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第 01 讲 分式
课程标准 学习目标
①分式的概念 1. 掌握分式的概念，能够熟练的判断分式。
②分式有（无）意义的条件 2. 掌握分式有意义的条件，并能熟练应用其解决相应问题。
③分式值为0的条件 3. 掌握分式值为0的条件，并能够根据条件熟练求值。
知识点01 分式的概念
1. 分式的概念：
一般地，若A与B均是 整式 且B中含有 字母 ，那么式子 叫做分式。其中A叫做分子，
B叫做分母。
2. 分式满足的三个条件：
①式子一定是 的形式；
②A与B一定是整式；
③B中一定含有字母。
简单理解：分母中含有 字母 的式子就是分式。【即学即练1】
1．在代数式 中，分式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此进行判断即
可．
【解答】解：代数式 ， 是分式，共2个，
故选：B．
知识点02 分式有（无）意义的条件
1. 分式有意义的条件：
即要求分式的分母不能为 0 。即 中， B 不为0。若分母能够进行因式分解，现将分母进
行因式分解，让每一个因式都不为0。
【即学即练1】
2．若分式 有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a≥3
【分析】根据分式有意义条件（分式分母不为零）建立不等式求解，即可解题．
【解答】解：∵分式 有意义，
∴a﹣3≠0，解得a≠3，
故选：B．
【即学即练2】
3．若使分式 有意义，则字母x应满足的条件是（ ）
A．x＝3或x＝﹣3 B．x≠3且x≠﹣3 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】根据分式有意义分母不为零可得x2﹣9≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣9≠0，
解得：x≠±3，
故选：B．
知识点03 分式值为0的条件
1. 分式的值为0的条件：
分式的值为0的条件为要求分子必须为 0 ，同时要求分母不为 0 。即 中，A ＝ 0，B ≠ 0。
对能分解因式的分子分母进行因式分解，让分子里面的所有因式的值等于0，让分母里面所有因式的
值不等于0。
【即学即练1】
4．当分式 的值为0时，x的值为 ﹣ 1 ．
【分析】根据分式值为0的条件求解即可．
【解答】解：根据题意，
∵分式 的值为0，
∴根据分式值为零的条件得，x+1＝0且2x﹣3≠0，
解得：x＝﹣1．
所以x的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【即学即练2】
5．若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0
【分析】分式的值为零，分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：依题意，得
x2﹣4＝0，且x+2≠0，
解得，x＝2．
故选：B．
【即学即练3】
6．已知分式 的值为0，则x＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0
【分析】根据分式的值为0的条件列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，|x|﹣1＝0且1﹣x≠0，
解得x＝﹣1．
故选：B．
【即学即练4】
7．已知x＝2y，则分式 的值为（ ）A． B． C． D．
【分析】把x＝2y代入分式，化简得结论．
【解答】解：当x＝2y时，
＝
＝
＝ ．
故选：D．
【即学即练5】
8．若分式 的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A．x为任意数 B．x＜ C．x＞ D．x＜﹣
【分析】两数相除，异号得负，而分母恒为正，只需分子是负数即可，列出不等式求解即可．
【解答】解：∵x2+4＞0，分式的值为负数，
∴2x﹣5＜0，
∴x＜ ．
故选：B．
题型01 判断分式
【典例1】下列代数式中，是分式的是（ ）
A． B．2x C．2+x D．x﹣2
【分析】根据分式的定义进行判断即可．
【解答】解：A．是分式，符合题意；
B．是整式，不符合题意；
C．是整式，不符合题意；
D．是整式，不符合题意；
故选：A．【变式1】在 ， ， ，x2+5x， ， 中，分式的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】 是常数，所以 不是分式，是整式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有
字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
π
【解答】解：在 ， ， ，x2+5x， ， 中，
分式有 ， 共2个， ， ，x2+5x， 是整式，
故选：A．
【变式2】在 ， ， ， ， ， 中，分式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分
式．
【解答】解：在代数式中，分式有 ，共有3个．
故选：B．
【变式3】下列各式 ， ， ， ， ， ， ， 中，分式共有（
）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据分式的定义，形如 ，B中含有字母且B≠0，判断即可．
【解答】解：在 ， ， ， ， ， ， ， 中，
分式有 ， ， ， ， ， 共6个，
故选：B．
题型02 根据分式有意义的条件求值
