可得出．
【解答】解： ，
随 的增大而减小，
又 点 ， ， 在一次函数 是常数）的图象上，且 ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ， 随 的增大而增大； ， 随 的增大而减小”
是解题的关键．
6．如图，在平行四边形 中， ， ， 的平分线交 于 ，交 的延长线于点
，则
A．4 B．3 C．2 D．1
【 分 析 】 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得 到 ， ， 结 合 角 平 分 线 的 性 质 推 出
，得到 ，即可求出 ．
【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
平分 ，
，
，
，
，
故选： ．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．7．如图，直线 和 分别与 轴交于点 ，点 ，则不等式组 的解
集为
A． B． C． 或 D．
【分析】把 ，点 代入不等式组，依据图象直接得出答案即可．
【解答】解： 直线 和 分别与 轴交于点 ，点 ，
的解集为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据两条直线与 轴的交点坐标及
直线的位置确定不等式组的解集．
8．图中反映某网约车平台收费 （元 与所行驶的路程 （千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明
通过该网约车从家到机场共收费 64元，若车速始终保持60千米 时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵
车等），他从家到机场需要
A．10分钟 B．15分钟 C．18分钟 D．20分钟
【分析】根据题意可得当 时， 与 的函数关系式，再把 代入函数关系式求出 的值，然后根据网约车的速度可得答案．
【解答】解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米，
设当 时， 与 的函数关系式为 ，
根据题意，得： ，
解得 ，
，
当 时， ，
解得 ，
（分钟）．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键．
9．已知一次函数 ， 是常数），则下列结论正确的是
A．若点 在一次函数 的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2
B．若 ，则一次函数 图象上任意两点 ， 和 ， 满足：
C．一次函数 的图象不一定经过第三象限
D．若对于一次函数 和 ，无论 取任何实数，总有 ，则
的取值范围是 或
【分析】 、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的
三角形面积，即可判断；
、根据一次函数的性质即可判断；
、求得一次函数 的图象过定点 即可判断；、由题意可知两直线平行，当 时，则 ，当 时， 一定成立，解不等式即可求
得 的取值，即可判断．
【解答】解： 、 在一次函数 的图象上，
，
，
一次函数为 ，
它的图象与两个坐标轴的交点为 ， ，
图象与两个坐标轴围成的三角形面积是 ，故 错误，不合题意；
、 ，
，
随 的增大而增大，
，故 错误，不合题意；
、 ，
一次函数 的图象过定点 ，
一次函数 的图象一定经过第三象限，故 错误，不合题意；
、 对于一次函数 和 ，无论 取任何实数，总有 ，
直线 与直线 平行，
一次函数 的图象过定点 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， 一定成立，
的取值范围是 或 ，故 正确，符合题意．
故选： ．
【点评】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系．
10．如图，在边长为10的正方形 对角线上有 、 两个动点， ，点 是 中点，连
接 、 ，则 的最小值为
A． B． C． D．10
【分析】设 的中点 ，连接 ， ，先求出 ，证 是 的中位线，得 ，
，再结合已知条件可判定四边形 为平行四边形，进而得求 就是求
的最小值，然后根据线段的性质可得 为最小即为线段 的长，最后运用勾股定理求出
即可．
【解答】解：设 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
四边形 是正方形，且边长为10，
， ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，点 为 的中点，点 为 的中点，
是 的中位线，
， ，
又 ，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
要求 的最小值，只需求出 的最小值即可，
根据“两点之间线段最短”得： ，
当 ， ， 在同一条直线上时， 为最小，最小值为线段 的长，
，点 时 的中点，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得， ．
故选： ．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，线段的性质，
勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握正方形的性质，以及平行四边形的判定和性质，理解三角形的中
位线平行第三边并且等于第三边的一半，难点是根据线段的性质确定当当 ， ， 在同一条直线上时，
为最小，最小值为线段 的长．二、填空题。（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知函数 是一次函数，则 0 ．
