专题16.1二次根式的化简求值（压轴题专项讲练）（人教版）（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_压轴题专项-V5_2024版

专题 16.1 二次根式的化简求值 ◆ 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的 联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未 知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解 决。 ◆ 知识点总 结 一、二次根式的定义 形如❑√a（a≥0）的式子叫做二次根式，❑√❑叫做二次根号，a叫做被开方数. 二、二次根式有意义的条件 1.二次根式中的被开方数是非负数； 2.二次根式具有非负性：❑√a≥0. 三、判断二次根式有意义的条件 1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是 非负数； 2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 四、二次根式的性质 性质1：(❑√a) 2 =a（a≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； { a（a≥0） 性质2：❑√a2=|a|= ，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. −a（a<0） 五、同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． ①同类二次根式类似于整式中的同类项； ②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同； ③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相 同．六、二次根式的加减法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合 并方法为系数相加减，根式不变． 七、二次根式的乘除法则 ①二次根式的乘法法则：❑√a∙❑√b=❑√a∙b(a≥0,b≥0)； ②积的算术平方根：❑√a∙b=❑√a∙❑√b(a≥0,b≥0)； ❑√a √a ③二次根式的除法法则： =❑ (a≥0,b>0)； ❑√b b √a ❑√a ④商的算术平方根：❑ = (a≥0,b>0). b ❑√b 八、最简二次根式 我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式， 叫做最简二次根式． 九、分母有理化 1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母 组成平方差公式； 2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个． ◆ 典例分析 【典例1】阅读下列材料，然后回答问题． 2 ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化 ❑√3+1 2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 2(❑√3−1) 简： = = = = ❑√3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理 ❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −1 2 化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比 如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求a2+b2．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令xab ， y  ab ，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10．这样，我们不用求出a，b，就可以得 到最后的结果． 1 1 1 1 （1）计算： + + + ...+ ； ❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017 ❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m （2）m 是正整数， a  ，b  且2a2+1823ab+2b2=2019．求 m． ❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m （3）已知❑√15+x2−❑√26−x2=1，求❑√15+x2+❑√26−x2的值． 【思路点拨】 （1）由题目所给出的规律进行计算即可； （2）先求出a+b=2(2m+1),ab=1再由2a2+1823ab+2b2=2019进行变形再求值即可； （ 3 ） 先 得 到 ❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20， 然 后 可 得 (❑√15+x2+❑√26−x2 ) 2 =(❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 +4❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=81， 最 后 由 ❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0，求出结果． 