【典例1】若分式 有意义，则x的取值范围是 x ≠ 2 ．
【分析】根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．
【解答】解：由题可知，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【变式1】下列各式中，不论x取何值分式都有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．无论x取何值，2x2+1＞0，分式都有意义，故本选项符合题意；
B．x＝﹣ 时，2x+1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
C．x＝ 时，3x﹣1＝0，分式无意义，故本选项不符合题意；
D．x＝0时，2x2＝0，分式无意义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式2】要使分式 无意义，则x的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣1或1 D．0
【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
【解答】解：由分式 无意义，得
x2﹣1＝0，
解得x＝±1，
故选：C．
【变式3】若分式 有意义，则x的值为（ ）
A．x≠±3 B．x≠﹣3 C．x≠3 D．x≥﹣3且x≠3
【分析】根据分母不为零的条件是解题的关键．
【解答】解：由题可知，
|x|﹣3≠0，
解得x≠±3．
故选：A．
【变式4】x取何值时，下列分式有意义：
（1） （2） （3） ．
【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；
（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：（1）要使 有意义，
得2x﹣3≠0．
解得x≠ ，
当x≠ 时， 有意义；
（2）要使 有意义，得
|x|﹣12≠0．
解得x≠±12，
当x≠±12时， 有意义；
（3）要使 有意义，得
x2+1≠0．
x为任意实数， 有意义．
题型03 根据分式值为0的条件求值
【典例1】若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．±2 B．0或2 C．0 D．﹣2
【分析】根据分式值为零的条件是分子为零，分母不为零进行求解即可．
【解答】解：∵分式 的值为0，
∴ ，
解得x＝0，
故选：C．
【变式1】若分式 的值等于0，则x的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．±6 D．3
【分析】根据分式的值为0的条件得出|x﹣6|＝0且x﹣6≠0，即可得出答案．【解答】解：根据题意，|x﹣6|＝0且x﹣6≠0，
解得x＝﹣6，
故选：B．
【变式2】若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．0 D．﹣3或0
【分析】直接利用分式的值为零的条件进而分析得出答案．
【解答】解：∵分式 的值为0，
∴ ，
解得x＝0，
故选：C．
【变式3】若 ＝0，则ab的平方根．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．依据分式的值为 0的条件，即可得到a，b
的值，进而得出ab的平方根．
【解答】解：由题可得，|16﹣a2|+ ＝0，且a+4≠0，
即16﹣a2＝0，a+4b＝0，a≠﹣4，
解得a＝4，b＝﹣1，
∴ab＝ ，
∴ab的平方根为± ．
【变式4】当x为何值时，分式 的值为零？
【分析】分式值为零，按照分子为零且分母不为零求解即可．
【解答】解：∵ 的值为零，
∴|x|﹣2＝0且x2+5x+6≠0，
解得：x＝±2，
当x＝2时，x2+5x+6＝20≠0，
当x＝﹣2时，x2+5x+6＝0，故舍去．
综上：x＝2．题型04 求分式的值
【典例1】当x＝﹣2时，分式 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：当x＝﹣2时，原式＝ ＝3．
故选：A．
【变式1】已知非零有理数x，y满足x﹣3y＝0，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意得到x＝3y，代入分式化简求解即可．
【解答】解：根据条件可知：x＝3y，
∴原式＝ ＝ ，
故选：C．
【变式2】若1＜x＜2，则 的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1
【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0，
∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1，
故选：D．
【变式3】若分式 的值是负整数，则m的值可能为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】先化简原分式为m﹣1，再根据分式的值为负整数得到m是m＜1且m≠﹣1的整数，进而根据
选项中的数可求解．
【解答】解：∵分式 的值是负整数，
∴m＜1且m≠﹣1的整数，
选项B中的数符合题意，选项A、C、D中的数不符合题意，
故选：B．
【变式4】若 的值为正数，则x的值为（ ）A．x＜﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x＞1