【分析】根据一次函数的定义进行解答即可．
【解答】解：根据一次函数 中 ，自变量次数是1得：
，
即 ，且 ，
解得 ．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解答本题的关键．
12．一组数据1，2，4，6， 的中位数和平均数相等，则 的值是 或 7 或 ．
【分析】根据中位数、平均数的意义列方程求解即可．
【解答】解：由于数据1，2，4，6， 的中位数可能为2、4、 ，且这组数据1，2，4，6， 的中位数和
平均数相等，
所以 ，或 ，或 ，
解得 或 或 ，
故答案为： 或7或 ．
【点评】本题考查中位数、算术平均数，掌握中位数、算术平均数的计算方法是正确解答的前提．
13．如图，以直角 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 、 、 ，且 ，若 ，
，则 为 1 6 ．
【分析】直接根据勾股定理的几何意义即可得出结论．【解答】解： 是直角三角形， ， ，
．
故答案为：16．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方是解题的关键．
14．如图，四边形 为菱形，对角线 ， 相交于点 ， 于点 ，连接 ，
，则 的度数是 ．
【分析】由菱形的性质可得 ， ， ， ，可求 ，
由直角三角形的性质可求解．
【解答】解： 四边形 是菱形，
， ， ， ，
，
， ，
，
，
故答案为 ．
【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，属于中考常考题型．
15．如图，含 角的直角三角形纸片 在平面直角坐标系中放置，将该纸片绕着原点 按顺时针方向
旋转 得到△ ，连结 ， ， ， 分别为 ， 的中点，若 ，则直线 与 轴
的交点坐标为 ．【分析】通过解直角三角形，可求出 ， 的长，进而可得出点 的坐标，结合旋转的性质，可得出点
的坐标及 为等边三角形，由点 为线段 的中点，可求出点 的坐标，过点 作 轴
于点 ，利用勾股定理，可求出 的长度，进而可得出点 的坐标，由点 为线段 的中点，可求出
点 的坐标，利用待定系数法，可求出直线 的函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即
可求出直线 与 轴的交点坐标．
【解答】解：在 中， ， ， ，
，点 的坐标为 ，
，
点 的坐标为 ， ．
由旋转的性质可知： ， ， ，
点 的坐标为 ， 为等边三角形．
点 为线段 的中点，
点 的坐标为 ．
过点 作 轴于点 ，如图所示，
为等边三角形，
，
，
点 的坐标为 ．
点 为线段 的中点，点 的坐标为 ， ．
设直线 的解析式为 ，
将 ， ， 代入 得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ．
当 时， ，
直线 与 轴的交点坐标为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、含30度角的直角三角形、旋转、勾股定理以及待定系
数法求一次函数解析式，根据点 ， 的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式是解题的关键．
16．如图，正方形 的边长为2，点 为对角线 上一动点（点 不与 、 重合），过点 作
交直线 于 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， ，下列
结论：① ；② ；③ ；④ 的最小值为 ，其中正确的是
①②③④ ．（填写所有正确结论的序号）【分析】过 作 ， ，可证 得 ，故①正确；
可证四边形 是正方形，得 ， ，可证 ，进而得到 ，
所以 ，得 ，即 ，可证②正确；
由②可知， ，所以 ，而 可求，③正确．
由“ ”可证 ，可得 ，当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值，
由勾股定理可求 的长，故④正确，即可求解．
【解答】解：过 作 于点 ，作 于点 ，作 于 ，连接 ，
四边形 是正方形， 平分 ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，故①正确；
， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，， ，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
又 ， ，
，
，
，
，即 ，
，故②正确；
由②可知， ，
，
，
，
，
，故③正确，
如图，延长 至 ，使 ，连接 ， ，
， ，
，
又 ， ，
，
，
，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值，即 有最小值为 的长，
，
的最小值为 ，故④正确，
故答案为：①②③④．【点评】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，
全等三角形的判定与性质，综合运用正方形的判定与性质定理，勾股定理等知识是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，最后根据二次根式
的减法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．18．如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ，连接
．
（1）求证： ；
（2）当 平分 时，请你判定四边形 的形状并加以证明．
