文档内容
第 02 讲 约分与通分
课程标准 学习目标
1. 掌握最简分式的概念，并能够熟练的进行判断。
①最简分式 2. 掌握公因式的概念能够熟练的求分子分母的公因
②公因式与约分 式，然后利用分式的性质进行约分。
③最简公分母与通分 3. 掌握最简公分母的概念，能够熟练的求最简公分
母，然后利用分式的性质进行分式之间的通分。
知识点01 公因式
1. 公因式的概念：
一个分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的 公因式 。
2. 公因式的求法：
对分子分母进行因式分解，然后求出系数的 最大公因数 与 相同式子的 最低次幂。他们
的乘积为公因式。
题型考点：①求分子分母的公因式。
【即学即练1】
1．分式 中分子、分母的公因式为 4 m n ．
【解答】解：分式 中分子、分母的公因式为4mn；故答案为：4mn．
【即学即练2】
2．在分式 中，分子与分母的公因式是 x y ．
【解答】解：原分式中：分母＝2xy；分子＝xy（x+y）；因此分子与分母的公因式为xy．
知识点02 最简分式
1. 最简分式的概念：
分子分母没有 公因式 的分式叫做最简公因式。
题型考点：①判断最简分式。
【即学即练1】
3．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、 ＝ ，不是最简分式，不符合题意；
B、 ＝ ＝ ，不是最简分式，不符合题意；
C、 是最简分式，符合题意；
D、 ＝ ＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【即学即练2】
4．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、原式＝ ，不是最简分式，不符合题意；
B、原式＝ ，不是最简分式，不符合题意；
C、原式＝ ，不是最简分式，不符合题意；D、 是最简分式，符合题意；
故选：D．
【即学即练3】
5．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分
式”．下列分式中，是“和谐分式”的是（ ）（填序号即可）．
① ；② ；③ ；④ ．
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解：① ，分子、分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意；
② ＝ ，分母可以因式分解，是最简分式，是“和谐分式”，符合题意；
③ ＝ ＝ ，分母可以因式分解，不是最简分式，不是“和谐分式”，不符合
题意；
④ ＝ ＝ ，分子、分母可以因式分解，不是最简分式，不是“和谐分式”，
不符合题意；
故选：B．
知识点03 约分
1. 约分的概念：
根据分式的 基本性质 ，把分子分母的 公因式 约去，这个过程叫约分。
2. 约分的步骤：
①对分式中能 因式分解 的分子或分母先进行因式分解。
②约去分子分母的公因式即可。
题型考点：①约分。
【即学即练1】
6．分式 约分为 ﹣ ．
【解答】解：原式＝
＝﹣ ．故答案为：﹣ ．
【即学即练2】
7．下列约分正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．原式＝ ＝a+b，此选项正确；
B．原式＝ ＝﹣1，此选项错误；
C．原式＝ ＝a+2b，此选项错误；
D．原式＝ ，此选项错误；
故选：A．
【即学即练3】
8．若分式 可以进行约分化简，则该分式中的A不可以是（ ）
A．1 B．x C．﹣x D．4
【解答】解：A＝1或x或4时，分子分母有公因式，可以约分．
故选：C．
知识点04 最简公分母与通分
1. 通分的概念：
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式值 相等 的 同分母 的分式
的过程叫做通分。这个相同的分母叫做 最简公分母 。
2.
