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专题16.1 二次根式（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】二次根式
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，其中符号“ ”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开
方数.
特别提醒
1.被开方数a可以是一个具体的数，也可以是含有字母的代数式子.
2.二次根号是一种形式定义，即式子中必须含有“ ”.
3.形如 （a≥0）的式子也是二次根式，b与 是相乘的关系，要注意当b是假分数时不能写成
带分数，例如： 可以写成 ，但不能写成 .
【知识点二】使用二次根式有意义的条件
在二次根式 中，要求被开方数a必须满足条件a≥0，即被开方数是非负的，所以当a≥0时， 有
意义，当a＜0时， 无意义.
特别提醒
二次根式是初中阶段常见的三种非负数之一，这三种非负数分别是：
1. 一个实数的绝对值，即
2. 一个实数的偶次方（主要是二次方），即a²等.
3. 一个实数的算术平方根（即二次根号）.
【知识点三】二次根式的性质
性质 文字语言 应用
一个非负数的算术平方根
是非负数
一个非负数的算术平方根
的平方等于这个数的本身一个数的平方的算术平方
根等于这个数的绝对值
【考点目录】
【考点1】二次根式有意义的条件； 【考点2】二次根式➼求值（参数）；
【考点3】二次根式性质➼求值与化简；【考点4】复合二次根式➼求值与化简；
【考点一】二次根式有意义的条件
【例1】（2022下·八年级课时练习）求下列二次根式中字母a的取值范围．
（1） ． （2） ． （3） ． （4） ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）a可取任何实数；（4）
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解即可；
（2）根据二次根式有意义的条件求解即可；
（3）根据二次根式有意义的条件和平方的非负性求解即可；
（4）根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件求解即可．
解：（1）∵ 有意义，
∴ ，
解得： ；
（2）∵ 有意义，
∴ ，
解得： ；
（3）∵ 有意义，∴ ．
∵ ，
∴ ，必成立，
∴a可取任何实数；
（4）∵ 有意义，
∴ ，且
解得： ．
【点拨】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．掌握被开方数为非负数是解题关键．
【变式1】（2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）如果 有意义，那么 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；
根据二次根式有意义，被开方数非负，分式有意义分母不为零得出不等式组，求解即可．
解：如果 有意义，那么 且 ，
解得： ，
故选：B．
【变式2】（2024上·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）若实数 满足
，则 的立方根为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及立方根，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的
被开方数是非负数，得到 的值，再计算 的立方根即可．
解：∵根据二次根式有意义的条件，得：
解得， ；
∴代入原式 ，∴ ，
∴ 的立方根为 ．
故答案： ．
【考点二】二次根式➼求值（参数）
【例2】（2020下·江苏南通·七年级校联考阶段练习）已知 满足 ，求
的平方根．
【答案】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可以列出关于a的不等式组，解出a的值，舍去分母为
0的值后，代入 的表达式，求出 值，然后将 代入所求式子化简整理即可．
解：由题意得
∴
∴
∴
∴
∵2的平方根为
∴
【点拨】本题考查了二次根式的被开方数是非负数，列不等式组求解的问题，解不等式注意要验证取
值是否符合题意，求平方根时注意平方根有两个．
【变式1】（2023上·贵州贵阳·九年级统考期中）已知 ，则以下对 的估算正确的是
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握二次根式的性质化简，二次根式大小的估算方法是解题的
关键．根据 ，即可求解．
解：∵ ，即 ，
∴ ，即 ，
故选： ．
【变式2】（2023上·甘肃天水·九年级校考阶段练习）计算：如果 ，那么
； ．
【答案】 5
【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即 ．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：5， ．
【点拨】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知 是解题的关键．
【考点三】二次根式性质➼求值与化简
【例3】（2023上·四川成都·八年级校联考期中）计算：（1）计算： ．
（2）计算：
【答案】（1）0；（2）
【分析】本题考查了实数的混合运算，
（1）先算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再计算加减；
（2）先化简二次根式和利用平方差公式去括号，再计算加减；
熟练掌握各个运算法则和平方差公式是解题的关键．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
【变式1】（2022下·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）若 ，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答．
解：∵ ，
∴ ，
∴-2 ．
故选A．
【点拨】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键．
【变式2】（2022下·八年级课时练习）已知关于x的方程 有实数解，那么m的取值范
围是 ．
【答案】 /【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．
解：∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点拨】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点．
【考点四】复合二次根式➼求值与化简
【例4】（2023上·甘肃兰州·八年级兰州十一中校考期中）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 ．经过思考
①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：
① ; ②
【答案】（1）④， ；（2）① ；②
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性
质进行化简是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质 即可求解；
（2）根据（1）中的材料化简即可．（1）解： ①，
②，
③，
④，
在上述化简过程中，第 ④步出现了错误，
故答案为：④， ；
（2）解：①原式
；
②原式
．
【变式1】（2023下·安徽芜湖·八年级校考阶段练习）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】注意到 ，故可将原式化为 ，然后探寻 ，进
而得解．解：
；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到 是解题的关键.
【变式2】（2023上·河南南阳·九年级校考阶段练习）实数 在数轴上的位置如图，化简
．
【答案】 /
【分析】本题考查利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴可得： ，从而得
到 ， ，再利用二次根式的性质进行化简即可，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键．
解：由数轴可得： ，
， ，
，
故答案为：．