【分析】（1）根据平行四边形的性质及平行线的性质得出 ，由 证 ，根
据全等三角形的性质即可得解；
（2）由全等三角形的性质得 ，再证四边形 是平行四边形，根据角平分线定义及平行线的
性质得出 ，则 ，即可判定平行四边形 是菱形．
【解答】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
由（1）可知， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
平分 ，
，
，，
，
，
平行四边形 是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握
菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
19．为了提高学生课外海量阅读，某中学开展了一系列课外阅读活动，组织七，八两个年级全体学生进行
课外阅读知识竞赛，学校从七，八两个年级中各随机抽取 名同学的竞赛成绩，并对他们的竞赛成绩进行
收集、整理、分析，过程如下：（调查数据用 表示，共分为四个等级： 等： ， 等：
， 等： ， 等： ，其中 等级为优秀，单位：分）
收集数据：
七年级抽取的 等学生人数是 等学生人数的3倍；
八年级抽取的 等学生成绩为：81，83，88，85，82，89，88，86，88
抽取七，八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀人数如表所示：
七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 86
众数 86 88
优秀人数 5
（1）根据以上信息，解答下列问题：
以上数据中： 2 0 ， ， ，并补全条形统计图；（2）根据以上数据，你认为该校七，八年级中哪个年级学生竞赛成绩更好？并说明理由（说明一条理由
即可）；
（3）若该校七，八年级共有1600人，估计两个年级学生的竞赛成绩被评为优秀的总人数是多少？
【分析】（1）用八年级 等级的人数除以扇形统计图中 的百分比可得 的值；根据中位数的定义可得
的值；由题意可得七年级抽取的 等学生人数是 人，则七年级抽取的 等学生人数是 人，可列方程为
，求出 的值即可；根据七年级抽取的 等和 等学生人数补全条形统计图即可．
（2）结合中位数的意义可得结论．
（3）根据用样本估计总体，用1600乘以样本中七、八年级 级的学生人数所占的百分比之和，即可得出
答案．
【解答】解：（1）由题意得， ．
由八年级抽取数据的扇形统计图知， 等级的人数为 （人 ，
将八年级的竞赛成绩按照从大大小的顺序排列，排在第10和11的是82，89，
．
由题意得，七年级抽取的 等学生人数是 人，则七年级抽取的 等学生人数是 人，
，
解得 ．
故答案为：20；85.5；2．
补全条形统计图如图所示．
（2）我认为七年级学生知识竞赛成绩更好．
理由：七年级学生知识竞赛成绩的中位数为86，大于八年级学生知识竞赛成绩的中位数85.5，
所以七年级学生知识竞赛成绩更好．（3） （人 ．
估计两个年级学生的竞赛成绩被评为优秀的总人数约280人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数、加权平均数、用样本估计总体，能够读懂统
计图，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．
20．某动物园在周年庆来临之际，推出 、 两种纪念章．已知每个 种纪念章的进价比每个 种纪念章
的进价多4元；购进6件 种纪念章和购进10件 种纪念章的费用相同，且 种纪念章售价为13元 个，
种纪念章售价为8元 个．
（1）每个 种纪念章和每个 种纪念章的进价分别是多少元？
（2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进 、 两种纪念章共400个，这400个
纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设每个 种纪念章的进价是 元，每个 种纪念章的进价是 元，根据“每个 种纪念章
的进价比每个 种纪念章的进价多4元；购进6件 种纪念章和购进10件 种纪念章的费用相同”，可列
出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进 个 种纪念章，则购进 个 种纪念章，利用进货总价 进货单价 进货数量，结
合进货总价不超过2800元，可列出关于 的一元一次不等式，解之可得出 的取值范围，设这400个纪
念章全部售出后，该园获得的总利润为 元，利用总利润 每个的销售利润 销售数量（购进数量），可
得出 关于 的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每个 种纪念章的进价是 元，每个 种纪念章的进价是 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：每个 种纪念章的进价是10元，每个 种纪念章的进价是6元；
（2）设购进 个 种纪念章，则购进 个 种纪念章，
根据题意得： ，
解得： ．
设这400个纪念章全部售出后，该园获得的总利润为 元，则 ，即 ，
，
随 的增大而增大，
当 时， 取得最大值，最大值 ，此时 ．
答：当购进100个 种纪念品，300个 种纪念品时，该园获利最大，最大利润是900元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出 关于 的函数关系
式．
21．如图，在 中， 、 分别是 、 的中点． ，延长 到点 ，使得 ，
连接 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积．