【解题过程】 ❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2019−❑√2017 解：（1）原式= + + +⋯+ 2 2 2 2 ❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2019−❑√2017 = 2 ❑√2019−1 = ， 2 ❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m （2）∵a  ，b  ， ❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m (❑√m+1−❑√m) 2+(❑√m+1+❑√m) 2 ∴a+b= =2(2m+1),ab=1， (❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m) ∵2a2+1823ab+2b2=2019，∴2(a2+b2 )+1823=2019， ∴a2+b2=98， ∴4(2m+1) 2=100， ∴2m=±5−1， ∵m 是正整数， ∴m=2． （3）由❑√15+x2−❑√26−x2=1得出(❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 =1， ∴❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=20， ∵(❑√15+x2+❑√26−x2 ) 2 =(❑√15+x2−❑√26−x2 ) 2 +4❑√15+x2 ⋅❑√26−x2=81， 又∵❑√15+x2≥0,❑√26−x2≥0， ∴❑√15+x2+❑√26−x2=9． ◆ 学霸必刷 1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3，则代数式❑√x2+2xy+ y2+x−y−4 的值为（ ） ❑√3 3 ❑√5−1 A． B． C．❑√3−1 D． 2 4 2 【思路点拨】 根据已知，得到x+ y=❑√2−❑√3+❑√2+❑√3=2❑√2,x−y=❑√2−❑√3−❑√2−❑√3=−2❑√3，整体思想带入求 值即可． 【解题过程】 解：∵x=❑√2−❑√3,y=❑√2+❑√3， ∴x+ y=❑√2−❑√3+❑√2+❑√3=2❑√2,x−y=❑√2−❑√3−❑√2−❑√3=−2❑√3， ∴ ❑√x2+2xy+ y2+x−y−4=❑√(x+ y) 2+(x−y)−4=❑√(2❑√2) 2 −2❑√3−4 =❑√8−2❑√3−4 =❑√4−2❑√3 =❑√(❑√3) 2 −2❑√3+1 =❑√(❑√3−1) 2 =❑√3−1． 故选C． 1 1 2．（2022下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知x+ =7(00，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得． a a 【解题过程】 解：∵a=❑√5−2， 1 1 ❑√5+2 ， ∴ = = =❑√5+2 a ❑√5−2 (❑√5+2)(❑√5−2) 1 ∴ −a=❑√5+2−(❑√5−2)=4>0， a ∴ 1 +❑ √ 1 +a2−2= 1 +❑ √ (1 −a ) 2 a a2 a a 1 (1 ) = + −a a a =❑√5+2+4 =❑√5+6． 故答案为：❑√5+6．5−❑√17 ❑√17−3 8．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知x= ，y= ，则4x2−3xy+4 y2= ❑√17−3 5−❑√17 ． 【思路点拨】 ❑√17−1 ❑√17+1 1 先把x和y的值分母有理化得到x= ，y= ，则x−y=− ，xy=1，再利用完全平方公式变 4 4 2 形原式得到 ，然后利用整体代入的方法计算． 4(x−y) 2+5xy 【解题过程】 5−❑√17 ❑√17−3 解：∵x= ，y= ， ❑√17−3 5−❑√17 (5−❑√17)(❑√17+3) ❑√17−1， (❑√17−3)(5+❑√17) ❑√17+1， ∴x= = y= = (❑√17−3)(❑√17+3) 4 (5−❑√17)(5+❑√17) 4 1 ∴x−y=− ，xy=1， 2 原式 ∴ =4(x−y) 2+5xy 1 2 =4×(− ) +5×1 2 =6． 故答案为6． 9．（2022下·浙江杭州·八年级校考期中）已知 1 ，那么√ x √ x 的值等于 ❑√x+ =2 ❑ −❑ ❑√x x2+3x+1 x2+9x+1 ． 【思路点拨】 1 1 通过完全平方公式求出x+ =2，把待求式的被开方数都用x+ 的代数式表示，然后再进行计算． x x 【解题过程】 1 解：∵❑√x+ =2， ❑√x ∴( 1 ) 2 ， ❑√x+ =4 ❑√x1 ∴x+ +2=4 x 1 ∴ x+ =2， x ∴√ x √ x ❑ −❑ x2+3x+1 x2+9x+1 √ 1 √ 1 = − ❑ 1 ❑ 1 x+3+ x+9+ x x √ 1 √ 1 =❑ −❑ 2+3 2+9 ❑√5 ❑√11 = − ． 5 11 ❑√5 ❑√11 故答案为： − ． 5 11 10．