【分析】依题意得到关于x的不等式 ＞0，即 ＞0，由非负数的性质得到x+2＞0且x
﹣1≠0，由此可以求得x的值．
【解答】解：依题意，得
＞0，即 ＞0，
所以，x+2＞0且x﹣1≠0，
解得x＞﹣2且x≠1．
故选：C．
【变式5】已知a﹣b﹣1＝0，求代数式 的值．
【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可．
【解答】解：∵a﹣b﹣1＝0，
∴a﹣b＝1，
＝
＝
＝
＝
＝
＝3．
1．下列各式： 中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分
式．【解答】解： 是分式，共4个．
故选：D．
2．已知x＝﹣2时，分式 无意义，则□可以是（ ）
A．2﹣x B．x﹣2 C．2x+4 D．x+4
【分析】当x＝﹣2时分式无意义，可知分母□的值应为0，再分别求出各选项的值即可得出答案．
【解答】解：当x＝﹣2时分式无意义，
所以分母□的值应为0，
当x＝﹣2时，2﹣x＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4≠0，A选项不符合题意；
x﹣2＝﹣2﹣2＝﹣4≠0，B选项不符合题意；
2x+4＝2×（﹣2）+4＝﹣4+4＝0，C选项符合题意；
x+4＝﹣2+4＝2≠0，D选项不符合题意；
故选：C．
3．若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式 的值为零，
∴ ，解得x＝﹣1．
故选：C．
4．分式 中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零
B．分式无意义
C．若a≠﹣ 时，分式的值为零
D．若a≠ 时，分式的值为零
【分析】当x＝﹣a时，分式的分子是0即分式的值是0，但前提是只有在保证分式的分母不为0时，分
式才有意义．
【解答】解：由3x﹣1≠0，得x≠ ，
故把x＝﹣a代入分式 中，当x＝﹣a且﹣a≠ 时，即a≠﹣ 时，分式的值为零．故选：C．
5．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 * * 无意义 * …
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件、分式为0的条件解答．
【解答】解：∵当x＝1时，分式无意义，
∴分式的分母可能是x﹣1，
∵当x＝﹣2时，分式为0，
∴分式的分母可能是x+2，
∴分式可能是 ，
故选：C．
6．要使得分式 有意义，则x满足的条件是（ ）
A．x≠﹣1 B．x≠±1 C．x≠0 D．x≠1
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
|x|﹣1≠0，
即x≠±1．
故选：B．
7．无论a取何值，下列分式总有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零进行分析即可．
【解答】解：A、当a＝0时，分式 无意义，故此选项错误；
B、无论a为何值，分式 都有意义，故此选项正确；
C、当a＝±1时，分式 无意义，故此选项错误；
D、当a＝﹣1时，分式 无意义，故此选项错误；
故选：B．8．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．0或1或2 B．0或﹣2或2 C．0或1 D．0或﹣2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案．
【解答】解：∵ 的值为0，
∴x（x﹣1）（x﹣2）＝0且x2﹣4≠0，
解得：x＝0或x＝1．
故选：C．
9．已知5a＝2b＝10，则代数式 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】分别将5a＝10和2b＝10的两边b次方、a次方，得5ab＝10b和2ab＝10a，将这两个等式的左边
和右边分别相乘，得5ab•2ab＝10ab＝10a+b，从而得到a+b＝ab，计算 即可．
【解答】解：∵5a＝2b＝10，
∴（5a）b＝5ab＝10b，（2b）a＝2ab＝10a，
∴5ab•2ab＝10ab＝10a+b，
∴a+b＝ab，
∴ ＝1．
故选：C．
10．若a为正数，且|a|＜1，则 的值（ ）
A．等于1 B．大于﹣1，且小于0
C．大于1 D．大于0，且小于1
【分析】根据题意求出a的取值范围是0＜x＜1，再分别去|1﹣a|和1+|a|的绝对值，最后计算即可得出结
果．
【解答】解：∵a为正数，且|a|＜1，
∴0＜x＜1，
∴|1﹣a|＝1﹣a，1+|a|＝1+a，
∴ ，
∵0＜1﹣a＜1，1＜1+a＜2，
∴ 大于0，且小于1，即 大于0，且小于1．
故选：D．
11．使分式 有意义的x的取值范围是 x ＞﹣ 2 ．
【分析】根据分式、二次根式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得：x＞﹣2．
故答案为：x＞﹣2．
12．若分式 的值为零，则x2+2x+8的平方根为 ± 4 ．
【分析】分式的值为0，则2x2﹣8＝0且x+2≠0，得到x＝2，进而求解．
【解答】解：分式的值为0，则2x2﹣8＝0且x+2≠0，
解得：x＝2，
则x2+2x+8＝16，
则x2+2x+8的平方根为：±4，
故答案为：±4．
13．一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…（ab≠0），则第 n 的个式子是
．
【分析】根据观察可发现规律： ．