【分析】（1）由三角形中位线定理得 ，且 ，再证四边形 是平行四边形，然后由
菱形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得 ， ．再证 是等边三角形．得
．过点 作 于点 ．则 ．然后由勾股定理求出 的长，即可
解决问题．
【解答】（1）证明： 、 分别是 、 的中点，
是 的中位线，
，且 ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是菱形；（2）解： 四边形 是菱形，
，
．
是等边三角形．
．
过点 作 于点 ，
．
，
．
【点评】本题考查了菱形判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定
与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22．如图，四边形 是矩形，对角线 与 交于点 ．
（1）尺规作图：作 的角平分线，交 于点 ，交 于点 ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 ．
①求 的度数；
②求 的值．
【分析】（1）利用基本作图作 的平分线即可；
（2）①先根据矩形的性质得到 ， ，再证明 为等腰直角三角形得
到 ，证明 为等边三角形得到 ，然后计算 即可；②过 点作 于 点，如图，设 ，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到 ，
，利用等腰直角三角形的性质得到 ，然后计算 的值．
【解答】解：（1）如图， 为所作；
（2）① 四边形 为矩形，
， ，
，
，
平分 ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
为等边三角形，
，
；
②过 点作 于 点，如图，设 ，
为等边三角形，
，
， ，
，
，
，
．
【点评】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，将直线 沿 轴向上平移4个
单位与直线 交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求点 坐标；
（2）点 ，连接 ， ，求 的面积；
（3）点 为线段 上一点，点 为线段 延长线上一点，且 ，连接 交 轴于点 ，设点
的横坐标为 ，四边形 的面积为 ，求 与 的函数关系式．（不需求自变量的取值范围）
【分析】（1）依据平移的规律可得直线 ，再根据方程组的解即为交点坐标，即可得到点 的
坐标；
（2）利用割补法进行计算，即可得到 的面积；
（3）过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，判定 ，可得 ，
；再判定 ，可得 ；设 ，则 ，进
而得出 ，最后根据四边形 的面积 进行计算即可得出 与 的函数关系式．
【解答】解：（1）将直线 沿 轴向上平移4个单位可得 ，
解方程组 ，可得 ，
点 的坐标为 ；
（2）如图所示，直线 与 轴交于点 ，令 ，则 ；令 ，则 ，
点 的坐标为 ，直线 与 轴交于 ，
又 点 ，
；
（3）如图所示，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
在 中，令 ，则 ，
，
， ，
，
又 ， ，
，
， ，
，
又 ， ，，
，
设 ，则 ，
，
又 ， ，
四边形 的面积
，
即 与 的函数关系式为： ．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，割补法求三角形的面积以
及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，难点在于利用全等三角
形的对应边相等得到点 为 的中点．
24．已知在正方形 中，
（1）如图1，点 、 分别为 、 边上的动点，且 ，连接 、 交于点 ，点 为
正方形 对角线的交点．
①猜想线段 与 之间有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想，不需证明；
②下列结论：甲同学认为 的值不变；乙同学认为 的值不变，其中只有一个结论正确，请
选择正确的结论并求其值；
（2）如图2， 是等腰直角三角形， ，求证： ．【分析】（1）①根据正方形的性质和已知条件推出判定 的条件，然后根据全等三角形的
性质即可推出线段 与 之间的数量和位置关系；
②分别在线段 、 上截取 ，根据①中结论可知 ，同理证得四边形
的几个内角都是直角，判定四边形 是矩形，然后判定 ，推出 ，判定
矩形 是正方形，再根据正方形的性质可以推出 的值不变；
（2）将 绕点 逆时针旋转 至 ，根据旋转的性质推出 ，再推出 后判定
四边形 为平行四边形，推出 ，最后根据 是等腰直角三角形即可得证．
【解答】（1）解：① 四边形 是正方形，
， ，
又 ，
，
， ，
又 ，
，
，
，
综上， ， ；
②如图1，分别在边 、 上取点 、 ，使 ，交点分别为 、 、 、 ，连
接 ，
由①可得： ， ，
同理可证： ， ， ， ， ， ，
四边形 是矩形，， ， ，
，
， ，
同理可得： ， ，
，
矩形 为正方形，
点 为正方形 对角线的交点，
为正方形 对角线交点，
，
，
，
，
即 ；
（2）证明：如图2，将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ，
则 是等腰直角三角形，
， ，
由旋转可知： ，
又 ，，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的
判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