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数， x❑√y+ y❑√x−❑√7x−❑√7 y+❑√7xy=7，求x+ y= ． 【思路点拨】 将等式进行因式分解，得到 ，求得 ，即可求解． (❑√x+❑√y+❑√7)(❑√xy−❑√7)=0 xy=7 【解题过程】 解：∵x❑√y+ y❑√x−❑√7x−❑√7 y+❑√7xy=7， ∴x❑√y+ y❑√x−❑√7x−❑√7 y+❑√7xy−7=0， ， ∴❑√xy(❑√x+❑√y)−❑√7(❑√x+❑√y)+❑√7(❑√xy−❑√7)=0 ， ∴(❑√x+❑√y)(❑√xy−❑√7)+❑√7(❑√xy−❑√7)=0 ， ∴(❑√x+❑√y+❑√7)(❑√xy−❑√7)=0 ∵❑√x+❑√y+❑√7>0， ∴❑√xy−❑√7=0， ∴xy=7， 又x，y为正整数，则(x,y)=(1,7)或(7,1)， 从而x+ y=8，故答案为：8． 11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设x=❑√3−2，则x6+3x5+11x3+2x+1= ． 【思路点拨】 利用 和 ，推得 ，借助该式将多项式进行降幂化简，即可求解． (x+2) 2=x2+4x+4 x=❑√3−2 x2+4x+1=0 【解题过程】 解：∵x=❑√3−2， ∴ ， (x+2) 2=(❑√3−2+2) 2=3 又∵ ， (x+2) 2=x2+4x+4 即x2+4x+4=3， 整理得x2+4x+1=0， x6+3x5+11x3+2x+1 =x4(x2+4x+1)+3x5+11x3+2x+1−4x5−x4 =−x5−x4+11x3+2x+1 =−x3(x2+4x+1)−x4+11x3+2x+1+4x4+x3 =3x4+12x3+2x+1 =3x2(x2+4x+1)+2x+1−3x2 =−3x2+2x+1 =−3(x2+4x+1)+2x+1+12x+3 =14x+4， 将 代入原式可得 ． x=❑√3−2 14×(❑√3−2)+4=14❑√3−24 故答案为：14❑√3−24． 3+❑√5 12．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知x= ，则代数式2x3−3x2−7x+2022的值为 2 ． 【思路点拨】3+❑√5 将已知条件x= 变形得，x2−3x=−1，再将所求代数式变形为2x3−6x2+3x2−7x+2022，由此 2 即可求解． 【解题过程】 3+❑√5 解：已知x= ， 2 ∴2x=3+❑√5，即2x−3=❑√5， 等式两边同时平方得， ，整理得， ，即 ， (2x−3) 2=(❑√5) 2 4x2−12x+9=5 4x2−12x=−4 ∴x2−3x=−1， ∵2x3−3x2−7x+2022 =2x(x2−3x)+3x2−7x+20022 把x2−3x=−1代入得， =2x×(−1)+3x2−7x+2022 =3x2−2x−7x+2022 =3x2−9x+2022 =3(x2−3x)+2022 把x2−3x=−1代入得， =3×(−1)+2022 =2019， 故答案为：2019． 13．（2022上·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值： x−y x+ y+2❑√xy 1 + ，其中x=3,y= . ❑√x−❑√y ❑√x+❑√y 3 【思路点拨】 首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类 二次根式即可化简，然后代入数值计算即可． 【解题过程】 解：原式 (❑√x−❑√y)(❑√x+❑√y) (❑√x+❑√y) 2 = + ❑√x−❑√y ❑√x+❑√y=❑√x+❑√y+❑√x+❑√y =2❑√x+2❑√y 1 当x=3,y= 时， 3 √1 原式=2❑√3+2❑ 3 2 =2❑√3+ ❑√3 3 8 = ❑√3． 3 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 x y 14．（2023·北京·九年级专题练习）已知x= ，y= ，求 + 的值． ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 y2 x2 【思路点拨】 首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可． 【解题过程】 解：∵ ❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)(❑√3−❑√2) ， ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3+❑√2) ， x= = =5−2❑√6 y= = =5+2❑√6 ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) ❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) ∴原式 5−2❑√6 5+2❑√6 = + (5+2❑√6) 2 (5−2❑√6) 2 5−2❑√6 5+2❑√6 = + 49+20❑√6 49−20❑√6 (5−2❑√6)(49−20❑√6) (5+2❑√6)(49+20❑√6) = + (49+20❑√6)(49−20❑√6) (49−20❑√6)(49+20❑√6) =245−100❑√6−98❑√6+240+245+100❑√6+98❑√6+240 =970． √b √a 15．