【解答】解：由 ， ， ， ，…（ab≠0），得
系数是（﹣1）n+1，b的次数是（3n﹣1），a的次数是n，
则第n的个式子是 ，
故答案为： ．
14．已知x为整数，且分式 的值也为整数，则满足条件的所有x的值之和为 0 ．
【分析】根据x为整数，分式的意义一一分析可能成立的情况，选出x的值再求和即可．
【解答】解：＝
＝3﹣ ，
∵x为整数，分式 的值也为整数，
∴当x＝0时，分式＝﹣7，符合题意；
当x＝﹣1时，分式值＝8，符合题意；
当x＝﹣2时，分式值＝5，符合题意；
当x＝3时，分式值＝2，符合题意；
∴满足条件的x的值为0、﹣1、﹣2、3，
所有满足条件的数的和为0﹣1﹣2+3＝0，
故答案为：0．
15．若 ，则 的值为 ﹣ 1 ．
【分析】先根据 ， ， ， ， 的值为1或﹣1，得出a、
b、c、d中有3个正数，1个负数，进而得出abcd为负数，即可得出答案．
【解答】解：∵当a、b、c、d为正数时， ， ， ， 的值为1，当a、b、c、d为负数
时， ， ， ， 的值为﹣1，
又∵ ，
∴a、b、c、d中有3个正数，1个负数，
∴abcd为负数，
∴ ．
故答案为：﹣1．
16．已知a﹣4b＝0，求分式 的值．
【分析】由已知得到a＝3b，再将原分式化简为1﹣ ，然后代入求值即可．
【解答】解：∵a﹣4b＝0，
∴a＝4b，
∴＝
＝1﹣
＝1﹣
＝1﹣
＝1﹣
＝ ．
17．已知关于x的分式 ，求下列问题：
（1）当x满足什么条件，分式无意义；
（2）当x满足什么条件，分式有意义；
（3）当x满足什么条件，分式的值等于0．
【分析】（1）根据分母为零时，分式无意义解题即可；
（2）根据分母不为零时，分式有意义解题即可；
（3）根据分式值为0的条件：分子为0，而分母不等于0，解题即可．
【解答】解：（1）由题可得（x+1）（x﹣3）＝0，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴当x＝﹣1或x＝3时，分式 无意义；
（2）由题可得（x+1）（x﹣3）≠0，
解得：x≠﹣1且x≠3，
∴当x≠﹣1且x≠3时，分式 有意义；
（3）由题可得 ，
解得x＝1，
∴当x＝1时，分式 的值等于0．
18．已知当x＝﹣2时，分式 无意义；当x＝1时，此分式的值为0．
（1）求a，b的值．（2）在（1）的条件下，当分式 的值为正整数时，求整数x的值．
【分析】（1）当x+a＝0时，分式 无意义；当x﹣b＝0时，分式 无意义；然后进行计算即可解
答；
（2）利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）当x+a＝0时，分式 无意义，
∵x＝﹣2，
∴﹣2+a＝0，
解得：a＝2；
当x﹣b＝0时，分式 无意义，
∵x＝1，
∴1﹣b＝0，
解得：b＝1；
∴a的值为2；b的值为1；
（2）当a＝2，b＝1时，分式 即为： ，
∵分式 的值为正整数，
∴x+1＝1或x+1＝2或x+1＝4，
解得：x＝0或x＝1或x＝3，
∴整数x的值为0或1或3．
19．根据下列材料，回答问题：
， ， ，
请根以上各式完成下列题目：
（1） ＝ ﹣ ；
（2） ＝ ﹣ （n为正整数）；
（3）用简便方法计算： + + + + + + + ．
【分析】（1）根据计算规律计算求解即可．
（2）根据计算规律计算求解即可．
（3）根据计算规律计算求解即可．
【解答】解：（1） ＝ ﹣ ，故答案为： ﹣ ．
（2） ＝ ﹣ （n为正整数），
故答案为： ﹣ ．
（3）根据题意，得 + + + + + + +
＝1﹣ + + + + ﹣ + ﹣ + ﹣ + ﹣
＝1﹣
＝ ．
20．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样
大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次
数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为
“真分式”．如： 这样的分式就是假分式：再如： ， 这样的分式就是真分式，假分
数 可以化成 1+ （即 1 ）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：
．
解决下列问题：
（1）分式 是 真分式 （填“真分式”或“假分式”）；假分式 可化为带分式 1 ﹣ 形
式；
（2）如果分式 的值为整数，求满足条件的整数x的值；
（3）若分式 的值为m，m的取值范围是 ﹣ 6 ≤ m ＜ 1 （直接写出结果）．
【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得为真分式，依据假分数化为带分数的特点，第二个
空即可得答案．
（2）先化简原分式，化成分子为常数，分母带字母的分式，根据整体为整数，并且 x为整数，即可求
得．
（3）先化简原分式，化为带分式的形式，再结合 ，从而可得答案．
【解答】解：（1）根据新定义可得： 为分子次数为0，分母次数为1，故为真分式，，
故答案为：真分式；1− ．
（2） ，且 为正数，且x为正数
∴x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1或x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x＝4或x＝2或x＝5或x＝1，
故满足条件的整数x的值为1，2，4，5．
（3）∵m＝
＝
＝
＝
＝1− ，
而∴x2+1≥1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴﹣6≤m＜1．
故答案为：﹣6≤m＜1．