最简公分母的求法：
最简公分母＝所有系数的 最小公倍数 ×所有因式的 最高次幂 。对能进行因式分解的分母
先因式分解，在确定所含有的因式。
3. 通分的步骤：
①将所有能分解因式的 分母 分解因式。
②求出 最简公分母 。
③利用 分式的性质 在分子分母上同时乘一个因式，使分母变成 最简公分母 。题型考点：①求公分母。②对分式进行通分。
【即学即练1】
9．分式 的最简公分母是（ ）
A．3xy B．6x3y2 C．6x6y6 D．x3y3
【解答】解： 分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；
故选：B．
【即学即练2】
10．分式 与 的最简公分母是（ ）
A．x（x+5） B．（x+5）（x﹣5）
C．x（x﹣5） D．x（x+5）（x﹣5）
【解答】解：分式 与 的最简公分母是x（x+5）（x﹣5）．
故选：D．
【即学即练3】
11．分式 ， ，﹣ 的最简公分母是（ ）
A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2
C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2
【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝（x+1）2，
∴分式 ， ，﹣ 的最简公分母是x（x﹣1）（x+1）2．
故选：C．
【即学即练4】
12．通分：
（1） 与 ；
（2） 与 ．
【解答】解：（1）∵ 与 的最简公分母是6y2，
∴ ＝ ， ＝ ；（2）∵ 与 的最简公分母是3a2b2，
∴ ＝ ， ＝ ．
【即学即练5】
13．通分：
（1） ， ， ；
（2） ， ， ．
【解答】解：（1） ， ， ；
（2） ， ， ．
题型01 最简分式的判断【典例1】
下列各式中，最简分式是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、A的分子分母有最大公约数17，不是最简分式；
B、B的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
C、 ＝ ＝y﹣x；
D、 ＝ ＝ ；
故选：B．
【典例2】
下列分式是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、 ＝ ，不是最简分式，不符合题意；
B、 ＝ ＝﹣x﹣y，不是最简分式，不符合题意；
C、 ，是最简分式，符合题意；
D、 ＝ ＝ ，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
【典例3】
下列分式是最简分式的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：① 是最简分式；
② 是最简分式；
③ ，不是最简分式；
④ ，不是最简分式；
综上分析可知，最简分式有2个，故B正确．
故选：B．
【典例4】
下列分式： ，其中最简分式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解： ＝﹣2y，故不是最简分式；
＝ ＝﹣x﹣y，故不是最简分式；
是最简分式；
＝ ＝ ，故不是最简分式；
故最简分式的个数有1个．
故选：A．
题型02 公因式与公分母
【典例1】
要将 化成最简分式，应将分子分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（ ）
A．xy B．5xy C．5xyz D．20xy
【解答】解： ＝ ＝ ，
则将 化成最简分式，应将分子分母同时约去的公因式为5xy，故选：B．
【典例2】
下列各式① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中分子与分母没有公因式的分式是
③⑤ ．（填序号）．
【解答】解：①公因式是：3；
②公因式是：（x+y）；
③没有公因式；
④公因式是：m．
⑤没有公因式；
则没有公因式的是③、⑤．
故答案为：③⑤．
【典例3】
分式 ， 的最简公分母是（ ）
A．x2﹣y2 B．x2+xy
C．（x+y）（x﹣y） D．x（x+y）（x﹣y）
【解答】解： ＝ ， ＝ ，
∴分式 ， 的最简公分母是x（x+y）（x﹣y），
故选：D．
【典例4】
分式 、 、 的最简公分母是（ ）
A．（x+y）（x﹣y） B．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2）
C．（x+y）（x2﹣y2） D．（x﹣y）（x2﹣y2）
【解答】解：分式 、 、 的最简公分母是（x+y）（x﹣y），
故选：A．
【典例5】
已知分式 ，a是这两个分式中分母的公因式，b是这两个分式的最简公分母，且 ，则x
的值为（ ）A． B． C． D．
【解答】解：两分式分母的公因式为a＝x+1，最简公分母为b＝2（x+1）（x﹣1），
∴ ＝ ＝ ＝3，即x＝ ．
故选：B．
题型03 约分
【典例1】
约分 的结果是（ ）
A．3x B．3xy C．3xy2 D．3x2y
【解答】解： ，
故选：B．
【典例2】
计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．x﹣y
【解答】解：
＝
＝ ，
故选：A．
【典例3】
如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式
中，是“和谐分式”的是（ ）
A． B．
C． D．【解答】解： ＝ ＝x+y，故选项A不符合题意；
的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意；
＝ ，故选项C符合题意；
＝ ＝ ，故选项D不符合题意；
故选：C．
【典例4】
，则？等于（ ）
A．x+1 B．x﹣1 C．x+2 D．x﹣2
【解答】解：∵ ，
∴？等于x﹣1，
故选：B．
【典例5】
小丽在化简分式 时，*部分不小心滴上了墨水，请你推测，*部分的式子应该是（ ）
A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1
【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ＝ ，
故*部分的式子应该是x2﹣2x+1．
故选：A．
题型04 通分
【典例1】
分式 的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（ ）A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
【解答】解： ＝ ＝ ．
故选：C．
【典例2】
将分式 与分式 通分后， 的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则 的分子变为（
）
A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a