（2023下·山东威海·九年级校考期中）已知a+b=−8，ab=12，求b❑ +a❑ 的值． a b 【思路点拨】 根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即 可． 【解题过程】 解：∵a+b=−8，ab=12，∴a和b均为负数， a2+b2=(a+b) 2−2ab=40 √b √a b❑ +a❑ a b √ b2 √ a2 =b❑ +a❑ ab ab ❑√b2 ❑√a2 =b +a ❑√ab ❑√ab b❑√b2+a❑√a2 = ❑√ab b(−b)+a(−a) = ❑√ab −b2−a2 = ❑√ab −(a2+b2) = ❑√ab −40 = ❑√12 −40❑√12 = 12 −40×2❑√3 = 12 −20❑√3 = 3 a+❑√ab+2b 16．（2023上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知a−2❑√ab−15b=0，求 的值． a−2❑√ab+b 【思路点拨】 讨论：当 ， ，利用因式分解的方法得到 ，解得 ，当 ， a>0 b>0 (❑√a−5❑√b)(❑√a+3❑√b)=0 a=25b a<0 b<0 a+❑√ab+2b ，则−[(❑√−a+5❑√−b)(❑√−a−3❑√−b))=0，解得a=9b，然后把a=25b，a=9b代入 中进 a−2❑√ab+b行分式的化简求解． 【解题过程】 解： ∵ a−2❑√ab−15b=0要有意义，即ab≥0， ∴ a>0且b>0或a<0且b<0， 当a>0且b>0时， ， ∵a−2❑√ab−15b=(❑√a−5❑√b)(❑√a+3❑√b)=0 ∴❑√a−5❑√b=0或❑√a+3❑√b=0（舍去）， 解得：a=25b， a+❑√ab+2b a+❑√ab+2b 25b+5b+2b 把a=25b代入 得： = =2； a−2❑√ab+b a−2❑√ab+b 25b−10b+b 当a<0且b<0时， ， ∵a−2❑√ab−15b=−[(❑√−a+5❑√−b)(❑√−a−3❑√−b))=0 ∴❑√−a+5❑√−b=0（舍去）或❑√−a−3❑√−b=0， 解得：a=9b， 把 代入a+❑√ab+2b得：a+❑√ab+2b 9b+3❑√b2+2b 9b−3b+2b 1． a=9b = = = a−2❑√ab+b a−2❑√ab+b 9b−6❑√b2+b 9b+6b+b 2 1 1 17．（2023上·四川成都·八年级成都市三原外国语学校校考阶段练习）已知x= ，y= ． ❑√10−3 ❑√10+3 （1）求x2+2xy+ y2的值． （2）求❑√(x2−4x+4) ❑√(y2+2y+1)值． − x(x−2) y(y+1) 【思路点拨】 （1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得； （2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可． 【解题过程】 1 （1）∵x= =❑√10+3， ❑√10−3 1 y= =❑√10−3， ❑√10+3 ∴x+ y=2❑√10，x−y=6，． ∴x2+2xy+ y2=(x+ y) 2=(2❑√10) 2=40 （2）∵x=❑√10+3，y=❑√10−3， ∴x−2>0，y+1>0， ❑√(x2−4x+4) ❑√(y2+2y+1) ∴ − x(x−2) y(y+1) x−2 y+1 = − x(x−2) y(y+1) 1 1 = − x y 1 1 = − ❑√10+3 ❑√10−3 =❑√10−3−❑√10−3 =−6． 18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知x=2−❑√3，y=2+❑√3． （1）求x+ y和xy的值； （2）求x2+ y2−3xy的值； （3）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵 活运用是解此题的关键． （1）代入x=2−❑√3，y=2+❑√3即可求出x+ y和xy的值； （2）将原式变形为 ，代入数值进行计算即可； (x+ y) 2−5xy （3）先估算出1<❑√3<2，从而得出a=2−❑√3，b=3，再代入进行计算即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：∵x=2−❑√3，y=2+❑√3， ， ； ∴x+ y=2−❑√3+2+❑√3=4 xy=(2−❑√3)(2+❑√3)=4−3=1 （2）解：由（1）得：x+ y=4，xy=1， ∴x2+ y2−3xy=(x+ y) 2−5xy=42−5×1=11 （3）解：∵1<3<4，∴❑√1<❑√3<❑√4，即1<❑√3<2， ∴−2<−❑√3<−1， ∴0<2−❑√3<1， ∵ x的小数部分是a， ∴a=2−❑√3， ∵3<2+❑√3<4，y的整数部分是b， ∴b=3， ． ∴ax−by=(2−❑√3)(2−❑√3)−3(2+❑√3)=4−4❑√3+3−6−3❑√3=1−7❑√3 19．（2023下·广东江门·八年级统考期中）有这样一类题目：将❑√a±2❑√b化简，如果你能找到两个数m、 n，使 且 ， 将变成 ，即变成 ，从而使 得以化 m2+n2=a mn=❑√b a±2❑√b m2+n2±2mn (m±n) 2 ❑√a±2❑√b 简． （1）例如，∵ ， 5+2❑√6=3+2+2❑√6=(❑√3) 2+(❑√2) 2+2❑√2×❑√3=(❑√3+❑√2) 2 ∴ ______，请完成填空． ❑√5+2❑√6=❑√ (❑√3+❑√2) 2= （2）仿照上面的例子，请化简❑√4−2❑√3； （3）利用上面的方法，设A=❑√6+4❑√2，B=❑√3−❑√5，求A＋B的值． 【思路点拨】 { a(a>0) ) （1）根据二次根式的性质：❑√a2=|a)= 0(a=0) ，即可得出相应结果． −a(a<0) （2）根据（1）中“ ”，将代数式转化为 5+2❑√6=3+2+2❑√6=(❑√3) 2+(❑√2) 2+2❑√2×❑√3=(❑√3+❑√2) 2 完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果． （3）根据题意，首先把A式和B式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A式 和B式的结果分别算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值． 【解题过程】 （1）∵ 5+2❑√6=2+3+2❑√6=(❑√2) 2+(❑√3) 2+2×❑√2×❑√3=(❑√2+❑√3) 2 ∴ ❑√5+2❑√6=❑√ (❑√3+❑√2) 2=❑√3+❑√2故答案为：❑√3+❑√2 （2）∵ 4−2❑√3=3+1−2❑√3=(❑√3) 2+1−2❑√3=(❑√3−1) 2 ∴ ． ❑√4−2❑√3=❑√ (❑√3−1) 2=❑√3−1 （3）∵ A=6+4❑√2=4+2+4❑√2=(❑√4) 2+(❑√2) 2+2×❑√4×❑√2=(2+❑√2) 2 ∴A=❑√6+4❑√2=2+❑√2 ∵ 6−2❑√5 5+1−2❑√5 (❑√5) 2+12−2×1×❑√5 (❑√5−1) 2 B=3−❑√5= = = = 2 2 2 2 ∴ √(❑√5−1) 2 ❑√5−1 ❑√10−❑√2 1 1 B=❑√3−❑√5=❑ = = = ❑√10− ❑√2 2 ❑√2 2 2 2 ∴把A式和B式的值代入A＋B中，得： 1 1 1 ❑√2 A+B=2+❑√2+ ❑√10− ❑√2=2+ ❑√10+ 2 2 2 2 20．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）我们将 、 称为一对“对偶式”，因为 (❑√a+❑√b) (❑√a−❑√b) ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将 和 (❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2 −(❑√b) 2=a−b (❑√a+❑√b) 1 ❑√3 ❑√3 (❑√a−❑√b)中的“❑√❑”去掉于是二次根式除法可以这样解：如 = = ， ❑√3 ❑√3×❑√3 3 2+❑√2 (2+❑√2) 2 像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或 = =3+2❑√2. 2−❑√2 (2−❑√2)×(2+❑√2) 把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： 1 1 （1）比较大小 _____ 用“>”、“<”或“=”填空)； ❑√7−2 ❑√6−❑√3 ❑√5+2 ❑√5−2 x−y （2）已知x= ，y= ，求 的值； ❑√5−2 ❑√5+2 x2y+x y2 2 2 2 2 （3）计算： + + +…+ 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99 【思路点拨】（1）先分母有理化，然后根据作差法，比较大小即可求解； （2）先求得x−y,xy的值，然后代入即可求解； （3）将每一项分母有理化，然后就根据二次根式的加减进行计算即可求解． 【解题过程】 （1） 1 ❑√7+2 ❑√7+2， 1 ❑√6+❑√3 ❑√6+❑√3 = = = = ❑√7−2 (❑√7−2)(❑√7+2) 3 ❑√6−❑√3 (❑√6−❑√3)(❑√6+❑√3) 3 ∵❑√7>❑√6,2>❑√3 ❑√7+2 ❑√6+❑√3 1 ∴ − = [(❑√7−❑√6)+(2−❑√3))>0, 3 3 3 1 1 ∴ > ， ❑√7−2 ❑√6−❑√3 故答案为：>． （2） ❑√5+2 (❑√5+2) 2 ， ∵x= = =5+4❑√5+4=9+4❑√5 ❑√5−2 (❑√5+2)(❑√5−2) ❑√5−2 (❑√5−2) 2 ， y= = =5−4❑√5+4=9−4❑√5 ❑√5+2 (❑√5+2)(❑√5−2) ∴x+ y=9+4❑√5+9−4❑√5=18， x−y=9+4❑√5+−9+4❑√5=8❑√5， ， xy=(9+4❑√5)(9−4❑√5)=81−80=1 x−y x−y 8❑√5 4❑√5 ∴ = = = ； x2y+x y2 xy(x+ y) 1×18 9 2 2 2 2 （3） + + +⋯+ 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99 2(3−❑√3) 2(5❑√3−3❑√5) ❑√97+97❑√99 2(99❑√97−97❑√99) = + + +⋯+ (3+❑√3)(3−❑√3) (5❑√3+3❑√5)(5❑√3−3❑√5) (7❑√5+5❑√7)(7❑√5−5❑√7) (99❑√97+97❑√99)(99❑√97−97❑√99) ❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√97 ❑√99 =1− + − + − +⋯+ − 3 3 5 5 7 97 99