【解答】解：两分式的最简公分母为（1+a）（1﹣a）2，
∴ ＝ ＝ ，
则 的分子变为1﹣a．
故选：A．
【典例3】
若将分式 与 通分，则分式 的分子应变为（ ）
A．6m2﹣6mn B．6m﹣6n
C．2（m﹣n） D．2（m﹣n）（m+n）
【解答】解：分式 与 的公分母是2（m+n）（m﹣n），则分式 的分子应变为6m（m
﹣n）＝6m2﹣6mn．
故选：A．
【典例4】
按照下列要求解答：
（1）约分： ；
（2）通分： 与 ．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ；
（2） ＝ ， ＝ ．【典例5】
通分 ， ， ．
【解答】解：它们的最简公分母是3（x﹣3）2（x+3），
，
，
．
1．下列分式中，最简分式是（ ）
A． B．C． D．
【解答】解：A、 ＝ ，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
B、 是最简分式，故此选项符合题意；
C、 ＝ ＝ ，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
D、 ＝﹣ ＝﹣ ，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．代数式 是分式
B．分式 中x，y都扩大3倍，分式的值不变
C．分式 的值为0，则x的值为﹣3
D．分式 是最简分式
【解答】解：A、代数式 是整式，不是分式，故本选项说法错误，不符合题意；
B、分式 中x，y都扩大3倍后的值为 ＝3× ，即分式的值扩大3倍，故本选项
说法错误，不符合题意；
C、分式 的值为0时，x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得x＝﹣3，故本选项说法正确，C符合题意；
D、分式 ＝ ，不是最简分式，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
3．下列结论中，正确的是（ ）
A．x为任何实数时，分式 总有意义
B．当x＝±2时，分式 的值为0C． 和 的最简公分母是6m（2x﹣y）（y﹣2x）
D．将分式 中的x，y的值都变为原来的10倍，分式的值不变
【解答】解：A、当x＝0时，分式 没有意义，不符合题意；
B、当x＝2时，分式 无意义，不符合题意；
C、 和 的最简公分母是6m（2x﹣y），不符合题意；
D、将分式 中的x，y的值都变为原来的10倍，则 ＝ ，即分式的值不变，符合题
意．
故选：D．
4．化简分式 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：
＝
＝ ．
故选：C．
5．若m为整数，则能使 也为整数的m有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵ ＝ ＝ ，
∴能使 也为整数的m有：m＝﹣2或m＝﹣3或m＝0，
故选：C．
6．若 ，则x等于（ ）
A．a+2 B．a﹣2 C．a﹣1 D．a+1【解答】解：等式左边＝ ＝ ，
∴x＝a﹣1，
故选：C．
7．把 ， ， 通分过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2
B． ＝
C． ＝
D． ＝
【解答】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确；
B、 ＝ ，通分正确；
C、 ＝ ，通分正确；
D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4；
故选：D．
8．把 与 通分后， 的分母为（1﹣a）（a+1）2，则 的分子变为（ ）
A．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a
【解答】解： ＝ ＝ ，
故 的分子为1+a．
故选：B．
9．约分：① ＝ ，② ＝ ．
【解答】解：① ＝ ；
② ＝ ．10．有分别写有x，x+1，x﹣1的三张卡片，若从中任选一个作为分式 的分子，使得分式为最简分式，
则应选择写有 x 的卡片．
【解答】解：∵ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ，
∴ ， 都不是最简分式，
无法化简，是最简分式，
故使得分式为最简分式，则应选择写有x的卡片．
故答案为：x．
11．以下三个分式 的最简公分母是 2 x （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【解答】解：∵2x+2＝2（x+1），x2+x＝x（x+1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
∴ ， ， 的最简公分母是2x（x+1）（x﹣1），
故答案为：2x（x+1）（x﹣1）．
12．已知x为整数，则能使代数式 的值为整数的x值之和为 ﹣ 4 ．
【解答】解：
＝
＝
＝x+1﹣3+
＝x﹣2+ ，
∵分式的值为整数，
∴x+1＝±1，±2，
∴x＝0，﹣2，1，﹣3．
∴0+（﹣2）+1+（﹣3）＝﹣4．
故答案为：﹣4．13．通分
（1） ，
（2） ，
（3） ，
（4） ， ．
【解答】解：（1）最简公分母：12x3y2，
＝ ， ＝ ；
（2）最简公分母：2（a+3）（a﹣3），
＝ ， ＝ ；
（3）最简公分母：（a﹣3）2（a+3），
＝ ， ＝ ；
（4）最简公分母：2（a+3）（a﹣1），
＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝﹣ ＝﹣
．
14．我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等
等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称
为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如
．
（1）下列分式中，属于真分式的是 C
A、 B、 C、 D、
（2）将假分式 ，化成整式和真分式的和的形式．【解答】解：（1）根据题意得﹣ 是真分式．
故选C．
（2） ＝ ＝ + ＝m﹣1+ ．
15．自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如： ＞0； ＜0等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：
（1）若a＞0，b＞0，则 ＞0；若a＜0，b＜0，则 ＞0；
（2）若a＞0，b＜0，则 ＜0；若a＜0，b＞0，则 ＜0．
反之：①若 ＞0，则 或
②若 ＜0，则 或 ．
根据上述规律，
①求不等式 ＜0的解集．
②直接写出不等式解集为x＞3或x＜1的最简分式不等式．
【解答】（1）解：由题意得： 或
第一个不等式组无解，第二个的解集为﹣1＜x＜2，则原分式不等式的解集为﹣1＜x＜2．
（2） 或 等，
